初三數(shù)學(xué)模擬考試及考點分析

考生須知：

1.木試卷滿分120分，考試時間100分鐘.

2.答題前，在答題卡填涂姓名學(xué)校的信息及考號.

3.必須在答題卡的對應(yīng)答題位置上答題，寫在其他地方無效.

一、仔細(xì)選一選（木題有10個小題，每小題3分，共30分）

下面每小題給出的四個選項中，只有一個是正確的.注意可以用多種不同的方法來選取正確答案.

1.如圖，是由4個相同小正方體組合而成的幾何體，它的左視圖是（）

【考點】簡單組合體的三視圖.

【專題】常規(guī)題型.

【分析】左視圖是從左邊看得出的圖形，結(jié)合所給圖形及選項即可得出答案.

【解答】解：從左邊看得到的是兩個疊在一起的正方形.

故選D.

【點評】此題考查了簡單幾何體的三視圖，屬于基礎(chǔ)題，解答本題的關(guān)鍵是掌握左視圖的觀察位置.

2.如圖，已知四條直線a,b,c,d,其中a〃6cLb,且Nl=50。.則N2=（）

C.40°D.30°

d

第（2）題圖

【考點】平行線的性質(zhì).

【分析】根據(jù)對頂角相等求出N3,再根據(jù)垂直的定義，利用直角三角形兩猊角互余求解即可.

【解答】解：YN1=50*,

?,.Z3=Z1=5O,>

Vclb,

Z2+Z3=90",

AZ2=90°-50°=40".

故選C.

【點評】本題考查了對頂角相等的性質(zhì)，直角三角形兩猊角互余，是基礎(chǔ)題.

3.下列計算或化簡正確的是()

A.-a(a-h)-ah=-a2B.a~+a3=ay

【考點】二次根式的混合運算；整式的混合運算.

【分析】求出每個式子的值，再進行判斷即可.

【解答】解：A、-a(a-b)-ab=-a2+ab-ab=-a2)故本選項正確；

B、a?和a?不能合并，故本選項錯誤；

C、呼+3卜￥+3乂；呼護百，也和向能合并，故本選項錯誤;

D、向,故本選項錯誤;

故選A.

【點評】本題考查了二次根式的混合運算和整式的混合運算的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的計算能力和辨析能力.

4.下列因式分解正確的是()

A.a2-b2=(a-b)2B.\6a2-Sab+b2=(4a-b)2

C.a2+ah+h2=(a+h)2D.x2y+xy2+xy=xy(x+y)

【考點】因式分解-運用公式法；因式分解-梃公因式法.

【分析】根據(jù)平方差公式的結(jié)構(gòu)，以及完全平方公式的結(jié)構(gòu)即可作出判斷.

【解答】解：A、a2-b2=(a-b)(a+b)>故選項錯誤；

B、正確；

C、(a+b)2=a?+2ab+b2,等號不成立，故選項錯誤；

D、x2y+xy2+xy=xy(x+y+1)>故選項錯誤.

故選B.

【點評】本題考查了多項式的乘法，公式法分解因式，物練隼握運算法則和平方差公式的結(jié)構(gòu)特點是解題的關(guān)

槌.

5.將一個半徑為R,圓心角為90。的扇形圍成一個圓錐的側(cè)面(無重疊)，設(shè)圓錐底面半徑為r,

則R與r的關(guān)系正確的是()

A.R=8rB.R=6rC.R=4rD.R=2r

【考點】圈錐的計算.

【分析】根據(jù)扇形的弧長等千圓錐的底面周長即可求得.

【解答】解：扇形的弧長是:

R=4r.

故選C.

【點評】正確理解圓推的側(cè)面展開圖與原來的扇形之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)曜，理解圓錐的母線長是扇形的

半徑，圓錐的底面圓周長是扇形的弧長.

6.某校在七年級設(shè)立了六個課外興趣小組，每個參加者只能參加一個興趣小組，下面是六個

興趣小組不完整的頻數(shù)分布直方圖和扇形統(tǒng)計圖.

根據(jù)圖中信息，可得下列結(jié)論不正聊的是（）

A.七年級共有320人參加了興趣小組；B.體育興趣小組對應(yīng)扇形圓心角的度數(shù)為96。；

C.美術(shù)興趣小組對應(yīng)扇形圓心角的度數(shù)為72。：D.各小組人數(shù)組成的數(shù)據(jù)中位數(shù)是56.

oct人數(shù)/人

oU

64

48攝影

20%

第（6）題圖

【考點】條形統(tǒng)計圖；扇形統(tǒng)計圖.

【分析】總?cè)藬?shù)=參加某項的人數(shù)個所占比例，用總?cè)藬?shù)減去其他5個小組的人數(shù)求出體育小組的人數(shù)，畫圖即

可解答，用體育小組的人數(shù)除以總?cè)藬?shù)再乘360度即可求出圓心角的度數(shù),同樣美術(shù)小組的對應(yīng)扇形

圓心角的度數(shù)計算方法相同.

