2022-2023學(xué)年廣東省佛山市南海區(qū)西樵鎮(zhèn)九年級第一學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷一．選擇題（共10小題，每題3分，共30分）1．下列關(guān)于x的方程中一定是一元二次方程的是（）A．a(chǎn)x2+bx+c＝0 B．x2﹣x（x+7）＝0 C．2x2﹣﹣1＝0 D．x2﹣2x﹣3＝02．如圖，五線譜是由等距離、等長度的五條平行橫線組成的，同一條直線上的三個點A，B，C都在橫線上．若線段AB＝3，則線段BC的長是（）A． B．1 C． D．23．在同一副撲克牌中抽取2張“方塊”，3張“梅花”，1張“紅桃”，將這6張牌背面朝上，從中任意抽取1張，是“梅花”的概率為（）A． B． C． D．4．如圖，菱形ABCD的兩條對角線相交于點O，若AC＝6，BD＝4，則菱形ABCD的面積是（）A．24 B．48 C． D．125．已知關(guān)于x的一元二次方程x2+3x+k+1＝0有一根為﹣1，則k的值是（）A．1 B．﹣1 C．±1 D．06．一個家庭有兩個小孩，則所有可能的基本事件有（）A．（男，女），（男，男），（女，女） B．（男，女），（女，男） C．（男，男），（男，女），（女，男），（女，女） D．（男，男），（女，女）7．下面四個選項中的一般三角形、等邊三角形、正方形、矩形的各邊分別等距向外擴張1個單位，那么擴張后的幾何圖形與原幾何圖形不一定相似的是（）A． B． C． D．8．如圖，在△ABC中，點D，E分別是邊AB，AC的中點，若S△ADE＝4．則四邊形BDEC的面積為（）A．4 B．8 C．12 D．169．順次連接四邊形ABCD四邊的中點所得的四邊形為矩形，則四邊形ABCD一定滿足（）A．AC＝BD B．AC⊥BD C．AC＝BD，AC⊥BD D．AB⊥BC10．歐幾里得在《幾何原本》中，記載了用圖解法解方程x2+ax＝b2的方法，類似地可以用折紙的方法求方程x2+x﹣1＝0的一個正根，如圖，裁一張邊長為1的正方形的紙片ABCD，先折出BC的中點E，再折出線段AE，然后通過折疊使EB落在線段EA上，折出點B的新位置F，因而EF＝EB，類似地，在AB上折出點M使AM＝AF，表示方程x2+x﹣1＝0的一個正根的線段是（）A．線段BM B．線段AM C．線段BE D．線段AE二．填空題（共5小題，每小題3分，共15分）11．若實數(shù)a，b是方程x2﹣4x+3＝0的兩個實數(shù)根，則a+b的值是．12．已知，則的值為．13．如圖，兩張寬均為3cm的矩形紙條交叉重疊在一起，重疊的部分為四邊形ABCD．若測得AB＝5cm，則四邊形ABCD的周長為cm．14．圓周率π是無限不循環(huán)小數(shù)．歷史上，祖沖之、劉徽、韋達(dá)、歐拉等數(shù)學(xué)家都對π有過深入的研究．目前，超級計算機已計算出π的小數(shù)部分超過31.4萬億位．有學(xué)者發(fā)現(xiàn)，隨著π小數(shù)部分位數(shù)的增加，0～9這10個數(shù)字出現(xiàn)的頻率趨于穩(wěn)定接近相同，從π的小數(shù)部分隨機取出一個數(shù)字，估計數(shù)字是6的概率為．15．如圖，△ABC中，∠B＝90°，BC＝3，BC邊上的高AB＝1，點P1、Q1、H1分別在邊AD、AC、CD上，且四邊形P1Q1H1B為矩形，P1Q1：P1B＝2：3，點P2、Q2、H2分別在邊Q1H1、CQ1、CH1上，且四邊形P2Q2H2H1為矩形，P2Q2：P2H1＝2：3，…按此規(guī)律操作下去，則線段CQ2022的長度為．三．