歡迎老師們參加數(shù)學(xué)文化修養(yǎng)提高培訓(xùn)班祝愿大家度過愉快的一周7月23日-7月29日衢州學(xué)院教師教育學(xué)院徐禮卡當前1頁，總共179頁。數(shù)學(xué)文化思考：1.數(shù)學(xué)是什么？2.數(shù)學(xué)是文化嗎？3.為什么說數(shù)學(xué)是一種文化？4.什么是數(shù)學(xué)文化？5.數(shù)學(xué)文化具有哪些特征？……思考與體會數(shù)學(xué)作為一種文化所具有的文化教育價值，數(shù)學(xué)作為一種文化是如何對人們的行為方式發(fā)生越來越重要的影響的。當前2頁，總共179頁。2011版《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準》關(guān)于數(shù)學(xué)文化的論述：前言：

數(shù)學(xué)是人類文化的重要組成部分，數(shù)學(xué)素養(yǎng)是現(xiàn)代社會每一個公民應(yīng)該具備的基本素養(yǎng)。作為促進學(xué)生全面發(fā)展教育的重要組成部分，數(shù)學(xué)教育既要使學(xué)生掌握現(xiàn)代生活和學(xué)習中所需要的數(shù)學(xué)知識與技能，更要發(fā)揮數(shù)學(xué)在培養(yǎng)人的思維能力和創(chuàng)新能力方面的不可替代的作用。

當前3頁，總共179頁。教材編寫建議中指出：（P63）

數(shù)學(xué)文化作為教材的組成部分，應(yīng)滲透在整套教材中。為此，教材可以適時地介紹有關(guān)背景知識，包括數(shù)學(xué)在自然與社會中的應(yīng)用，以及數(shù)學(xué)發(fā)展史的有關(guān)材料，幫助學(xué)生了解在人類文明發(fā)展中數(shù)學(xué)的作用，激發(fā)學(xué)習數(shù)學(xué)的興趣，感受數(shù)學(xué)家治學(xué)的嚴謹，欣賞數(shù)學(xué)的優(yōu)美。例如，可以介紹《九章算術(shù)》、珠算、《幾何原本》、機器證明、黃金分割、CT技術(shù)、布豐投針等。當前4頁，總共179頁。52003年，“數(shù)學(xué)文化”一詞首次進入官方文件當前5頁，總共179頁。6當前6頁，總共179頁。7當前7頁，總共179頁。數(shù)學(xué)文化概述講座提綱一、數(shù)學(xué)、數(shù)學(xué)課程、數(shù)學(xué)家二、幾個引題三、欣賞四、幾個企業(yè)招聘的真題給數(shù)學(xué)教育的啟示五、數(shù)學(xué)文化六、數(shù)學(xué)文化中的美學(xué)觀當前8頁，總共179頁。一、數(shù)學(xué)、數(shù)學(xué)教育、數(shù)學(xué)家1.數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史非常悠久，大約在一萬多年前，人類從生產(chǎn)實踐中逐漸形成了“數(shù)”和“形”的概念，但真正形成數(shù)學(xué)理論還是從古希臘人開始的。公元前300多年以前，希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得寫了《幾何原本》一書，這是自古以來所有科學(xué)著作中發(fā)行最廣、沿用時間最長的巨著。兩千多年來，數(shù)學(xué)的發(fā)展大體可以分為三個階段：17世紀以前的初級階段：常量數(shù)學(xué)，如初等幾何，初等代數(shù)；文藝復(fù)興時期，進入第二階段，即變量數(shù)學(xué)階段：微積分、解析幾何、高等代數(shù)；19世紀開始，數(shù)學(xué)獲得巨大發(fā)展，形成近代數(shù)學(xué)階段，產(chǎn)生了實變函數(shù)、泛函分析、非歐幾何、拓撲學(xué)、近世代數(shù)、計算數(shù)學(xué)、數(shù)理邏輯等新的數(shù)學(xué)分支。當前9頁，總共179頁。數(shù)學(xué)科學(xué)按其內(nèi)容可分成五個大學(xué)科：純粹（基礎(chǔ)）數(shù)學(xué)；應(yīng)用數(shù)學(xué)；計算數(shù)學(xué)；運籌于控制；概率論與數(shù)理統(tǒng)計。當前10頁，總共179頁。近半個多世紀以來，數(shù)學(xué)科學(xué)產(chǎn)生了新的研究領(lǐng)域和方法，如混沌；（如蝴蝶效應(yīng)）分形幾何；（如雪花曲線、海岸線長度問題）小波變換。數(shù)學(xué)發(fā)展至今，已經(jīng)成為擁有100多個分支的科學(xué)體系，盡管如此，其核心領(lǐng)域還是：代數(shù)學(xué)——研究數(shù)的理論；幾何學(xué)——研究形的理論；分析學(xué)——溝通形與數(shù)且涉及極限運算的部分。當前11頁，總共179頁。

數(shù)學(xué)并不是一串枯燥乏味的數(shù)字符號、難以理解的概念堆積和故弄玄虛的雜技魔術(shù)，更不是有人主觀臆造出來的無根無基的空中樓閣。數(shù)學(xué)源于實際，運用人類的智慧和努力，經(jīng)過理論的精煉和升華，在更高層次上指導(dǎo)實際，并有所創(chuàng)造。但是，我們在教學(xué)中應(yīng)注意弗賴登塔爾曾這樣描述過數(shù)學(xué)的表現(xiàn)形式：“沒有一種數(shù)學(xué)思想，以它被發(fā)現(xiàn)時的那個樣子公開發(fā)表出來，一個問題被解決后，相應(yīng)地發(fā)展為一種形式化技巧，結(jié)果把求解過程丟在一邊，使得火熱的發(fā)明變成冰冷的美麗。”當前12頁，總共179頁。數(shù)學(xué)是科學(xué)之王，數(shù)論是數(shù)學(xué)之王——高斯數(shù)學(xué)是科學(xué)大門的鑰匙——培根任何人的研究，沒有經(jīng)過數(shù)學(xué)的證明，就不能認為是真正的科學(xué)——達.芬奇數(shù)學(xué)是科學(xué)和技術(shù)的基礎(chǔ)，沒有強有力的數(shù)學(xué)，就不可能有強有力的科學(xué)——1989年美國報告《人人關(guān)心數(shù)學(xué)教育的未來》當前13頁，總共179頁。數(shù)學(xué)界有國際數(shù)學(xué)家大會。第一屆國際數(shù)學(xué)家大會于1897年在瑞士蘇黎世召開。4年舉行一次，之間有3屆大會因第一、二次世界大戰(zhàn)未如期舉行。2002年8月下旬，第24屆國際數(shù)學(xué)家大會在北京舉行，這是自1897年舉行的第一屆國際數(shù)學(xué)家大會以來首次在中國舉行，也是第一次在發(fā)展中國家舉行。第24屆“國際數(shù)學(xué)家大會”（ICM）

