2022-2023學(xué)年高一下數(shù)學(xué)期末模擬試卷考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．“紋樣”是中國藝術(shù)寶庫的瑰寶，“火紋”是常見的一種傳統(tǒng)紋樣．為了測算某火紋紋樣(如圖陰影部分所示)的面積，作一個邊長為5的正方形將其包含在內(nèi)，并向該正方形內(nèi)隨機(jī)投擲1000個點，己知恰有400個點落在陰影部分，據(jù)此可估計陰影部分的面積是A．2 B．3 C．10 D．152．?dāng)?shù)列，…的一個通項公式是（）A．B．C．D．3．已知正四面體ABCD中，E是AB的中點，則異面直線CE與BD所成角的余弦值為()A． B． C． D．4．等比數(shù)列中,,,則公比()A．1 B．2 C．3 D．45．函數(shù)圖像的一條對稱軸方程為（）A． B． C． D．6．若實數(shù)，滿足約束條件，則的取值范圍是（）A． B． C． D．7．已知點是直線上一動點、是圓的兩條切線，、是切點，若四邊形的最小面積是，則的值為（）A． B． C． D．8．同時具有性質(zhì)：“①最小正周期是；②圖象關(guān)于直線對稱；③在上是單調(diào)遞增函數(shù)”的一個函數(shù)可以是（）A． B．C． D．9．有3個興趣小組，甲、乙兩位同學(xué)各自參加其中一個小組，每位同學(xué)參加各個小組的可能性相同，則這兩位同學(xué)參加同一個興趣小組的概率為A． B． C． D．10．圓與圓的位置關(guān)系是()A．相切 B．內(nèi)含 C．相離 D．相交二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知中，，則面積的最大值為_____12．已知等差數(shù)列滿足，則__________．13．已知都是銳角，，則=_____14．實數(shù)x、y滿足，則的最大值為________.15．已知與的夾角為求=_____．16．已知點及其關(guān)于原點的對稱點均在不等式表示的平面區(qū)域內(nèi)，則實數(shù)的取值范圍是____．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．在海上進(jìn)行工程建設(shè)時，一般需要在工地某處設(shè)置警戒水域；現(xiàn)有一海上作業(yè)工地記為點，在一個特定時段內(nèi)，以點為中心的1海里以內(nèi)海域被設(shè)為警戒水域，點正北海里處有一個雷達(dá)觀測站，某時刻測得一艘勻速直線行駛的船只位于點北偏東且與點相距10海里的位置，經(jīng)過12分鐘又測得該船已行駛到點北偏東且與點相距海里的位置.（1）求該船的行駛速度（單位：海里/小時）；（2）若該船不改變航行方向繼續(xù)行駛.試判斷它是否會進(jìn)入警戒水域（點與船的距離小于1海里即為進(jìn)入警戒水域），并說明理由.18．如圖，在平面四邊形中，，,,,．（1）求的長；（2）求的長．19．已知為等差數(shù)列，且（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；（Ⅱ）記的前項和為，若成等比數(shù)列，求正整數(shù)的值．20．某高速公路隧道內(nèi)設(shè)雙行線公路，其截面由一段圓弧和一個長方形的三邊構(gòu)成（如圖所示）．已知隧道總寬度為，行車道總寬度為，側(cè)墻面高，為，弧頂高為．（）建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，求圓弧所在的圓的方程．（）為保證安全，要求行駛車輛頂部（設(shè)為平頂）與隧道頂部在豎直方向上的高度之差至少要有．請計算車輛通過隧道的限制高度是多少．21．已知余切函數(shù).（1）請寫出余切函數(shù)的奇偶性，最小正周期，單調(diào)區(qū)間；（不必證明）（2）求證：余切函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、C【解析】

根據(jù)古典概型概率公式以及幾何概型概率公式分別計算概率，解方程可得結(jié)果.【詳解】設(shè)陰影部分的面積是s，由題意得4001000【點睛】(1)當(dāng)試驗的結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域為長度、面積、體積等時，應(yīng)考慮使用幾何概型求解．(2)利用幾何概型求概率時，關(guān)鍵是試驗的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域和事件發(fā)生的區(qū)域的尋找，有時需要設(shè)出變量，在坐標(biāo)系中表示所需要的區(qū)域．2、D【解析】試題分析：由題意得，可采用驗證法，分別令，即可作出選擇，只有滿足題意，故選D．考點：歸納數(shù)列的通項公式．3、B【解析】試題分析：如圖，取中點，連接，因為是中點，則，或其補(bǔ)角就是異面直線所成的角，設(shè)正四面體棱長為1，則，，．故選B．考點：異面直線所成的角．【名師點睛】求異面直線所成的角的關(guān)鍵是通過平移使其變?yōu)橄嘟恢本€所成角，但平移哪一條直線、平移到什么位置，則依賴于特殊的點的選取，選取特殊點時要盡可能地使它與題設(shè)的所有相減條件和解題目標(biāo)緊密地聯(lián)系起來．如已知直線上的某一點，特別是線段的中點，幾何體的特殊線段．4、B【解析】