【解答】解：A、讀圖可知：有1跳的學(xué)生即32人參加科技學(xué)習(xí)小組，故初一年級共有學(xué)生32?10%=320

（人）>故命題正確；

96

B、直方圖如圖所示，360'X32O=1O8',救命題錯誤；

C、美術(shù)興趣小組對應(yīng)扁形圓心角的度數(shù)為360X20%=72,,故命題正確；

Ds正確.

故選B.

【點評】本題主要考查條形統(tǒng)計圖與扇形統(tǒng)計圖的綜合運用，用到的知識點為：如果一個事件有n種可能，而

且這些事件的可能性相同，其中事件A出現(xiàn)m種結(jié)果，那么事件A的概率P（A）=包.總體數(shù)目二部分?jǐn)?shù)

n

目+相應(yīng)百分比.

7.下列說法中正確的是（）

A.若式子Jx-l有意義,貝卜>1；

B.已知a,b,c,d都是正實數(shù)，且@<￡,則一也<上一

bda+bc+d

k

C.在反比例函數(shù)y=L中，若x>0時，y隨工的增大而增大，則女的取值范圍是心>2；

X

3

★D.解分式方程」X一二2+一?—的結(jié)果是原方程無解.

x-3x-3

【考點】反比例函數(shù)的性質(zhì)；二次根式有意義的條件；分式方程的解；不等式的性質(zhì).

【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件可得xT去0,解得x是"根據(jù)不等式的性質(zhì)1,兩邊同時加上1,可得今

b

+1<7+1；根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)可得k-2<0,；解分式方程kedex=3,再檢險可得方程無解.

【解答】解：A、若式千斤T有意義，則x-1為0,解得x知,故此選項錯誤；

B、已知a,b,c,d都是正實數(shù)，且（則^■+1<[+1,即4A故此選項揩誤；

bdbaba

C、在反比例函數(shù)v=?中，若x>Q時，y隨x的增大而增大，則k的取值范圍是k<2,故此選項措

誤；

D、解分式方程與=2+J得x=3,把x=3代入最簡公分母x-3=0,故原方程無解，故此選項正確；

x-3x~3

故選：D.

【點評】此題主要考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)、分式方程、不等式的性質(zhì)、二次根式有意義的條件，關(guān)堤是熟練

軍提各個知識點的運算.

8.二次函數(shù)），=0?+法+。（?,b,c是常數(shù)，a#））圖象的對稱軸是直

線x=l,其圖象?部分如圖所示，對于下列說法：

?abc>0；?a-b+c<0；③3a+c<0：④當(dāng)一1<x<3時y>0.

其中正確的是（）

A.①②B.①④C.②③D.②③④

【解答】解：根據(jù)圖象可得：a<0,c>0,

對稱軸：x=-，*=l,

2a

b=-2a,

Va<0.

.?.b>0,

abc<0,

故①錯誤;

把x=-l代入函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=ax2+bx+c中得：y=a-b+c,

由圖象可以看出當(dāng)x=-l時，y<0,

a-b+c<0>

故②正確；

：b=-2a,

a-（-2a）+c<0,

即：3a+c<0,故③正確；

由圖形可以直接看出④措誤.

正確的有②③，

故選C.

【點評】此題主要考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，關(guān)鍵是熟練掌握①二次項系數(shù)a決定拋物線的開口方

向，當(dāng)a>0時,拋物線向上開口；當(dāng)a<0時，拋物線向下開口；②一次項系數(shù)b和二次項系數(shù)a共同

決定對稱軸的位置：當(dāng)a與b同號時（即ab>0）,對稱軸在y軸左；當(dāng)a與b異號時（即ab<0），對

稱軸在y軸右.（簡稱：左同右異）③常數(shù)項c決定拋物線與y軸交點，拋物線與y軸交干（0,c）.

9.如圖，在aABC中，已知NC=90。，AC=BC=4,D是AB的中點，點E、F分別在AC、

BC邊上運動（點E不與點A、C重合），且保持AE=CF,連接DE、DF、EF.在此運動變

化的過程中，有下列結(jié)論：

①四邊形CEDF有可能成為正方形；②4DFE是等腰直角三角形；

③四邊形CEDF的面積是定值；④點C到線段EF的最大距離為41.

其中正確的結(jié)論是（）

A.①④B.②③C.①?@D.①②③④

【解析】

試題分析：

①作常規(guī)輔助線連接CD,由SAS定理可證4CDF和4ADE全等，從而可證/EDF=90”,

DE=DF.所以4DFE是等腰直角三角形；

②當(dāng)E為AC中點，F(xiàn)為BC中點時，四邊形CEDF為正方形：

③由割補法可知四邊形CEDF的面積保持不變；

④4DEF是等腰直角三角形，#DE=EF,當(dāng)DF與BC垂直，即DF最小時，F(xiàn)E取最小值

?垂，此時點C到線段EF的最大距離.