解答題（16-18題每小題8分，19-21題每小題8分，22，23題每小題8分，共75分）16．解一元二次方程：x2+2x﹣2＝0（用配方法）．17．小麗的爸爸積極參加社區(qū)志愿服務(wù)，根據(jù)社區(qū)安排，志愿者將被隨機分配到以下小組中的一個：A組（交通疏導(dǎo)）、B組（環(huán)境消殺）、C組（便民代購），開展服務(wù)工作．（1）小麗的爸爸被分配到C組的概率是；（2）若小麗的班主任劉老師也參加了該社區(qū)的志愿者隊伍，那么劉老師和小麗的爸爸被分到同一組的概率是多少？請用畫樹狀圖或列表的方法寫出分析過程．18．如圖所示，小明站在B處想借助平面鏡測量D處一棵大樹的高度CD．他把平面鏡平放在地面上，調(diào)整平面鏡的位置到P處，讓自己通過平面鏡剛好能看見大樹的頂端C．（1）若小明眼睛離地面的高度AB＝1.6m，BP＝2m，則還需測量哪條線段的長度可求得大樹的高度；（用字母a表示）（2）在（1）的條件下，求CD的長（用含a的代數(shù)式表示）19．如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC，BD交于點O．M為AD中點，連接CM交BD于點N，且ON＝1．（1）求證：△DMN∽△BCN；（2）求BD的長．20．已知：關(guān)于x的方程x2﹣（k+2）x+2k＝0．（1）求證：無論取任何實數(shù)值，方程總有實數(shù)根；（2）若等腰三角形ABC的一邊長a＝1，另兩邊長b＝c，恰好是這個方程的兩個根，求△ABC的周長．21．2022年2月4日至20日，第24屆冬奧會在北京和張家口舉辦，這是中國歷史上第一次舉辦冬奧會，吉祥物“冰墩墩”深受大家的喜愛．某超市在今年1月份銷售“冰墩墩”256個，“冰墩墩”十分暢銷，2、3月銷售量持續(xù)走高，在售價不變的基礎(chǔ)上，3月份的銷售量達(dá)到400個．（1）求“冰墩墩”2、3這兩個月銷售量的月平均增長率；（2）若“冰墩墩”每個進價25元，原售價為每個40元，該超市在今年4月進行降價促銷，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，若“冰墩墩”價格在3月的基礎(chǔ)上，每個降價1元，銷售量可增加5個，當(dāng)“冰墩墩”每個降價多少元時，出售“冰墩墩”在4月份可獲利4620元？22．如圖，已知：在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，點P從點B出發(fā)，沿BC方向勻速運動，速度為2cm/s；與點P同時，點Q從D點出發(fā)，沿DA方向勻速運動，速度為1cm/s；過點Q作QE∥AC，交DC于點E．設(shè)運動時間為t（s），（0＜t＜4），解答下列問題：（1）當(dāng)t＝時，BP長為cm，AQ長為cm；（2）在運動過程中，是否存在某一時刻t，使PQ平分∠APC？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由；（3）當(dāng)0＜t＜時，是否存在某一時刻t，使△PQE是直角三角形？若存在，直接寫出t的值；若不存在，請說明理由．23．已知正方形ABCD的邊長為4，E、F分別為邊DC、BC上兩點．（1）如圖1，若BF＝CE，求證：AF＝BE．（2）如圖2，若BF＝DE，作EH⊥AF于H，連接DH，求證：DH＝AB．（3）如圖3，若DE＝CE，BF＝，點G在邊AB上滿足EG＝AF，則AG長度為.（直接寫出答案）

