PAGEPAGE20福建省莆田市第八中學(xué)2021屆高三數(shù)學(xué)下學(xué)期5月月考試題（A卷）注意事項：1．答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在試題卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。3．非選擇題的作答：用簽字筆直接答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。4．考試結(jié)束后，請將本試題卷和答題卡一并上交。第Ⅰ卷一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．設(shè)，其中，，則（）A． B．1 C． D．2．已知集合，集合，則（）A． B． C． D．3．設(shè)，，則“”是“”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件4．已知下表所示數(shù)據(jù)的回歸直線方程，則實(shí)數(shù)的值為（）23456371821A．11 B．12 C．13 D．145．中，是的中點(diǎn)，點(diǎn)在邊上，且滿足，交于點(diǎn)，則（）A． B． C． D．6．已知從1開始的連續(xù)奇數(shù)首尾相接蛇形排列形成如圖三角形數(shù)表，第i行第j列的數(shù)記為，如，，則時，（）…………A．54 B．18 C．9 D．67．已知兩點(diǎn)，，，若圓上存在點(diǎn)，使得，則正實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．8．已知函數(shù)，，若函數(shù)有兩個零點(diǎn)，則的取值范圍是（）A． B． C． D．二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9．將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，則（）A．的最小正周期為 B．的圖象關(guān)于直線對稱C．的圖象的一個對稱中心為 D．在上單調(diào)遞增10．如圖所示，在棱長為2的正方體中，E，F(xiàn)，G分別為所在棱的中點(diǎn)，P為平面內(nèi)（包括邊界）一動點(diǎn)，且平面EFG，則（）A． B．平面EFGC．三棱錐的體積為 D．P點(diǎn)的軌跡長度為211．已知直線，，，以下結(jié)論正確的是（）A．不論為何值時，與都互相垂直B．當(dāng)變化時，與分別經(jīng)過定點(diǎn)和C．不論為何值時，與都關(guān)于直線對稱D．如果與交于點(diǎn)M，則的最大值是12．已知函數(shù)，若，則下列結(jié)論正確的是（）A． B．C． D．當(dāng)時，第Ⅱ卷三、填空題：本大題共4小題，每小題5分．13．集合中有4個等差數(shù)列，集合中有5個等比數(shù)列，的元素個數(shù)是1，在中任取兩個數(shù)列，這兩個數(shù)列中既有等差數(shù)列又有等比數(shù)列的概率是_________．14．在銳角中，為的中點(diǎn)，，，且，則__________．15．已知，則_________．16．如圖，已知曲線，焦點(diǎn)，點(diǎn)在軸上運(yùn)動，為上的動點(diǎn)，若的中點(diǎn)落在軸上，則________；斜率為的直線與的交點(diǎn)為，，與軸的交點(diǎn)為，若，則________．四、解答題：本大題共6個大題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（10分）某地區(qū)的平面規(guī)劃圖中（如圖），三點(diǎn)分別表示三個街區(qū)，，現(xiàn)準(zhǔn)備在線段上的點(diǎn)處建一個停車場，它到街區(qū)的距離為，到街區(qū)的距離相等．（1）若線段的長為，求的值；（2）若的面積為，求點(diǎn)到直線的距離．18．（12分）已知數(shù)列滿足，．（1）求、、；（2）猜想的通項公式并加以證明；（3）求數(shù)列的前項和．19．（12分）如圖，四邊形ABCD是邊長為的菱形，DD1⊥平面ABCD，BB1⊥平面ABCD，且BB1＝DD1＝2，E，F(xiàn)分別是AD1，AB1的中點(diǎn)．（1）證明：平面BDEF∥平面CB1D1；（2）若∠ADC＝120°，求直線DB1與平面BDEF所成角的正弦值．20．（12分）雙敗淘汰制是一種競賽形式，與普通的單敗淘汰制輸?shù)粢粓黾幢惶蕴煌?，參賽者只有在輸?shù)魞蓤霰荣惡蟛艈适帄Z冠軍的可能．在雙敗淘汰制的比賽中，參賽者的數(shù)量一般是2的次方數(shù)，以保證每一輪都有偶數(shù)名參賽者．第一輪通過抽簽，兩人一組進(jìn)行對陣，勝者進(jìn)入勝者組，敗者進(jìn)入負(fù)者組．之后的每一輪直到最后一輪之前，勝者組的選手兩人一組相互對陣，勝者進(jìn)入下一輪，敗者則降到負(fù)者組參加本輪負(fù)者組的第二階段對陣；負(fù)者組的第一階段，由之前負(fù)者組的選手（不包括本輪勝者組落敗的選手）兩人一組相互對陣，敗者被淘汰（已經(jīng)敗兩場），勝者進(jìn)入第二階段，分別對陣在本輪由勝者組中降組下來的選手，勝者進(jìn)入下一輪，敗者被淘汰．