第三章

微分中值定理與導數(shù)的應用

習題3-微分中值定理

值1.驗證羅爾定理對函數(shù)V=Insinx在區(qū)間［專.旬上的正確性.

證函數(shù)/⑺=lnsinx在隋，鋁上連續(xù),在信用內可導，又

Ai)=lnsi"f=>"y.AT)=,nsinT=lnT*

即L=4>)，故/(為在［/引上滿足羅爾定理條件，由羅爾定理知至少存在

一點?).(</'(《)=0.又/(x)=?=col令/(x)=0得x=nk+3

\oo/sinx2

In=0.±1.±2.…).取n=0,得f=1eC.因此羅爾定理對函數(shù)y=Insin*在

區(qū)間［*.言］L是正確的.

Ea2.驗證拉格朗日中值定理時函數(shù)>=4/-5/+X-2在區(qū)間［0,1］上的正確性.

證函數(shù)/(*)=4/-5/+工-2在區(qū)間10,1】上連續(xù)，在(0,1)內可導，故/(*)

在P.1上滿足拉格朗日中值定理條件,從而至少存在一點fw(0.1),使

/?)

又,由/'(f)=12f2-10f+1=0可知f='±［"3e(0」),因此拉格朗日中值定理對

函數(shù)>=4/-5/+x-2在區(qū)間［0,1j上是正確的.

值3.對函數(shù)/(工)=sir>x及F(x)=x+cosx在區(qū)間［0上驗證柯西中值定理的正

確性.

證函數(shù)/(*)=sinx,F(x)=x+cosx在區(qū)叫(),日上連續(xù)，在(0,朗內可導，

且在(0,"內產(chǎn)(x)=I-sin工#0,故/(x)、F(x)滿足柯西中值定理條件，從而至

少存在一點門(0,引,使

88一、《高等數(shù)學》(第七版)上冊習題全解

《亍)-/(0)_/,(6)

F0-F(0)

由

I-0_cosf

IT.1-sing,

T-1

cosy+sin彳a&_4_

即------------=三;，可得tan彳=----.所以.￡=2nir+2arctan------.ill題設，

cos與-sin與221r宣

取〃=0,得品=2arclan---因故品=2arclan(---je(°，：)?因

此?柯西中值定理對/(x)=sinx,F(x)=.t+cosi在區(qū)間［0.；］I：是正確的.

a4.試證明對函數(shù)尸px2+的+「應用拉格朗口中值定理時所求得的點f總是位于區(qū)

間的正中間.

證任取數(shù)值〃》,不妨設“<鼠函數(shù)/(')=p”+"+r在區(qū)間］明從上連續(xù).

在(a5)內可導.故由拉格朗H中值定理知至少存在?點fw(明人，使

/(〃)-/(?)

即pM+qb+r-pa?-qa-r=(2吒+q)(b-a).經(jīng)整理得f=與發(fā).即所求得的f總

是位于區(qū)間的正中間.

值5.不用求出函數(shù)/(x)=(x-I)(x-2)(、-3)(x-4)的導數(shù),說明方

程/?'(#)=0有幾個實根，并指出它們所在的區(qū)間.

解函數(shù)/(4)分別在［1.2］」2在］,［3,4］上連續(xù)，分別在(1.2).(2,3).(3.4)

內可導?且/⑴=〃2)=/(3)=/(4)=0,由羅爾定理知至少存在占￡(1?2)&￡(2.3).

?￡(3,4).使

/'(fl)=/'(&)=/'(/)=。?

即方程/'(X)=0至少有三個實根,乂方程/'(X)=0為三次方程.故它至多疔.個實銀,因

此方程/'(，)=0有且僅有三個實根，它們分別位于區(qū)間(1,2).(2.3),(3.4)內.

團6.證明恒等式：arcsinx+ar<-<-osx=：(-IWKWI).

證取函數(shù)/(4)=arcsinx+arccosx,.ve［-I.I.14

故/(4)mC.取，=。，得/(。)=C=］.因此

第三章微分中值定理與導數(shù)的應用89

arcsinx+arccosx=—,xe[-1,1].

tii7.若方程+a/"-'+???+a?.jX=0右一個正根x=*(>,證明方程aonx"~'+a!