參考答案一．選擇題（共10小題，每題3分，共30分）1．下列關(guān)于x的方程中一定是一元二次方程的是（）A．a(chǎn)x2+bx+c＝0 B．x2﹣x（x+7）＝0 C．2x2﹣﹣1＝0 D．x2﹣2x﹣3＝0【分析】利用一元二次方程定義進行解答即可．解：A、當(dāng)a＝0時，不是一元二次方程，故此選項不合題意；B、由已知方程得到：﹣7x＝0，屬于一元一次方程，故此選項不合題意；C、是分式方程，不是整式方程，故此選項不合題意；D、是一元二次方程，故此選項符合題意．故選：D．2．如圖，五線譜是由等距離、等長度的五條平行橫線組成的，同一條直線上的三個點A，B，C都在橫線上．若線段AB＝3，則線段BC的長是（）A． B．1 C． D．2【分析】過點A作平行橫線的垂線，交點B所在的平行橫線于D，交點C所在的平行橫線于E，根據(jù)平行線分線段成比例定理列出比例式，計算即可．解：過點A作平行橫線的垂線，交點B所在的平行橫線于D，交點C所在的平行橫線于E，則＝，即＝2，解得：BC＝，故選：C．3．在同一副撲克牌中抽取2張“方塊”，3張“梅花”，1張“紅桃”，將這6張牌背面朝上，從中任意抽取1張，是“梅花”的概率為（）A． B． C． D．【分析】直接利用概率公式計算可得．解：從中任意抽取1張，是“梅花”的概率為＝，故選：C．4．如圖，菱形ABCD的兩條對角線相交于點O，若AC＝6，BD＝4，則菱形ABCD的面積是（）A．24 B．48 C． D．12【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)得出面積＝，代入求出即可．解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∵AC＝6，BD＝4，∴菱形ABCD的面積為，故選：D．5．已知關(guān)于x的一元二次方程x2+3x+k+1＝0有一根為﹣1，則k的值是（）A．1 B．﹣1 C．±1 D．0【分析】把方程的根代入方程可以求出字母系數(shù)的值．解：把﹣1代入方程有：1﹣3+k+1＝0解得：k＝1．故選：A．6．一個家庭有兩個小孩，則所有可能的基本事件有（）A．（男，女），（男，男），（女，女） B．（男，女），（女，男） C．（男，男），（男，女），（女，男），（女，女） D．（男，男），（女，女）【分析】首先確定第一個孩子的性別，然后確定第二個孩子的性別，利用列舉的方法即可確定．解：把第一個孩子的性別寫在前邊，第二個孩子的性別寫在后邊，則所有的情況是：（男，男），（男，女），（女，男），（女，女）．故選：C．7．下面四個選項中的一般三角形、等邊三角形、正方形、矩形的各邊分別等距向外擴張1個單位，那么擴張后的幾何圖形與原幾何圖形不一定相似的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)相似圖形的定義，結(jié)合圖形，對選項一一分析，排除不符合要求答案．解：A：形狀相同，符合相似形的定義，對應(yīng)角相等，所以三角形相似，故A選項不符合要求；B：形狀相同，符合相似形的定義，故B選項不符合要求；C：形狀相同，符合相似形的定義，故C選項不符合要求；D：兩個矩形，雖然四個角對應(yīng)相等，但對應(yīng)邊不成比例，故D選項符合要求；故選：D．8．如圖，在△ABC中，點D，E分別是邊AB，AC的中點，若S△ADE＝4．則四邊形BDEC的面積為（）A．4 B．8 C．12 D．16【分析】由三角形的中位線定理可得DE＝BC，DE∥BC，可證△ADE∽△ABC，可得＝（）2＝，即可求解．解：∵點D，E分別是邊AB，AC的中點，∴DE＝BC，DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝（）2＝，∴S△ABC＝16，∴四邊形BDEC的面積＝16﹣4＝12，故選：C．