InternationalCongressofMathematicians當前14頁，總共179頁。世界上的數(shù)學(xué)獎項共有50余項，其中最受人關(guān)注的是：菲爾茲獎。只授予40歲以下的數(shù)學(xué)家，四年頒發(fā)一次，每次至多4名。雖只獎勵一枚金質(zhì)獎?wù)潞?500美元。但地位可與諾貝爾獎相提并論。美籍華裔數(shù)學(xué)家丘成桐于1983年獲得了此獎。沃爾夫獎。每次獎勵10萬美元，授予當代最有影響的數(shù)學(xué)家，每年頒發(fā)一次，1983年旅美中國數(shù)學(xué)家陳省身榮獲此獎。奈望林納獎。1982年首次頒發(fā)。當前15頁，總共179頁。中國數(shù)學(xué)獎：國家級科技獎（含數(shù)學(xué)）（1）國家最高科技獎，2000年開始，吳文俊獲首屆獎。（2）國家自然科學(xué)獎，1956年開始。以個人名義設(shè)置數(shù)學(xué)獎：許寶騄統(tǒng)計獎；陳省身數(shù)學(xué)獎；華羅庚數(shù)學(xué)獎；鐘家慶數(shù)學(xué)獎；馮康科學(xué)計算獎；邵逸夫數(shù)學(xué)科學(xué)獎（2004年陳省身獲首屆獎，2005年吳文俊獲獎，每年一次，獎金100萬美元）；何梁何利基金獎（陳景潤，王元，柯召等獲過）當前16頁，總共179頁。2.數(shù)學(xué)教育數(shù)學(xué)作為一門課程進入學(xué)校是在公元前就開始了的，柏拉圖時期就已開始，至今已2400年左右。柏拉圖甚至認為：“如果說不知道正方形的對角線和邊是不能用同一單位度量的，那他就不值得人的稱號?！彼踔烈?guī)定不懂幾何學(xué)不得進他的哲學(xué)學(xué)校。那時就把數(shù)學(xué)學(xué)習與教育、與做人聯(lián)系起來了。歐幾里得說：“在幾何學(xué)里，沒有專為國王鋪設(shè)的大道”。中國數(shù)學(xué)有悠久的歷史，也曾達到極高的水平，但有偏于應(yīng)用的一面，與古希臘數(shù)學(xué)強烈的理性色彩不同。古希臘數(shù)學(xué)，更接近世界觀，接近哲學(xué)，接近人生。數(shù)學(xué)被作為人類思想的產(chǎn)品，在那里，它也更靠近人文學(xué)，因而也具有獨特的地位。當前17頁，總共179頁。1908年，在羅馬舉行的國際數(shù)學(xué)家大會上決定建立“國際數(shù)學(xué)教育委員會，簡稱ICMI.”克萊因被選為第一任主席。ICMI主要是交流各國的數(shù)學(xué)教育情況，包括數(shù)學(xué)教學(xué)大綱的制定，教學(xué)方法的改進，數(shù)學(xué)學(xué)習水平的評價等。第二次世界大戰(zhàn)后，各國普遍實行9-12年的義務(wù)教育制度，這種轉(zhuǎn)變要求數(shù)學(xué)教育要面對全體民眾，“大眾數(shù)學(xué)”的口號也就應(yīng)運而生。20世紀60年代“新數(shù)學(xué)運動?！?0世紀80年代，美國率先提出：“回到基礎(chǔ)”，后又提出“數(shù)學(xué)問題解決?！钡目谔枴Ｖ袊鴶?shù)學(xué)教育，建國后約分為四個時期：創(chuàng)建時期（1949-1957），全面學(xué)習蘇聯(lián)，冷落西方，改革舊教育制度；改革初期（1958-1965）冷落蘇聯(lián)，建立自己教育；破壞時期（1966-1976）；復(fù)興改革時期（1977至今），建立有中國特色的教育。當前18頁，總共179頁。研究表明：只有1%的學(xué)生將來會需要研究數(shù)學(xué)，29%的學(xué)生將來會使用數(shù)學(xué)，70%的人在離開學(xué)校后不會再用小學(xué)以上的數(shù)學(xué)知識。我們的數(shù)學(xué)教育意義何在？當前19頁，總共179頁。從中國古代的“六藝”教育、希臘古代的“七藝”教育，直到當代，數(shù)學(xué)都是教育的核心內(nèi)容之一。人們早已意識到數(shù)學(xué)不只是讓人學(xué)會生活和生活得更好的知識或工具，（教育首先是滿足人的生存和發(fā)展的需要）它還能使人自身得到發(fā)展和完善。有產(chǎn)品的開發(fā)，科技的開發(fā)，可是，人們已認識到，還有人（或人類）自身的開發(fā)。從根本上說，應(yīng)當把數(shù)學(xué)教育視為文化素質(zhì)教育，或者說它本應(yīng)當是一種文化素質(zhì)教育或人文素質(zhì)教育。數(shù)學(xué)教育一定不僅僅是知識的教育，更重要的是智慧的教育！要展現(xiàn)數(shù)學(xué)思維和實踐的過程，要展現(xiàn)數(shù)學(xué)的基本思想。（抽象的思想；推理的思想；模型的思想）——史寧中。當前20頁，總共179頁。為什么會有一些青少年，對數(shù)學(xué)“望而生畏，望而卻步”？有“恐數(shù)癥”？1.不適應(yīng)學(xué)習數(shù)學(xué)的特殊要求：抽象的思維方法；嚴密的邏輯推理；謹慎的計算過程等。2.對數(shù)學(xué)缺乏了解和興趣在入門之前或之初就心存恐懼，缺乏斗志，稍受挫折就退卻放棄。當前21頁，總共179頁。事實上，只要知難而進，堅持不懈，再配以科學(xué)的學(xué)習方法，是可以在廣袤的數(shù)學(xué)園地內(nèi)暢游的，而且不斷地會感受到樂而忘返，甚至其樂無窮！因為這是一座富麗堂皇的數(shù)學(xué)宮殿！不要站在花園外面，還說花園枯燥無味！當前22頁，總共179頁。群星璀璨（一）泰勒斯歐幾里得畢達哥拉斯丟番圖笛卡爾韋達牛頓高斯歐拉費馬柯西康托3.數(shù)學(xué)家當前23頁，總共179頁。群星璀璨（二）伽羅華羅巴契夫斯基哈密頓羅素布勞威爾希爾伯特伯努利阿貝爾龐加萊柯爾莫哥洛夫波利亞芒德勃羅當前24頁，總共179頁。群星璀璨（三）阿基米德柏拉圖拉普拉斯萊布尼茲閔可夫斯基

黎曼魏爾斯特拉斯達朗貝爾維納拉馬努金馮·諾依曼懷爾斯當前25頁，總共179頁。群星璀璨（四）劉徽祖沖之趙爽楊輝秦九韶朱世杰華羅庚陳景潤蘇步青丘成桐陳省身吳文俊當前26頁，總共179頁。二、幾個引題1.有消息說，香蕉有艾滋病，不能吃。2.另一則消息說：“洋快餐用的雞有4個腿8個翅膀?！?.周長一定面積最大的平面圖形是什么？為什么？用數(shù)學(xué)的眼光看世界，進行數(shù)學(xué)方式地理性思維（直覺與理性；說不清道不明與邏輯推理）當前27頁，總共179頁。三、欣賞

你會從什么角度欣賞？當前28頁，總共179頁。當前29頁，總共179頁。當前30頁，總共179頁。當前31頁，總共179頁。當前32頁，總共179頁。當前33頁，總共179頁。當前34頁，總共179頁。當前35頁，總共179頁。幾何世界知多少平面幾何、立體幾何；解析幾何、微分幾何、高等幾何；歐幾里得幾何；非歐幾何；射影幾何；仿射幾何；曲面上的內(nèi)蘊幾何；黎曼幾何當前36頁，總共179頁。分形幾何并不難。認識世界的復(fù)雜性、多樣性、自相似性和對稱性，體驗世界之美妙的同時，更好地理解數(shù)學(xué)、喜愛數(shù)學(xué)。畫分形樹1）畫分形樹：畫樹干；畫兩個樹枝，注意樹干的角度是120度，長度是樹干的1/2;繼續(xù)在樹枝上畫小樹枝，要求同上。并討論：1）新的樹枝的數(shù)量；2）全部樹枝的數(shù)量；3）新的樹枝的長度；4）全部樹枝的長度，5）設(shè)計你自己的分形樹。當前37頁，總共179頁。38四、幾個企業(yè)招聘的真題給數(shù)學(xué)教育的啟示試題1某企業(yè)招聘員工的一道題

有兩個人賽跑。甲到達100米終點線時，乙才跑到90米?，F(xiàn)在如果讓甲的起跑線退后10米，這時兩人再同時起跑比賽，問比賽結(jié)果將怎樣？為什么？

關(guān)注：學(xué)生的思維定勢與思維的靈活性當前38頁，總共179頁。解決方法1：甲的速度比乙的快，問題相當于甲多跑10米（后退10米起跑）所化的時間少于乙再跑10米（從90米處跑到100米終點）的時間，當然還是甲勝出。解決方法2：甲退后10米與乙同時跑，則同時跑到90米處（甲追及乙），剩下的10米無疑甲先跑完，故甲勝出。解決方法3：甲跑完110米時，乙才跑完99米。當前39頁，總共179頁。試題2某外企招考員工的一道題

有三個筐，一個筐裝著柑子，一個筐裝著蘋果，一個筐混裝著柑子和蘋果。裝完后封好了。然后做了“柑子”、“蘋果”、“混裝”三個標簽，分別往上述三個筐上貼。由于馬虎，結(jié)果全都貼錯了。請你想一個辦法，只有一次機會，從某一個筐中拿出一個水果查看，就能夠糾正所有的標簽。當前40頁，總共179頁。思考：1.是用數(shù)學(xué)解決的問題嗎？2.1）怎么把握機會？從哪筐下手？

2）怎么推理？當前41頁，總共179頁。

從混裝筐下手2）糾正“混裝筐”后呢？當前42頁，總共179頁。

若從貼著標簽是蘋果的筐下手同理，若從貼著標簽是柑子的筐下手也不能保證一次糾正。當前43頁，總共179頁。招聘題實際上是測試應(yīng)聘者的邏輯推理能力——演繹推理。事實上，這樣的推理能力在小學(xué)就開始培養(yǎng)了。如北師大版小學(xué)數(shù)學(xué)三年級就有“生活中的推理”問題。當前44頁，總共179頁。實際上是訓(xùn)練邏輯推理——

