第六章倒易點陣6.1倒易點陣6.2晶面間距與晶面夾角6.3晶帶6.1倒易點陣的定義：對于一個由點陣基矢a,b,c定義的空間點陣(可稱為正點陣)，如果存在另一個由點陣基矢a*,b*,c*定義的空間點陣，滿足：a·a*=b·b*=c·c*=1a·b*=a·c*=b·a*=b·c*=c·a*=c·b*=0(6-1)則稱由a*,b*,c*所定義的點陣為a,b,c所定義的點陣的倒易點陣。倒易點陣的a*同時垂直于正點陣的b、c，即垂直于b、c構成的平面倒易點陣的b*同時垂直于正點陣的c、a，即垂直于c、a構成的平面倒易點陣的c*同時垂直于正點陣的a、b，即垂直于a、b構成的平面顯然，正點陣與倒易點陣互為倒易點陣。正點陣的陣胞體積:V=a·(b×c)即a·(b×c)/V=1由a·a*=1，得：

a*=(b×c)/V=bcsin/Vb*=(c×a)/V=casin/Vc*=(a×b)/V=absin/V

(6-2)倒易矢量及其基本性質：倒易矢量：以某一倒易陣點為坐標原點(倒易原點，一般取其與正點陣坐標原點重合)，以a*,b*,c*分別為三條坐標軸的單位矢量建立坐標系，由倒易原點向任意倒易陣點(倒易點)的連接矢量叫倒易矢量，用r*HKL表示：

r*HKL=Ha*+Kb*+Lc*(6-3)式中(H,K,L)為倒易點的坐標值。r*HKL的基本性質：r*HKL垂直于正點陣中相應的(HKL)晶面,其長度r*HKL等于(HKL)的面間距dHKL的倒數。證明1:正點陣中某一(HKL)晶面與三條坐標軸的交點為A(1/H,0,0);B(0,1/K,0);C(0,0,1/L)。(HKL)面上任意兩條不平行的直線垂直于r*HKL則(HKL)r*HKL:AB?r*HKL=(1b/K-1a/H)?(Ha*+Kb*+Lc*)=0;AC?r*HKL=(1c/L-1a/H)?(Ha*+Kb*+Lc*)=0。證明2:dHKL等于(HKL)面于任意坐標軸上的截距(如OA)在r*HKL[垂直于(HKL)]方向的投影值：r*HKL的兩個說明：⑴一個陣點指數為HKL的倒易點對應正點陣中一組(HKL)面，(HKL)的方位與晶面間距由該倒易點相應的r*HKL決定；同樣，正點陣中每一(HKL)面對應一個倒易點，該倒易點在倒易點陣中的坐標(可稱為陣點指數)即為HKL。⑵如果已知晶體的點陣參數，由(6-2)可求得相應的倒易點陣參數，從而建立其倒易點陣；倒易點陣陣胞的基本參數（a*、b*、c*、α*、β*、γ*）立方晶系的倒易陣胞參數正點陣中的立方晶系：a=b=c=a，α=β=γ=90o，V=abc=a3按倒易點陣定義：c*垂直于b、a，即c*與c同方向，同理：a*與a同方向，b*與b同方向，即α*=β*=γ*=90oa*=(bcsinα)/V=(a2sin90o)/a3=1/a，同理：b*=1/b；c*=1/c;a*=b*=c*=1/a，V=1/a3即：正點陣屬于立方晶系時，其倒易點陣也屬于立方晶系。g110g210由正點陣導出倒易點陣單斜晶系的倒易點陣.根據(6-2)式,正點陣和其對應的倒易點陣同屬一種晶系.a*=(b×c)/V=bcsin/Vb*=(c×a)/V=casin/Vc*=(a×b)/V=absin/V

得到倒易點陣陣胞的基本參數晶系參數單斜斜方六方菱方正方立方a*b*c**90o90o90o90o90o*180o-90o90o90o90o*90o90o60o90o90oVabcsinabca2ca3特征a*≠b*≠c**=*=90o≠*a*≠b*≠c**=*=*=90oa*=b*≠c**=*=90o

