習(xí)題5.11．判斷全體

n階實對稱矩陣按矩陣的加法與數(shù)乘可否構(gòu)成實數(shù)域上的線性空間．答是．因為是平時意義的矩陣加法與數(shù)乘,所以只需檢驗會集對加法與數(shù)乘運算的封閉性.由n階實對稱矩陣的性質(zhì)知，n階實對稱矩陣加n階實對稱矩陣依舊是n階實對稱矩陣，數(shù)乘對稱矩陣依舊是n階實對稱矩陣,所以會集對矩陣加法與數(shù)乘運算封閉,構(gòu)成實數(shù)域上的線性空間

.

n階實2．全體正實數(shù)

R+,

其加法與數(shù)乘定義為ababkoaak其中a,bR,kR判斷R+按上面定義的加法與數(shù)乘可否構(gòu)成實數(shù)域上的線性空間.答是.設(shè),R.因為a,bRababR,R,aRoaaR,所以R對定義的加法與數(shù)乘運算封閉.下面一一考據(jù)八條線性運算規(guī)律(1)ababbaba;(2)(ab)c(ab)c(ab)cabca(bc)a(bc);(3)R中存在零元素1,aR,有a1a1a;(4)對R中任一元素a，存在負元素a1Rn,使aa1aa11;(5)1oaa1a;(6)ooaoaaaoa;(7)oaaaaaaoaoa;所以R+對定義的加法與數(shù)乘構(gòu)成實數(shù)域上的線性空間.全體實n階矩陣，其加法定義為按上述加法與平時矩陣的數(shù)乘可否構(gòu)成實數(shù)域上的線性空間.答否.B與BA不用然相等.故定義的加法不滿足加法的交換律即運算規(guī)則（１）,全體實n階矩陣按定義的加法與數(shù)乘不構(gòu)成實數(shù)域上的線性空間.4．在P22中，WA/A0,AP22,判斷W是否是P22的子空間.答否.121123,也就是說會集對加法不封閉.比方和3的行列式都為零，但4的行列式不為零1235習(xí)題5.21．談?wù)揚22中的線性相關(guān)性.解設(shè)x1A1x2A2x3A3x4A4O,ax1x2x3x40a111x1ax2x3x40.1a113即x2ax3x40由系數(shù)行列式1(a3)(a1)x11a1x1x2x3ax40111a知,a3且a1時,方程組只有零解,這組向量線性沒關(guān)；2．在R4中，求向量在基1,2,3,4下的坐標.其中解設(shè)x11x22x33x441210M01000M1由1234M1111M0初等行變換0100M00301M00010M11101M10001M0得13.故向量在基1,2,3,4下的坐標為(1,0,-1,0).解設(shè)x11x22x33x44x10x2x3x42則有x1x2x30x43.x1x20x30x44x10x20x30x471011M21000M71110M3初等行變換0100M11由0010M211100M41000M70001M30得71112213304.故向量在基1,2,3,4下的坐標為（-7，11，-21，30）.4．已知R3的兩組基111（Ⅰ）：1=1，2=0，3=01-11123（Ⅱ）：1=2，2=3，3=4143（1）求由基（Ⅰ）到基（Ⅱ）的過渡矩陣；1（2）已知向量在基1,2,3下的坐標為0,求在基1,2,3下的坐標；-11（3）已知向量在基1,2,3下的坐標為-1,求在基1,2,3下的坐標;2（4）求在兩組基下坐標互為相反數(shù)的向量.解（1）設(shè)C是由基（Ⅰ）到基（Ⅱ）的過渡矩陣,由1,2,31,2,3C123111即234100C,1431111111232341知基（Ⅰ）到基（Ⅱ）的過渡矩陣為C100234010.11114310113222（2）第一計算得C1010,13122131,2,下的坐標為C12于是在基300.11217（3）在基1,2,3下的坐標為C11.23y1234y1y1(4)設(shè)在基1,2,3下的坐標為y2,據(jù)題意有010y2y2,y3101y3y3y10解此方程組可得y2=k4，k為任意常數(shù).y3314k23k3k0,k為任意常數(shù).75．已知P[x]4的兩組基（Ⅰ）：f1(x)1xx2x3，f2(x)xx2，f3(x)1x，f4(x)1（Ⅱ）：g1(x)xx23231x3，g4(x)2x，g2(x)1xx，g3(x)x1xx（1）求由基（Ⅰ）到基（Ⅱ）的過渡矩陣；（2）求在兩組基下有相同坐標的多項式f(x).