演繹推理當前45頁，總共179頁。試題3某外企招考員工的又一道題

老師讓6名學(xué)生圍坐成一圈，另讓一名學(xué)生坐在中央，并拿出七頂帽子，其中四頂白色，三頂黑色。然后讓七名學(xué)生都戴上眼罩，并給每個學(xué)生戴一頂帽子；再只解開坐在圈上的六名學(xué)生的眼罩。這時，由于坐在中央的學(xué)生的阻擋，每個人只能看到五個人的帽子。老師說：“現(xiàn)在，你們七人猜一猜自己戴的帽子顏色?！贝蠹异o靜地思索了好大一會。最后，坐在中央的、被蒙住雙眼的學(xué)生說：“我猜到了。”問：中央的被蒙住雙眼的學(xué)生帶的是什么顏色的帽子？他是怎樣猜到的?當前46頁，總共179頁。47注意：有遮擋當前47頁，總共179頁。提示：1.嘗試用數(shù)學(xué)思維方法—特殊到一般，發(fā)現(xiàn)規(guī)律。（由簡至繁，3頂帽子、5頂帽子到7頂帽子）2.邊上人猜不到是因為兩種顏色沒有看盡，只看見3白2黑（不可能是4白1黑或2白3黑），自己頭上及對面被遮擋人頭上的帽子顏色看不見。3.嘗試能否用上數(shù)學(xué)思想方法—反證法。假設(shè)中間學(xué)生帶的是黑色帽子，則邊上還有2頂黑色帽子，總有一個學(xué)生能看到3頂黑色帽子，從而猜到自己戴什么顏色的帽子。當前48頁，總共179頁。思考：1.如果用2015頂帽子（1012頂黑色，1013頂白色）做同樣規(guī)則的游戲呢？2.能否利用數(shù)學(xué)的一般化精神，將帽子游戲一般化？3.上述案例說明什么？當前49頁，總共179頁。體現(xiàn)用人單位對“數(shù)學(xué)素養(yǎng)”的重視——用數(shù)學(xué)解決問題體現(xiàn)用人單位重視員工的數(shù)學(xué)文化當前50頁，總共179頁。51

數(shù)學(xué)素養(yǎng)才使人終身受益

一個人的學(xué)歷教育中，從小學(xué)一年級到大學(xué)一年級，一般要學(xué)十三年的數(shù)學(xué)課程，只有語文課能與之相比；但許多人并未因為學(xué)的時間長就掌握了數(shù)學(xué)的精髓。相反，大多數(shù)學(xué)生仍然對數(shù)學(xué)的思想、精神了解得較膚淺，對數(shù)學(xué)的宏觀認識和總體把握較差，數(shù)學(xué)素養(yǎng)較差；甚至誤以為學(xué)數(shù)學(xué)就是為了會做題、能應(yīng)付考試，不知道“數(shù)學(xué)方式的理性思維”的重大價值，不了解數(shù)學(xué)在生產(chǎn)、生活實踐中的重要作用，不理解數(shù)學(xué)文化與諸多文化的交匯。當前51頁，總共179頁。52

實際上，學(xué)生畢業(yè)后走入社會，如果不是在與數(shù)學(xué)相關(guān)的領(lǐng)域工作，他們學(xué)過的具體的數(shù)學(xué)定理、公式和解題方法可能大多用不上，以至很快就忘記了；而他們有所欠缺的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，反而是數(shù)學(xué)讓人終生受益的精華。一位數(shù)學(xué)教育家說，不管人們從事什么工作，深深銘刻在頭腦中的數(shù)學(xué)的思想精神、數(shù)學(xué)的思維方法和看問題的著眼點等，都會隨時隨地發(fā)生作用，使人們終生受益。

當前52頁，總共179頁。重視數(shù)學(xué)素養(yǎng)，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)三句耐人尋味的話：1）一個人不識字可以生活，但是若不識數(shù)，就很難生活了

。2）一個學(xué)科，只有當它成功地運用數(shù)學(xué)的時候，才算達到了成熟的程度。（馬克思講過，一門科學(xué)只有當它達到了能夠成功地運用數(shù)學(xué)時，才算真正發(fā)展了

）3）一個國家科學(xué)的進步，可以用它消耗的數(shù)學(xué)來度量。

當前53頁，總共179頁。數(shù)學(xué)定位：

1）數(shù)學(xué)不僅是一種重要的“工具”，也是一種思維模式，即“數(shù)學(xué)方式的理性思維”；2）數(shù)學(xué)不僅是一門科學(xué)，也是一種文化，即“數(shù)學(xué)文化”；3）數(shù)學(xué)不僅是一些知識，也是一種素質(zhì)，即“數(shù)學(xué)素質(zhì)”。在提高一個人的推理能力、抽象能力、分析能力和創(chuàng)造能力方面，數(shù)學(xué)訓(xùn)練的作用，是其他訓(xùn)練難以替代的。當前54頁，總共179頁。55“數(shù)學(xué)素養(yǎng)”的通俗說法

—把所學(xué)的數(shù)學(xué)知識都排除或忘掉后，剩下的東西從數(shù)學(xué)角度看問題的出發(fā)點；有條理地理性思維，嚴密地思考、求證，簡潔、清晰、準確地表達；在解決問題時、總結(jié)工作時，邏輯推理的意識和能力；對所從事的工作，合理地量化和簡化，周到地運籌帷幄，等等。當前55頁，總共179頁。56“數(shù)學(xué)素養(yǎng)”的專業(yè)說法

摘自“數(shù)學(xué)學(xué)科專業(yè)發(fā)展戰(zhàn)略研究報告”

——教育部高等學(xué)?！皵?shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)教學(xué)指導(dǎo)委員會”

1）主動探尋并善于抓住數(shù)學(xué)問題的背景和本質(zhì)的素養(yǎng)；2）熟練地用準確、簡明、規(guī)范的數(shù)學(xué)語言表達自己數(shù)學(xué)思想的素養(yǎng)；3）具有良好的科學(xué)態(tài)度和創(chuàng)新精神，合理地提出新思想、新概念、新方法的素養(yǎng)；當前56頁，總共179頁。4）對各種問題以“數(shù)學(xué)方式”的理性思維，從多角度探尋解決問題的方法的素養(yǎng)；5）善于對現(xiàn)實世界中的現(xiàn)象和過程進行合理的簡化和量化，建立數(shù)學(xué)模型的素養(yǎng)。當前57頁，總共179頁。58著力提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)

數(shù)學(xué)素養(yǎng)不是與生俱來的，是在學(xué)習和實踐中培養(yǎng)的。學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習中，不但要掌握數(shù)學(xué)知識，更要體會知識中蘊涵的數(shù)學(xué)文化，了解“數(shù)學(xué)方式的理性思維”，提高自己的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。當前58頁，總共179頁。59“數(shù)學(xué)文化”一詞的使用“類似該詞”的使用已有二、三十年;在中國，較早使用的是1990年鄧東皋、孫小禮、張祖貴編寫的《數(shù)學(xué)與文化》及齊民友寫的《數(shù)學(xué)與文化》;近十年“數(shù)學(xué)文化”一詞用得多起來。這個詞的使用頻率近年大大增加，說明它是有生命力的，說明許多人為著某種需要更愿意從文化這一角度來關(guān)注數(shù)學(xué)，更愿意強調(diào)數(shù)學(xué)的文化價值。五、數(shù)學(xué)文化當前59頁，總共179頁。20世紀60年代，西方學(xué)者率先提出了數(shù)學(xué)文化觀，從新的立場為數(shù)學(xué)哲學(xué)研究提出新的觀點和方法。近20年來，數(shù)學(xué)文化逐漸引起了國內(nèi)學(xué)者的關(guān)注，與數(shù)學(xué)文化相關(guān)的研究也轟轟烈烈地開展起來數(shù)學(xué)是人類創(chuàng)造的非自然的產(chǎn)物，凝聚了人類的知識、意識與經(jīng)驗，在傳播、影響、融合的過程中發(fā)展，具有文化的所有特點，所以應(yīng)該被看作是一種文化。當前60頁，總共179頁。數(shù)學(xué)文化是什么？數(shù)學(xué)=邏輯？；數(shù)學(xué)=中考數(shù)學(xué)？數(shù)學(xué)=高考數(shù)學(xué)？數(shù)學(xué)是不是文化？數(shù)學(xué)文化，文化數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)與文化，……數(shù)學(xué)文化=數(shù)學(xué)+文化？數(shù)學(xué)文化=數(shù)學(xué)+數(shù)學(xué)史？數(shù)學(xué)文化=“你知道嗎？”+“生活中的數(shù)學(xué)”+“數(shù)學(xué)游戲”等。數(shù)學(xué)文化=“閱讀材料”或“讀一讀”？當前61頁，總共179頁。文一：淺談數(shù)學(xué)文化在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透一、重視發(fā)揮數(shù)學(xué)教材的文化特性；二、切實加強數(shù)學(xué)教師教師的文化修養(yǎng)；三、注意凸顯數(shù)學(xué)課堂的文化屬性；四、注重加強數(shù)學(xué)活動的文化滲透《文二》：淺談小學(xué)數(shù)學(xué)文化的培養(yǎng)

