第3章海洋中的聲傳播理論§3.1波動(dòng)方程和定解條件本講主要內(nèi)容：波動(dòng)方程和定解條件（了解）波動(dòng)聲學(xué)基礎(chǔ)（重點(diǎn)）一、聲場(chǎng)常用分析方法1、波動(dòng)理論（簡(jiǎn)正波方法）：研究聲信號(hào)的振幅和相位在聲場(chǎng)中的變化，它適用低頻，數(shù)學(xué)上復(fù)雜、物理意義不直觀的聲場(chǎng)分析方法。2、射線理論（射線聲學(xué)）：研究聲場(chǎng)中聲強(qiáng)隨射線束的變化，它是近似處理方法，且適用于高頻，但數(shù)學(xué)上簡(jiǎn)單、物理上直觀的聲場(chǎng)分析方法。二、波動(dòng)方程和定解條件在理想海水介質(zhì)中，小振幅波的運(yùn)動(dòng)方程、連續(xù)性方程和狀態(tài)方程：當(dāng)介質(zhì)密度是空間坐標(biāo)的函數(shù)時(shí)，波動(dòng)方程的形式和密度均勻介質(zhì)中波動(dòng)方程的形式有何不同?1、波動(dòng)方程引入新變量：考慮簡(jiǎn)諧波，則有：※注：不是聲場(chǎng)勢(shì)函數(shù)，K不是波數(shù)，且均為三維空間函數(shù)。在海水中，與聲速相比密度變化很小，將其視為常數(shù)，則有：如果介質(zhì)有外力作用，例如有聲源情況，則有：※注：赫姆霍茨方程是變系數(shù)偏微分方程-泛定方程。2、定解條件：滿足物理問題的具體條件。1）邊界條件：物理量在介質(zhì)邊界上必須滿足的條件。①絕對(duì)軟邊界條件：聲壓為零界面方程：界面聲壓：——第一類齊次邊界條件如果已知邊界面上的壓力分布（不平整海面），則有：——第一類非齊次邊界條件②絕對(duì)硬邊界條件：法向質(zhì)點(diǎn)振速為零界面方程：界面振速：——第二類齊次邊界條件如果已知邊界面上的質(zhì)點(diǎn)振速分布（不平整海底），則有：——第二類非齊次邊界條件③混合邊界條件：壓力和振速線性組合——若a為常數(shù)，則為第三類邊界條件若，則為阻抗邊界條件：※注意負(fù)號(hào)的物理含義④邊界上密度或聲速有限間斷邊界上壓力和法向質(zhì)點(diǎn)振速連續(xù)：若壓力不連續(xù)，質(zhì)量加速度趨于無窮：若法向振速不連續(xù)，邊界上介質(zhì)“真空”或“聚集”?！ⅲ哼吔鐥l件限制波動(dòng)方程一般解（通解）在邊界上取值。2）輻射條件：無窮遠(yuǎn)處沒有聲源存在時(shí)，其聲場(chǎng)應(yīng)具有擴(kuò)散波的性質(zhì)。①平面波情況②柱面波情況③球面波情況——也稱為索末菲爾德（Sommerfeld）條件。3）奇性條件對(duì)于聲源輻射的球面波，在聲源處存在奇異點(diǎn)，即r→0p→∞不滿足波動(dòng)方程；如果引入狄拉克函數(shù)，它滿足非齊次波動(dòng)方程狄拉克函數(shù)的定義4）初始條件當(dāng)求遠(yuǎn)離初始時(shí)刻的穩(wěn)態(tài)解，可不考慮初始條件。3、定解條件總結(jié)§3.2波動(dòng)聲學(xué)基礎(chǔ)—求解滿足定解條件的波動(dòng)方程的解一、硬底均勻淺海聲場(chǎng)：上層為均勻水層，下層為硬質(zhì)均勻海底，海面和海底均平整。波導(dǎo)模型圖中：聲源：點(diǎn)源r0（0，Z0）水深：H聲速：C01、簡(jiǎn)正波由于聲場(chǎng)的圓柱對(duì)稱性，水層中勝場(chǎng)滿族柱坐標(biāo)系下的波動(dòng)方程：即：應(yīng)用分離變量法，令：經(jīng)分離變量：由方程①得本征函數(shù)通解：由方程②得由自由海面：硬質(zhì)海底：根據(jù)Zn（z）正交歸一化條件：方程②的解其水平波數(shù)聲場(chǎng)中的聲壓：在遠(yuǎn)場(chǎng)，根據(jù)漢克爾函數(shù)近似表達(dá)式：n階簡(jiǎn)正波表達(dá)式：每階簡(jiǎn)正波沿深度z方向作駐波分布、沿水平r方向傳播的波；不同階數(shù)的簡(jiǎn)正波其駐波的分布形式不同。不同階簡(jiǎn)正波的分布※注意：級(jí)數(shù)求和的數(shù)目與聲波的頻率和層中參數(shù)有關(guān)總結(jié)：通過本講學(xué)習(xí)，掌握波動(dòng)方程的邊界條件和定解條件，以及波動(dòng)方程的解的組成和意義；掌握均勻硬底淺海聲場(chǎng)的聲波方程及其解。習(xí)題：水平分層介質(zhì)中的“程函方程”表示如何？試畫出幾條典型聲線軌跡圖。

