2022-2023學年高一下數(shù)學期末模擬試卷考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．高斯是德國著名的數(shù)學家，近代數(shù)學奠基者之一，享有“數(shù)學王子”的稱號，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設，用表示不超過的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù).例如：，，已知函數(shù)，則函數(shù)的值域為（）A． B． C． D．2．已知函數(shù)，則下列命題正確的是（）①的最大值為2；②的圖象關于對稱；③在區(qū)間上單調(diào)遞增；④若實數(shù)m使得方程在上恰好有三個實數(shù)解，，，則；A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④3．若角的頂點與坐標原點重合，始邊與x軸的正半軸重合，終邊經(jīng)過點，則（）A． B． C． D．4．已知直線：，：，若：；，則是的（）A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件5．在平面直角坐標系中，，分別是軸和軸上的動點，若直線恰好與以為直徑的圓相切，則圓面積的最小值為（）A． B． C． D．6．如圖是某幾何體的三視圖，則該幾何體的外接球的表面積是（）A． B． C． D．7．已知命題，，若是真命題，則實數(shù)的取值范圍是()A． B． C． D．8．圓與圓的位置關系為()A．相交 B．相離 C．相切 D．內(nèi)含9．無窮數(shù)列1,3,6,10，…的通項公式為（）A． B．C． D．10．函數(shù)圖象的一條對稱軸在內(nèi)，則滿足此條件的一個值為（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．若直線與圓相切，則________.12．已知，，則________．13．設實數(shù)滿足，則的最小值為_____14．如果3個正整數(shù)可作為一個直角三角形三條邊的邊長，則稱這3個數(shù)為一組勾股數(shù)．現(xiàn)從1,2,3,4,5中任取3個不同的數(shù)，則這3個數(shù)構(gòu)成一組勾股數(shù)的概率為．15．已知x，y＝R+，且滿足x2y6，若xy的最大值與最小值分別為M和m，M+m＝_____.16．函數(shù)的反函數(shù)為____________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．某校從高一年級的一次月考成績中隨機抽取了50名學生的成績（滿分100分，且抽取的學生成績都在內(nèi)），按成績分為，，，，五組，得到如圖所示的頻率分布直方圖.（1）用分層抽樣的方法從月考成績在內(nèi)的學生中抽取6人，求分別抽取月考成績在和內(nèi)的學生多少人；（2）在（1）的前提下，從這6名學生中隨機抽取2名學生進行調(diào)查，求月考成績在內(nèi)至少有1名學生被抽到的概率.18．設函數(shù)，其中，.（1）求的周期及單調(diào)遞減區(qū)間；（2）若關于的不等式在上有解，求實數(shù)的取值范圍.19．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示.（1）求函數(shù)的解析式，并求出的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若，求的值20．如圖，等腰梯形中，，，，取中點，連接，把三角形沿折起，使得點在底面上的射影落在上，設為的中點.（1）求證：平面；（2）求二面角的余弦值.21．已知是等差數(shù)列的前項和，且，.（1）求通項公式；（2）若，求正整數(shù)的值.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、D【解析】

分離常數(shù)法化簡f（x），根據(jù)新定義即可求得函數(shù)y＝[f（x）]的值域．【詳解】，又>0，∴，∴∴當x∈（1，1）時，y＝[f（x）]＝1；當x∈[1，）時，y＝[f（x）]＝1．∴函數(shù)y＝[f（x）]的值域是{1，1}．故選D．【點睛】本題考查了新定義的理解和應用，考查了分離常數(shù)法求一次分式函數(shù)的值域，是中檔題．2、C【解析】

，由此判斷①的正誤，根據(jù)判斷②的正誤，由求出的單調(diào)遞增區(qū)間，即可判斷③的正誤，結(jié)合的圖象判斷④的正誤.【詳解】因為，故①正確因為，故②不正確由得所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，故③正確若實數(shù)m使得方程在上恰好有三個實數(shù)解，結(jié)合的圖象知，必有此時，另一解為即，，滿足，故④正確綜上可知：命題正確的是①③④故選：C【點睛】本題考查的是三角函數(shù)的圖象及其性質(zhì)，解決這類問題時首先應把函數(shù)化成三角函數(shù)基本型.3、C【解析】

根據(jù)三角函數(shù)定義結(jié)合正弦的二倍角公式計算即可【詳解】由題意，∴，，．故選：C.【點睛】本題考查三角函數(shù)的定義，考查二倍角的正弦公式，掌握三角函數(shù)定義是解題關鍵．4、C【解析】因為直線：，：，所以或，即是的必要不充分條件.故選C.點睛：本題考查兩條直線平行的判定；由直線的一般式判定兩直線平行或垂直時，若將一般式化成斜截式，往往需要討論斜率是否存在，為了避免討論，記住以下結(jié)論：已知直線，.則或；.5、A【解析】

