2022-2023學年高一下數(shù)學期末模擬試卷考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．正方體中，異面直線與BC所成角的大小為（）A． B． C． D．2．一個四面體的三視圖如圖所示，則該四面體的表面積是（）A． B．C． D．3．如圖，正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為3，線段B1D1上有兩個動點E，F(xiàn)且EF＝1，則當E，F(xiàn)移動時，下列結(jié)論中錯誤的是（）A．AE∥平面C1BDB．四面體ACEF的體積不為定值C．三棱錐A﹣BEF的體積為定值D．四面體ACDF的體積為定值4．若實數(shù)，滿足約束條件，則的最大值為（）A．－3 B．1 C．9 D．105．如圖，是圓的直徑，點是半圓弧的兩個三等分點，，，則（）A． B． C． D．6．在中，內(nèi)角所對的邊分別為.若,則角的值為（）A． B． C． D．7．過△ABC的重心任作一直線分別交邊AB，AC于點D、E．若,，，則的最小值為（）A．4 B．3 C．2 D．18．在中，，則此三角形解的情況是()A．一解 B．兩解 C．一解或兩解 D．無解9．已知向量、滿足，且，則為（）A． B．6 C．3 D．10．某三棱錐的左視圖、俯視圖如圖所示，則該三棱錐的體積是()A．3 B．2 C． D．1二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．過點作圓的兩條切線，切點分別為，則=.12．設(shè)實數(shù)滿足，則的最小值為_____13．已知數(shù)列：，，，，，，，，，，，，，，，，，則__________．14．在平面直角坐標系中，角的頂點在原點，始邊與軸的正半軸重合，終邊過點，則______15．若正四棱錐的底面邊長為，側(cè)棱長為，則該正四棱錐的體積為______.16．學校為了調(diào)查學生在課外讀物方面的支出情況，抽出了一個容量為100且支出在元的樣本，其頻率分布直方圖如圖，則支出在元的同學人數(shù)為________三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知向量.（1）若，求的值；（2）記函數(shù)，求的最大值及單調(diào)遞增區(qū)間.18．設(shè)函數(shù).（1）若，解不等式；（2）若對一切實數(shù)，恒成立，求實數(shù)的取值范圍.19．正項數(shù)列的前項和為，且.（Ⅰ）試求數(shù)列的通項公式；（Ⅱ）設(shè)，求的前項和為.（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，若對一切恒成立，求實數(shù)的取值范圍.20．已知數(shù)列滿足，.（1）證明：數(shù)列為等差數(shù)列；（2）求數(shù)列的前項和.21．已知等差數(shù)列滿足，且是的等比中項.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前項和為，求使成立的最大正整數(shù)的值.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、D【解析】

利用異面直線與BC所成角的的定義，平移直線，即可得答案．【詳解】在正方體中，易得．異面直線與垂直，即所成的角為.故選：D．【點睛】本題考查異面直線所成角的定義，考查對基本概念的理解，屬于基礎(chǔ)題.2、B【解析】

試題分析：由三視圖可知，該幾何體是如下圖所示的三棱錐，其中平面平面，,且，，所以，與均為正三角形，且邊長為，所以，故該三棱錐的表面各為，故選B．考點：1．三視圖；2．多面體的表面積與體積．3、B【解析】

根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理，判斷A選項是否正確，根據(jù)錐體體積計算公式，判斷BCD選項是否正確.【詳解】對于A選項，易得平面與平面平行，所以平面成立，A選項結(jié)論正確.對于B選項，由于長度一定，所以三角形面積為定值.到平面的距離，也即到平面的距離一定，所以四面體體積為定值，故B選項結(jié)論錯誤.對于C選項，由于長度一定，所以三角形面積為定值.到平面的距離，也即到平面的距離一定，所以三棱錐體積為定值，故C選項結(jié)論正確.對于D選項，由于三角形面積為定值，到平面的距離為定值，所以四面體的體積為定值.綜上所述，錯誤的結(jié)論為B選項.故選：B【點睛】本小題主要考查利用面面平行證明線面平行，考查三棱錐（四面體）體積的計算，考查空間想象能力和邏輯推理能力，屬于基礎(chǔ)題.4、C【解析】