9．順次連接四邊形ABCD四邊的中點所得的四邊形為矩形，則四邊形ABCD一定滿足（）A．AC＝BD B．AC⊥BD C．AC＝BD，AC⊥BD D．AB⊥BC【分析】首先根據(jù)三角形中位線定理知：所得四邊形的對邊都平行且相等，那么其必為平行四邊形，若所得四邊形是矩形，那么鄰邊互相垂直，故原四邊形的對角線必互相垂直，由此得解．解：已知：如右圖，四邊形EFGH是矩形，且E、F、G、H分別是AB、BC、CD、AD的中點，求證：四邊形ABCD是對角線垂直的四邊形．證明：由于E、F、G、H分別是AB、BC、CD、AD的中點，根據(jù)三角形中位線定理得：EH∥FG∥BD，EF∥AC∥HG；∵四邊形EFGH是矩形，即EF⊥FG，∴AC⊥BD，故選：B．10．歐幾里得在《幾何原本》中，記載了用圖解法解方程x2+ax＝b2的方法，類似地可以用折紙的方法求方程x2+x﹣1＝0的一個正根，如圖，裁一張邊長為1的正方形的紙片ABCD，先折出BC的中點E，再折出線段AE，然后通過折疊使EB落在線段EA上，折出點B的新位置F，因而EF＝EB，類似地，在AB上折出點M使AM＝AF，表示方程x2+x﹣1＝0的一個正根的線段是（）A．線段BM B．線段AM C．線段BE D．線段AE【分析】設(shè)正方形的邊長為1，AF＝AM＝x，根據(jù)勾股定理即可求出答案．解：設(shè)正方形的邊長為1，AF＝AM＝x，則BE＝EF＝，AE＝x+，在Rt△ABE中，∴AE2＝AB2+BE2，∴（x+）2＝1+（）2，∴x2+x﹣1＝0，∴AM的長為x2+x﹣1＝0的一個正根，故選：B．二．填空題（共5小題，每小題3分，共15分）11．若實數(shù)a，b是方程x2﹣4x+3＝0的兩個實數(shù)根，則a+b的值是4．【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到a+b＝4即可求解．解：∵實數(shù)a，b是方程x2﹣4x+3＝0的兩個實數(shù)根，∴a+b＝4．故答案為：4．12．已知，則的值為0．【分析】利用內(nèi)項之積等于外項之積得到x＝y(tǒng)，然后把x＝y(tǒng)代入所求的代數(shù)式中進行分式的運算即可．解：∵＝1，∴x＝y(tǒng)，∴＝＝0．故答案為：0．13．如圖，兩張寬均為3cm的矩形紙條交叉重疊在一起，重疊的部分為四邊形ABCD．若測得AB＝5cm，則四邊形ABCD的周長為20cm．【分析】作AR⊥BC于R，AS⊥CD于S，根據(jù)題意先證出四邊形ABCD是平行四邊形，再由AR＝AS推出BC＝CD得平行四邊形ABCD是菱形，再根據(jù)勾股定理求出AD即可．解：作AR⊥BC于R，AS⊥CD于S，連接AC、BD交于點O．由題意知：AD∥BC，AB∥CD，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∵兩個矩形等寬，∴AR＝AS，∵AR?BC＝AS?CD，∴BC＝CD，∴平行四邊形ABCD是菱形，∴AD＝AB＝5cm，∴四邊形ABCD的周長為20cm，故答案為：2014．圓周率π是無限不循環(huán)小數(shù)．歷史上，祖沖之、劉徽、韋達(dá)、歐拉等數(shù)學(xué)家都對π有過深入的研究．目前，超級計算機已計算出π的小數(shù)部分超過31.4萬億位．有學(xué)者發(fā)現(xiàn)，隨著π小數(shù)部分位數(shù)的增加，0～9這10個數(shù)字出現(xiàn)的頻率趨于穩(wěn)定接近相同，從π的小數(shù)部分隨機取出一個數(shù)字，估計數(shù)字是6的概率為．