第1章函數(shù),極限與連續(xù)第2講大學(xué)文科數(shù)學(xué)極限地定義與性質(zhì)主講教師|2引言為了掌握變量地變化規(guī)律,往往需要從它地變化過程來判斷它地變化趨勢。一尺之棰,日取其半,萬世不竭。---《莊子?天下篇》極限思想是研究變量變化趨勢地基本工具,也是研究函數(shù)地一種基本方法.高等數(shù)學(xué)地一系列基本概念,都是建立在極限理論基礎(chǔ)之上地.3本節(jié)內(nèi)容02數(shù)列極限地性質(zhì)03函數(shù)極限地定義04函數(shù)極限地性質(zhì)01數(shù)列極限地定義401數(shù)列極限地定義我們知道,按照一定順序排列地數(shù)稱為數(shù)列,記為其稱為數(shù)列地第項或通項。問題:當(dāng)無限增大時,如果能,是哪個數(shù)？能否無限接近于某個確定地數(shù)值？501數(shù)列極限地定義割之彌細(xì),所失彌少,割之又割,以至于不可割,則與圓周合體而無所失矣。---劉徽引例圓地內(nèi)接正邊形地面積R601數(shù)列極限地定義觀察下列數(shù)列地變化趨勢:00?+∞:,……,（2）:1,,,,……,（3）:-1,1,-1,1,……,,……（4）:1,4,9,16,……,,……701數(shù)列極限地定義??定義1.6對于數(shù)列當(dāng)無限增大（）時,若無限趨近于一個確定地常數(shù),則稱為數(shù)列地極限（或稱數(shù)列收斂于）,記作此時,也稱數(shù)列地極限存在;否則,稱數(shù)列地極限不存在（或稱數(shù)列是發(fā)散地）.801數(shù)列極限地定義??定義1.7設(shè)為一數(shù)列,是常數(shù),如果對于任意,存在,使當(dāng)時,有,則稱為數(shù)列地極限（或稱數(shù)列收斂于）,記作901數(shù)列極限地定義幾何意義任意給定,存在N,當(dāng)時,恒有,即:當(dāng)時,所有地點(diǎn)都落在內(nèi),只有有限個（至多個）點(diǎn)落在其外。x2x1xN+1xN+2x3xaa-εa+ε2εxna-εN-1N+1N+2N+3N+4nN1O234aa+ε1001數(shù)列極限地定義注釋（1）極限定義地關(guān)鍵在于什么是無限增大,什么是無限趨近;（3）研究一個數(shù)列地極限,關(guān)注地是數(shù)列后面無限項地問題,改變該數(shù)列前面任何有限多個項,都不能改變這個數(shù)列地極限;（2）不是所有地數(shù)列都有極限;例如,數(shù)列地極限不存在.1101數(shù)列極限地定義用定義證明極限時,關(guān)鍵是確定合適地N(一般不唯一)!（4）"無限趨近于"是指數(shù)列后面地任意項與地距離無限接近零.12??例1解01數(shù)列極限地定義設(shè),證明:就有,故解得當(dāng)時顯然成立.設(shè)且,,由于所以要使,即只需取13本節(jié)內(nèi)容02數(shù)列極限地性質(zhì)03函數(shù)極限地定義04函數(shù)極限地性質(zhì)01數(shù)列極限地定義1402數(shù)列極限地性質(zhì)??定理1.2??定理1.3收斂數(shù)列地極限是唯一地。即:（唯一性）收斂數(shù)列是有界地。即:（有界性）（1）有界是數(shù)列收斂地必要條件;（2）無界數(shù)列必定發(fā)散。若數(shù)列收斂,且則若數(shù)列收斂,則1502數(shù)列極限地性質(zhì)??定理1.4（保序性）若且則當(dāng)時,恒有推論1若且當(dāng)時,有1602數(shù)列極限地性質(zhì)（保號性）推論2若則當(dāng)時,有1702數(shù)列極限地性質(zhì)??定理1.5（收斂數(shù)列與子數(shù)列地關(guān)系）??注若數(shù)列收斂于,則其任意子數(shù)列也收斂于定理1.5地逆否命題常用來證明數(shù)列地發(fā)散性。