一什么是數(shù)學(xué)文化？數(shù)學(xué)文化對數(shù)學(xué)教育有何作用？

二新課程中數(shù)學(xué)文化的開發(fā)

1．數(shù)學(xué)的理性精神；

2．數(shù)學(xué)思想與方法

；3．數(shù)學(xué)的美；

4．數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值；

5．數(shù)學(xué)的歷史文化

三數(shù)學(xué)文化在小學(xué)數(shù)學(xué)課堂滲透

1．注重對學(xué)生數(shù)學(xué)理性精神的培養(yǎng)——獨立思考，大膽質(zhì)疑，勇于批判；2.及時滲透數(shù)學(xué)思想方法；3.體現(xiàn)數(shù)學(xué)的美感價值；4.注重數(shù)學(xué)人文價值的滲透；

5.有效引導(dǎo)學(xué)生探究數(shù)學(xué)現(xiàn)象；

6.將相關(guān)的數(shù)學(xué)史適時引入課堂

關(guān)于數(shù)學(xué)文化的一些觀點當前62頁，總共179頁。文三：初中數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透“數(shù)學(xué)文化”的幾種方法1．進行學(xué)科整合；2．開展數(shù)學(xué)美學(xué)教育；3．進行數(shù)學(xué)實驗與游戲；4．學(xué)生撰寫數(shù)學(xué)周記文四：初中數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)學(xué)文化的滲透的實踐研究

1.追本溯源，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習興趣2.展示數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的過程，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造力，讓學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想；3.感受前人嚴謹態(tài)度，增強學(xué)生探索精神；4.數(shù)學(xué)史中的美育資源，可以培養(yǎng)學(xué)生的審美能力和創(chuàng)造能力你認為數(shù)學(xué)文化是什么？如何將數(shù)學(xué)文化貫穿于數(shù)學(xué)教育的始終？當前63頁，總共179頁。（一）數(shù)學(xué)文化教育名人名言1.國際、國內(nèi)數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家對研究“數(shù)學(xué)文化”的貢獻國際：德國大數(shù)學(xué)家F.克萊因與著名美國數(shù)學(xué)史家M.克萊因在數(shù)學(xué)文化研究方面做出了巨大貢獻。國內(nèi)：1.教育數(shù)學(xué)家張景中院士2.著名數(shù)學(xué)教育學(xué)家張奠宙先生3.著名數(shù)學(xué)家徐利治先生4.著名數(shù)學(xué)家武漢大學(xué)教授齊民友先生5.北京大學(xué)張順燕教授6.南開大學(xué)顧沛教授7.南京大學(xué)鄭毓信教授等都在數(shù)學(xué)文化建設(shè)方面有很深的造詣。8.湖南師范大學(xué)校長張楚廷教授。當前64頁，總共179頁。2.名家觀點

數(shù)學(xué)文化必須走進課堂，在實際數(shù)學(xué)教學(xué)中使得學(xué)生在學(xué)習數(shù)學(xué)的過程中真正受到文化感染，產(chǎn)生文化共鳴，體會數(shù)學(xué)的文化品位和世俗的人情味。這就是從微觀的角度進行分析，將數(shù)學(xué)文化滲入到課程標準、教科書，體現(xiàn)在數(shù)學(xué)教學(xué)的全過程之中。《數(shù)學(xué)文化的一些新視角》張奠宙當前65頁，總共179頁。數(shù)學(xué)文化可以說是一種世界文化.數(shù)學(xué)文化可以說是一種歷史文化.數(shù)學(xué)文化是一種思維文化.數(shù)學(xué)文化是一種高度抽象文化.數(shù)學(xué)文化是一種應(yīng)用文化數(shù)學(xué)文化還是一種經(jīng)濟文化.數(shù)學(xué)文化還是一種全息文化.當前66頁，總共179頁。

如果您的教學(xué)始終只是停留于知識與技能的層面，您恐怕就只能算是一個‘教書匠’；如果您的教學(xué)能夠很好地體現(xiàn)數(shù)學(xué)的思維，您就是一個‘智者’，您給學(xué)生帶來了真正的智慧；然而，如果您的數(shù)學(xué)教學(xué)能給學(xué)生無形的文化熏陶，那么，即使您只是一個小學(xué)教師，即使您身處偏僻的深山或邊遠地區(qū)，您卻是一個真正的大師，您的生命也因此而充滿了真正的價值?！堵剶?shù)學(xué)文化》鄭毓信當前67頁，總共179頁。（二）2011版《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準》關(guān)于數(shù)學(xué)文化的論述：前言：

數(shù)學(xué)是人類文化的重要組成部分，數(shù)學(xué)素養(yǎng)是現(xiàn)代社會每一個公民應(yīng)該具備的基本素養(yǎng)。作為促進學(xué)生全面發(fā)展教育的重要組成部分，數(shù)學(xué)教育既要使學(xué)生掌握現(xiàn)代生活和學(xué)習中所需要的數(shù)學(xué)知識與技能，更要發(fā)揮數(shù)學(xué)在培養(yǎng)人的思維能力和創(chuàng)新能力方面的不可替代的作用。

當前68頁，總共179頁。教材編寫建議中指出：（P63）

數(shù)學(xué)文化作為教材的組成部分，應(yīng)滲透在整套教材中。為此，教材可以適時地介紹有關(guān)背景知識，包括數(shù)學(xué)在自然與社會中的應(yīng)用，以及數(shù)學(xué)發(fā)展史的有關(guān)材料，幫助學(xué)生了解在人類文明發(fā)展中數(shù)學(xué)的作用，激發(fā)學(xué)習數(shù)學(xué)的興趣，感受數(shù)學(xué)家治學(xué)的嚴謹，欣賞數(shù)學(xué)的優(yōu)美。例如，可以介紹《九章算術(shù)》、珠算、《幾何原本》、機器證明、黃金分割、CT技術(shù)、布豐投針等。當前69頁，總共179頁?！毒耪滤阈g(shù)》九章算術(shù)集中國古代數(shù)學(xué)大成于一體，突出地表現(xiàn)了數(shù)學(xué)的實用性、計算性、歸納性及模型化的特點。尤其是實用性，表現(xiàn)在以算籌為工具，步步都與具體的現(xiàn)實問題和需要相連。對中國古代數(shù)學(xué)發(fā)展有很大影響，這種影響一直持續(xù)到清朝中葉。九章算術(shù)的敘述方式以歸納為主，先給出若干例題，再給出結(jié)果，但卻很少給出具體的解決問題的過程，因此歷代數(shù)學(xué)家有不少人曾經(jīng)注釋過這本書，其中以劉徽和李淳風的注釋最有影響。不同于西方以演繹為主的敘述方式，中國回來的數(shù)學(xué)著作也都是采用歸納為主的敘述方式。當前70頁，總共179頁。九章算術(shù)特點：1）是一個應(yīng)用數(shù)學(xué)體系，全書表述為應(yīng)用問題集的形式；2）以算法為主要內(nèi)容，全書以問、答、術(shù)構(gòu)成，“術(shù)”是主要需闡述的內(nèi)容；3）以算籌為工具。中國古代數(shù)學(xué)具有明顯的機械化、算法化的特征。對比：《幾何原本》也是古代西方數(shù)學(xué)的集大成于一體者，其思維特點是一種演繹的、抽象化的、公理化的思維創(chuàng)造。撇開具體的事實進行抽象的演繹，進入一個與現(xiàn)實沒有直接聯(lián)系的數(shù)學(xué)觀念世界。只要符合數(shù)學(xué)推理本身的邏輯，即使其正確性在短時期難以驗證，但隨著現(xiàn)實條件的逐漸成熟，遲早一定會在現(xiàn)實中得到證實。當前71頁，總共179頁。九章算術(shù)的數(shù)學(xué)成就：分數(shù)運算、比例問題、面積體積計算、一次方程組解法、負數(shù)概念引入及負數(shù)加減法則、開平方、開立方、一般二次方程解法等。例在方程術(shù)中第1題為：今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，實三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉；實三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉；實二十六斗。問上、中、下禾實一秉各幾何？問題相當于解方程組3x+2y+z=392x+3y+z=34解法如下：x+2y+3z=26123232311263439003452811392439003052411112439004040400111737XYzX=37/4,y=17/4;z=11/4參見：浙教版七下P91閱讀材料當前72頁，總共179頁。這一算法已經(jīng)接近現(xiàn)代數(shù)學(xué)的矩陣解法，說明中國籌算方法在古代具有領(lǐng)先地位，但這一算法卻未能將其推廣到一般情況，得出一般結(jié)論。這是中國古代數(shù)學(xué)缺乏抽象和概括，并上升到一般理論的必修，也是中國古代數(shù)學(xué)的不足。從這個例子中我們能得到什么啟發(fā)？數(shù)學(xué)中特殊問題一般化的重要性。數(shù)學(xué)教學(xué)中重視抽象與概括。當前73頁，總共179頁。數(shù)學(xué)教學(xué)不只是知識結(jié)論的教學(xué)，更應(yīng)重視數(shù)學(xué)思維的教學(xué)。當然，中國古代也有很成功地一般化得到結(jié)論的例子——南宋數(shù)學(xué)家秦九韶把《孫子算經(jīng)》中“物不知數(shù)”一題的方法推廣到一般的情況，得到稱為“大洐求一術(shù)”的方法，并將此方法寫入《數(shù)書九章》中，這個結(jié)論在歐洲直到18實際才由高斯和歐拉發(fā)現(xiàn)的，所以世界公認這個定理是中國人最早發(fā)現(xiàn)的，特別稱之為“中國剩余定理”。當前74頁，總共179頁。752003年，“數(shù)學(xué)文化”一詞首次進入官方文件當前75頁，總共179頁。76當前76頁，總共179頁。77當前77頁，總共179頁。