§3.2波動(dòng)聲學(xué)基礎(chǔ)—求解滿足定解條件的波動(dòng)方程的解本講主要內(nèi)容硬底均勻淺海聲場(chǎng)（重點(diǎn)）液態(tài)海底均勻淺海聲場(chǎng)（初步了解）一、硬底均勻淺海聲場(chǎng)：上層為均勻水層，下層為硬質(zhì)均勻海底，海面和海底均平整2、截止頻率簡(jiǎn)正波水平波數(shù)：階數(shù)最大取值:結(jié)論：當(dāng)簡(jiǎn)正波階數(shù)n＞N時(shí)，為虛數(shù)，此時(shí)簡(jiǎn)正波隨距離增大指數(shù)衰減。解釋：結(jié)果：遠(yuǎn)場(chǎng)，聲場(chǎng)可以表示成有限項(xiàng)和：臨界頻率：最高階非衰減簡(jiǎn)正波的傳播頻率※注意：當(dāng)聲源激發(fā)頻率時(shí)，波導(dǎo)中不存在第N階及以上各階簡(jiǎn)正波的傳播。截止頻率：簡(jiǎn)正波在波導(dǎo)中無衰減傳播的最低臨界頻率：※注意：當(dāng)聲源頻率時(shí)，所有各階簡(jiǎn)正波均隨距離按指數(shù)衰減，遠(yuǎn)場(chǎng)聲壓接近零?！Y(jié)論：對(duì)于上下界面均為絕對(duì)硬界面的平面波導(dǎo)，最低階簡(jiǎn)正波為零階簡(jiǎn)正波，截止頻率為零，任何頻率的聲波均能在波導(dǎo)中傳播；若聲波頻率小于一階簡(jiǎn)正波的截止頻率，則波導(dǎo)中只有均勻平面波一種行波3、相速和群速1）相速：等相位面的傳播速度等相位面：說明：淺海水層屬于頻散介質(zhì)。2）群速度：波形包絡(luò)的傳播速度相速和群速與聲波頻率的關(guān)系相速與群速的區(qū)別：簡(jiǎn)正波的群速小于相速Cpn隨增加而減小Cgn隨增加而增加Cpn和Cgn滿足4、第n階簡(jiǎn)正波分解簡(jiǎn)正波Pn在z方向上是由兩個(gè)波迭加而形成的駐波，兩平面波與z軸夾角：3、傳播損失（假設(shè)單位距離處聲壓振幅為1）當(dāng)和均為實(shí)數(shù)時(shí)，上式等于式中：第二項(xiàng)的大小依賴于各階簡(jiǎn)正波相位之間的相關(guān)程度，隨距離作起伏變化；而第一求和項(xiàng)與簡(jiǎn)正波相位無關(guān)，隨距離單調(diào)減小說明：聲強(qiáng)隨距離增加作起伏下降，呈現(xiàn)干涉曲線當(dāng)層中聲傳播條件充分不均勻，簡(jiǎn)正波之間相位無關(guān)，則：硬質(zhì)海底的淺海聲場(chǎng)傳播損失：※注意：該式為簡(jiǎn)正波相位無規(guī)假設(shè)下的聲傳播損失假設(shè)聲源和接收器遠(yuǎn)離海面和海底、在0和1之間隨機(jī)取值，對(duì)深度取平均，有因此有：如果波導(dǎo)中簡(jiǎn)正波個(gè)數(shù)較多，則傳播損失為：TL隨聲波掠射角的變化式中，為臨界掠射角。硬質(zhì)海底非絕對(duì)硬海底、，掠射角的聲波受到海底全反射，的聲波經(jīng)海底反射很快衰減。它的傳播損失大于硬質(zhì)海底的TL值。TL隨聲源（接收點(diǎn)）位置的變化：聲源（接收點(diǎn)）位于海面附近，TL變大。聲源（接收點(diǎn)）位于海底附近，TL變小。原因：主要是取值概率變化，使其平均值不等于1/2。1）靠近海面，小于1/22）靠近海底，大于1/2二、液態(tài)海底均勻淺海聲場(chǎng)波導(dǎo)模型液態(tài)海底均勻淺海聲場(chǎng)的解為：在液態(tài)下半空間（Z>H）中，振幅沿深度按指數(shù)規(guī)律衰減，頻率越高，振幅衰減越快。