數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué)課件演示文稿當(dāng)前1頁，總共151頁。優(yōu)選數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué)課件當(dāng)前2頁，總共151頁。授課教材、大綱與內(nèi)容其它參考書：1、蔣中一《數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué)的基本方法》

商務(wù)印書館2、蔣中一《動態(tài)最優(yōu)化基礎(chǔ)》商務(wù)印書館3、邵宜航《數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué)精要》科學(xué)出版社當(dāng)前3頁，總共151頁。導(dǎo)論一、什么是數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué)？數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué)不是經(jīng)濟(jì)學(xué)的一個分支學(xué)科，它是一種經(jīng)濟(jì)分析方法，是經(jīng)濟(jì)學(xué)家利用數(shù)學(xué)符號描述經(jīng)濟(jì)問題，運(yùn)用已知的數(shù)學(xué)定理進(jìn)行推理的一種方法。就分析的具體對象而言，它可以是微觀或宏觀經(jīng)濟(jì)理論，也可以是公共財(cái)政、城市經(jīng)濟(jì)學(xué)或其它經(jīng)濟(jì)學(xué)科。按照經(jīng)濟(jì)分析方法的分類來講解相關(guān)的數(shù)學(xué)知識，并通過介紹大量的宏微觀經(jīng)濟(jì)模型掌握經(jīng)濟(jì)分析方法和數(shù)學(xué)方法。當(dāng)前4頁，總共151頁。二、數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué)的本質(zhì)

探討如何用數(shù)學(xué)語言準(zhǔn)確、精練描述經(jīng)濟(jì)學(xué)問題，并推敲通過數(shù)理分析而導(dǎo)出的數(shù)學(xué)關(guān)系式所表達(dá)的經(jīng)濟(jì)學(xué)含義，由此揭示經(jīng)濟(jì)活動的規(guī)律性才是數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué)的本質(zhì)所在。當(dāng)前5頁，總共151頁。經(jīng)濟(jì)學(xué)問題的數(shù)學(xué)表述舉例1：消費(fèi)者選擇問題在收入水平的約束條件下，選擇最優(yōu)的消費(fèi)量組合以最大化消費(fèi)效用。模型為：當(dāng)前6頁，總共151頁。舉例2：最優(yōu)經(jīng)濟(jì)增長問題（連續(xù)型）研究一代表性家庭如何選擇最優(yōu)的動態(tài)消費(fèi)路徑，以最大化其從現(xiàn)在到將來的效用現(xiàn)值總和。模型描述為：當(dāng)前7頁，總共151頁。三、授課邏輯主線

經(jīng)濟(jì)學(xué)定義為研究有限資源的有效（最優(yōu)）配置的科學(xué)，因此許多經(jīng)濟(jì)學(xué)問題可以表示為數(shù)學(xué)的最優(yōu)化問題。本課程主要學(xué)習(xí)在微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)和宏觀經(jīng)濟(jì)學(xué)中經(jīng)常使用的最優(yōu)化數(shù)學(xué)分析方法。當(dāng)前8頁，總共151頁。數(shù)學(xué)的最優(yōu)化問題：

所謂最優(yōu)化問題是“在關(guān)于變量的約束條件下，尋找使目標(biāo)值最大化或最小化的變量”的問題當(dāng)前9頁，總共151頁。舉例1：非線性規(guī)劃問題當(dāng)前10頁，總共151頁。舉例2：最優(yōu)控制問題當(dāng)前11頁，總共151頁。四、授課主要內(nèi)容相關(guān)數(shù)學(xué)背景知識

（集合與映射、微積分、微分方程）靜態(tài)最優(yōu)化（最優(yōu)化的古典方法——無約束、等式約束；最優(yōu)化的非古典方法——數(shù)學(xué)規(guī)劃（線性規(guī)劃和非線性規(guī)劃），處理不等式約束。）

動態(tài)最優(yōu)化

（變分法、最優(yōu)控制理論和動態(tài)規(guī)劃

）當(dāng)前12頁，總共151頁。第一部分?jǐn)?shù)學(xué)背景內(nèi)容見杰里和瑞尼：《高級微觀經(jīng)濟(jì)理論》

上海財(cái)經(jīng)大學(xué)出版社附錄A1、A2當(dāng)前13頁，總共151頁。主要內(nèi)容：一、集合和映射二、凸集三、關(guān)系與函數(shù)四、一點(diǎn)拓?fù)鋵W(xué)五、實(shí)值函數(shù)六、分離超平面定理當(dāng)前14頁，總共151頁。第一章集合和映射一、集合1.集合的定義：

具有某種特定性質(zhì)的事物的總體。

組成這個集合的事物稱為該集合的元素。當(dāng)前15頁，總共151頁。舉例：當(dāng)前16頁，總共151頁。子集的定義：

如果集合S的每個元素也是集合T的一個元素，那么集合S是另外一個集合T的子集。當(dāng)前17頁，總共151頁。2.集合的運(yùn)算當(dāng)前18頁，總共151頁。3.集合的運(yùn)算規(guī)律當(dāng)前19頁，總共151頁。當(dāng)前20頁，總共151頁。4.集合的乘積當(dāng)前21頁，總共151頁。二、凸集1.