(0-l)x"T+…+a“_|=0必有一個小于X。的正根.

1

證取函數(shù)/(x)=aox"+UjX"-+…+a”_產(chǎn)./(x)在[(),%]上連續(xù),在(0,x())

內可導，且/(0)=/(沏)=0,由羅爾定理知至少存在一點￡e(0,如)，使/'(，)=0,即

2

方程aon***'+<i1(n-I)x"+…+a._?=0必有一個小于％的正根.

值8.若函數(shù)/(X)在(a.6)內具有二階導數(shù).且/(A)=/(x2)=/(打)，其中

a<*1<*2<盯<b.證明:在(X|,巧)內至少有一點人使得/"(§)=0.

證根據(jù)題意知函數(shù)/(#)在函1,出],[X2#3〕上連續(xù)，在(航，叼)，(*2，叼)內可

存且/(A)=/(X,)=/(Xj)，故由羅爾定理知至少存在點-e("2)益e(*2),使

/'(G=/'(&)=o.

乂/'(x)在卻上連續(xù).在(A,&)內可導.故由羅爾定理知至少存在點

f6(卻.八)<=(町，打)使/"")=0.

29.設a>/，>0,">I,證明：

<?"-6"-6).

證取函數(shù)/(x)=工"./(X)在M.a上連續(xù).在()內可導.111拉格朗日中值

定理知,至少存在一點fe(鼠a),使

f(a)-/(*)

即a"-6"=nf"*1(a-h).乂0<>1.故

0<A"-1<f"-'

因此

nb"-'(a-b)<n^"-'(a-6)<na"-'(a-h),

即nt"-'(a-6)<a"-fc"<nan(a-h).

&10設a>6>0.證明:

證取函數(shù)/(x)=lnxj(z)在",“］上連續(xù)，在(6,a)內可導，由拉格朗日中值

定理知，至少存在一點fw(6,a),使

即Ina-Inb='-(?-b).乂故因此

C?fl>

a-l>a-ba-b

-------<-z<~~：-一,

證明F列不等式:

90一、《高等數(shù)學》(第七版)上冊習題全解

(1)Iarrlana-arctan/>IIa-61；

(2)當4>1時.<?>e-x.

證(1)當。二分時，顯然成立.當aW6時，取函數(shù)/(x):arclanx./(x)在a,6

或［6,〃］上連續(xù)，在(a,〃)或(b,a)內可導，由拉格朗日中值定理知，至少存在一點

fe(a.b)或(6,a),使

/(?)>/(6)=/'(5)("-6),

即airtana-arctanb=-~~(a-6).故

Iarctana-arctanbI=------1a-blWIa-bl.

1+，2

(2)取函數(shù)/(，)=/./(，)在［1,工)上連續(xù).在(1.x)內可導.由拉格朗H中值定

理知，至少存在一點fe(1.*),使

/(x)-/(I)=/'(f)(x-l).

即e*-e=e，(:r-l).又.1<￡<*,故e，>e.因此

e*-e>e(x-1),

即/>刀?e.

Si12.證明方程*s+x-l=0只有一個正根.

證取函數(shù)/(*)=/+X-1JU)在［0,1］上連續(xù)，

/(0)=-I<0,/(I)=1>0.

由零點定理知,至少存在點盯e(0,1).使/")=0.即方程.一+.r-I=0在(0.1)內

至少有一個正根.

若方程X'+X-I=0還仃一個正根*2,即/(*2)=0,則由/(X)=V5+?-I在

01,*2卜或［盯山］)上連續(xù),在(A,*2)(或(打間))內可導.知/(*)滿足羅爾定理

條件.故至少存在點fe(工|/2)(或(打，,))，使

/'⑷=0.

但/，")=5尸+1>0,矛盾.因此方程/+X-1=0只有一個正根.