高頻聲波在界面發(fā)生全反射時(shí)，能量幾乎全被反射回水層中，波的能量幾乎被限制在層內(nèi)傳播。1、簡(jiǎn)正波1）臨界頻率說明：根據(jù)臨界頻率，可以反演海底介質(zhì)的聲速。2）截止頻率3）傳播損失海底的全內(nèi)反射臨界掠射角為，有傳播損失近似公式：對(duì)于某階簡(jiǎn)正波，在層內(nèi)聲壓振幅沿z作正弦分布為：在底層內(nèi)，聲壓振幅隨深度指數(shù)分布為總結(jié)：通過本講學(xué)習(xí)，掌握均勻硬底淺海聲場(chǎng)的頻率特性和傳播損失。思考題：聲波頻率越低，吸收越小，在波導(dǎo)中傳播距離越遠(yuǎn)，但在淺海波導(dǎo)中，并非頻率越低越好，如何解釋？§3.3射線聲學(xué)基礎(chǔ)本講主要內(nèi)容射線聲學(xué)的基本方程（重點(diǎn)、難點(diǎn)）射線理論的應(yīng)用條件（重點(diǎn)、難點(diǎn)）射線聲學(xué)：將聲波傳播視為一束無數(shù)條垂直等相位面的射線傳播。聲線：與等相位面垂直的射線。①射線途經(jīng)的距離代表聲波傳播的距離；②聲線經(jīng)歷的時(shí)間代表聲波傳播的時(shí)間；③聲線束攜帶的能量代表聲波傳播的聲能量；④射線聲學(xué)為波動(dòng)方程的近似解。沿任意方向傳播的平面波可寫為：矢量方向可用其方向余弦表示：均勻介質(zhì)平面波：聲線相互平行，互不相交，聲波振幅處處相等均勻介質(zhì)球面波：聲線是由點(diǎn)源沿外徑方向放射的聲線束，互不相交，等相位面（波陣面）為同心球面，聲波振幅隨距離衰減。非均勻介質(zhì)球面波：聲線方向因位置變化而變化，聲線束是由點(diǎn)源向外放射的曲線束組成，等相位面（波陣面）不再是同心球面。一、射線聲學(xué)的基本方程1、波動(dòng)方程：形式解可寫成為：程函概念：將形式解代入波動(dòng)方程：總結(jié)：程函方程：強(qiáng)度方程：（1）程函方程的不同表示形式：假設(shè)聲線方向?yàn)?，其單位矢量，其方向就是方向，則：有程函方程及上式可得★第（1）種表示式：矢量形式：標(biāo)量形式：★第（2）種表示式：聲線的方向余弦的物理含義：聲線的方向余弦：★第（3）種表示式：矢量形式：應(yīng)用舉例：1）聲速C為常數(shù)，由程函方程第（3）種表示形式得：結(jié)論：聲速為常數(shù)時(shí)，聲線為直線。2）聲速C=C(Z)，由程函方程第（3）中表示得：?jiǎn)栴}：意味著什么？3）假設(shè)起始值，，則比值沿聲線各處永遠(yuǎn)不變，即折射定律或Snell定律由，可得曲率半徑（非常重要?。?）聲線彎曲討論正聲速梯度：，負(fù)聲速梯度結(jié)論：聲線總是彎向聲速小的方向。求解程函的顯式假設(shè)，，令程函根據(jù)程函第（1）種表示式有：因此根據(jù)Snell定律：程函：（2）強(qiáng)度方程意義根據(jù)聲強(qiáng)的定義，采用聲壓的復(fù)數(shù)表示，則聲強(qiáng)為：為簡(jiǎn)單計(jì)，只考慮分量Ix，它正比于在高頻或聲壓振幅隨距離相對(duì)變化甚小的情況下有：結(jié)論：封閉面S選沿聲線管束的側(cè)面和管束兩端的橫截面S1和S2由于聲強(qiáng)沿側(cè)面的面積分為零，則：因此有：即：結(jié)論：聲能沿聲線管束傳播，端面大，聲能分散，聲強(qiáng)值減?。欢嗣嫘?，聲能集中，聲強(qiáng)值增加，因而聲強(qiáng)I與面積S成反比；管束內(nèi)的聲能不會(huì)通過側(cè)面向外擴(kuò)散。由聲源的輻射聲功率來確定。設(shè)聲源單位立體角的輻射聲功率為W，則聲強(qiáng)等于：假設(shè)聲源是軸對(duì)稱的，考慮在掠射角到所夾立體角內(nèi)的聲線管束。