解(1)設(shè)C是由基（Ⅰ）到基（Ⅱ）的過渡矩陣,由g1,g2,g3,g4f1,f2,f3,f4C01111011有(1,x,x2,x3)10111110C.110(1,x,x2，x3)10011111010001110C0011.01121113（2）設(shè)多項式f(x)在基（Ⅰ）下的坐標為T(x1,x2,x3,x4).x1x1x1據(jù)題意有Cx2x2(CE)x2（*）x3x30x3x4x4x401101101100111因為CE111001101021021021112所以方程組（*）只有零解，則f(x)在基（Ⅰ）下的坐標為(0,0,0,0)T，所以f(x)=0習(xí)題5.3證明線性方程組的解空間與實系數(shù)多項式空間R[x]3同構(gòu).證明設(shè)線性方程組為AX=0,對系數(shù)矩陣施以初等行變換.QR(A)2線性方程組的解空間的維數(shù)是5-R(A)3.實系數(shù)多項式空間R[x]3的維數(shù)也是3,所以此線性方程組的解空間與實系數(shù)多項式空間R[x]3同構(gòu).習(xí)題5.41．求向量1,1,2,3的長度.解12(1)2223215.2．求向量1,1,0,1與向量2,0,1,3之間的距離.解d(,)(12)2(10)2(01)2(13)27.3．求以下向量之間的夾角（1）1,0,4,3，1,21,,1（2）1,2,2,3，3151,,,（3）1,1,1,2，31，，1,0解（1）Q,1(1)02413(1)0,,.2（2）Q,1321253118,,18.arccos1846（3）Q,13111(1)203,11147,911011,arccos3.773．設(shè)，,為n維歐氏空間中的向量，證明:d(,)d(,)d(,).22,)證明因為(2)2,從而d(,)d(,)d(,).所以(習(xí)題5.51．在R4中，求一個單位向量使它與向量組11,1,1,1，21,1,1,1，31,1,1,1正交.解設(shè)向量(x1,x2,x3,x4)與向量1,2,3正交,(,1)0x1x2x3x40則有(,2)0即x1x2x3x40（*）.(,3)0x1x2x3x40齊次線性方程組(*)的一個解為x1x2x3x41.取(1,1,1,1),將向量單位化所得向量*=(1,1,1,1)即為所求.22221102．將R3的一組基11,22,31化為標準正交基.111解(1)正交化,取11(1,2)11321,111211111221231(1,1)1111111113(2)將1,2,3單位化則***的一組基標準正交基.1,2,3為R33．求齊次線性方程組的解空間的一組標準正交基.解析因齊次線性方程組的一個基礎(chǔ)解系就是其解空間的一組基，所以只需求出一個基礎(chǔ)解系再將其標準正交化即可.解對齊次線性方程組的系數(shù)矩陣推行初等行變換化為行最簡階梯形矩陣可得齊次線性方程組的一個基礎(chǔ)解系11110010,21,30.004001由施密特正交化方法,取11/21/311/211/30,21,31112113121/3,022304001將1,2,3單位化得單位正交向量組因為齊次線性方程組的解向量的線性組合依舊是齊次線性方程組的解，所以1*,2*,3*是解空間的一組標準正交基.3．設(shè)1,2,,n是n維實列向量空間Rn中的一組標準正交基,A是n階正交矩陣,證明:A1,A2,,An也是Rn中的一組標準正交基．證明因為1,2,,n是n維實列向量空間Rn中的一組標準正交基,所以(i,j)T0ij(i,j1,2,L,n).ij1ij又因為A是n階正交矩陣,所以ATAE.則故A1,A2,,An也是Rn中的一組標準正交基.5．設(shè)1,2,3是3維歐氏空間V的一組標準正交基,證明也是V的一組標準正交基.證明由題知所以1,2,3是單位正交向量組,構(gòu)成V的一組標準正交基.習(xí)題五(A)一、填空題1．當k滿足時，11,2,1,22,3,k,13,k,3為R3的一組基.解三個三維向量為R3的一組基的充要條件是1,2,30,即k2且k6.2．由向量1,2,3所生成的子空間的維數(shù)為.解向量1,2,3所生成的子空間的維數(shù)為向量組的秩,故答案為1.3．R3中的向量3,7,1在基11,3,5,26,3,2,33,1,0下的坐標為.解依照定義,求解方程組即可得答案.設(shè)所求坐標為(x1,x2,x3),據(jù)題意有x11x22x33.為了便于計算,取以下增廣矩陣進行運算361M3100M1543,2,1133M7初等行變換010M82，025M1001M33所以(x1,x2,x3)=(33,-82,154).4.R3中的基1,2,3到基12,1,3,21,0,1,32,5,1的過渡矩陣為.212212解因為(1,2,3)(1,2,3)105,所以過渡矩陣為105.3113115.正交矩陣A的行列式為.解ATAEA21A1.6．