自由曲線和自由曲面演示文稿當前1頁，總共70頁。（優(yōu)選）自由曲線和自由曲面當前2頁，總共70頁。曲線曲面的分類曲線曲面規(guī)則曲線曲面——自由曲線曲面——可以用標準方程描述的曲線曲面。如圓、橢圓、拋物線、雙曲線、漸開線、擺線、圓柱面，圓錐面，球面等無法用標準方程描述的曲線曲面，通常由一系列實測數(shù)據(jù)點確定。如汽車的外形曲線曲面、飛機的外形曲線曲面等。當前3頁，總共70頁。汽車的曲面當前4頁，總共70頁。飛機的曲面當前5頁，總共70頁。本章要點了解自由曲線的數(shù)學表達方式了解自由曲線中的一些基本術語控制點、型值點、插值點插值、逼近、光順、擬合掌握埃爾米特曲線（Hermite）、貝塞爾曲線（Bezier）、B樣條曲線的數(shù)學機理和特點當前6頁，總共70頁。7.1基本概念曲線和曲面的數(shù)學表示數(shù)學上通常用3種方式表示曲線和曲面。顯式表示隱式表示參數(shù)方程表示

在自由曲線和曲面的構造中會涉及到曲線、曲面的數(shù)學表示以及相關基本術語，了解這些基本概念將有助于深入學習和理解自由曲線和曲面的構造原理與方法。7.1.1曲線和曲面的數(shù)學表示當前7頁，總共70頁。顯式表示：平面曲線直線圓（圓心[R,0]，半徑R）空間曲線（很少有）當前8頁，總共70頁。隱式表示：平面曲線直線圓空間曲線球當前9頁，總共70頁。參數(shù)方程表示：直線（過兩點）圓當前10頁，總共70頁。參數(shù)方程表示時，曲線上一點常用位置矢量表示為：參數(shù)曲線在該點的切矢量表示為（導函數(shù)）：CAD中主要采用參數(shù)方程表示法來描述自由曲線和自由曲面。當前11頁，總共70頁。參數(shù)方程規(guī)格化處理（規(guī)范法表示）規(guī)格化的原因研究范圍：我們不可能，也沒有必要去研究的整條曲線，而往往只對其中的一部分感興趣。便于計算機數(shù)據(jù)處理：為了便于計算機數(shù)據(jù)處理，對參數(shù)變量的取值范圍進行規(guī)格化變換，使變換成閉區(qū)間內(nèi)。當前12頁，總共70頁。規(guī)格化的方法原參數(shù)方程為規(guī)格化變換

變換后參數(shù)方程為等比變換當前13頁，總共70頁。用參數(shù)方程描述自由曲線和曲面的優(yōu)勢：用參數(shù)表示的曲線形狀與坐標系的選取無關，具有幾何不變性。例如，如果通過一系列型值點擬合一條曲線或由一系列控制點（或特征點）定義一條曲線，曲線的形狀僅取決于這些點本身之間的關系，而與這些點所在的坐標系無關。當前14頁，總共70頁。參數(shù)方程將自變量與應變量分開，突出了參數(shù)變化對應變量的影響。容易實現(xiàn)各種線性變換運算（矩陣運算）。計算曲線的端點和端點導數(shù)簡單，避免了斜率無窮大的問題。便于曲線的分段描述。易于處理多值問題。參數(shù)的變化約定為[0,1]，自然規(guī)定了所研究的曲線是有界的。當前15頁，總共70頁。7.1.2基本術語點點是構造曲線和曲面的最基本的幾何元素。在曲線和曲面中常用的點有：型值點控制點（特征點）插值點當前16頁，總共70頁?？刂泣c控制點又稱為特征點，用于限定曲線和曲面的位置與形狀，相應曲線或曲面不一定經(jīng)過的點。（如：1、2、3、4點）型值點型值點用來確定曲線和曲面的位置與形狀，相應曲線或曲面一定經(jīng)過的點。（如：a、b、c、d點）控制點型值點當前17頁，總共70頁。插值點設函數(shù)在閉區(qū)間上有互異的個型值點，基于這個列表數(shù)據(jù)，尋求某個函數(shù)去逼近，使，則稱為的插值函數(shù)，為插值點?？梢钥闯?，插值函數(shù)在個插值點處與相等，而在別處就用近似地代替。此過程就叫函數(shù)插值。（給定的插值點越多，曲線擬合得越好）當前18頁，總共70頁。插值（見上面）擬合給定一組型值點，求完全通過給定的型值點序列的曲線或曲面，稱為曲線曲面的擬合當前19頁，總共70頁。逼近在曲線和曲面造型中，當型值點太多時，構造插值函數(shù)使其通過所有型值點是很困難的。因此，人們采用了一種逼近的方法。所謂逼近是指尋找一個函數(shù)，使其最佳逼近各個型值點。逼近不要求嚴格通過各型值點，但要求是對所有型值點的最佳逼近。逼近的方法很多，最常用的是最小二乘法。當前20頁，總共70頁。光順光順是指構造的曲線光滑和順暢，沒有尖點。光順的條件為：曲線曲面在連接點具有一階導數(shù)連續(xù)，即切線矢量連續(xù)二階導數(shù)連續(xù)，即曲率連續(xù)。尖點當前21頁，總共70頁。7.2自由曲線概述在曲面造型系統(tǒng)中，曲線構造是曲面構造的基礎，它構成了曲面的基本單元——曲面片的邊界。工程上把形狀比較復雜、不能用二次方程描述的曲線和曲面稱為自由曲線和自由曲面。曲面造型中最常用的一些參數(shù)曲線有：埃爾米特曲線（Hermite）貝塞爾曲線（Bezier）B樣條曲線