【分析】從π的小數(shù)部分隨機取出一個數(shù)字共有10種等可能的結(jié)果，其中出現(xiàn)數(shù)字6的只有1種結(jié)果，利用概率公式求解即可．解：∵隨著π小數(shù)部分位數(shù)的增加，0～9這10個數(shù)字出現(xiàn)的頻率趨于穩(wěn)定接近相同，∴從π的小數(shù)部分隨機取出一個數(shù)字共有10種等可能的結(jié)果，其中出現(xiàn)數(shù)字6的只有1種結(jié)果，∴P（數(shù)字是6）＝．故答案為：．15．如圖，△ABC中，∠B＝90°，BC＝3，BC邊上的高AB＝1，點P1、Q1、H1分別在邊AD、AC、CD上，且四邊形P1Q1H1B為矩形，P1Q1：P1B＝2：3，點P2、Q2、H2分別在邊Q1H1、CQ1、CH1上，且四邊形P2Q2H2H1為矩形，P2Q2：P2H1＝2：3，…按此規(guī)律操作下去，則線段CQ2022的長度為（）2022．【分析】設(shè)P1B＝3x，P1Q1＝2x，根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AD∥Q1H1，所以△ADC∽△CH1Q1，然后求得其相似比，同理求得△CH1Q1和△CH2Q2的相似比是，△ABC和△CH2Q2的相似比是（）2，依此類推：△ADC和△CH2022Q2022的相似比是（）2022，進而可得結(jié)果．解：∵∠B＝90°，∴AC＝＝，設(shè)P1B＝3x，則AP1＝AD﹣P1B＝1﹣3x，P1Q1＝2x，∵四邊形P1Q1H1B為矩形，∴AB∥Q1H1，∴△ABC∽△CH1Q1，∴＝，解得：x＝，∴P1Q1＝H1B＝，H1Q1＝P1B＝，∴＝，∴△ABC和△CH1Q1的相似比是，同理：△CH1Q1和△CH2Q2的相似比是，∴△ABC和△CH2Q2的相似比是（）2，依此類推：△ADC和△CH2022Q2022的相似比是（）2022，∴Q2022C＝（）2022．故答案為：（）2022．三．解答題（16-18題每小題8分，19-21題每小題8分，22，23題每小題8分，共75分）16．解一元二次方程：x2+2x﹣2＝0（用配方法）．【分析】利用解一元二次方程﹣配方法，進行計算即可解答．解：x2+2x﹣2＝0，x2+2x＝2，x2+2x+1＝2+1，（x+1）2＝3，x+1＝±，x+1＝或x+1＝﹣，x1＝﹣1，x2＝﹣﹣1．17．小麗的爸爸積極參加社區(qū)志愿服務(wù)，根據(jù)社區(qū)安排，志愿者將被隨機分配到以下小組中的一個：A組（交通疏導(dǎo)）、B組（環(huán)境消殺）、C組（便民代購），開展服務(wù)工作．（1）小麗的爸爸被分配到C組的概率是；（2）若小麗的班主任劉老師也參加了該社區(qū)的志愿者隊伍，那么劉老師和小麗的爸爸被分到同一組的概率是多少？請用畫樹狀圖或列表的方法寫出分析過程．【分析】（1）直接由概率公式求解即可；（2）畫樹狀圖，共有9種等可能的結(jié)果，劉老師和小麗的爸爸被分到同一組的結(jié)果有3種，再由概率公式求解即可．解：（1）小麗的爸爸被分配到C組的概率是，故答案為：；（2）畫樹狀圖如下：共有9種等可能的結(jié)果，劉老師和小麗的爸爸被分到同一組的結(jié)果有3種，∴劉老師和小麗的爸爸被分到同一組的概率為＝．18．如圖所示，小明站在B處想借助平面鏡測量D處一棵大樹的高度CD．他把平面鏡平放在地面上，調(diào)整平面鏡的位置到P處，讓自己通過平面鏡剛好能看見大樹的頂端C．（1）若小明眼睛離地面的高度AB＝1.6m，BP＝2m，則還需測量哪條線段的長度可求得大樹的高度；（用字母a表示）（2）在（1）的條件下，求CD的長（用含a的代數(shù)式表示）【分析】因為小明和樹均與地面垂直，且光線的入射角等于反射角，因此構(gòu)成一組相似三角形，利用對應(yīng)邊成比例即可解答．