，*=60oa*=b*=c**=*=*≠90oa*=b*≠c**=*=*=90oa*=b*=c**=*=*=90o三斜晶系倒易點陣陣胞參數按定義計算，公式不能簡化。由倒易點陣陣胞參數特征可以看出，倒易點陣與其相應的正點陣具有相同類型的坐標系6.2晶面間距與晶面夾角公式：⑴晶面間距公式：由r*HKL=1/dHKL知：1/d2HKL=(r*HKL)2=r*HKL?

r*HKL=(Ha*+Kb*+Lc*)?(Ha*+Kb*+Lc*)=H2a*2+K2b*2+L2c*2+2HKa*?b*+2HLa*?c*+2KLb*?c*(6-5)此公式為普適公式，適用于各種晶系。立方晶系的晶面間距：立方晶系中：a*=b*=c*=1/a；α=β=γ=90o代入式(6-5)得：1/d2HKL=(H2+K2+L2)/a2或：dHKL=a/H2+K2+L2(6-6)由此看出:d2HKL不僅與點陣常數a2有關，而且反比于晶面干涉指數的平方和。⑵晶面夾角公式：兩晶面(H1K1L1)和(H2K2L2)的夾角φ可用兩晶面的法線夾角來表示，也可用兩晶面對應的倒易矢的夾角表示，即：cos

φ=r*H1K1L1?r*H2K2L2/r*H1K1L1r*H2K2L2=[H1H2a*2+K1K2b*2+L1L2c*2+K1H2b*?a*+L1H2c*?a*+H1K2a*?b*+L1K2c*?b*+H1L2a*?c*+K1L2b*?c*]/r*H1K1L1

r*H2K2L2(6-7)

式(6-7)為普適公式，通用于各晶系。對立方晶系而言，有：a*=b*=c*=1/a;α*=β*=γ*=90o又r*HKL=1/dHKL=H2+K2+L2/a,因此：cosφ=(H1H2+K1K2+L1L2)/(H12+K12+L12?H22+K22+L22)(6-8)6.3晶帶晶體中與某一晶向[uvw]平行的所有(HKL)晶面構成一條晶帶，稱為[uvw]晶帶。晶向[uvw]中過點陣坐標原點的直線稱為晶帶軸，其矢量坐標表達式為：ruvw=ua+vb+wc由于同一晶帶中各晶面的法線與晶帶軸垂直，也就是各晶面的倒易矢r*HKL與晶帶軸垂直，因此有：ruvw?r*HKL=0oxyzabc(100)(100)(001)(001)[010]立方晶系的[010]晶帶由：ruvw?r*HKL=

(ua+vb+wc)?(Ha*+Kb*+Lc*)=0

得：Hu+Kv+Lw=0(6-9)式(6-9)稱為晶帶定理，它表明了晶帶軸指數[uvw]與屬于該晶帶之晶面的晶面指數(HKL)的關系。注意：ruvw是晶帶軸[uvw]的坐標矢量，而r*HKL是晶面組(HKL)法線的坐標矢量(倒易矢)。零層倒易平面(電子衍射分析中的一個基本概念)：同一晶帶中的各(HKL)晶面都與晶帶軸[uvw]平行，因此它們的倒易矢r*HKL也都處于同一組倒易平面內(該組倒易平面與構成[uvw]晶帶的各晶面垂直，同時也與晶帶軸垂直)。過倒易坐標原點O*的倒易平面稱為零層倒易平面。[uvw]r*r*[uvw]o*倒易平面與零層倒易平面[uvw]o*H1K1L1(H1K1L1)(H2K2L2)H2K2L2已知同一晶帶倆晶面指數求晶帶軸指數：已知：[uvw]晶帶中任意兩個晶面指數(H1K1L1)和(H2K2L2)，由晶帶軸定理得：

H1u+K1v+L1w=0H2u+K2v+L2w=0兩式聯(lián)解得：u:v=(K1L2-K2L1):(L1H2-L2H1)和：v:w=(L1H2-L2H1):(H1K2-H2K1)兩式連比得：

u:v:w=(K1L2-K2L1):(L1H2-L2H1):(H1K2-H