①當(dāng)E、F分別為AC、BC中點時，四邊形CDFE是正方形，故此選項正確；

②連接CD

?.,△ABC是等腰直角三角形，.,.ZDCB=ZA=45°,CD=AD=DB；

；AE=CF,.,.△ADE^ACDF；；.ED=DF,ZCDF=ZEDA；

,.,ZADE+ZEDC=90°,

.../EDC+/CDF=NEDF=90°,...△DFE是等腰直角三角形.故此選項正確；

③如圖所示，分別過點D,作DM_LAC,DN1BC,于點M,N,

可以利用割補法可知四邊形CEDF的面積等于正方形CMDN面積，故面積保持不變；故正確;

④Z\DEF是等腰直角三角形，WDE=EF,當(dāng)EF〃AB時，；AE=CF,

，E,F分別是AC,BC的中點，故EF是AABC的中位線，；.EF取最小值力'+2；=2比,

???CE=CF=2,.?.此時點C到線段EF的最大距離為2,故此選項正確；

故正確的有4個，故選D.

考點：全等三角形的判定與性質(zhì)，正方形、等腰三角形、直角三角形性質(zhì)

10.關(guān)于x的方程x2-px-2q=0(p,g是正整數(shù))，若它的正根小于或等于4,則正根是整數(shù)

的概率是()

511

A.—B?-C.-D.一

12432

【解析】

方程根為(p+加入2+8q)/2或(p-加入2+8q)/2其中正根為(p+YpA2+8q)/2,

由題意得：(p+4PA2+8q)/2<=4即4PA2+8q<=8-p兩邊同時平方得:pA2+8q<=64-16p+pA2

化簡為q+2P<=8,因為p,q是正整數(shù)，所以可得組合：

(1)q=l,p=1,2,3(2)q=2,p=1,2,3(3)q=3,p=1,2

(4)q=4,p=1,2(5)q=5,p=1(6)q=6,p=1

共12組其中滿足(p+dpA2+8q)/2是整數(shù)的有：

(1)q=l,p=1(2)q=2,p=3(3)q=3,p=1(4)q=4,p=2(5)q=6,p=

共5組，所以正跟是整數(shù)的概率是5/12.故選A

二、認(rèn)真填一填(本題有6個小題，每小題4分，共24分)

要注意認(rèn)真看清題目的條件和要填寫的內(nèi)容，盡量完整地填寫答案.

11.計算：3a-(-2a)=；(2ab2)3=:

12.五位射擊運動員在一次射擊練習(xí)中，每人打10搶，成績(單位：環(huán))記錄如下：

97,98,95,97,93.則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是；平均數(shù)是；

【解析】

根據(jù)眾數(shù)的定義：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做眾數(shù)即可找出答案;

根據(jù)平均數(shù)公式求解即可.

97,98,95,97,93這五個數(shù)中出現(xiàn)最多的數(shù)是97,故97是眾數(shù)，

97,98,95,97,93的平均數(shù)為(97+98+95+97+93)=96,

故答案為：97；96.

考點分析：

考點1:算術(shù)平均數(shù)

(1)平均數(shù)是指在一組數(shù)據(jù)中所有數(shù)據(jù)之和再除以數(shù)據(jù)的個數(shù).它是反映數(shù)據(jù)集中趨勢的?項指標(biāo).

(2)算術(shù)平均數(shù)：對于n個數(shù)X”X2,…，x“，則x-=ln(xi+x2+—+x?)就叫做這n個數(shù)的算術(shù)平均數(shù).

(3)算術(shù)平均數(shù)是加權(quán)平均數(shù)的一種特殊情況，加權(quán)平均數(shù)包含算術(shù)平均數(shù)，當(dāng)加權(quán)平均數(shù)中的權(quán)相等時，

就是算術(shù)平均數(shù).

考點2：眾數(shù)

(1)一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做眾數(shù).

(2)求一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)的方法：找出頻數(shù)最多的那個數(shù)據(jù)，若幾個數(shù)據(jù)頻數(shù)都是最多且相同，此時眾數(shù)就是

這多個數(shù)據(jù).

(3)眾數(shù)不易受數(shù)據(jù)中極端值的影響.眾數(shù)也是數(shù)據(jù)的一種代表數(shù)，反映了一組數(shù)據(jù)的集中程度，眾數(shù)可作

為描述一組數(shù)據(jù)集中趨勢的量..

13.某藥品原價是100元，經(jīng)連續(xù)兩次降價后，價格變?yōu)?1元，如果每次降價的百分率是一樣

的，那么每次降價的百分率是；

【考點】一元二次方程的應(yīng)用.

【專題】增長率問題.

【分析】此題可設(shè)每次降價的百分率為x,第一次降價后價格變?yōu)閃(l-x)元，第二次在第一次降價后的基

礎(chǔ)上再降，變?yōu)?00(x-1)(x-1),即100(x-1)2元，從而列出方程，求出答案.

【點的考查了一元二次方程的應(yīng)用，此題的關(guān)健肝分析降價后的價格，要涯降價犍礎(chǔ)，另槌要涯

解的取舍.