國13.設/(*)*(*)在［".6］上連續(xù)，在(a.b)內可導.證明在(*6)內有一點「使

/(")/(〃)、/(。)Z,(f)

=(ZJb-a).

?(")g(b)g(a)?'(f)

證取函數(shù)F(x)="",由/(x),g(x)在［〃,川上連續(xù).在(。J)內

g(a)g(x)

可導知F(i)在［。㈤上連續(xù)，在(。5)內可導，由拉格朗日中值定理知,至少存在一

點C("5).使F(6)-F(fl)=r(f)(6-a).BP

/(?)f(b)/(?)/(")

尸⑷==0.

g(?)g(b)號(=)g(。)

o/(x)/(?)/'(x)_/(a)/'(A)

r(x)

()A(.c)g(a)K'(X)?(")*'(X)

第三章微分中值定理與導數(shù)的應用91

故

/(a)f(b)f(a)/'(f),,、

g(a)g(b)g(a)禺'")

值14.證明：若函數(shù)/(x)在(-8,+8)內滿足關系式/'(*)=/(%),且/(0)=1,則

f(x)=eM.

證取函數(shù)F(x)=3,因

e

/⑺_/'(，)/-/(x)e*-f(x)=0

故F(x)=C.又廣(0)=C=/(0)=1,因此尸(x)=11.故/(x)=e*.

值75.設函數(shù))=/(、)在x=0的某鄰域內具有〃階導數(shù)，且/(0)=/r(0);…

/"一)(())=0.試用柯西中值定理證明：

X

證已知/(X)在*=0的某鄰域內具有n階導數(shù)，在該鄰域內任取點x,由柯西

中值定理得

/(x)/(x)-/(0)(如)

丁一x"-0""'唱一

其中占介于0.工之間.乂

/'(一)/"(后)

喈丁'-n(f；*'"n(n-Df；'2'

其中分介于(),卻之間.依此類推.得

"一”工…)尸7(品"

n!f.-l-?!(f.-i-0)""!

其中品介于0t之間，記2=M0<"I),因此

&1用洛必達法則求卜列極限：

(4)

92一、《高等數(shù)學》（第七版）上冊習題全解

..Insinxr—n

hm------------------T;(6)lim:---------------(?#0)；

2

TT-2x)?"xn-an

Intan7xtanx

(7)物而m(8)lim

tan3x

??arccotx

(II)limxcol2x；

i?0

(15)limx*in*；

sin3x..3cos3x3

(4)limr=hm--------------=-—

??,Ian5x???5sec*5x5

Insinx

(5)lim-=-lim、.

,T(ir-2x)IT-2x)?(-2).q4(“-2x)

-escx

-8

mm

x..mx

(6)lim——=hm--------

?-nxn

-------—?sec'lx-7

lunlxsec~7a7

(7)hm-------：---------------

———secfc2.r-2

Ian2x

2xsec27x7,

=Inn—?；—,—=1.

?-o7.rsec*2x2

22

..tanxs?rccv.Arcos3A-6ros3xsin3.v

lim--------hm--------------=bin、=hm

，.泮n3x…x3se<53x.."Jcos"x.-Orosxsinx

..cos3x-3sin3x,

=-Inn------------=-hm----------；--------=3.

cosx一乜-smx

94一、《高等數(shù)學》（第七版）上冊習題全解

注在用洛必達法則求極限時,除了注意用洛必達法則對極限類型等的要求以

外，還要注意求極限的過程中合理地應用歡要極限、等價無窮小、初等變換等方法.

以使運算過程更快捷、簡潔.

E2.驗證極限lim上口存在.但不能用洛必達法則得出.

?X

證由于lim"；叱=lim"：絲■，不存在.故不能使用洛必達法則來求此極

限,但并不表明此極限不存在.此極限可用以下方法求得：

Hl3.驗證極限linv.-土存在,但不能用洛必達法則得出.

??<>sinx

I.*\c?I?

Ix'sm——IZxsm-------cos——

證由于limg=lim------------------------L不存在.故不能使用洛必達法則

??o(sinx)cosx

來求此極限,但可用以下方法求此極限：

2-1

xsin—

lim——；-----=liinf-7^—,xsin\=lim-；X-,limxsin—=I*0=0.