（三）數(shù)學(xué)文化教育現(xiàn)狀當前78頁，總共179頁。1.教材方面

數(shù)學(xué)教材中的一些欄目用意？小學(xué)數(shù)學(xué)：1.人教版：“你知道嗎？”“生活中的數(shù)學(xué)”“數(shù)學(xué)游戲”等。2.北師大版：“你知道嗎？”“數(shù)學(xué)萬花筒”等。初中數(shù)學(xué)：1.浙教版：“閱讀材料”等2.北師大版：“讀一讀”等當前79頁，總共179頁。當前80頁，總共179頁。當前81頁，總共179頁。當前82頁，總共179頁。2.教師方面

1）教師對數(shù)學(xué)文化價值的認識當前83頁，總共179頁。2）教師對教材中數(shù)學(xué)文化呈現(xiàn)方式的看法當前84頁，總共179頁。3）教師對如何對待教材中數(shù)學(xué)文化的內(nèi)容當前85頁，總共179頁。4）教師教學(xué)數(shù)學(xué)文化的方式當前86頁，總共179頁。5）教師主動搜集、增加數(shù)學(xué)文化的內(nèi)容當前87頁，總共179頁。（四）數(shù)學(xué)文化內(nèi)涵1.“文化”

狹義（說法很多，其一是

：“文化”就是“知識”，說一個人“有文化”，就是說他“有知識”；其二是指社會意識形態(tài)或觀念形式，即人的精神生活領(lǐng)域。

廣義（說法比較一致）

：“文化”是指通過人的活動對自然狀態(tài)的變革而創(chuàng)造的物質(zhì)財富和精神財富的總和、積淀，有相對的穩(wěn)定性。文化有兩個重要特征：一是群體性；二是傳統(tǒng)觀念，即價值系統(tǒng)，這種價值系統(tǒng)將通過群體特有的行為、觀念、態(tài)度、精神等決定群體的生活（行為）方式。當前88頁，總共179頁。通常認為，文化包括三個層面：物質(zhì)層面、制度層面、精神層面。狹義文化則主要指精神層面的文化。文化對人的塑造也就主要是指對人的精神的塑造，也就是使人形成一定的態(tài)度、價值觀、思維方式等，從而指導(dǎo)人的行為。“人類精神活動的變量是被稱之為文化的超有機體傳統(tǒng)的函數(shù)。”（文化學(xué)家——懷特）文化概括為意識形態(tài)領(lǐng)域的精神、思想、觀念等（數(shù)學(xué)中有：數(shù)學(xué)的一般化精神、歸納、類比的思想、對稱的觀點等）當前89頁，總共179頁。2.為什么說數(shù)學(xué)是一種文化數(shù)學(xué)都具有文化的所有特征，所以，數(shù)學(xué)就是一種文化。廣義的文化概念強調(diào)的是文化對人類創(chuàng)造活動的依賴性。數(shù)學(xué)對象終究不是物質(zhì)世界中的真實存在，而是人類抽象思維的產(chǎn)物，因此，從這個意義上說，數(shù)學(xué)就是一種文化。狹義的文化概念強調(diào)的是文化對人的行為、觀念、態(tài)度、精神等的影響。數(shù)學(xué)除了在科學(xué)技術(shù)方面的應(yīng)用外，其在精神領(lǐng)域的功效，特別是在對人類理性精神方面的影響也是有目共睹的?！碑斍?0頁，總共179頁。“作為一種人類的理性精神，作為理性精神最有力的倡導(dǎo)者和體現(xiàn)者，數(shù)學(xué)在今天已在一定程度上滲透到以前由權(quán)威、習慣、風俗所統(tǒng)治的領(lǐng)域，成為人們思想和行動的先導(dǎo)之一。某些數(shù)學(xué)成果，……對人類社會所產(chǎn)生的精神方面的影響，并不亞于對數(shù)學(xué)的影響，它們對認識觀、倫理觀乃至人生觀都產(chǎn)生了一定的作用”，因此，從這個意義上說數(shù)學(xué)還是一種文化。當前91頁，總共179頁?，F(xiàn)代文化學(xué)強調(diào)的是文化與群體、傳統(tǒng)等概念的密切關(guān)系，也即是文化的整體性。數(shù)學(xué)家顯然構(gòu)成了一個特殊的群體——數(shù)學(xué)共同體。中國古代的數(shù)學(xué)家以其注重實用和算法化的傳統(tǒng)，從而形成了以《九章算術(shù)》為代表的中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化的整體特色；古希臘的數(shù)學(xué)家則以其崇尚思辨和注重演繹的傳統(tǒng)，形成了以《幾何原本》為代表的古希臘數(shù)學(xué)文化的特色。因此，從這個意義上說，數(shù)學(xué)也構(gòu)成了一種文化。數(shù)學(xué)共同體和數(shù)學(xué)傳統(tǒng)正是數(shù)學(xué)文化整體性的體現(xiàn)。當前92頁，總共179頁。從文化的歷史性角度考慮。數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史既是一部文明史，也是一部文化的發(fā)展史。數(shù)學(xué)共同體和數(shù)學(xué)傳統(tǒng)也不乏帶有其歷史性成分。因而數(shù)學(xué)傳統(tǒng)的不斷變革及數(shù)學(xué)知識的延續(xù)性，就可以看成數(shù)學(xué)發(fā)展的重要特點。這一特點也是數(shù)學(xué)之所以成為文化的一個重要特征。當前93頁，總共179頁。以上的分析，實際上也是從數(shù)學(xué)對象的人為性、數(shù)學(xué)活動的整體性和數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史性這三個不同層面上指出了數(shù)學(xué)文化的意義。所謂數(shù)學(xué)文化，是指以數(shù)學(xué)家為主導(dǎo)的數(shù)學(xué)共同體所特有的行為、觀念、態(tài)度和精神等，也即是指數(shù)學(xué)共同體所特有的生活（行為）方式，或者說是特定的數(shù)學(xué)傳統(tǒng)。當前94頁，總共179頁。

東方文化、西方文化、古希臘文化、，中華文化文化是一個與自然相對的概念，文化是人類的創(chuàng)造物，是人類的精神產(chǎn)品。文化是一個相對于群體的概念。不同的國家、地區(qū)和民族有其不同的文化。文化影響著人們的行為方式。那些言談舉止粗魯?shù)娜?，常常被看成是“沒文化”、“沒素養(yǎng)”的人。當前95頁，總共179頁。3.理性精神、數(shù)學(xué)精神數(shù)學(xué)文化是一種理性精神。來源于理性的思維方式和觀念形成的力量。數(shù)學(xué)文化是一種使人，乃至使整個社會減少盲目和迷信，增強理智和文明的精神力量。數(shù)學(xué)精神和數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)文化的重要組成部分。思考：1.中國古代為什么沒有對頂角相等這樣的命題？2.船長年齡問題：“一條船上有75頭牛，32頭羊，問船長幾歲？”大多數(shù)學(xué)生能“算”出來，說明什么？反思什么？