14.如圖，AB是。O的直徑，AE交＜30于點F且與G)O的切線

CD互相垂直，垂足為D,連結(jié)AC,OC,CB.有下列結(jié)論：

①N1=N2；②OC〃AE：(3)AF=OC；?AADC^AACB.

其中結(jié)論正確的是(寫出序號)；

【解析】

TDC切。。于C,AOC±DC,VAD±DC,/.0C/7AD,AZ1=ZOCA,

VOA=OC,AZ2=ZOCA,AZ1=Z2,...①正確，②正確；

TAB為。。直徑，.?,ZACB=90°,VAF1DC,.,.ZADC=90°=ZACB,

VZ1=Z2,.?.△ADCS/XACB,.?.④正確；

根據(jù)已知不能推出AF和OC相等，...③錯誤；故答案為：①②④.

15.在面積為12的平行四邊形ABCD中，過點A作直線BC的垂線交BC于點E,過點A作直線

CD的垂線交CD于點F,若AB=4,BC=6,則CE+CF的值為；

【解析】

???四邊形ABCD是平行四邊形，

.,.AB=CD=4,BC=AD=6,

①如圖：一才

,.,SOABCD=BCAE=CDAF=12,，AE=2,AF=3,

在RtZiABE中：BE=l加--=2收在RSADF中，DFJ^D2-^=343,

:.CE+CF=BC-BE+DF-CD=2+J；

?.,SOABCD=BCAE=CDAF=12,...AE=2,AF=3,

在RtZiABE中：BE=J齒—-=2以在RSADF中，DF=J啟二爐=3日,

...CE+CF=BC+BE+DF+CD=1O邛；綜上可得：CE+CF的值為10+54或2邛.

故答案為：105?；?+4.

【考點】平行四邊形的性質(zhì)

(1)平行四邊形的概念：有兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形.

(2)平行四邊形的性質(zhì)：①邊：平行四邊形的對邊相等.

②角：平行四邊形的對角相等.

③對角線：平行四邊形的對角線互相平分.

（3）平行線間的距離處處相等.

（4）平行四邊形的面積：

①平行四邊形的面積等于它的底和這個底上的高的積.

②同底（等底）同高（等高）的平行四邊形面積相等.

16.在平面坐標(biāo)系中，正方形ABCD的位置如圖所示，

點A的坐標(biāo)為（1,0）,點D的坐標(biāo)為（0,2）,

延長CB交x軸于點A1,作正方形A|B|GC,延長C|BI

交x軸于點A2，作正方形A2B2c2G，…，按這樣的規(guī)律

進行下去，第2013個正方形的面積為.

【考點】相似三角形的判定與性質(zhì)；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)；正方形的性質(zhì).

【專題】壓軸題；規(guī)律型.

【分析】首先設(shè)正方形的面積分別為S/S2-S20）2,由題意可求得S1的值，易證得ABAA[SABIA[A2,利用

相似三角形的對應(yīng)邊成比例與三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求得$2的值，繼而求得S3的值，維而可得規(guī)律:

Sn=5X（I）2M,則可求得答案.

【解答】解：???點A的坐標(biāo)為(1,Q),點D的坐市京為(0,2)，

.".OA=1,0D=2,

設(shè)正方形的面積分別為Sys2-s2012,

根據(jù)題意，得：AD^BCtfC^/ZCjBj,

ZBAA1=ZB)A1A2=ZB2A2X>

,.,ZABApZA^jA^SO",

ABAA1^AB1A)A2，

在直角AADO中，根據(jù)勾股定理，得：AD=Jo/+o廬,

AB=AD=BC=j5>

丹=5,

VZDA0+ZAD0=90",NDAO+NBAA產(chǎn)90",

.,.ZADO=ZBAA,,

AB

,{OA1

??tanZBAA,^—AB—=70^D-="2,

….行

1

-

..A1C=BC+A1B=^,

93

AS2=-X5=5X(-)2,

.絲1=4%即N

AB2

??2季乎歲,

；.A2c戶?+與B產(chǎn)挈+乎］檸下X(|)2,

.?.S.=1|x5=5X(?)3

3162

由此可得：Sn=5X弓)2n.2,

???邑。13=5>§產(chǎn)刈3-2=5、(|)4。24

【點的蟠考查了楠三角形制定兜樂正方形的性質(zhì)以婦艇教等嬲,此麟麹丸解撕關(guān)

睚得班律S『5X（；）叫

U

三、全面答一答（本題有8個小題，共66分）

解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或推演步驟.如果覺得有的題目有點困難，那么把自己能寫出的解答

寫出一部分也可以.