最后一輪，由勝者組最終獲勝的選手（此前從未敗過，記為）對陣負(fù)者組最終獲勝的選手（敗過一場，記為），若勝則獲得冠軍，若勝則雙方再次對陣，勝者獲得冠軍．某圍棋賽事采用雙敗淘汰制，共有甲、乙、丙等8名選手參賽．第一輪對陣雙方由隨機(jī)抽簽產(chǎn)生，之后每一場對陣根據(jù)賽事規(guī)程自動產(chǎn)生對陣雙方，每場對陣沒有平局．（1）設(shè)“在第一輪對陣中，甲、乙、丙都不互為對手”為事件，求的概率；（2）已知甲對陣其余7名選手獲勝的概率均為，解決以下問題：①求甲恰在對陣三場后被淘汰的概率；②若甲在第一輪獲勝，設(shè)甲在該項賽事的總對陣場次為隨機(jī)變量，求的分布列．21．（12分）已知e為橢圓的離心率，且點(diǎn)，均在橢圓上．（1）求橢圓方程；（2）如圖，分別為橢圓的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)A在橢圓上，直線分別與橢圓交于B，C兩點(diǎn)，直線交于點(diǎn)D，求證：為定值．22．（12分）已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）若有2個極值點(diǎn)，，證明：．____________________________________________________________________________________________（新高考）2020-2021學(xué)年下學(xué)期高三5月月考卷數(shù)學(xué)（A）答案第Ⅰ卷一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．【答案】A【解析】因?yàn)椋?，所以，解得，所以，故選A．2．【答案】D【解析】，，因此，，故選D．3．【答案】A【解析】當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故“”是“”的充分條件，當(dāng)時，，滿足，但不滿足，故“”不是“”的必要條件，“”是“”的充分而不必要條件，故選A．4．【答案】A【解析】因?yàn)?，所以，所以，解得，故選A．5．【答案】A【解析】由題設(shè)可得如下幾何示意圖，設(shè)，，∵，∴，∵，∴，由，知，∴，得，∴，故選A．6．【答案】A【解析】奇數(shù)構(gòu)成的數(shù)陣，令，解得，故2021是數(shù)陣中的第1011個數(shù)，第1行到第i行一共有個奇數(shù)，則第1行到第44行末一共有個奇數(shù)，第1行到第45行末一共有1035個數(shù)，所以2021位于第45行，又第45行是從左到右依次遞增，且共有45個奇數(shù)，所以2021位于第45行，從左到右第21列，所以，，則，故選A．7．【答案】B【解析】因?yàn)?，所以點(diǎn)在以為直徑的圓上，方程為，半徑為，圓的圓心坐標(biāo)為，該圓心到原點(diǎn)的距離為，半徑為，要想圓上存在點(diǎn)，使得，說明圓和圓有公共點(diǎn)，因此有，因?yàn)椋?，故選B．8．【答案】D【解析】作出的圖象，如圖所示，當(dāng)與相切時，設(shè)切點(diǎn)為，則有，解得，所以相切時的斜率；將函數(shù)的圖象順時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)時，與有2個交點(diǎn)，滿足題意；當(dāng)時，與有3個交點(diǎn)，不滿足題意；當(dāng)時，與有1個交點(diǎn)，不滿足題意；當(dāng)時，與有0個或1個交點(diǎn)，不滿足題意，故選D．二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9．【答案】BD【解析】將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，得到的圖象，對A：的周期為，故A錯誤；對B：當(dāng)時，，取得最值，故B正確；對C：當(dāng)時，，故C錯誤；對D：令，得，故的單調(diào)遞增區(qū)間是，令，得的一個單調(diào)遞增區(qū)間是，所以在上單調(diào)遞增，故D正確，故選BD．10．【答案】BCD【解析】對于A，取的中點(diǎn)為，連接，由正方體的性質(zhì)可知，，而與相交，所以不平行，故A錯誤；對于B，連接，容易知道平面平面，由面面平行的性質(zhì)可知平面EFG，故B正確；對于C，，故C正確；對于D，由B可知平面平面，即點(diǎn)的軌跡為線段，長度為，故D正確，故選BCD．11．【答案】ABD【解析】對于A，恒成立，恒成立，A正確；對于B，對于直線，當(dāng)時，恒成立，則過定點(diǎn)；對于直線，當(dāng)時，恒成立，則恒過定點(diǎn)，B正確；對于C，在上任取點(diǎn)，關(guān)于直線對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為，代入方程知不在上，C錯誤；對于D，聯(lián)立，解得，即，，即的最大值是，D正確，故選ABD．