理性判斷、推理等活動的理性認識從理智上控制行為的能力當前96頁，總共179頁。數(shù)學(xué)精神——是人們在數(shù)學(xué)活動中形成的價值觀念和行為規(guī)范。內(nèi)涵十分豐富：主要有數(shù)學(xué)理性精神、數(shù)學(xué)求真精神、數(shù)學(xué)創(chuàng)新精神、數(shù)學(xué)合作與獨立思考精神等。數(shù)學(xué)思想——數(shù)學(xué)中的智巧、大膽的想象和猜測、豐富的直覺、奇特的構(gòu)思，與縝密的論證和推理一起構(gòu)成了數(shù)學(xué)的思想特質(zhì)。數(shù)學(xué)精神和數(shù)學(xué)思想來源于數(shù)學(xué)知識的創(chuàng)造過程。數(shù)學(xué)文化是數(shù)學(xué)由物質(zhì)形態(tài)轉(zhuǎn)化為精神形態(tài)的產(chǎn)物，是數(shù)學(xué)發(fā)展的高級階段，這一階段的數(shù)學(xué)主要是一種精神，這種精神體現(xiàn)在人們行為上便是對理性的探索和對待事物的科學(xué)態(tài)度。當前97頁，總共179頁。4.數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)的關(guān)系有這樣一種觀點：數(shù)學(xué)文化特指意識形態(tài)中的數(shù)學(xué)的方法、思想、精神、觀念等，而不包括數(shù)學(xué)知識。由此，數(shù)學(xué)=數(shù)學(xué)知識+數(shù)學(xué)文化。數(shù)學(xué)知識主要是指數(shù)學(xué)中的公式、公理、法則等，它們以能夠看得見的物質(zhì)形式表現(xiàn)數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)文化以隱性的方式反映數(shù)學(xué)。文化數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)知識數(shù)學(xué)文化數(shù)學(xué)精神數(shù)學(xué)方法……大眾文化……文化、數(shù)學(xué)及數(shù)學(xué)文化三者的關(guān)系當前98頁，總共179頁。5.數(shù)學(xué)文化缺失原因數(shù)學(xué)往往給人一種物質(zhì)的現(xiàn)象（人們將數(shù)學(xué)僅看成數(shù)學(xué)知識）而數(shù)學(xué)文化卻完全是一種非物質(zhì)的現(xiàn)象。意味著數(shù)學(xué)的發(fā)展并不能自然帶動數(shù)學(xué)文化的普及。數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)既具有聯(lián)系，又具有相互獨立性。由此，在數(shù)學(xué)突飛猛進發(fā)展的當代，卻普遍存在社會文化中數(shù)學(xué)文化的缺失現(xiàn)象。當前99頁，總共179頁。研究表明，數(shù)學(xué)離開了數(shù)學(xué)文化的支撐，其研究就缺乏了源泉，這必將導(dǎo)致數(shù)學(xué)研究的枯竭，中國數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史已經(jīng)表明了這一點。對數(shù)學(xué)知識的認識是知性思維，而對數(shù)學(xué)文化的認識是理性思維。數(shù)學(xué)知識主要產(chǎn)生于數(shù)學(xué)研究之中，數(shù)學(xué)文化卻來源于人們對數(shù)學(xué)的理解和應(yīng)用的過程中。因而，對數(shù)學(xué)文化的認識需要在對數(shù)學(xué)知識的認識的基礎(chǔ)上，產(chǎn)生思維的飛躍。當前100頁，總共179頁。1016.“數(shù)學(xué)文化”的內(nèi)涵狹義：數(shù)學(xué)的思想、精神、方法、觀點、語言，以及它們的形成和發(fā)展。廣義：除上述內(nèi)涵以外，還包含數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)美、數(shù)學(xué)教育、數(shù)學(xué)發(fā)展中的人文成分、數(shù)學(xué)與社會的聯(lián)系、數(shù)學(xué)與各種文化的關(guān)系，等等。這里使用“數(shù)學(xué)文化”一詞，更多地傾向于它的狹義解釋。

當前101頁，總共179頁。按照現(xiàn)代數(shù)學(xué)研究，數(shù)學(xué)文化可以表述為以數(shù)學(xué)科學(xué)為核心，以數(shù)學(xué)的思想、精神、方法、內(nèi)容等所輻射的相關(guān)文化領(lǐng)域為有機組成部分的一個具有特定功能的動態(tài)系統(tǒng)，其基本要素是數(shù)學(xué)及與數(shù)學(xué)有關(guān)的各種文化現(xiàn)象。數(shù)學(xué)文化研究開展以來，數(shù)學(xué)的抽象、確定、繼承、簡潔、統(tǒng)一的文化屬性和滲透、傳播、應(yīng)用、預(yù)見的功能特征被挖掘出來，數(shù)學(xué)的藝術(shù)性也深深吸引了人們的眼球。然而這只是數(shù)學(xué)功能的外顯式表現(xiàn)，數(shù)學(xué)文化研究表明，數(shù)學(xué)的起源、發(fā)展、完善和應(yīng)用的過程對于人類產(chǎn)生重大的影響，既包括對于人的觀念、思想和思維方式的一種潛移默化的作用，也包括在人類認識和發(fā)展數(shù)學(xué)的過程中體現(xiàn)出的探索精神。當前102頁，總共179頁。103

陳省身先生題詞當前103頁，總共179頁。104第24屆“國際數(shù)學(xué)家大會”（ICM）

InternationalCongressofMathematicians

當前104頁，總共179頁。105

數(shù)學(xué)本身也有無窮的美妙。認為數(shù)學(xué)枯燥，沒有藝術(shù)性，這看法是不正確的，就像站在花園外面，說花園枯燥無味一樣，只要踏入了大門，你們隨時會發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)有許許多多趣味的東西。當前105頁，總共179頁。106當前106頁，總共179頁。1077.數(shù)學(xué)文化書籍當前107頁，總共179頁。108當前108頁，總共179頁。109當前109頁，總共179頁。110當前110頁，總共179頁。111當前111頁，總共179頁。112當前112頁，總共179頁。113當前113頁，總共179頁。114當前114頁，總共179頁。115當前115頁，總共179頁。

由此，我們看到，中國學(xué)者對于數(shù)學(xué)文化的教育價值體會之深，開設(shè)該課程的院校數(shù)量之多，相關(guān)教材和其他出版物的數(shù)量之大，數(shù)學(xué)文化的教育傳播之廣，恐怕在全世界都是少見的。這與具有中國特色的教育理念——素質(zhì)教育的思想，應(yīng)該有密切的關(guān)系。當前116頁，總共179頁。117耐人尋味的思考

在“數(shù)學(xué)文化”一詞被日益廣泛地使用時，“物理文化”、“化學(xué)文化”這樣類似的詞匯，并沒有得到如此廣泛地使用。這表明，數(shù)學(xué)科學(xué)，的確在本質(zhì)上有不同于物理科學(xué)、化學(xué)科學(xué)等自然科學(xué)的地方。數(shù)學(xué)科學(xué)的研究對象，并不是某種具體的物質(zhì)運動形態(tài)，而是從眾多的物質(zhì)運動形態(tài)中抽象出來的事物，是人腦的產(chǎn)物。數(shù)學(xué)，具有超越具體科學(xué)和普遍適用的特征，具有公共基礎(chǔ)的地位。例如：數(shù)學(xué)中研究的圓，客觀世界中有太陽，有月亮，有車輪，但并沒有數(shù)學(xué)中研究的圓；數(shù)學(xué)中研究的圓，是人腦的產(chǎn)物