…0sinx?\sinxx］isinx1x

圖?4.討論函數(shù)

Ie—,xWO

在點x=0處的連續(xù)性.

r(|,呷［三二］

解lim/-(.t)=lim_—=e

>-.0x…ej

而

第三章微分中值定理與導數(shù)的應用95

=lim-r77^----r=-，

?句2(1+4)2

故

又

limx)=lime-f=c'T?/(0)=e"7.

t-0??-?0,

因為［電/(*)=［中/(x)=/(0),故函數(shù)/(x)在x=0處連續(xù).

泰勒公式

按(x-4)的幕展開多項式/(外=/-5/+/-3….

解因為

/'(X)=4/-15/+2x=12/-30x+2,

J'"(x)=24X-30,/4,(X)=24./">(1)=0(n>5).

/(4)=-56./'(4)=21J"(4)=74,(4)=66./4,(4)=24.

故

x4-5x3+x:-3x+4

，(J4)(一

=/(4)+/4)(x-4)-CL±LX_2+^yp(x-4)+尸：；4)

+(4)

=-56+21(X-4)+37(X-4)2+11(X-4)3+(X-4)\

22.應用麥克勞林公式，按X的器展開函數(shù)/(%)=(/-3#+l)3.

解f(x)=x6-9/+30/-45/+30/-9x+1,/(0)=1,

5

/'(*)=6x-45/+120/-135/+60*_9//(0)=-9,

f"(x)=30/-l80xJ+360/-270*+60./"(0)=60,

f(x)=120/-540/+720X-270,/"(?)=-270.

/4,(x)=360/-)080x+720,/4,(0)=720,

/5,(x)=720x-I080./51(0)=-I080,

/6,(x)=720./6,(0)=720,

/n,(x)=0("27),

故

（x2-3M+1）,

=/（0）+/"），+等2+攀;娛，+竽/+瞥J

=1-9x+30/-45/+30J-9/+x6.

為3.求函數(shù)/（工）=〃按（x-4）的解展開的帶行拉格朗H余項的3階泰勒公式.

一、《高等數(shù)學》(第七版)上冊習題全解

解因為/(X)=6/'(4)4?、，(兀)=:N七

248

/4,(x)=_摻/7(4)=2,/'(4)=；./-(4)=_1廣(4)=裊

10432ZJO

故

4=/(4)+((4)(M-4)+管(*-4/+,學(工-4/+^1^(x-4)4

2315

=2+4-(X-4)-±(X-4)+-1Z(X-4)(x-4)

404312384f7?

其中f介于無與4之間.

普4.求函數(shù)/(#)=lnx按(x-2)的藏展開的帶右佩亞諾余項的n階泰勒公式.

解因為

.七)=(一)?,?二.⑵二㈢守3.

故

2

Inx=/(2)+/'(2)(x-2)+￡^(,-2)+^P*(x-2)3+…+

經(jīng)”(x-2)”+o[(x-2)-]

幾！

23

=ln2+^-(x-2)-±(X-2)+^(X-2)+-+

(-l)*-1-(x-2)?+o[(x-2)"].

n?2"

&5求函數(shù)/(x)=■!-按(x+1)的居展開的帶有拉格朗H余項的n階泰勒公式.

X

解因為

故

-=/(-1)+/'(-1)(—1)++/'\])(一1尸+…+

x2!3!

尸)(])“+a-

nJ(n+1)!

=-[]+(-])+(-1)2…)(-i)z

其中f介于“與-I之間.

26.求函數(shù)/(1)=lan]的帶右做亞諾余項的3階麥克勞林公式.

解因為

/(x)=tanx,f'(x)=sec2.t,/**(x)=2sec2.vtanx.

第三章微分中值定理與導數(shù)的應用97

/**(x)=4sec2xtan2x+2sec4x,

/4)(x)=8srr".ilan3x+8sec4xtanx+8se<?4xtanx

-8sec2.rtan3.r+!6sec4xtanx

8(sin2x+2)sinx

二COS5X，

/(0)=0/(0)="(0)=0/(0)=2,

J

故/(x)+—+o(x3).