上的凸集

定義：當(dāng)前22頁，總共151頁。凸組合例1：(當(dāng)n=1)當(dāng)前23頁，總共151頁。凸組合例2：(當(dāng)n=2)當(dāng)前24頁，總共151頁。凸集：例1：當(dāng)前25頁，總共151頁。非凸集：例2：當(dāng)前26頁，總共151頁。

因此當(dāng)且僅當(dāng)把集合內(nèi)的任意兩點(diǎn)用一條直線聯(lián)接，該直線完全處于集合內(nèi)，那么此集合為凸集。

凸集本質(zhì)上沒有洞，無斷點(diǎn)，在邊界沒有麻煩的凸凹。當(dāng)前27頁，總共151頁。2.凸集的性質(zhì)定理1：凸集的交集是凸集當(dāng)前28頁，總共151頁。三、關(guān)系與函數(shù)1.二元關(guān)系當(dāng)前29頁，總共151頁。當(dāng)前30頁，總共151頁。當(dāng)前31頁，總共151頁。2.函數(shù)

函數(shù)是一類特殊的關(guān)系，它是將一個集合內(nèi)的每個元素與另一個集合內(nèi)的單個且唯一的元素聯(lián)系起來的關(guān)系。稱函數(shù)f是從集合D到另一個集合R的映射，記成當(dāng)前32頁，總共151頁。函數(shù)與非函數(shù)當(dāng)前33頁，總共151頁。四、一點(diǎn)拓?fù)鋵W(xué)拓?fù)鋵W(xué)研究集合與映射的基本性質(zhì)。（本書僅考慮上的集合）當(dāng)前34頁，總共151頁。1、度量空間當(dāng)前35頁，總共151頁。定理：當(dāng)前36頁，總共151頁。當(dāng)前37頁，總共151頁。2、開球與閉球當(dāng)前38頁，總共151頁。當(dāng)前39頁，總共151頁。當(dāng)前40頁，總共151頁。當(dāng)前41頁，總共151頁。反例：當(dāng)前42頁，總共151頁。當(dāng)前43頁，總共151頁。當(dāng)前44頁，總共151頁。當(dāng)前45頁，總共151頁。當(dāng)前46頁，總共151頁。當(dāng)前47頁，總共151頁。閉集的特征：當(dāng)前48頁，總共151頁。當(dāng)前49頁，總共151頁。當(dāng)前50頁，總共151頁。證明：當(dāng)前51頁，總共151頁。舉例：當(dāng)前52頁，總共151頁。3、有界集當(dāng)前53頁，總共151頁。舉例：當(dāng)前54頁，總共151頁。定義：下確界、上確界當(dāng)前55頁，總共151頁。

定理：對于R的任何有界子集總會存在一個上確界和下確界。當(dāng)前56頁，總共151頁。當(dāng)前57頁，總共151頁。定理A1.5實(shí)數(shù)子集的上界與下界當(dāng)前58頁，總共151頁。定義A1.8(heine-Borel)緊集當(dāng)前59頁，總共151頁。4、（Cauchy）連續(xù)性當(dāng)前60頁，總共151頁。定義：一元連續(xù)函數(shù)當(dāng)前61頁，總共151頁。當(dāng)前62頁，總共151頁。定義：A1.9（Cauchy）連續(xù)性當(dāng)前63頁，總共151頁。問題：一個連續(xù)函數(shù)能否將定義域內(nèi)的開集映射進(jìn)值域內(nèi)的開集，或?qū)㈤]集映射進(jìn)閉集？當(dāng)前64頁，總共151頁。反例：當(dāng)前65頁，總共151頁。當(dāng)前66頁，總共151頁。定理A1.6連續(xù)性與其逆象當(dāng)前67頁，總共151頁。當(dāng)前68頁，總共151頁。問題：連續(xù)函數(shù)能否將定義內(nèi)的緊集映射進(jìn)值域內(nèi)的緊集？當(dāng)前69頁，總共151頁。定理A1.7緊集的連續(xù)象是一個緊集當(dāng)前70頁，總共151頁。5、數(shù)列當(dāng)前71頁，總共151頁。當(dāng)前72頁，總共151頁。注意：當(dāng)前73頁，總共151頁。定義A1.13

收斂的數(shù)列當(dāng)前74頁，總共151頁。定義A1.14

有界的數(shù)列當(dāng)前75頁，總共151頁。有界性是數(shù)列收斂的必要條件；收斂的數(shù)列必定有界；無界數(shù)列必定發(fā)散。當(dāng)前76頁，總共151頁。定義A1.15