解：（1）∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠ABP＝∠CDP．∵∠APB＝∠CPD，∴△ABP∽△CDP，∴．∵AB＝1.6米，BP＝2米，∴還需測量PD的長度；（2）若測量PD的長度為am，由光的反射知∠APB＝∠CPD，∠ABP＝∠CDP＝90°，得：△APB∽△CPD，即，即，CD＝0.8am．19．如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC，BD交于點O．M為AD中點，連接CM交BD于點N，且ON＝1．（1）求證：△DMN∽△BCN；（2）求BD的長．【分析】（1）由四邊形ABCD是平行四邊形，得AD∥BC，則DM∥BC，即可根據(jù)“平行于三角形一邊的直線和其它兩邊或兩邊的延長線相交所構(gòu)成的三角形與原三角形相似”證明△DMN∽△BCN；（2）先由M為AD中點，BC＝AD，推導(dǎo)出＝，再由△MND∽△CNB，得＝＝，則DN＝BD，而OD＝BD，所以O(shè)N＝BD，即可由ON＝1求得BD＝6．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴DM∥BC，∴△DMN∽△BCN．（2）解：∵M為AD中點，BC＝AD，∴DM＝AM＝AD＝BC，∴＝，∵△MND∽△CNB，∴＝＝，∴DN＝BD，∵OD＝OB＝BD，∴ON＝OD﹣DN＝BD﹣BD＝BD，∵ON＝1，∴BD＝1，∴BD＝6，∴BD的長為6．20．已知：關(guān)于x的方程x2﹣（k+2）x+2k＝0．（1）求證：無論取任何實數(shù)值，方程總有實數(shù)根；（2）若等腰三角形ABC的一邊長a＝1，另兩邊長b＝c，恰好是這個方程的兩個根，求△ABC的周長．【分析】（1）根據(jù)方程的各項系數(shù)結(jié)合根的判別式得出Δ＝（k﹣2）2≥0，此題得證．（2）當(dāng)Δ＝0時，求出k值，進而找出方程的根，從而得出三角形的周長．【解答】（1）證明：∵在方程x2﹣（k+2）x+2k＝0中，Δ＝[﹣（k+2）]2﹣4×1×2k＝k2﹣4k+4＝（k﹣2）2≥0，∴無論k取何值，方程總有兩個實數(shù)根．（2）解：當(dāng)Δ＝（k﹣2）2＝0，即k＝2時，原方程為x2﹣4x+4＝0，解得：x1＝x2＝2，所以△ABC的周長為1+2+2＝5．21．2022年2月4日至20日，第24屆冬奧會在北京和張家口舉辦，這是中國歷史上第一次舉辦冬奧會，吉祥物“冰墩墩”深受大家的喜愛．某超市在今年1月份銷售“冰墩墩”256個，“冰墩墩”十分暢銷，2、3月銷售量持續(xù)走高，在售價不變的基礎(chǔ)上，3月份的銷售量達(dá)到400個．（1）求“冰墩墩”2、3這兩個月銷售量的月平均增長率；（2）若“冰墩墩”每個進價25元，原售價為每個40元，該超市在今年4月進行降價促銷，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，若“冰墩墩”價格在3月的基礎(chǔ)上，每個降價1元，銷售量可增加5個，當(dāng)“冰墩墩”每個降價多少元時，出售“冰墩墩”在4月份可獲利4620元？【分析】（1）由3月份的銷售量＝1月份的銷售量×（1+月平均增長率）2，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其正值即可；（2）設(shè)“冰墩墩”每個降價m元，則每個“冰墩墩”的銷售利潤為（40﹣m﹣25）元，月銷售量為（400+5m）個，利用總利潤＝每包的銷售利潤×月銷售量，即可得出關(guān)于m的一元二次方程，解之取其正值即可．