17.（本小題6分）先化簡，再求值：（〃-~-）-5--~,其中Q=sin60°,Z?=tan60°.

a

sincostancotsecCSC

0010\1\

2--x/32+0r-V246+41

15

44

百

1叵yli2VF

30三32

23

友41

4511V2V2

22

61叵2V3

60V32

2233

疾+

752+<32-VTV6+V2、年-6

44

9010\0\1

'y/^Z-,yf^

行+V5-Ji-2

105-2-、G-V？-X<2\6-y/2

44

叵1_VT2<3

120"I-V3-2

2一~i~3

41

135-1-1—五V2

273

1一百

1502一232

3

>/6+y/2

石—VI

165V3-2-2-百五-<6<6+v'2

44

1800-10\-1\

18.（本小題8分）設(shè)函數(shù)＞=。/+辰+1,其中。可取的值是一1,0,1：?？扇〉闹凳且?,1,2

（1）當(dāng)。、人分別取何值時所得函數(shù)有最小值？請直接寫出滿足條件的這些函數(shù)和相應(yīng)的最小

值；

（2）如果。在一1,0,1三個數(shù)中隨機抽取一個，b在一1,1,2中隨機抽取一個，共可得到多少

個不同的函數(shù)解析式？在這些函數(shù)解析式中任取一個，求取到當(dāng)x>0時），隨x增大而減小的函數(shù)

的概率.

【考點】列表法與樹狀圖法；二次函數(shù)的性質(zhì)；二次函數(shù)的最值.

【專題】圖表型.

【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，a>0時，二次函數(shù)有最小值，所以，確定a為1,然后根據(jù)b的值的不同

分別馬出解析式，再根據(jù)二次函數(shù)的最值問題解答即可；

⑵畫出樹狀圖，再根據(jù)函數(shù)的增減性以及概率公式列式計算即可得解.

2

【解答】解:⑴y=X-x+l,最小值最

y=x2+x+l?最小值彳；

y=x2+2x+l（最小值0；

（2）根據(jù)題意畫出樹狀圖如下:

b-112-112-112

可得到9個不同的函數(shù)解析式，

當(dāng)x>。時y隨x增大而減小的函數(shù)是y=-x2-x+l,y=-x+l,

?,?概率好2.

【點評】本題考查了列表法與樹狀圖法，二次函數(shù)的最11問題，函數(shù)的增減性，用到的知識點為：概率二所求

情況數(shù)與總情況數(shù)之比.

19.（木小題8分）

（1）在圖1中，求作4ABC的外接圓（尺規(guī)作圖，不寫作法保留痕跡）；

3

(2)如圖2,若aABC的內(nèi)心為0,且BA=BC=8,sinA=-,求aABC的內(nèi)切圓半徑.

4

【分析】(1)首先做出AB,K的集直平分線，進而得出圓心位置，進而利用圓心到頂點距離為半徑，即可得

出外接圓；

(2)首先連結(jié)B0并延長交AC干F,得出BF1AC,進而得出BF,AF的長，求出半徑明可.

【解答】解：(1)如圖所示：

(2)連結(jié)B0并延長交AC干F,

VAB=BC=8,0為△ABC內(nèi)心,

.'.BF1AC,AF=CF,

3

又sinA=：,

4

.1.BF=ABsinA=8Xy=6,

4

.1?AF=j64-36=2j7>

.,.RtAOBE^i?+(8-2j7)2=(6-x)2,

解得半徑為：x=鷲苗，

解法二：△面積法：AC=4j7>

設(shè)內(nèi)接圓半徑為R，；R(AB+AC+BC)=；AOBF,

解得內(nèi)接圓半徑15=純.

4+M

【點評】此題主要考查了復(fù)雜作圖以及三角形內(nèi)切圓的作法和銳角三角函數(shù)的應(yīng)用等知識，根據(jù)已知得出AF的

長進而利用勾股定理求出是解題關(guān)腱.

【知識點】

1、三角形的幣心,外心，垂心，內(nèi)心和旁心稱之為三角形的五心。三角形五心定理

是指三角形市心定理,外心定理,垂心定理,內(nèi)心定理,旁心定理的總稱。

重心定理

(1)三角形的三條邊的中線交于一點0該點叫做三角形的重心。三中線交于一點可用燕尾定

理證明，十分簡單。(重心原是一個物理概念，對于等厚度的質(zhì)量均勻的三角形薄片，其重心

恰為此三角形三條中線的交點，重心因而得名)

(2)、重心的性質(zhì)：市心到頂點的距離與幣:心到對邊中點的距離之比為2:1。

(3)、重心和三角形任意兩個頂點組成的3個三角形面積相等。即重心到三條邊的距離與三

條邊的長成反比。

(4)、重心到三角形3個頂點距離的平方和最小。

(5)、在平面直角坐標(biāo)系中,重心的坐標(biāo)是頂點坐標(biāo)的算術(shù)平均數(shù)，

即其重心坐標(biāo)為(西+與+/，%+%)。

33

外心定理

(1)、三角形外接圓的圓心，叫做三角形的外心。

外心的性質(zhì)：

(2)、三角形的三條邊的垂直平分線交于一點，該點即為該三角形外心。

(3)、若0是AABC的外心，則NB0C=2/A(/A為銳角或直角)或NBOC=36(T-2/A

(/A為鈍角)。

(4)、當(dāng)三角形為銳角三角形時，外心在三角形內(nèi)部；當(dāng)三角形為鈍角三角形時，外心在三

角形外部；當(dāng)三角形為直角三角形時，外心在斜邊上，與斜邊的中點重合。

(5)、外心坐標(biāo)：((c2+c3)/2c,(cl+c3)/2c,(cl+c2)/2c),

(6)、外心到三頂點的距離相等

垂心定理

(1)、三角形的三條高(所在直線)交于一點，該點叫做三角形的垂心。

垂心的性質(zhì)：

(2)、三角形三個頂點，三個垂足，垂心這7個點可以得到6個四點圓。

(3)、三角形外心0、重心G和垂心H三點共線，月.0G：GH=l：2。(此直線稱

為三角形的歐拉線(Eulerline))