畫出可行域，向上平移基準直線到可行域邊界的位置，由此求得目標函數(shù)的最大值.【詳解】畫出可行域如下圖所示，由圖可知，向上平移基準直線到的位置，此時目標函數(shù)取得最大值為.故選C.【點睛】本小題主要考查利用線性規(guī)劃的知識求目標函數(shù)的最大值，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想方法，屬于基礎(chǔ)題.5、A【解析】

連接，證得，結(jié)合向量減法運算，求得.【詳解】連接，由于是半圓弧的兩個三等分點，所以，所以是等邊三角形，所以，所以四邊形是菱形，所以，所以.故選：A【點睛】本小題主要考查圓的幾何性質(zhì)，考查向量相等的概念，考查向量減法的運算，屬于基礎(chǔ)題.6、C【解析】

根據(jù)正弦定理將邊化角，可得，由可求得，根據(jù)的范圍求得結(jié)果.【詳解】由正弦定理得：本題正確選項：【點睛】本題考查正弦定理邊角互化的應(yīng)用，涉及到兩角和差正弦公式、三角形內(nèi)角和、誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.7、B【解析】

利用重心以及向量的三點共線的結(jié)論得到的關(guān)系式，再利用基本不等式求最小值.【詳解】設(shè)重心為，因為重心分中線的比為，則有，，則，又因為三點共線，所以，則，取等號時.故選B.【點睛】（1）三角形的重心是三條中線的交點，且重心分中線的比例為；（2）運用基本不等式時，注意取等號時條件是否成立.8、B【解析】由題意知，，，，∴，如圖：∵，∴此三角形的解的情況有2種，故選B．9、A【解析】

先由可得,即可求得,再對平方處理,進而求解【詳解】因為,所以,則,所以,則,故選:A【點睛】本題考查向量的模,考查向量垂直的數(shù)量積表示,考查運算能力10、D【解析】

根據(jù)三視圖高平齊的原則得知錐體的高，結(jié)合俯視圖可計算出底面面積，再利用錐體體積公式可得出答案．【詳解】由三視圖“高平齊”的原則可知該三棱錐的高為，俯視圖的面積為錐體底面面積，則該三棱錐的底面面積為，因此，該三棱錐的體積為，故選D.【點睛】本題考查利用三視圖求幾何體的體積，解題時充分利用三視圖“長對正，高平齊，寬相等”的原則得出幾何體的某些數(shù)據(jù)，并判斷出幾何體的形狀，結(jié)合相關(guān)公式進行計算，考查空間想象能力，屬于中等題．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

如圖，連接，在直角三角形中，所以，，，故.考點：1.直線與圓的位置關(guān)系；2.平面向量的數(shù)量積.12、1．【解析】

由約束條件作出可行域，化目標函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，把最優(yōu)解的坐標代入目標函數(shù)得答案．【詳解】解：由實數(shù)滿足作出可行域如圖，

由圖形可知：．

令，化為，

由圖可知，當直線過點時，直線在軸上的截距最小，有最小值為1．

故答案為：1．【點睛】本題考查簡單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．13、【解析】

根據(jù)數(shù)列的規(guī)律和可知的取值為，則分母為；又為分母為的項中的第項，則分子為，從而得到結(jié)果.【詳解】當時，；當時，的分母為：又的分子為：本題正確結(jié)果：【點睛】本題考查根據(jù)數(shù)列的規(guī)律求解數(shù)列中的項，關(guān)鍵是能夠根據(jù)分子的變化特點確定的取值.14、-1【解析】

根據(jù)三角函數(shù)的定義求得，再代入的展開式進行求值.【詳解】角終邊過點，終邊在第三象限，根據(jù)三角函數(shù)的定義知：，【點睛】考查三角函數(shù)的定義及三角恒等變換，在變換過程中要注意符號的正負.15、4.【解析】