將與用首項和公比表示出來，解方程組即可.【詳解】因為，且，故：，且，解得：，即，故選：B.【點睛】本題考查求解等比數(shù)列的基本量，屬基礎(chǔ)題.5、B【解析】

對稱軸為【詳解】依題意有解得故選B【點睛】本題考查的對稱軸，屬于基礎(chǔ)題。6、D【解析】畫出表示的可行域，如圖所示的開放區(qū)域，平移直線，由圖可知，當(dāng)直線經(jīng)過時，直線在縱軸上的截距取得最大值，此時有最小值，無最大值，的取值范圍是，故選A.【方法點晴】本題主要考查線性規(guī)劃中利用可行域求目標(biāo)函數(shù)的最值，屬簡單題.求目標(biāo)函數(shù)最值的一般步驟是“一畫、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是實線還是虛線）；（2）找到目標(biāo)函數(shù)對應(yīng)的最優(yōu)解對應(yīng)點（在可行域內(nèi)平移變形后的目標(biāo)函數(shù)，最先通過或最后通過的頂點就是最優(yōu)解）；（3）將最優(yōu)解坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)求出最值.7、D【解析】

作出圖形，可知，由四邊形的最小面積是，可知此時取最小值，由勾股定理可知的最小值為，即圓心到直線的距離為，結(jié)合點到直線的距離公式可求出的值.【詳解】如下圖所示，由切線長定理可得，又，，且，，所以，四邊形的面積為面積的兩倍，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為，四邊形的最小面積是，所以，面積的最小值為，又，，由勾股定理，當(dāng)直線與直線垂直時，取最小值，即，整理得，，解得.故選：D.【點睛】本題考查由四邊形面積的最值求參數(shù)的值，涉及直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵就是確定動點的位置，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.8、D【解析】

利用正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，逐一檢驗，可得結(jié)論．【詳解】A,對于y＝cos（），它的周期為4π，故不滿足條件．B,對于y＝sin（2x），在區(qū)間上，2x∈[，]，故該函數(shù)在區(qū)間上不是單調(diào)遞增函數(shù)，故不滿足條件．C,對于y＝cos（2x），當(dāng)x時，函數(shù)y，不是最值，故不滿足②它的圖象關(guān)于直線x對稱，故不滿足條件．D,對于y＝sin（2x），它的周期為π，當(dāng)x時，函數(shù)y＝1，是函數(shù)的最大值，滿足它的圖象關(guān)于直線x對稱；且在區(qū)間上，2x∈[，]，故該函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞增函數(shù)，滿足條件．故選：D．【點睛】本題主要考查了正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于中檔題．9、A【解析】每個同學(xué)參加的情形都有3種，故兩個同學(xué)參加一組的情形有9種，而參加同一組的情形只有3種，所求的概率為p=選A10、D【解析】

寫出兩圓的圓心，根據(jù)兩點間距離公式求得兩圓心的距離，發(fā)現(xiàn)，所以兩圓相交。比較三者之間大小判斷位置關(guān)系?！驹斀狻績蓤A的圓心分別為：，，半徑分別為：，，兩圓心距為：，所以，兩圓相交，選D?！军c睛】通過比較圓心距和半徑和與半徑差直接的關(guān)系判斷，即比較三者之間大小。二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

設(shè)，則，根據(jù)面積公式得，由余弦定理求得代入化簡，由三角形三邊關(guān)系求得，由二次函數(shù)的性質(zhì)求得取得最大值．【詳解】解：設(shè)，則，根據(jù)面積公式得，由余弦定理可得，可得：，由三角形三邊關(guān)系有：，且，解得：，故當(dāng)時，取得最大值，故答案為：．【點睛】本題主要考查余弦定理和面積公式在解三角形中的應(yīng)用．當(dāng)涉及最值問題時，可考慮用函數(shù)的單調(diào)性和定義域等問題，屬于中檔題．12、【解析】

由等差數(shù)列的性質(zhì)計算．【詳解】∵是等差數(shù)列，∴，∴．故答案為：1．【點睛】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．等差數(shù)列的性質(zhì)如下：在等差數(shù)列中，，則．13、【解析】