已知5元線性方程組AX=0的系數(shù)矩陣的秩為3,則該方程組的解空間的維數(shù)為.解5元線性方程組AX=0的解會集的極大沒關(guān)組（基礎(chǔ)解系）含5–3=2個向量,故解空間的維數(shù)為2.7.已知12,1,1,1,22,1,a,a,33,2,1,a,44,3,2,1不是R4的基且a1,則a滿足.解四個四維向量不是R4的一組基的充要條件是1,2,3,40,則a1或1.2故答案為a1.2二、單項選擇題1．以下向量會集按向量的加法與數(shù)乘不構(gòu)成實數(shù)域上的線性空間的是( ).（A）V1x1,0,,0,xnx1,xnR（B）V2x1,x2,,xnx1x2xn0,xiR（C）V3x1,x2,,xnx1x2xn1,xiR(D)V4x1,0,L,0,0x1R解(C)選項的會集對向量的加法不封閉,應(yīng)選（C）.12.在P33中由2生成的子空間的維數(shù)為（）.,A3(A)1(B)2(C)3(D)41解向量組A=2生成的子空間的維數(shù)是向量組A的秩,應(yīng)選（A）.3101解因(B)選項中（122,2233,33）,3)220,1=(1,2033101又因1,2,3線性沒關(guān)且220可逆，所以122,2233,331線性沒關(guān).033應(yīng)選（B）.解因(12)(23)(13)0,所以(C)選項中向量組線性相關(guān),應(yīng)選（C）.5．n元齊次線性方程組AX=0的系數(shù)矩陣的秩為r,該方程組的解空間的維數(shù)為s,則( ).(A)s=r(B)s=n-r(C)s>r(D)s<r選（B）6.已知A,B為同階正交矩陣,則以下()是正交矩陣.(A)A+B(B)A-B(C)AB(D)kA（k為數(shù)）解A,B為同階正交矩陣AB(AB)TTTTE應(yīng)選（C）.ABBAAA7.線性空間中，兩組基之間的過渡矩陣（）.(A)必然不可以逆(B)必然可逆(C)不用然可逆(D)是正交矩陣選（B）(B)1．已知R4的兩組基（Ⅰ）：1,2,3,4（Ⅱ）：11234,2234,334,44(1)求由基（Ⅱ）到（Ⅰ）的過渡矩陣；(2)求在兩組基下有相同坐標的向量.解（１）設(shè)C是由基（Ⅰ）到基（Ⅱ）的過渡矩陣,已知1000(1,2,3,4)(1,2,31100,4)11,101111所以由基（Ⅱ）到基（Ⅰ）的過渡矩陣為1000C11100.01100011（2）設(shè)在兩組基下有相同坐標的向量為,又設(shè)在基（Ⅰ）和基（Ⅱ）下的坐標均為(x1,x2,x3,x4),由坐標變換公式可得x1x1x1x2Cx2(Ex20（*）x3,即C)x3x3x4x4x4齊次線性方程（*）的一個基礎(chǔ)解系為(0,0,0,1),通解為X(0,0,0,k)(kR)．故在基（Ⅰ）和基（Ⅱ）下有相同坐標的全體向量為010203k4k4(kR).解(1)由題有001因1000，所以1,2,3線性沒關(guān).111222故1,2,3是3個線性沒關(guān)向量，構(gòu)成R3的基.(2)因為010所以從基1,2,3到基1,2,3的過渡矩陣為-1-12100101012(3)1223（1,2,3）2（1,2,3）-1-122（1,2,3）-51100112所以向量在基1,2,3下的坐標為5.12100解(1)因為由基1,2,3,4到基1,2,3,4的過渡矩陣為C=1100003,所以50012(1,2,3,4)(1,2,3,4)C112001-10013002100-120010000012002-50001002100-130037所以13001,200010,3,4.001003711(2)Q3241(1,2,3,4)C1112(1,2,3,4)11220(1,2,3,4)1,127024在基1,2,3,4下的坐標為1向量123.12-7證明設(shè)t1f1(x)t2f2(x)t3f3(x)0,則有t1(1xx2)t2(1x2x2)t3(12x3x2)0t1t2t30111即t1t22t3（）因為系數(shù)行列式112100*t12t23t30123所以方程組（*）只有零解.故f1(x),f2(x),f3(x)線性沒關(guān),構(gòu)成線性空間P[x]3的一組基.設(shè)f(x)y1f1(x)y2f2(x)y3f3(x)y1y2y36y11則有y1y22y39y22y12y23y314y33所以f(x)在基f1(x),f2(x),f3(x)下的坐標為（1,2,3）.1a025．當a、b、c為何值時，矩陣A=001是正交陣.bc0解要使矩陣A為正交陣，應(yīng)