當前117頁，總共179頁。118

特別是，不同的社會現(xiàn)象和自然現(xiàn)象，在某一方面可能遵循同樣的數(shù)學(xué)規(guī)律，這反映出社會現(xiàn)象與自然現(xiàn)象在數(shù)量關(guān)系上的某種共性。數(shù)學(xué)超越了具體的社會科學(xué)和自然科學(xué)，也成為聯(lián)系社會科學(xué)和自然科學(xué)的紐帶。有許多學(xué)者認為，科學(xué)可以分類為：自然科學(xué)、社會科學(xué)、數(shù)學(xué)科學(xué)、哲學(xué)。當前118頁，總共179頁。8.數(shù)學(xué)文化的特征數(shù)學(xué)文化是傳播人類思想的一種基本形式。數(shù)學(xué)文化包含著人類所創(chuàng)造語言的特殊形式。數(shù)學(xué)文化是自然與人類社會相互聯(lián)系的一種工具。數(shù)學(xué)文化具有相對的穩(wěn)定性和連續(xù)性。數(shù)學(xué)文化具有高度的滲透性當前119頁，總共179頁。9.數(shù)學(xué)的文化價值主要指數(shù)學(xué)對于人們觀念、精神以及思維方式的養(yǎng)成所起的重要影響。數(shù)學(xué)作為一種“看不見的文化”，其文化價值主要表現(xiàn)在：（1）數(shù)學(xué)對于人類理性精神的養(yǎng)成與發(fā)展具有特別重要的意義，理性精神被看成人類文明、特別是西方文明的核心所在。克萊因指出：“在最廣泛的意義上說，數(shù)學(xué)是一種精神，一種理性精神。正是這種精神，激發(fā)、促進、鼓舞并驅(qū)使人類的思維得以運用到最完善的程度，亦正是這種精神，試圖決定性地影響人類的物質(zhì)、道德和社會生活；試圖回答有關(guān)人類自身存在提出的問題；努力去理解和控制自然；盡力去探索和確立已經(jīng)獲得的知識的最深刻的和最完美的內(nèi)涵?！碑斍?20頁，總共179頁。（2）數(shù)學(xué)文化具有獨特的教化功能數(shù)學(xué)作為一種文化，不僅具有傳承知識的功能，還有教化人的功能。從數(shù)學(xué)的探索、論證、發(fā)展等方面，可以充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)家優(yōu)良的精神品質(zhì)，以及數(shù)學(xué)內(nèi)容中所折射的一些社會優(yōu)良品德。在數(shù)學(xué)探索過程中，體會“勤奮與自強”的精神，堅強的意志，鍥而不舍和奮勇向前的奮斗精神。在數(shù)學(xué)論證過程中，體會“求實與誠信”精神。數(shù)學(xué)史上有一個令人肅然起敬的故事：托勒密王跟歐幾里得學(xué)幾何，問有沒有什么容易的方法，很快能掌握？歐幾里得說：“陛下，學(xué)習幾何沒有捷徑，即使陛下也一樣?！碑斍?21頁，總共179頁。在數(shù)學(xué)規(guī)則的形式中，體會一種“理智與自律”的精神，數(shù)學(xué)是體現(xiàn)理性思維的最好的載體。在古希臘，數(shù)學(xué)不僅要回答“什么是數(shù)學(xué)真理”，還須回答“為什么”它是數(shù)學(xué)真理。例如，《幾何原本》中的命題15是“對頂角相等。”這一命題的證明的重要價值在于它提供了不憑直觀和實驗的邏輯證明，學(xué)習數(shù)學(xué)，不僅要注意定義和定理的結(jié)論，最重要的是學(xué)習這種理性思維的方法。每一個數(shù)學(xué)問題的解決都必須遵循數(shù)學(xué)規(guī)則。在人類生活中，人們也應(yīng)形成一種對社會公德、秩序、法律等內(nèi)在的約束力。當前122頁，總共179頁。在數(shù)學(xué)的思維的嚴密性中，體會一種“智慧與創(chuàng)新”的精神。例如，歐拉解決哥尼斯堡七橋問題。數(shù)學(xué)充分體現(xiàn)了人類的智慧與創(chuàng)新精神。（史寧中教授提出“智慧的教育”）數(shù)學(xué)的學(xué)習不但可以發(fā)展智力，培養(yǎng)創(chuàng)造力，而且可以培養(yǎng)創(chuàng)新精神，這對學(xué)生以后的學(xué)習和生活都有重要意義。當前123頁，總共179頁。從學(xué)習、研究所需要的嚴謹?shù)膽B(tài)度中，體會一種“敬業(yè)與責任”的精神。解決數(shù)學(xué)問題需要耐心、毅力和執(zhí)著精神；數(shù)學(xué)思維的嚴密、有條理需要一絲不茍的工作態(tài)度、敬業(yè)精神和強烈的責任感。學(xué)習數(shù)學(xué)也應(yīng)學(xué)習數(shù)學(xué)工作者的敬業(yè)精神與責任感，并運用于我們的生活實踐中。當前124頁，總共179頁。從數(shù)學(xué)的發(fā)展來看，可以體會一種“合作與民主”的精神。（3）數(shù)學(xué)有著重要的思維訓(xùn)練功能數(shù)學(xué)并非對于客觀事物或現(xiàn)象量性的直接研究，而是通過相對獨立的“模式”的建構(gòu)、并以此為直接對象來從事研究，因此，作為“模式的科學(xué)”，數(shù)學(xué)對于人們抽象思維能力的培養(yǎng)就有著特別重要性。當前125頁，總共179頁。（4）數(shù)學(xué)對于創(chuàng)造性思維發(fā)展具有重要的作用由于數(shù)學(xué)研究對象并不一定具有明顯的直觀背景，而是各種可能的量化模式，因此，這也為人們創(chuàng)造性才能的充分發(fā)揮提供了最為理想的場所。特殊地，這顯然也就是美學(xué)的因素何以在數(shù)學(xué)研究中占有特別重要位置的一個直接的原因。當前126頁，總共179頁。127數(shù)學(xué)文化教育目的

體會數(shù)學(xué)精神學(xué)會數(shù)學(xué)思維掌握數(shù)學(xué)方法使用數(shù)學(xué)語言理解數(shù)學(xué)思想提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)當前127頁，總共179頁。六、數(shù)學(xué)文化中的美學(xué)觀

美學(xué)的鼻祖不是別人，而是古希臘數(shù)學(xué)家畢達哥拉斯，第一個美得概念是畢達哥拉斯學(xué)派從數(shù)學(xué)的角度提出來的。因此，作為一種文化，數(shù)學(xué)從一開始就與美結(jié)下了不解之緣。數(shù)學(xué)美是激勵數(shù)學(xué)家進行數(shù)學(xué)創(chuàng)造的強大動力；數(shù)學(xué)美是引導(dǎo)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的奇妙工具；數(shù)學(xué)美是評價數(shù)學(xué)理論的重要標準之一。關(guān)于數(shù)學(xué)美，古今中外的哲學(xué)家、科學(xué)家，都曾對其作過不同程度的探討：畢達哥拉斯學(xué)派認為美來自于事物的數(shù)量關(guān)系，美在于數(shù)的適當比例與和諧。當前128頁，總共179頁。亞里士多德指出：“雖然數(shù)學(xué)沒有明顯地提到善和美，但善和美也不能和數(shù)學(xué)完全分離。因為美得主要形式就是秩序、勻稱和確定性，這些正是數(shù)學(xué)所研究的原則。”彭加勒認為：數(shù)學(xué)美在于“雅致”，雅致所研究的是“各部分之間的和諧、對稱、恰到好處的平衡。”因此，和諧、對稱、與巧妙的協(xié)調(diào)是數(shù)學(xué)美得特征。哈爾莫斯說：“在繪畫與數(shù)學(xué)中，美有客觀標準。畫家講究結(jié)構(gòu)、線條、造型、肌理，而數(shù)學(xué)家則講究真實、正確、新奇、普遍......?！碑斍?29頁，總共179頁。我國數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)方法論的開拓者徐利治先生也曾論述過數(shù)學(xué)美得特征：“作為科學(xué)語言的數(shù)學(xué)，具有一般語言文學(xué)藝術(shù)所共有的美的特點，即數(shù)學(xué)在其內(nèi)容結(jié)構(gòu)上和方法上也都有其自身的某種美，即所謂數(shù)學(xué)美。數(shù)學(xué)美的含義是豐富的，如數(shù)學(xué)概念的簡單性、統(tǒng)一性、結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的協(xié)調(diào)性、對稱性、數(shù)學(xué)命題與數(shù)學(xué)模型的概括性、典型性和普遍性，還有數(shù)學(xué)中的奇異性等等都是數(shù)學(xué)美的具體內(nèi)容。”因此，數(shù)學(xué)之美，是數(shù)學(xué)固有的。當前130頁，總共179頁。數(shù)學(xué)美