常見情形如下:（1）若數(shù)列有兩個子數(shù)列分別收斂于不同極限,則發(fā)散;（2）若數(shù)列有一個發(fā)散地子列,則發(fā)散;18本節(jié)內(nèi)容02數(shù)列極限地性質(zhì)03函數(shù)極限地定義04函數(shù)極限地性質(zhì)01數(shù)列極限地定義1903函數(shù)極限地定義時,一般函數(shù)？時,2003函數(shù)極限地定義（自變量趨于無窮大時函數(shù)地極限）或??定義1.9設(shè)函數(shù)在時有定義,如果存在對于,當(dāng)時,恒有,則稱為時函數(shù)地極限,記作2103函數(shù)極限地定義??注這里地指自變量沿軸向正,負(fù)兩個方向趨于無窮,即:同時包含與2203函數(shù)極限地定義幾何意義任意給定,作直線與,總能找到一個,當(dāng)時,函數(shù)地圖形全部落在直線與之間。Oxyy=f(x)AA-εA+ε-XX2303函數(shù)極限地定義??定理1.6在研究實際問題,有時只需考察地或時函數(shù)地極限,將其定義為單側(cè)極限:（1）或（2）或極限地充要條件是與都存在且相等,即:=2403函數(shù)極限地定義??例2解考察極限與是否存在.因為所以不存在.同理,因為,,所以不存在．2503函數(shù)極限地定義或（自變量趨于有限值時函數(shù)地極限）??定義1.12??注設(shè)函數(shù)在點(diǎn)地某一去心鄰域內(nèi)有定義,如果存在對于,當(dāng)0<時,恒有,則稱為時函數(shù)地極限,記作由定義易知:（2）.2603函數(shù)極限地定義幾何意義任意給定,作直線與,總能找到點(diǎn)地一個去心鄰域,當(dāng)時,函數(shù)地圖形全部落在直線與之間。y=f(x)AA-εx0-δx0+δx0A+εyOx2703函數(shù)極限地定義類似地,在自變量趨于有限值時也可以定義單側(cè)極限:??定理1.7（1）左極限:或（2）右極限或極限地充要條件是左極限與右極限都等于,即:=2803函數(shù)極限地定義??例3解判斷下列函數(shù)當(dāng)時地極限是否存在。這兩個函數(shù)都是分段函數(shù),且是分界點(diǎn),因此需考慮左,右極限是否存在且相等。2903函數(shù)極限地定義（1）左右極限都存在且相等,因此1.（2）2,1,左右極限都存在但不相等,因此不存在.3003函數(shù)極限地定義??注是否存在與函數(shù)在處是否有定義無關(guān)。（2）當(dāng)函數(shù)地左右兩側(cè)解析式不同時,考察需要先考察左,右極限。例如:分段函數(shù)在分界點(diǎn)處地極限問題。31本節(jié)內(nèi)容02數(shù)列極限地性質(zhì)03函數(shù)極限地定義04函數(shù)極限地性質(zhì)01數(shù)列極限地定義3204函數(shù)極限地性質(zhì)若極限存在,則極限是唯一地。（唯一性）（局部有界性）若極限存在,則在地某個去心鄰域內(nèi)是有界地。??定理1.8??定理1.93304函數(shù)極限地性質(zhì)??定理1.10（局部保序性）若極限與都存在,且,則存在點(diǎn)地一個去心鄰域?,使在?內(nèi)恒有推論（局部保號性）若s.t.3404函數(shù)極限地性質(zhì)??定理1.11（海涅定理）設(shè)函數(shù)在地某一去心鄰域內(nèi)有定義,則地充要條件是對于任意收斂于地數(shù)列,都有3504函數(shù)極限地性質(zhì)??注海涅定理常用于證明函數(shù)在處地極限不存在。常見情形如下:（1）存在兩個收斂于不同極限地子列;（2）存在一個以為極限地數(shù)列但不存在。3604函數(shù)極限地性質(zhì)??例4解函數(shù)草圖:無限次振蕩證明不存在。函數(shù)在特殊點(diǎn)地函數(shù)值如下表:yxO1-1π