當前22頁，總共70頁。7.2.1埃爾米特曲線（Hermite）概述大多數(shù)CAD系統(tǒng)用三次參數(shù)曲線描述自由曲線，這是因為三次參數(shù)曲線已足以保證相連曲線的一階、二階導數(shù)連續(xù)。另外，由于高于三次的參數(shù)曲線的計算費時，且曲線上任何一點幾何信息的變化都可能導致曲線形狀發(fā)生復雜的變化，因此，工程上一般采用不高于三次的參數(shù)曲線。當前23頁，總共70頁。空間三次參數(shù)曲線方程空間三次參數(shù)曲線的矢量表示其中矢量的向量矩陣表示為

稱為曲線的系數(shù)矢量

稱為曲線上任意一點的坐標矢量

稱為曲線的系數(shù)矢量當前24頁，總共70頁?？臻g三次參數(shù)曲線的矩陣表示空間三次參數(shù)曲線的代數(shù)表示（即：任意一點的坐標值）說明：確定了上述方程組中12個系數(shù)也就唯一地確定了一條3次參數(shù)曲線的位置與形狀。

當前25頁，總共70頁。三次埃爾米特曲線方程的確定已知條件已知曲線的兩個端點（和）的位置矢量，以及兩端點的切線矢量。當前26頁，總共70頁。推導過程（）當時：當時：則有：當前27頁，總共70頁。帶入令則（矩陣表示為）調(diào)和函數(shù)（基函數(shù)）當前28頁，總共70頁。小結(jié)（三次埃爾米特曲線參數(shù)方程的表示）矢量表示矩陣表示當前29頁，總共70頁。代數(shù)表示（坐標值表示）根據(jù)上述方程可以求出三次埃爾米特曲線（Hermite）上任意一點的坐標值，即可根據(jù)坐標值繪制出該三次埃爾米特曲線。當前30頁，總共70頁。多段Hermite曲線段拼接通過給定的N個型值點，可以構造N-1條首尾相連的Hermite曲線段，每兩個型值點之間生成一條Hermite曲線段。兩段Hermite曲線連續(xù)的條件：在連接點處一階和二階連續(xù)?？偨Y(jié)三次埃爾米特曲線（Hermite）較為簡單且易于理解，但需要使用者給出兩端點處的切線矢量作為邊界條件，這一點很不方便，有時甚至難以做到。思考使用高級編程語言繪制三次埃爾米特曲線當前31頁，總共70頁。7.2.2貝塞爾曲線（Bezier）概述為了克服Hermite曲線的缺點1962年，法國雷諾汽車公司。工程師P.E.Bezier。以“逼近”為基礎的參數(shù)曲線和曲面設計方法，并完成了UNISURF曲線和曲面設計系統(tǒng)。1972年，該系統(tǒng)在雷諾汽車公司的汽車設計中正式應用。它具有里程碑式的意義，是現(xiàn)代曲面造型系統(tǒng)的基礎。能很方便地構造曲線和曲面。當前32頁，總共70頁。Bezier曲線的定義定義Bezier曲線由在曲線上的兩個端點和若干個不在曲線上但能夠決定曲線形狀的點確定，是一種以逼近為基礎的曲線。例如（以三次Bezier曲線為例）三次Bezier曲線Bezier曲線由兩個端、和不在曲線上但能控制曲線形狀的點、所組成的開口多邊形定義，稱該多邊形為特征多邊形，并稱特征多邊形上的各頂點為特征點或控制點。當前33頁，總共70頁。推廣由上圖：三次Bezier曲線由四個特征點構成的特征多邊形所確定。推廣：次Bezier曲線由個特征點構成的特征多邊形所確定。7次Bezier曲線4次Bezier曲線當前34頁，總共70頁。Bezier曲線的數(shù)學表示N階Bezier曲線的參數(shù)方程為（通式）特征多邊形個頂點的位置矢量（已知）是Bezier曲線上各點位置矢量的調(diào)和函數(shù)（Bernstein伯恩斯坦基函數(shù)）。其數(shù)學公式為當前35頁，總共70頁。Bezier曲線的代數(shù)形式其中當前36頁，總共70頁。一次、二次及三次Bezier曲線的數(shù)學表示一次Bezier曲線已知：，且有兩個控制點、當前37頁，總共70頁。矢量表示矩陣表示為可以看出，一次Bezier曲線是一次多項式，是一段通過、點的直線。時，過點。時，過點。當前38頁，總共70頁。二次Bezier曲線已知：，且有三個控制點、、當前39頁，總共70頁。矢量表示矩陣表示為可以看出，二次Bezier曲線是二次多項式，是一條拋物線。時，過點。時，過點。當前40頁，總共70頁。三次Bezier曲線已知：，且有四個控制點、、、調(diào)和函數(shù)（基函數(shù)）當前41頁，總共70頁。三次Bezier曲線參數(shù)方程的矢量表示為三次Bezier曲線參數(shù)方程的矩陣表示為當前42頁，總共70頁。三次Bezier曲線參數(shù)方程的代數(shù)表示為其中當前43頁，總共70頁。