47.求函數(shù)/(*)=*/的帶右佩比諾余項的〃階麥克勞林公式.

解因為/(')=趾"/")(')=(〃+工)/(見習題2-3,11(4))，")(0)=：〃,故

xe*=/(0)+/，(0)x+#(0)/+…+#)(0)/+。(”)

28.驗證當OvxW!時.按公式e，=l+x+《+!計算e”的近似值時，所產(chǎn)生的誤

LLo

差小于0.01,并求，的近似值,使誤差小于0.01.

證設/(*)=e*,則，”(0)=1,故/(x)=e"的三階麥克勞林公式為

e*=l+x+蘇+,+方,其中《介于0與x之間.按e，=1+x+》+1計算十的

近似值時.其誤差為

"(x)l=*/.

4!

當0<彳這~^~時.0<f,I&(#)IW丁!(；)85so.0045<0.01,

^,+T+T(T)+T(T)，e!!L645-

&9.應用三階泰勒公式求卜列各數(shù)的近似值，并估計誤差：

(1)溝；(2)sin18°.

解(】)因為

/(X)=力+4=(1+X)工

?T(T-')2-A)(卜2)

32!3!

一、《高等數(shù)學》(第七版)上冊習題全解

其中f介于。與X之間.故

沏=萬。=3jlTg3[1+}.9TH2+*(")'卜3.10724.

誤差

《介于0與9之間，即0<f4,因此

1?31=[渭7T1=1.88x10-，.

3sin(g+^-F)

(2)已知sin->&(*)='5「"W介于。與舌之間，故

sin18」咤飛-昂司=0.3090.

舊小圍；2.55x109

sin/f+—IT）

注利用?。▁）='4!卜可得誤差1%1士士信

I.3x10-4.

10.利用泰勒公式求下列極限:

(1)Hm()/+3/-/，-2-)；

解（1）lim（萬+3---2/）

第三章微分中值定理與導數(shù)的應用99

(2)lim.

+ln(l-x)]

/X42

+o(x4)

?，)-"~2~2

=linr

1-0

x4+o(x4)12+-7

4!8-111

=lim

i0T

y*4+。(“4)_L。(/)

2X42

1+-yX27、+/

(3)lim

t1211

1+TX1+~2X

lim

1-X>I

1-yx2+o(x2)-1-x2+o(x2)l[x2+o(x2)]

&1判定函數(shù)/(x)=arctanx-x的單調性.

解/'(，)=丁‘三-1=-7JwO且/'(x)=0僅在，=0時成立.因此函數(shù)

I+YI+4”

/(x)=arctanx7在(-oo,+8)內唯訓|減少.

&2.判定函數(shù)/(I)=4+C<)84的單調性.

100一、《高等數(shù)學》(第七版)上冊習題全解

解/'(4)=1-sinxNO,且當4=2mr+y-(n=0,±1.±2,…)時,/'(x)=0.nf

以看出在(-8,+8)的任?有限子區(qū)間上，使/'(x)=0的點只有有限個.因此函

數(shù)八X)=4+COSX在(-8,+8)內單調增加.

&3.確定下列函數(shù)的單調區(qū)間：

Q

(1)y=2/-6x2-18*-7；)=2x+—(x>0)；

(2yX

(4)y=ln(x+/1+r

(5)y=(x-l)(x+l)3；(6)y=/(2x-a)(a-x)2(a>0)；

(7)y=x"e',(〃>0,xN0)；(8)y=x+Isin2x1.

解(1)函數(shù)的定義域為(-8,+8),在(-8.+8)內可林，且

y*=6x~-12x-18=6(.r-3)(.r+l).

令>'=0.得駐點X,=-1,叼=3.這兩個駐點把(-8,+8)分成三個部分區(qū)間

(-8,-]]<-1,3]」3,+8).