12．【答案】AD【解析】對于A選項，因?yàn)榱?，在上是增函?shù)，所以當(dāng)時，，所以，即，故A選項正確；對于B選項，因?yàn)榱?，所以，所以時，，單調(diào)遞增；時，，單調(diào)遞減，所以與無法比較大小，故B選項錯誤；對于C選項，令，所以時，，在單調(diào)遞減；時，，在單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，，故成立，當(dāng)時，，，故C選項錯誤；對于D選項，由C選項知，當(dāng)時，單調(diào)遞增，又因?yàn)锳正確，成立，所以，故D選項正確，故選AD．第Ⅱ卷三、填空題：本大題共4小題，每小題5分．13．【答案】【解析】由的元素個數(shù)是1可知，所以中共有8個數(shù)列，其中有一個數(shù)列既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列，有3個數(shù)列為等差數(shù)列而不是等比數(shù)列，有4個數(shù)列為等比數(shù)列而不是等差數(shù)列．則從中任取2個數(shù)列有種不同的取法．從中取出的兩個數(shù)列中，全為等差數(shù)列有種不同的取法，全為等比數(shù)列有種不同的取法．所以這兩個數(shù)列中既有等差數(shù)列又有等比數(shù)列有種不同的取法，所以這兩個數(shù)列中既有等差數(shù)列又有等比數(shù)列的概率為，故答案為．14．【答案】【解析】由，由正弦定理可得的，因?yàn)椋傻茫?，即，所以，在中，由余弦定理可得，即，解得或，?dāng)時，此時，此時為鈍角三角形，不符合題意，舍去；當(dāng)時，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，可得，在中，由余弦定理可得，所以，故答案為．15．【答案】60【解析】∵，∴展開式通項，即由題設(shè)對應(yīng)，則，∴，即，故答案為60．16．【答案】，【解析】設(shè)，，，，因?yàn)槭侵悬c(diǎn)，在拋物線上，所以，，，，，，所以，所以，設(shè)，，直線方程為，則，由，得，，，因?yàn)椋?，即，由，及，，解得，，，，故答案為，．四、解答題：本大題共6個大題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）到的距離相等，，在中，由正弦定理得，．（2），，在中，由余弦定理得，，，，設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，則，解得，即點(diǎn)到直線的距離為．18．【答案】（1），，；（2），證明見解析；（3）．【解析】（1）因?yàn)椋?，，．?）猜想，證明：因?yàn)?，所以，即，因?yàn)?，所以是以為首項、為公比的等比?shù)列，故，．（3）當(dāng)時，，；當(dāng)時，，則，因?yàn)楫?dāng)時，滿足，所以當(dāng)時，．19．【答案】（1）證明見解析；（2）．【解析】（1）證明：連接，交于點(diǎn)，連接，則為的中點(diǎn)，∵是的中點(diǎn)，，平面，平面，所以平面，又是的中點(diǎn)，，平面，平面，所以平面，又平面，，所以平面平面．（2）取的中點(diǎn)，連接，在菱形中，，為正三角形，則，由平面，故以所在直線分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，∴，，，設(shè)平面BDEF的法向量為，，即，令，則，，，設(shè)直線與平面所成角為，則，故直線與平面所成角的正弦值為．20．【答案】（1）；（2）①；②答案見解析．【解析】（1）8人平均分成四組，共有種方法，其中甲，乙，丙都不分在同一組的方法數(shù)為，所以．（2）①甲恰在對陣三場后淘汰，這三場的結(jié)果依次是“勝，敗，敗”或“敗，勝，敗”，故所求的概率為．②若甲在第一輪獲勝，．當(dāng)時，表示甲在接下來的兩場對陣都敗，即；當(dāng)時，有兩種情況：（i）甲在接下來的3場比賽都勝，其概率為；（ii）甲4場對陣后被淘汰，表示甲在接下來的3場對陣1勝1敗，且第4場敗，概率為，所以；當(dāng)時，有兩種情況：（i）甲在接下來的2場對陣都勝，第4場敗，概率為；（ii）甲在接下來的2場對陣1勝1敗，第4場勝，第5場敗，概率為，所以；當(dāng)時，有兩種情況：（i）甲第2場勝，在接下來的3場對陣為“敗，勝，勝”，其概率為；（ii）甲第2場敗，在接下來的4場對陣為“勝，勝，勝，敗”，其概率為，所以；當(dāng)時，甲在接下來的5場對陣為“敗，勝，勝，勝，勝”，即，所以的分布列為：3456721．【答案】（1）；（2）證明見解析．【解析】（1）因?yàn)辄c(diǎn)，在橢圓上，所以，又，，解得，，所以橢圓方程為．（2）由（1）可知，，設(shè)，則，的方程為，代入橢圓方程化簡得，所以，得；同理的方程為，代入橢圓方程化簡得，所以，得，將、分別代入、方程可得、，即、，所以方程：①；所以方程：②；聯(lián)立①②消去得，解得，即，所以，所以為定值．22．【答案】（1）見解析；（2）證明見解析