解：（1）設(shè)“冰墩墩”2、3這兩個月銷售量的月平均增長率為x，依題意得：256（1+x）2＝400，解得：x1＝0.25＝25%，x2＝﹣2.25（不符合題意，舍去）．答：“冰墩墩”2、3這兩個月銷售量的月平均增長率為25%；（2）設(shè)“冰墩墩”每個降價m元，則每個“冰墩墩”的銷售利潤為（40﹣m﹣25）元，月銷售量為（400+5m）個，依題意得：（40﹣m﹣25）（400+5m）＝4620，解得：m1＝4，m2＝﹣69（不符合題意，舍去）．答：當(dāng)“冰墩墩”每個降價4元時，出售“冰墩墩”在4月份可獲利4620元．22．如圖，已知：在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，點P從點B出發(fā)，沿BC方向勻速運動，速度為2cm/s；與點P同時，點Q從D點出發(fā)，沿DA方向勻速運動，速度為1cm/s；過點Q作QE∥AC，交DC于點E．設(shè)運動時間為t（s），（0＜t＜4），解答下列問題：（1）當(dāng)t＝時，BP長為cm，AQ長為cm；（2）在運動過程中，是否存在某一時刻t，使PQ平分∠APC？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由；（3）當(dāng)0＜t＜時，是否存在某一時刻t，使△PQE是直角三角形？若存在，直接寫出t的值；若不存在，請說明理由．【分析】（1）根據(jù)路程，速度，時間的關(guān)系求解即可；（2）根據(jù)角平分線性質(zhì)，得出AP＝AQ，運用勾股定理建立方程求解即可；（3）分三種情況討論：①當(dāng)∠QEP＝90°時，先證明△QDE∽△ECP，根據(jù)相似三角形性質(zhì)建立方程求解即可；②當(dāng)∠PQE＝90°時，如圖4，過點P作線段PI⊥AD于點I，根據(jù)△QDE∽△PIQ，建立方程求解即可；③當(dāng)∠QPE＝90°，不滿足題意．解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝8（cm），當(dāng)t＝時，BP＝2×＝（cm），AQ＝AD﹣DQ＝8﹣1×＝（cm）．故答案為：，．（2）存在．理由：如圖1，當(dāng)PQ平分∠APC，則有∠APQ＝∠CPQ，∵矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，∴AD∥BC，AD＝BC＝8cm，AB＝CD＝6cm，∠B＝90°，∴∠CPQ＝∠AQP，∴∠APQ＝∠AQP＝∠CPQ，∴AP＝AQ，∴AP2＝AQ2，由題意知：vP＝2cm/s，vQ＝1cm/s且P、Q運動時間均為ts，∴BP＝2tcm，DQ＝tcm，∴AQ＝AD﹣DQ＝8﹣t，∵∠B＝90°，∴AP2＝AB2+BP2＝62+（2t）2，∴62+（2t）2＝（8﹣t）2，解得：t1＝，t2＝，∵0＜t＜4，∴t＝，即：當(dāng)t＝秒時，PQ平分∠APC．（3）存在．理由：①當(dāng)∠QEP＝90°，如圖3，∵∠QED+∠EQD＝90°，∠QED+∠EQD＝90°，∴∠CEP＝∠DQE，又∵∠QDE＝∠ECP＝90°，∴△QDE∽△ECP，當(dāng)運動時間為ts時，QD＝tcm，由（2）可知，DE＝tcm，EC＝DC﹣DE＝（6﹣t）cm，AP＝2tcm，CP＝（8﹣2t）cm，∴＝，即＝，解得：t＝或t＝0（∵0＜t＜，故t＝0舍去），②當(dāng)∠PQE＝9