由已知求出，再由兩角差的正弦公式計算．【詳解】∵都是銳角，∴，又，∴，，∴．故答案為．【點睛】本題考查兩角和與差的正弦公式．考查同角間的三角函數(shù)關(guān)系．解題關(guān)鍵是角的變換，即．這在三角函數(shù)恒等變換中很重要，即解題時要觀察“已知角”和“未知角”的關(guān)系，根據(jù)這個關(guān)系選用相應(yīng)的公式計算．14、【解析】

根據(jù)約束條件，畫出可行域，將目標(biāo)函數(shù)化為斜截式，找到其在軸截距的最大值，得到答案.【詳解】由約束條件，畫出可行域，如圖所示，化目標(biāo)函數(shù)為，由圖可知，當(dāng)直線過點時，直線在軸上的截距最大，聯(lián)立，解得，即，所以.故答案為：.【點睛】本題考查線性規(guī)劃求最大值，屬于簡單題.15、【解析】

由題意可得：，結(jié)合向量的運算法則和向量模的計算公式可得的值.【詳解】由題意可得：，則：.【點睛】本題主要考查向量模的求解，向量的運算法則等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.16、【解析】

根據(jù)題意，設(shè)與關(guān)于原點的對稱，分析可得的坐標(biāo)，由二元一次不等式的幾何意義可得，解可得的取值范圍，即可得答案．【詳解】根據(jù)題意，設(shè)與關(guān)于原點的對稱，則的坐標(biāo)為，若、均在不等式表示的平面區(qū)域內(nèi)，則有，解可得：，即的取值范圍為，；故答案為，．【點睛】本題考查二元一次不等式表示平面區(qū)域的問題，涉及不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）海里/小時；（2）該船不改變航行方向則會進(jìn)入警戒水域，理由見解析.【解析】

（1）建立直角坐標(biāo)系，首先求出位置與位置的距離，然后除以經(jīng)過的時間即可求出船的航行速度；（2）求出位置與位置所在直線方程，求出位置與直線的距離與1海里對比即可.【詳解】（1）如圖建立平面直角坐標(biāo)系：設(shè)一個單位長度為1海里，則坐標(biāo)中，，，，再由方位角可求得：，，所以，又因為12分鐘=0.2小時，則（海里/小時），所以該船行駛的速度為海里/小時；（2）直線的斜率為，所以直線的方程為：，即，所以點到直線的距離為，即該船不改變航行方向行駛時離點的距離小于1海里，所以若該船不改變航行方向則會進(jìn)入警戒水域.【點睛】本題主要考查了直角坐標(biāo)系中兩點間距離的計算，直線與圓的位置關(guān)系，屬于一般題.18、(1)；(2)【解析】

（1）在中，先得到再利用正弦定理得到.（2）在中，計算，由余弦定理得到，再用余弦定理得到.【詳解】（1）在中，,則,又由正弦定理，得（2）在中，,則，又即是等腰三角形，得.由余弦定理，得所以.在中,由余弦定理，得所以.【點睛】本題考查了正弦定理和余弦定理，意在考查學(xué)生利用正余弦定理解決問題的能力.19、：（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】試題分析：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列{an}的公差等于d，則由題意可得，解得a1=1，d=1，從而得到{an}的通項公式．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得{an}的前n項和為Sn==n（n+1），再由=a1Sk+1，求得正整數(shù)k的值．解：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列{an}的公差等于d，則由題意可得，解得a1=1，d=1．∴{an}的通項公式an=1+（n﹣1）1=1n．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得{an}的前n項和為Sn==n（n+1）．∵若a1，ak，Sk+1成等比數(shù)列，∴=a1Sk+1，∴4k1=1（k+1）（k+3），k="2"或k=﹣1（舍去），故k=2．考點：等比數(shù)列的性質(zhì)；等差數(shù)列的通項公式．20、（1）；（2）3.5【解析】試題分析:（1）建立直角坐標(biāo)系，設(shè)圓一般方程，根據(jù)三點E,F,M坐標(biāo)解出參數(shù)（2）根據(jù)題意求出圓上橫坐標(biāo)等于c點橫坐標(biāo)的縱坐標(biāo)，再根據(jù)要求在豎直方向上的高度之差至少要有得車輛通過隧道的限制高度試題解析：（1）以所在直線為軸，以所在直線為軸，以1m為單位長度建立直角坐標(biāo)系，則，，，由于所求圓的圓心在軸上，所以設(shè)圓的方程為，因為，在圓上，所以，解得，，所以圓的方程為