(4)、垂心到三角形一頂點距離為此三角形外心到此頂點對邊距離的2倍。

(5)、垂心分每條高線的兩部分乘積相等。

內(nèi)心定理

(1)、三角形內(nèi)切圓的圓心，叫做三角形的內(nèi)心。

內(nèi)心的性質(zhì)：

(2)、三角形的三條內(nèi)角平分線交于一點。該點即為三角形的內(nèi)心。

(3)、直角三角形的內(nèi)心到邊的距離等于兩直角邊的和減去斜邊的差的二分之一。

(4)、0為三角形的內(nèi)心，A、B、C分別為三角形的三個頂點，延長A0交BC邊于

N,貝IJ有A0:0N=AB:BN=AC:CN=(AB+AC):BC

(5)、(歐拉定理)/ABC中，R和r分別為外接圓為和內(nèi)切圓的半徑，0和I分別

為其外心和內(nèi)心，則01A2=1＜八2-2此

(6)、(內(nèi)角平分線分三邊長度關(guān)系)

△ABC中，0為內(nèi)心，ZA、ZB,NC的內(nèi)角平分線分別交BC、AC、AB于Q、

P、R,則BQ/QC=c/b,CP/PA=a/c,BR/RA=a/b.

(7)、內(nèi)心到三角形三邊距離相等。

旁心定理

(1)、三角形的旁切圓(與三角形的一邊和其他兩邊的延長線相切的圓)的圓心，叫

做三角形的旁心。

旁心的性質(zhì):

(2)、三角形一內(nèi)角平分線和另外兩頂點處的外角平分線交于一點，該點即為三角形

的旁心。

(3)、每個三角形都有三個旁心。

(4)、旁心到三邊的距離相等。

(5)、三角形任意兩角的外角平分線和第三個角的內(nèi)角平分線的交點。一個三角形有

三個旁心，而且一定在三角形外。

★附：三角形的中心：只有正三角形才有中心，這時重心，內(nèi)心，外心，垂心，四心合一。

20.(本小題10分)

如圖，正方形ABCD的邊長為3,將正方形ABCD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)角度

a(00<a<90°),得到正方形AEFG,FE交線段DC于點Q,FE的延長線交線段BC于

點P,連結(jié)AP、AQ.

(1)求證：AADQ^AAEQ；

(2)求證：PQ=DQ+PB；/\/\

(3)當(dāng)/1=/2時，求PQ的長.%~C

【考點】相似三角形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；正方形的性質(zhì).

【分析】(1)根據(jù)正方形性質(zhì)得出NG=NAEF=9(r,AD=AE,根據(jù)HL證出糧三角形全等即可；

(2)根據(jù)全等求出DQ=QE,同理BP=PE,即可得出答案；

(3)求出RtAADQsRtAPCQ,推出NAQD=NPQC=NAQP,求出三角為60",求出N1和N2度數(shù),

求出QD、CQ,即可求出答案.

【解答】(1)證明：TABCD是正方形，

.,.ZG=ZAEF=90",AD=AE.

?.,在RtAADQ和RtAAEQ中

AQ=AQ

AD=AE'

AADQ^AAEQ(HL)；

(2)證明：與證AADQ9AAEQ類似，可證得：AAEP@AABP,

.?.PB=PE?QD=QE,

；.PQ=QE+PE=DQ+PB；

（3）解：當(dāng)N1=N2時,

VZD=ZC=90",

...RtAADQsRtAPCQ,

.,.ZAQD=ZPQC,

VAADQSAAEQ

；.NAQD=NAQE,

.,■ZAQD=ZPQC=ZAQE,且NAQD+NAQE+NPQC=18（T,

?,.ZAQD=60".

.'.Zl=30'

.??Rt—ADQ中,AD=3>DQ=百，

.,■QC=3-j3，

VZC=90',ZPQC=60*>

AZ2=30",

；.PQ=2QC=6-24.

【點評】本題考查了正方形性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，相似三角形的性質(zhì)和判定，含30度角的直角三角

形性質(zhì)等知識點的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理能力，題目綜合性比較強，難度偏大.