子數(shù)列當(dāng)前77頁，總共151頁。定理A1.8有界數(shù)列當(dāng)前78頁，總共151頁。定理A1.9數(shù)列、集合和連續(xù)函數(shù)當(dāng)前79頁，總共151頁。6、一些存在性定理當(dāng)前80頁，總共151頁。當(dāng)前81頁，總共151頁。舉例：(a)s=[1,2](b)s=(1,2)當(dāng)前82頁，總共151頁。問題：考慮如下聯(lián)立方程組當(dāng)前83頁，總共151頁。當(dāng)前84頁，總共151頁。問題：方程（A1.2）的解是否存在？當(dāng)前85頁，總共151頁。定理A1.11brouwer不動點(diǎn)定理當(dāng)前86頁，總共151頁。

不動點(diǎn)定理保證f的圖像將在[a,b]X[a,b]內(nèi)至少穿過45度線一次。當(dāng)前87頁，總共151頁。五、實(shí)值函數(shù)當(dāng)前88頁，總共151頁。當(dāng)前89頁，總共151頁。每當(dāng)向量X的一個或多個分量的增加不會引致函數(shù)值的下降，稱函數(shù)為增函數(shù)。每當(dāng)向量的所有分量的增加總會引致函數(shù)值的嚴(yán)格遞增時，稱函數(shù)為嚴(yán)格遞增。每當(dāng)X的一個或幾個分量增加總會引致函數(shù)嚴(yán)格遞增時，稱函數(shù)為強(qiáng)遞增。當(dāng)前90頁，總共151頁。當(dāng)前91頁，總共151頁。當(dāng)前92頁，總共151頁。當(dāng)前93頁，總共151頁。注意：

一個函數(shù)的兩個不同水平集不會相交，否則意味著兩個不同的數(shù)對應(yīng)著定義域內(nèi)的同一個元素，破壞函數(shù)的定義。當(dāng)前94頁，總共151頁。當(dāng)前95頁，總共151頁。當(dāng)前96頁，總共151頁。當(dāng)前97頁，總共151頁。當(dāng)前98頁，總共151頁。當(dāng)前99頁，總共151頁。當(dāng)前100頁，總共151頁。當(dāng)前101頁，總共151頁。當(dāng)前102頁，總共151頁。說明：

對于函數(shù)圖像上的每一對點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)連結(jié)這些點(diǎn)的弦處在圖像上或其下邊，那么該函數(shù)為凹的。當(dāng)前103頁，總共151頁。當(dāng)前104頁，總共151頁。當(dāng)前105頁，總共151頁。當(dāng)前106頁，總共151頁。當(dāng)前107頁，總共151頁。當(dāng)前108頁，總共151頁。當(dāng)前109頁，總共151頁。當(dāng)前110頁，總共151頁。說明：擬凹函數(shù)意味著若能在定義域內(nèi)任取兩點(diǎn)，并形成兩點(diǎn)的凸組合，那么函數(shù)值必定不會小于這兩點(diǎn)所取的最低函數(shù)值。當(dāng)前111頁，總共151頁。也可依據(jù)水平集描述擬凹函數(shù)當(dāng)前112頁，總共151頁。課堂練習(xí)：證明：單調(diào)函數(shù)為擬凹函數(shù)。當(dāng)前113頁，總共151頁。下圖的上優(yōu)集？xyX1X2當(dāng)前114頁，總共151頁。當(dāng)前115頁，總共151頁。當(dāng)前116頁，總共151頁。當(dāng)前117頁，總共151頁。當(dāng)前118頁，總共151頁。嚴(yán)格擬凹函數(shù)的上優(yōu)集邊界不包含平坦的部分。當(dāng)前119頁，總共151頁。當(dāng)前120頁，總共151頁。問題：凹函數(shù)是擬凹函數(shù)嗎擬凹函數(shù)是凹函數(shù)嗎？當(dāng)前121頁，總共151頁。說明：擬凹函數(shù)不一定是凹的。xyX1X2當(dāng)前122頁，總共151頁。定理A1.15凹性蘊(yùn)含著擬凹性一個凹函數(shù)總是擬凹的，一個嚴(yán)格凹函數(shù)總是嚴(yán)格擬凹的。當(dāng)前123頁，總共151頁。當(dāng)前124頁，總共151頁。5、凸與擬凸函數(shù)當(dāng)前125頁，總共151頁。當(dāng)前126頁，總共151頁。當(dāng)前127頁，總共151頁。當(dāng)前128頁，總共151頁。當(dāng)前129頁，總共151頁。當(dāng)前130頁，總共151頁。是擬凸函數(shù)嗎？xyX1X2當(dāng)前131頁，總共151頁。問題：當(dāng)前132頁，總共151頁。當(dāng)前133頁，總共151頁。當(dāng)前134頁，總共151頁。定理凸性蘊(yùn)含著擬凸性一個凸函數(shù)總是擬凸的，一個嚴(yán)格凸函數(shù)總是嚴(yán)格擬凸的。當(dāng)前135頁，總共151頁。當(dāng)前136頁，總共151頁。當(dāng)前137頁，總共151頁。當(dāng)前138頁，總共151頁。總結(jié)：各種實(shí)值