設(shè)正四棱錐的高為PO，連結(jié)AO，在直角三角形POA中，求得高,利用體積公式，即可求解．【詳解】由題意，如圖所示，正四棱錐P-ABCD中，AB=，PA=設(shè)正四棱錐的高為PO，連結(jié)AO，則AO=，在直角三角形POA中，，∴.【點睛】本題主要考查了正棱錐體積的計算，其中解答中熟記正棱錐的性質(zhì)，以及棱錐的體積公式，準確計算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力．16、30【解析】

由頻率分布直方圖求出支出在元的概率，由此能力求出支出在元的同學的人數(shù)，得到答案．【詳解】由頻率分布直方圖，可得支出在元的概率，，所以支出在元的同學的人數(shù)為人．【點睛】本題主要考查了頻率分布直方圖的應(yīng)用，以及概率的計算，其中解答中熟記頻率分布直方圖的性質(zhì)，合理求得相應(yīng)的概率是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）或，（2），增區(qū)間為：【解析】

（1）根據(jù)得到，再根據(jù)的范圍解方程即可.（2）首先根據(jù)題意得到，再根據(jù)的范圍即可得到函數(shù)的最大值和單調(diào)增區(qū)間.【詳解】因為，所以，即.因為，.所以或，即或.（2）.因為，所以.所以，.因為，所以.令，得.因為，所以增區(qū)間為：.【點睛】本題第一問考查根據(jù)三角函數(shù)值求角，同時考查了平面向量平行的坐標運算，第二問考查了三角函數(shù)的最值和單調(diào)區(qū)間，屬于中檔題.18、（1）或；（2）【解析】

（1）時，不等式化為，求解即可；（2）分和兩種情況分類討論，并結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，可求出答案.【詳解】（1）時，不等式化為，即，解得或，即解集為：或.（2）當時，，符合題意，當時，由題意得，解得，綜上所述，實數(shù)的取值范圍是：.【點睛】本題考查不等式恒成立問題，考查一元二次不等式的解法，考查學生的計算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.19、（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）.【解析】

（Ⅰ）將所給條件式子兩邊同時平方,利用遞推法可得的表達式,由兩式相減,變形即可證明數(shù)列為等差數(shù)列,進而結(jié)合首項與公差求得的通項公式.（Ⅱ）由（Ⅰ）中可求得.將與代入即可求得數(shù)列的通項公式,利用裂項法即可求得前項和.（Ⅲ）先求得的取值范圍,結(jié)合不等式,即可求得的取值范圍.【詳解】（Ⅰ）因為正項數(shù)列的前項和為,且化簡可得由遞推公式可得兩式相減可得,變形可得即,由正項等比數(shù)列可得所以而當時,解得所以數(shù)列是以為首項,以為公差的等差數(shù)列因而（Ⅱ）由（Ⅰ）可知則代入中可得所以（Ⅲ）由（Ⅱ）可知則,所以數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列,則且當時,,即所以因為對一切的恒成立則滿足,解不等式組可得即實數(shù)的取值范圍為【點睛】本題考查了等差數(shù)列通項公式與求和公式的應(yīng)用,裂項求和法的應(yīng)用,數(shù)列的單調(diào)性與不等式關(guān)系,綜合性強,屬于中檔題.20、(1)證明見解析；(2)【解析】

（1）將已知條件湊配成，由此證得數(shù)列為等差數(shù)列.（2）由（1）求得數(shù)列的通項公式，進而求得的表達式，利用分組求和法求得.【詳解】（1）證明：∵∴又∵∴所以數(shù)列是首項為1，公差為2的等差數(shù)列；（2）由（1）知，，所以.所以【點睛】本小題主要考查根據(jù)遞推關(guān)系式證明等差數(shù)列，考查分組求和法，屬于中檔題.21、(1)(2)8【解析】

（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，根據(jù)題意列出有關(guān)和的