當-8<X<-1及3<X<+8時因此函數(shù)在(-X.-I'.3,+8)上

單調增加；當-I<工<3時，<0.因此函數(shù)在[-1,3上單調減少.

(2)函數(shù)的定義域為(0,+8),在(0,+8)內可導.且

芻2.?-82(x-2)(.14-2)

令y'=0.得駐點勺=-2(舍去)..=2.它把(0.+8)分成兩個部分區(qū)間(0.2],

[2.+8).

當0<x<2時，>'<0,因此函數(shù)在(0.2]上單調減少：當2<]<+8時./>0.因

此函數(shù)在[2,+8)上單調增加.

(3)函數(shù)除*=0外處處可導,且

(4.F-91+6.*尸

令>'=0,得駐點A=9,2=1.這兩個駐點把區(qū)間(-8.0)及(0.+8)分成四個

部分區(qū)間(-8.0),(0.y].[y.l],[l,+x).

當-8<X<0.0<X<-^-,l<X<+8時.,，<0.因此函數(shù)在(-8.0).(O.g].

[1,+8)內單調戒少；:<X<1時,、’>0,因此南敢住[\上單閥增加.

(4)函數(shù)住(-8.+8)內可導.fI

第三章微分中值定理與導數(shù)的應用101

因此函數(shù)在(-8,+8)內單調增加.

(5)函數(shù)在(-8.+3C)內可導.且

<=(4+1)3-3(X+I)2

=(X+1)2(4X-2)=4(x+I)2卜

令>'=0.得駐點=-I,X2=T■，這兩個駐點把區(qū)間(-8,+8)分成三個部

分區(qū)間(-8,-1],[-l.y]&[y,+x).

當-H<X<-1及-1時，>’<0.因此函數(shù)在(-x,上單調減少；當

1<X<+8時,<>0,因此函數(shù)在(，+8)上單調增加.

,on,x

(6)函數(shù)在A=y.x2="處不可導且在(-8.T)1(■y),<+)內可

3y/(2x-a)2(a-x)

令>'=0.得駐點打吟,這個駐點及》，叼="把區(qū)間(-8,+8)分成四

個部分區(qū)間(-8.UJ"^'，"!""卜[,[a,+*).

當-/<x<■及]Vx<y?,a<x<+8時>0.因此函數(shù)在(-8,y?j,

[?,+8)上唯調增加；當與<…時,>'<0,因此函數(shù)在信明“上單調減少.

(7)函數(shù)在；0.+8)內可導,且

y'=nx"-,e*,-x"e-M=x"-'e**(n-x).

令y'=().得駐點A=，，,這個駐點把區(qū)間10,+8)分成兩個部分區(qū)間+8).

當0<x<"時，<>0,因此函數(shù)在10,,“上單調增加；當a<x<+8時，<0,

因此函數(shù)在"，+?)上單調減少.

(8)函數(shù)的定義域為(-8,+8),且

IT

x+sin2x,〃IT這人近〃TT+-,

y-~(〃=0.±I,±2.…)，

TT一，..

x-sin2x.“IT+?<2W(n+1)p

102一、《高等數(shù)學》(第七版)上冊習題全解

ir

1+2cos2x.n-rr<x<nir+—,

Y<(n=0.±I,±2,…).

1-2cos2x,?IT+—<x<(n+l)7r

令y'=o,得駐點x=■及*=?+冷按照這些駐點將區(qū)間(-B.+8)分成

3o

下列部分區(qū)間

［nir.mr+-y］JHIT+-yjnr+-yj.piir+-y,/nr+葛］，［〃宣+費?(〃+I)irj

(n=0,±1,±2,???).

當〃ITJ<fl1T+方?時，>'>0,因此函數(shù)在|〃TT,〃宣+"上單調增加；

當時?>'<0?因此函數(shù)在［E+1■，〃"+T"［上單調減少；

當HIT+?<X<"宣+渺寸./>0?因此函數(shù)在［〃宣+?.〃獷+~ir］上單調增加；

當〃“+著<4((〃+1)”時.八0.因此函數(shù)在1