幾種典型的三次Bezier曲線

當前44頁，總共70頁。Bezier曲線的性質(zhì)端點性質(zhì)當和時，有：說明Bezier曲線的起點和終點分別位于第一個控制點和最后一個控制點上。當前45頁，總共70頁。將Bezier曲線的參數(shù)方程求導當和時，有：這說明Bezier曲線的起點和終點的切線矢量方向與控制多邊形第一條邊和最后一條邊的走向一致。O當前46頁，總共70頁。對稱性不是形狀對稱如果保持Bezier曲線各頂點的位置不變，只把其次序顛倒過來，則新特征多邊形的頂點為（）；對應的新Bezier曲線與原Bezier曲線的形狀相同，只是曲線的走向相反。即需證明當前47頁，總共70頁。凸包性調(diào)和函數(shù)（基函數(shù)）之和為調(diào)和函數(shù)具有正數(shù)性。即這一結(jié)果說明，當區(qū)間變化時，Bezie曲線上任意一點是特征多邊形各項頂點的加權平均，這意味著Bezie曲線各點均應落在由特征多邊形各頂點所構成的凸包之中。當前48頁，總共70頁。幾何不變性Bezier曲線的形狀僅與特征多邊形各頂點的相對位置有關，而與坐標系的選擇無關。當前49頁，總共70頁。Bezier曲線的合成（拼接）（以三次Bezier曲線為例）合成方法每4個特征點（控制點）構成一段三次Bezier曲線段，前一個曲線段的終點是下一條曲線段的起點。當前50頁，總共70頁。兩曲線段在連接點一階和二階連續(xù)的條件實現(xiàn)一階連續(xù)的條件是：、()、共線，且、位于()的兩側(cè)。實現(xiàn)二階連續(xù)的充要條件是：在連接處兩曲線的密切平面重合，并且在連接處兩曲線的曲率相等。當前51頁，總共70頁。Bezier曲線的優(yōu)點和缺點優(yōu)點給定特征點的坐標值就可以繪制出Bezier曲線。缺點所生成的曲線與特征多邊形的外形相距較遠。當前52頁，總共70頁。局部控制能力弱（不具有局部可修改性），因為曲線上任意一點都是所有給定頂點值的加權平均。（改變?nèi)我庖粋€控制點的位置，整個曲線的位置都會發(fā)生變化）控制頂點數(shù)增多時，生成曲線的階數(shù)也增高控制頂點數(shù)較多時，多邊形對曲線的控制能力減弱。曲線拼接需要附加條件，不太靈活。當前53頁，總共70頁。Bezier曲線的計算實例設給定特征多邊形的4個頂點試構造一條三次Bezier曲線，并計算參數(shù)時曲線上的值。解：三次Bezier曲線的參數(shù)方程為當前54頁，總共70頁。當前55頁，總共70頁。當前56頁，總共70頁。當前57頁，總共70頁。使用高級編程語言繪制Bezier曲線思路確定Bezier曲線的階次（例如：3次）計算調(diào)和函數(shù)的表達式當前58頁，總共70頁。把Bezier曲線上的點Pi寫成分量坐標的形式確定一合適的步長，控制參數(shù)變量t從0到1變化，求出一系列(x，y，z)坐標點；將其用小直線段順序連接起來。當前59頁，總共70頁。7.2.3B樣條曲線從Bezier曲線到Ｂ樣條曲線Bezier曲線在應用中的不足缺乏靈活性：一旦確定了特征多邊形的頂點數(shù)（m個），也就決定了曲線的階次（m-1次），無法更改。控制性差：當頂點數(shù)較多時，曲線的階次將較高，特征多邊形對曲線形狀的控制將明顯減弱。不具有局部可修改性：曲線上任意一點都是所有給定特征點值的加權平均，改變?nèi)我庖粋€特征點的位置，整個曲線的位置都會發(fā)生變化。（而在外形設計中，局部修改是隨時要進行的）當前60頁，總共70頁。B樣條曲線的在應用中的優(yōu)勢為了克服Bezier曲線存在的問題，戈登（Gordon）和里森費爾德（Riesenfeld）等人拓展了Bezier曲線，從外形設計的需求出發(fā)，使新的曲線（B樣條曲線）具有：易于進行局部修改；曲線更逼近特征多邊形；是低階次曲線（曲線的階次與特征多邊形的頂點數(shù)無關）；易于拼接。方法：用n次Ｂ樣條基函數(shù)替換了Bezier曲線中的伯恩斯坦