根據(jù)題意畫出圖像，數(shù)形結(jié)合，根據(jù)圓面積最小的條件轉(zhuǎn)化為直徑等于原點到直線的距離，再求解圓面積即可.【詳解】根據(jù)題意畫出圖像如圖所示，圓心為線段中點，為直角三角形，所以，作直線且交于點，直線與圓相切，所以，要使圓面積的最小，即使半徑最小，由圖知，當點、、共線時，圓的半徑最小，此時原點到直線的距離為，由點到直線的距離公式：，解得，所以圓面積的最小值.故選：A【點睛】本題主要考查點到直線距離公式和圓切線的應用，考查學生分析轉(zhuǎn)化能力和數(shù)形結(jié)合的思想，屬于中檔題.6、B【解析】

由三視圖還原幾何體，可知該幾何體是由邊長為的正方體切割得到的四棱錐，可知所求外接球即為正方體的外接球，通過求解正方體外接球半徑，代入球的表面積公式可得到結(jié)果.【詳解】由三視圖可知，幾何體為如下圖所示的四棱錐：由上圖可知：四棱錐可由邊長為的正方體切割得到該正方體的外接球即為四棱錐的外接球四棱錐的外接球半徑外接球的表面積故選：【點睛】本題考查棱錐外接球表面積的求解問題，關鍵是能夠通過三視圖還原幾何體，并將幾何體放入正方體中，通過求解正方體的外接球表面積得到結(jié)果；需明確正方體外接球表面積為其體對角線長的一半.7、A【解析】

由題意知，不等式有解，可得出，可得出關于實數(shù)的不等式，即可解得實數(shù)的取值范圍.【詳解】已知命題，，若是真命題，則不等式有解，，解得.因此，實數(shù)的取值范圍是.故選：A.【點睛】本題考查利用全稱命題的真假求參數(shù)，涉及一元二次不等式有解的問題，考查計算能力，屬于基礎題.8、B【解析】

首先把兩個圓的一般方程轉(zhuǎn)化為標準方程，求出其圓心坐標和半徑，再比較圓心距與半徑的關系即可.【詳解】有題知：圓，即：，圓心，半徑.圓，即：，圓心，半徑.所以兩個圓的位置關系是相離.故選：B【點睛】本題主要考查圓與圓的位置關系，比較圓心距和半徑的關系是解決本題的關鍵，屬于簡單題.9、C【解析】試題分析：由累加法得:,分別相加得,,故選C.考點：數(shù)列的通項公式.10、A【解析】

求出函數(shù)的對稱軸方程，使得滿足在內(nèi)，解不等式即可求出滿足此條件的一個φ值．【詳解】解：函數(shù)圖象的對稱軸方程為：xk∈Z，函數(shù)圖象的一條對稱軸在內(nèi)，所以當k＝0時，φ故選A．【點睛】本題是基礎題，考查三角函數(shù)的基本性質(zhì)，不等式的解法，考查計算能力，能夠充分利用基本函數(shù)的性質(zhì)解題是學好數(shù)學的前提．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、1【解析】

利用圓心到直線的距離等于半徑列方程，解方程求得的值.【詳解】由于直線和圓相切，所以圓心到直線的距離，即，由于，所以.故答案為：【點睛】本小題主要考查直線和圓的位置關系，考查點到直線的距離公式，屬于基礎題.12、【解析】

由二倍角求得α，則tanα可求．【詳解】由sin2α=sinα，得2sinαcosα=sinα，∵,∴sinα≠0,則,即.∴.故答案為：.【點睛】本題考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值，考查公式的靈活應用，屬于基礎題.13、1．【解析】

由約束條件作出可行域，化目標函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，把最優(yōu)解的坐標代入目標函數(shù)得答案．【詳解】解：由實數(shù)滿足作出可行域如圖，

由圖形可知：．

令，化為，

由圖可知，當直線過點時，直線在軸上的截距最小，有最小值為1．

故答案為：1．【點睛】本題考查簡單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．14、．【解析】試題分析：從中任取3個不同的數(shù)，有，，，，，，，，，共10種，其中只有為勾股數(shù)，故這3個數(shù)構(gòu)成一組勾股數(shù)的概率為．考點：用列舉法求隨機事件的概率．15、【解析】