如果不計(jì)入常數(shù)因子，聲壓振幅：平面問題的射線聲場(chǎng)表示式：條件之一：程函方程的導(dǎo)出條件條件之二：強(qiáng)度方程中的和具有相同數(shù)量級(jí)應(yīng)用條件的物理含義：在聲波波長(zhǎng)的距離上，聲波振幅的相對(duì)變化量遠(yuǎn)小于1。說明射線聲學(xué)只能應(yīng)用于聲波聲強(qiáng)沒有發(fā)生太大變化的部分。如在波束邊緣、聲影區(qū)（聲線不能到達(dá)的區(qū)域）和焦散區(qū)（聲能會(huì)聚區(qū)域），射線聲學(xué)不成立。在聲波波長(zhǎng)的距離上，聲速相對(duì)變化遠(yuǎn)小于1。說明射線聲學(xué)只能適用于聲速變化緩慢的介質(zhì)。如在聲速躍變層，射線聲學(xué)不成立。結(jié)論：射線聲學(xué)是波動(dòng)聲學(xué)的高頻近似，適用于高頻條件和弱不均勻介質(zhì)（介質(zhì)不均勻性緩慢變化）情況?？偨Y(jié)：通過本講學(xué)習(xí)，掌握射線聲學(xué)理論、聲線的傳播規(guī)律以及射線聲學(xué)的應(yīng)用。作業(yè)：說明射線聲學(xué)的基本方程、適用條件及其局限性，并說明球面波和柱面波傳播時(shí)聲線的傳播方向。海水中聲速值從海面的1500m/s均勻減小到100m深處的1450m/s。求（1）速度梯度；（2）使海表面的水平聲線達(dá)到100m深處時(shí)所需要的水平距離；（3）上述聲線到達(dá)100m深處時(shí)的角度。聚集因子F是如何定義的，它有什么物理意義？舉出二個(gè)F>1的場(chǎng)合?！?.4分層介質(zhì)中的射線聲學(xué)本講主要內(nèi)容Snell折射定律和聲線彎曲（重點(diǎn)、難點(diǎn)）聲線軌跡（重點(diǎn)、難點(diǎn)）聲線傳播時(shí)間（重點(diǎn)、難點(diǎn)）線性分層介質(zhì)中的聲線圖（重點(diǎn)）聲強(qiáng)度（重點(diǎn)）聚焦因子（了解）波動(dòng)理論與射線理論的比較（掌握）一、Snell折射定律和聲線彎曲1、折射定律注：對(duì)于某條聲線，它是常數(shù)，不同的聲線，其常數(shù)不一定相同。2、聲線彎曲負(fù)梯度下聲線彎曲正梯度下聲線彎曲幾何意義：聲線總是向聲速減小的方向彎曲。應(yīng)用：聲線相關(guān)參數(shù)的求解：1）聲線曲率半徑；2）聲線軌跡方程；3）聲線傳播距離；4）聲線傳播時(shí)間二、聲線軌跡1、聲線軌跡方程聲速分布：相對(duì)梯度：絕對(duì)梯度：聲速剖面曲率半徑①聲線在海面處以掠射角出射，聲線的軌跡方程：②聲線在海面處以任意掠射角出射，聲線的軌跡方程：聲線水平傳播距離①任意聲速分布下聲線經(jīng)過的水平距離：xzOxzOzzxz注意：反轉(zhuǎn)點(diǎn)處的掠射角為零?、郛?dāng)梯度為恒定值時(shí)，聲線軌跡為圓弧，則水平距離：通常情況下已知的是聲線經(jīng)過的垂直距離，因此：④水平距離的另一種形式為：總結(jié)：①式為求聲線水平傳播距離的基本公式②式為經(jīng)反轉(zhuǎn)后聲線水平傳播距離的求解公式③式為恒定梯度下求聲線水平傳播距離的公式④式為恒定梯度下求聲線水平傳播距離的又一形式當(dāng)聲線經(jīng)過反轉(zhuǎn)點(diǎn)z1時(shí)，水平傳播距離公式③可寫為：聲線傳播時(shí)間傳播時(shí)間最基本表達(dá)式①：根據(jù)Snell定律，傳播時(shí)間的一般計(jì)算式②：當(dāng)聲速梯度為恒定值時(shí)，根據(jù)Snell定律有：傳播時(shí)間的另一種表達(dá)式③：①式為求傳播時(shí)間的基本公式②式是對(duì)深度進(jìn)行積分的求解公式③式是對(duì)掠射角進(jìn)行積分的求解公式四、線性分層介質(zhì)中的聲線圖1、線性聲速分層近似下的聲線圖各水平層的傳播距離：2、聲線總傳播距離：說明：根據(jù)和可以描繪聲線軌跡，它是不同曲率圓弧的組合。3、四種不同類型聲速分布下的聲線軌跡五、聲強(qiáng)度1、射線聲學(xué)計(jì)算聲強(qiáng)的基本公式：2、此時(shí)需計(jì)算