21.（本小題10分）

某商店采購甲、乙兩種型號的電風(fēng)扇，共花費15000元，所購進甲型電風(fēng)扇的數(shù)量不少于乙型數(shù)量

的2倍，但不超過乙型數(shù)量的3倍.現(xiàn)已知甲型每臺進價150元，乙型每臺進價300元，并且銷售

甲型每臺獲得利潤30元，銷售乙型每臺獲得利潤75元.設(shè)商店購進乙型電風(fēng)扇x臺.

（1）商店共有多少種采購電風(fēng)扇方案？

（2）若商店將購進的甲、乙兩種型號的電風(fēng)扇全部售出，寫出此商店銷售這兩種電風(fēng)扇所獲得的

總利潤y（元）與購進乙型電風(fēng)扇的臺數(shù)x（臺）之間的函數(shù)關(guān)系式；

（3）商店怎樣的采購方案所獲得的利潤最大？求出此時利潤最大值.

【考點】一次函數(shù)的應(yīng)用一元一次不等式組的應(yīng)用.

【分析】⑴設(shè)購進乙型電風(fēng)瓢臺,則購進例電風(fēng)扇臺數(shù)是歿產(chǎn)■=（血-2X）臺，根據(jù)題意建立

不等式組求螟解即可；

⑵根據(jù)總利澗等德種型號的利潤之相求出y與核間的函數(shù)關(guān)系期可；

⑶根據(jù)（2）求出的函數(shù)的關(guān)系式的性質(zhì)可求出結(jié)論.

【解答】解：(1)設(shè)購進乙型電風(fēng)肩X臺，則購進甲型電風(fēng)扇臺數(shù)是筆產(chǎn)一(100-2X)臺，由題意,

得

2xWlQ0-2xW3x,

二解得:20WxW25,

；?購電風(fēng)扇方案有6種：

甲605856545250

乙202122232425

(2)由題意，得

y=75x+30(100-2x)，

.,.y=15x+3000(2QWxW25)

(3)Vy=15x+3000,

.?.k=15>0

；.y隨x增大而增大，

...當(dāng)x=25時利潤最大,

?1y膝大=15X25+3000=3375(元).

答：購進購進乙型電風(fēng)扇25臺時利潤最大，最大利潤為3375元.

【點評】本題考查了列一元一次不等式組解實際問題的運用，一次函數(shù)的解析式的運用，解答本題時根據(jù)條件

求出一次函數(shù)的解析式是利潤最大值的關(guān)堤.

22.(本小題12分)

如圖，在RtZ\AOB中，已知AO=6,BO=8,點E從A點出發(fā)，向

O點移動，同時點F從O點出發(fā)沿OB—BA向點A移動，點E的速

度為每秒1個單位，點F的速度為每秒3個單位，當(dāng)其中一點到達終

點時，另一點隨即停止移動.設(shè)移動時間為x秒：

(1)當(dāng)x=2時，求4AEF的面積；

(2)當(dāng)EF〃BO時，求x的值；

(3)設(shè)4AEF的面積為y,求出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式.

【考點】相似形綜合題.

【分析】⑴根據(jù)點E、F的運動速度求得2秒后AAEF的兩直角邊AE=2,0F=6,所以由三角形的面積公式即

可求得AAEF的面視

(2)當(dāng)EF//BO時,AAEF^AABO,則由相似三角形的對應(yīng)邊成比例列出關(guān)千x的方程，通過解方程

可以求得x的值;

(3)分段詩論：①當(dāng)點F在0B邊上運動時，AAEF的面積=；AE,OF；②當(dāng)點F在邊研上運動時，過F

作0A的垂線FH,則FH//OB,由平行線分線段成比例求得FH=里產(chǎn).則AAEF的面積=；AE，F(xiàn)H.

【解答】解：(1)當(dāng)x=2時，AE=2,0F=6,?1S△AEF=^AE*OF=^X2X6=6,即AAEF的

面積是6；

(2)在RtAAOB中,A0=6,B0=8,

根據(jù)勾股定理得，AB="02+302=IO.

當(dāng)EF〃BO時，AAEF^AABO,

18-3x=7>解得X=g；

100/

Q

(3)當(dāng)F與B重合時，x=3，分兩段討論:

010Q

①0<xW/，F(xiàn)在0B上移動，y=-xt3x=-x；

②鏟xW6B寸，過F作0A的垂線FH,則FH//OB,

則竺=竺即竺=生物，

'BOAB810

72-⑵

.?.FH=

-r-

_172-12x6,2,、

y-2x*-j-=-/Mx).

【點評】本題考查了相似綜合題.涉及到的知識點有：勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)以及三角形的面積

計算.解答(3)題時，如果沒有分段，也應(yīng)寫出x的取值范圍.

23.(本小題12分)

如圖，已知拋物線y=a/+6x+c(arO)的圖象經(jīng)過原點0,交x軸于點A,其頂點B的坐標(biāo)

為(3,-V3).