設，則，可得，然后利用基本不等式得到關于的一元二次方程解方程可得的最大值和最小值，進而得到結(jié)論.【詳解】∵x，y＝R+，設，則，∴∴12t＝（2t+2）x+（4t+1）y，∴18t≥（t+1）（4t+1）＝4t2+5t+1，∴4t2﹣13t+1≤0，∴，∵xy的最大值與最小值分別為M和m，∴M，m，∴M+m.【點睛】本題考查了基本不等式的應用和一元二次不等式的解法，考查了轉(zhuǎn)化思想和運算推理能力，屬于中檔題.16、【解析】

首先求出在區(qū)間的值域，再由表示的含義，得到所求函數(shù)的反函數(shù).【詳解】因為，所以，.所以的反函數(shù)是.故答案為：【點睛】本題主要考查反函數(shù)定義，同時考查了三角函數(shù)的值域問題，屬于簡單題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）有4人，有2人；（2）【解析】

（1）由頻率分布直方圖，求出成績在和內(nèi)的頻率的比值，再按比例抽取即可；（2）由古典概型的概率的求法，先求出從這6名學生中隨機抽取2名學生的所有不同取法，再求出被抽到的學生至少有1名月考成績在內(nèi)的不同取法，再求解即可.【詳解】解：（1）因為，所以，則月考成績在內(nèi)的學生有人；月考成績在內(nèi)的學生有人，則成績在和內(nèi)的頻率的比值為，故用分層抽樣的方法從月考成績在內(nèi)的學生中抽取4人，從月考成績在內(nèi)的學生中抽取2人.（2）由（1）可知，被抽取的6人中有4人的月考成績在內(nèi)，分別記為，，，；有2人的月考成績在內(nèi)，分別記為，.則從這6名學生中隨機抽取2名學生的情況為，，，，，，，，，，，，，，，共15種；被抽到的學生至少有1名月考成績在內(nèi)的情況為，，，，，，，，，共9種.故月考成績內(nèi)至少有1名學生被抽到的概率為.【點睛】本題考查了分層抽樣，重點考查了古典概型概率的求法，屬中檔題.18、（1），；（2）【解析】

（1）利用坐標形式下向量的數(shù)量積運算以及二倍角公式、輔助角公式將化簡為的形式，根據(jù)周期計算公式以及單調(diào)性求解公式即可得到結(jié)果；（2）分析在的值域，根據(jù)能成立的思想得到與滿足的不等關系，求解出的范圍即可.【詳解】（1）∵，∴，∴的周期為，令，則，的單調(diào)遞減區(qū)間為（2）∵，∴，在上遞增，在上遞減，且，∴，∴，即，若在上有解，則故：，解得.【點睛】本題考查向量與三角函函數(shù)的綜合應用，其中著重考查了使用三角恒等變換進行化簡以及利用正弦函數(shù)的性質(zhì)分析值域從而求解參數(shù)范圍，對于轉(zhuǎn)化與計算的能力要求較高，難度一般.19、（1）；遞增區(qū)間為；（2）【解析】

（1）由圖可知其函數(shù)的周期滿足，從而求得，進而求得，再代入點的坐標可得值，從而求得解析式；解不等式，可得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；（2）由題意可得，結(jié)合，得到，利用平方關系，求得，之后利用差角余弦公式求得結(jié)果.【詳解】（1）設函數(shù)的周期為，由圖可知，∴，即，∵，∴，∴，上式中代入，有，得，，即，，又∵，∴，∴，令，解得，即的遞增區(qū)間為；（2），又，∴，∴；∴．【點睛】該題考查的是有關三角函數(shù)的問題，涉及到的知識點有根據(jù)圖象確定函數(shù)解析式，求正弦型函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，同角三角函數(shù)關系式，利用整體角思維，結(jié)合差角正弦公式求三角函數(shù)值，屬于簡單題目.20、（1）見解析；（2）.【解析】

（1）取的中點，取的中點，連接、、、、，可知、均為等邊三角形，可證明出平面，從而得出，再證明出四邊形為平行四邊形，可得出，由等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得，從而可得出，再利用線面垂直的判定定理可證明出平面；（2）過點在平面內(nèi)作，垂足為點，連接，證明出平面，可得知二面角的平面角為，計算出直角三角形三邊邊長，即可求出，即為所求.【詳解】（1）如下圖所示，取的中點，取的中點，連接、、、、，在等腰梯形中，，，，為的中點，所以，，又，則，為等邊三角形，同理可知為等邊三角形，為的中點，，，，平面，平面，，由于和是邊長相等的等邊三角形，且為的中點，，為的中點，.在等腰梯形中，且，則四邊形為平行四邊形，、分別為、的中點，且，為的中點，且，則四邊形為平行四邊形，，，，平面；（2）過點在平面內(nèi)作