(1)直接寫出拋物線的解析式及點A的坐標(biāo)；\/

(2)設(shè)拋物線上的點Q,使aQA。與AAOB相似(不全\/

等)，求出點Q的坐標(biāo)；\M/

(3)在(2)的條件下，已知點M(0,百)，連結(jié)QM并延X/_____

長交拋物線另一點R，在直線QR下方的拋物線上找點P,當(dāng)X“卜一^\

PQR面積最大時，求點P的坐標(biāo)及SAPQR的最大值.

【考點】二次函數(shù)綜合題.

【分析】(1)根據(jù)函數(shù)經(jīng)過原點，可得c=0,然后根據(jù)函數(shù)的對稱軸，及函數(shù)圖象經(jīng)過點(3,-J3)可得出

函數(shù)解析式，根據(jù)二次函數(shù)的對稱性可直接得出點A的坐標(biāo).

(2)點Q不與點B重合.先求出NBOA的度數(shù)，然后可確定度數(shù)，繼而利用解直角三角形的

知識求出x,得出您的坐標(biāo)，利用二次函數(shù)圖象函數(shù)的對稱性可得出Q2的坐標(biāo).

(3)將M(0,⑸、Qi(9,3j3)代入y=kx+b,得直線QR的解析式為丫=￥工+由，求與拋物線

的交點R：P點在直線QR下方且在拋物線上，故設(shè)P(x.號”-孕不)，

如圖，過P作直線平行于y軸，交QR千點K,貝住(X,輩/由)，!>!lSziPQR=SAQPK+S￡iRPK=|PK

(9-x+x+l)=-挈(X-4/+吟目所以根據(jù)求二次函數(shù)最值的方法知當(dāng)x=4B寸，S/QR展大=

當(dāng)B，則易求點P的坐標(biāo),同理求得P2(0,0),S^PQR酷大=3。.

【解答】解：（1）由函數(shù)圖象經(jīng)過原點得，函數(shù)解析式為y=ax?+bx（a*0）,

又...函數(shù)的頂點坐標(biāo)為B（3,-J3），

9a-3占=一4

\a=^

解得，

g-紐

3

該函數(shù)解析式為：丫呼/空心

..?由二次函數(shù)圖象的對稱性可知，點A與原點關(guān)千x=3對稱，

???點A的坐標(biāo)為（6,0）；

綜上所述，拋物線的解析式為丫=號/-半x,點A的坐標(biāo)為（6,0）；

（2）過B作BC_Lx軸干點C,RtAOCB中，tanZOBC=j==J3.

AZOBC=60°,

.?.ZOBA=120',AAOB是頂角為120*的等腰三角形，當(dāng)點Q在x軸下方時，必與點B重合（舍去全等

情況），

二當(dāng)Q在x軸上方時，過Q作QD_Lx軸，

AQAOsAAOB,

二必有0A=AQ=6,且NOAQ=12（T.

.".ZQAD=60o,

；.AD=3,QD=3j3>

:.Q（9,3j3）.

"Q（9,3。）滿足丫=*/一半為，

.\Q在拋物線上，

根據(jù)對稱性Q2（-3,3⑶也滿足條件，

二符合條件的Q點有兩個：Q,（9.3。）、Q2（-3,3揚；

（3）設(shè)直線QR的解析式為y=kx+b（k^O）.

將M（0,。）、Q1（9,3j3）代入y=kx+b,得直線QR的解析式為

尸孚x+回

令￥才+「=#”-￥兀

解得X2=9（即Q點舍去），

??.R（-1.￥）,

TP點在直線QR下方且在拋物線上，故設(shè)P（x,亨”一斗^）.

如圖，過P作直線平行千y軸，交QR千點K,則K（x,^x+p）

貝”SdPQRMSaQpK+SaRpEPK（9-x+x+l）+[孚x+4-喏x2-]X1O

=-^n（x-4）2+125^

99

當(dāng)x=4時，S^PQR.大=12；。,

???點P的坐標(biāo)為（4,一隼）.

同理過Q?03,33）、M的直線交拋物線R2，在Q2R2下方拋物線取點P2，

解得P?（0>0）?S^pQRjg大=34.

【點評】此題屬千二次函數(shù)的綜合題目，涉及了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，相似三角形的判定與性質(zhì),

角形的面積及一元二次方程的解，綜合性較強，需要我們仔細(xì)分析，分步解答.

答案

一.仔細(xì)選一選（每小題3分）DCABCBDCDA

認(rèn)真填一填（本題有6個小題，每小題4分，共24分）

11.-6a2；8a3i>612.97；9613.10%14.①②④15.10+56或2+6

16.5x4嚴(yán)24

（注：11、12、15題每個答案2分；14題對一個1分、2個2分、3個4分，出現(xiàn)③0分）

三.全面答一答（本題有8個小題，共66分）

17.（6分）化簡伍一型土）十巴心=公型止?，一=。一匕------------3分（過程2分）

aaaa-h

V?=sin60°=——，/7=tan60°=G,,原式的值=-----------------3分（各1分）

22

18.（8分）

（1）y=x2-x+\,最小值3；y=x2+x+l,最小值3；j=x2+2x+l,最小值0-------3分

44

（2）可得到9個不同的函數(shù)解析式------------