——和諧性、簡單性、奇異性一、和諧性：統(tǒng)一性、對稱性等1.統(tǒng)一性統(tǒng)一性不僅是數(shù)學(xué)美的特征之一，而且也是數(shù)學(xué)家們所努力追求的目標之一。對統(tǒng)一性的追求不但可以把我整體，而且也能把我細節(jié)，同時還可以在此基礎(chǔ)上產(chǎn)生偉大的發(fā)現(xiàn)。當前131頁，總共179頁。案例1公理化方法的形成，就是追求整體與部分的統(tǒng)一性的結(jié)果。23個定義，5條公理，就將千頭萬緒的幾何素材組織統(tǒng)一起來，使之納入一個嚴密的邏輯體系之中，組成一個有機的整體，他的美妙的、和《幾何原本》是不可多得的科學(xué)和美學(xué)的范本，它曾被一些大科學(xué)家贊為“雄偉的建筑”，“壯麗的結(jié)構(gòu)”，“巍峨的階梯。”當前132頁，總共179頁。希爾伯特的《幾何基礎(chǔ)》一書彌補了《幾何原本》中的不足，提供了一個完善的歐氏公理系統(tǒng)。充分體現(xiàn)了幾何科學(xué)的完美統(tǒng)一。公理系統(tǒng)的相容性或無矛盾性就是和諧性的表現(xiàn)，而數(shù)學(xué)的嚴謹性，也即是和諧性。當前133頁，總共179頁。中學(xué)數(shù)學(xué)中，統(tǒng)一性隨處可見。案例3圓、橢圓、雙曲線、拋物線的統(tǒng)一性（1）方程的形式：所以又稱它們?yōu)槎吻€；（2）除圓外，從點的集合或軌跡的觀點看，它們都是與定點和定直線距離的比是常數(shù)（離心率）的點的集合或軌跡。（3）四種曲線又可以看做不同平面截圓錐嗎所得到的曲線。因此，它們又稱為圓錐曲線。（4）巧妙的是：天體運行的軌道是這四種曲線。當前134頁，總共179頁。（5）在極坐標系中，它們可以統(tǒng)一為極坐標方程：包含了把直線、圓依次看著是圓、橢圓的極限情形。案例4立體幾何中的辛普松公式（其中，依次為上、下底面和中截面面積），把棱錐、臺和球的體積求法統(tǒng)一了起來。而且，如果把依次看成是上、下底和中線的長發(fā)，那么又可把平行四邊形、梯形和三角形的面積求法統(tǒng)一起來。當前135頁，總共179頁。由此可見，在數(shù)學(xué)當中，追求統(tǒng)一性不但表現(xiàn)在對某類對象的高度概括上，而且表現(xiàn)在某個數(shù)學(xué)分支的統(tǒng)一性和幾個數(shù)學(xué)分支甚至整個數(shù)學(xué)大廈的統(tǒng)一性上。在數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史長河中，數(shù)學(xué)家對數(shù)學(xué)的統(tǒng)一性的追求有三個里程碑：一是歐幾里德的《幾何原本》，它除了幾何知識外，還包括算術(shù)、數(shù)論、代數(shù)等，囊括了當時已經(jīng)積累的數(shù)學(xué)知識，并將幾何知識形成一個統(tǒng)一的結(jié)構(gòu)。當前136頁，總共179頁。案例2神妙的坐標系。在十七世紀以前，代數(shù)與幾何是相互分離、彼此無關(guān)的。笛卡爾追求代數(shù)與幾何的統(tǒng)一，他引入神妙的坐標系。點與二元數(shù)偶對應(yīng)；曲線與方程對應(yīng)；通過對曲線方程的研究來討論曲線的性質(zhì)，從而把代數(shù)學(xué)、幾何學(xué)和邏輯學(xué)統(tǒng)一起來。（笛卡爾之夢；解析幾何與數(shù)學(xué)機械化；《九章算術(shù)》與數(shù)學(xué)機械化；吳文俊院士與數(shù)學(xué)機械化）當前137頁，總共179頁。思考：坐標系的本質(zhì)是什么？用一對數(shù)確定點的位置？如果是這樣，那么應(yīng)該是地理課的任務(wù)，連語文課也能處理幾排幾座這樣的問題。平面坐標系的本質(zhì)在于用“數(shù)”所滿足的方程來表示點的運動軌跡，即“數(shù)形結(jié)合”的思想。要引導(dǎo)學(xué)生觀察和思考這樣的問題：兩個坐標一樣的點是什么圖形？兩個坐標都是正數(shù)的點構(gòu)成什么區(qū)域？橫坐標都為0的點是什么圖形？這就有“數(shù)學(xué)味”了，更深層次地觸及數(shù)學(xué)本質(zhì)了。當前138頁，總共179頁。二是羅素和懷德海的《數(shù)學(xué)原理》該書力圖從邏輯學(xué)的概念和原理出發(fā)，演繹出數(shù)學(xué)的基本概念和原理。三是法國布爾巴基學(xué)派的工作。該學(xué)派為了揭示數(shù)學(xué)的統(tǒng)一性，引進了結(jié)構(gòu)的概念。（代數(shù)結(jié)構(gòu)、拓撲結(jié)構(gòu)和序結(jié)構(gòu)）當前139頁，總共179頁。和諧性的第二個特征是對稱性。對稱性是最能給人以美感的一種形式，從古希臘時代起，對稱性就被數(shù)學(xué)家看成是數(shù)學(xué)美得一個基本內(nèi)容。數(shù)學(xué)美學(xué)中的對稱性美并不局限于客觀事物外形的對稱。正如魏爾所說：“對稱是一種思想。多少世紀以來，人們希望借助它來解釋和創(chuàng)造秩序、美和完善。”數(shù)學(xué)概念、公式、運算、方程式、結(jié)論甚至方法中，都蘊含著奇妙的對稱性。畢達哥拉斯學(xué)派非常重視對稱性，他們認為：一個圖形的對稱性越多，圖形越完美?！耙磺辛Ⅲw圖形中最美的是球形，一切平面圖形中最美的是圓形?！?.對稱性當前140頁，總共179頁。從數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史來看，對稱性的考慮在一定程度上促進了數(shù)學(xué)的發(fā)展。例如，關(guān)于逆運算的可能性的考慮，也是導(dǎo)致數(shù)系不斷擴展的一個重要原因，而這種考慮事實上就是對于運算與它的逆運算的對稱性的一種追求。例如，在數(shù)學(xué)當中，等式也具有對稱性。即兩邊的結(jié)果的相應(yīng)或相等。由此不難理解方程的對稱性。當前141頁，總共179頁。利用對稱性解決數(shù)學(xué)問題，在數(shù)學(xué)中則是隨處可見。例如，歐幾里得曾證明了西帕索斯的發(fā)現(xiàn)——無理數(shù)的存在。設(shè)正方形的對角線長為則中至少有一個是奇數(shù)。由畢達哥拉斯定理，即，從而為偶數(shù)必為奇數(shù)，又設(shè)因而是偶數(shù)，這便產(chǎn)生了矛盾，即對角線長不能用整數(shù)比來表示。當前142頁，總共179頁。又如，古希臘數(shù)學(xué)家海倫巧妙的運用了“對稱變換”解決了幾何中著名的極值問題“A,B是直線CD同側(cè)兩點，試在CD上求一點P使PA+PB最短”。（光反射定理，又稱海倫定理。還有海倫公式：思考：怎樣求解？又如：德國幾何學(xué)家斯丹納在證明“周長一定的一切平面封閉圖形中，以圓的面積最大”時，由于靈活地運用了圖形的對稱性而使得證法既簡潔又漂亮。思考：怎樣求解？當前143頁，總共179頁。二、簡單性1.數(shù)學(xué)的簡單性表現(xiàn)在對公理的要求上單個公理應(yīng)自明；公理系統(tǒng)中公理數(shù)應(yīng)盡可能少。例如，《幾何原本》第五公設(shè)：“在同一平面內(nèi)的兩條直線和第三條直線相交時，若第三條直線的同一側(cè)的兩個內(nèi)角和小于二直角，則前兩條直線在上述內(nèi)角和小于二直角的一側(cè)相交?！本蜎]有自明性。最后，導(dǎo)致非歐幾何的建立。2.數(shù)學(xué)的簡單性表現(xiàn)在問題解決的簡單性上3.數(shù)學(xué)美得簡單性還表現(xiàn)在數(shù)學(xué)中的許許多多“最簡形式上”最簡分式；最簡多項式、最簡根式等。定理“如果兩個多項式相等，那么它們的對應(yīng)項系數(shù)相等?！鼻疤崾莾蛇叾际恰白詈喍囗検健薄＃ㄔ诖髮W(xué)有理函數(shù)積分中還用此定理）數(shù)學(xué)中還規(guī)定了各種標準形式。是人們認識的需要和交流、研究的需要。當前144頁，總共179頁。4.數(shù)學(xué)美的簡單性不但表現(xiàn)在形式的簡明扼要上，還突出地表現(xiàn)在數(shù)學(xué)的概括性上。5.數(shù)學(xué)語言的簡潔性是數(shù)學(xué)美得簡單性的又一表現(xiàn)數(shù)學(xué)語言區(qū)別于自然語言。6.數(shù)學(xué)美得簡單性還表現(xiàn)在對數(shù)學(xué)結(jié)論甚至其他科學(xué)理論的評價標準上的簡單性原則上對簡單性的追求一直推動著數(shù)學(xué)在歷史長河中滾滾向前。例如，正是追求計算的簡單性才導(dǎo)致“對數(shù)”方法的產(chǎn)生。歐氏幾何第五公設(shè)不符合簡單性才導(dǎo)致非歐幾何的建立。當前145頁，總共179頁。三、奇異性奇異：新穎、異同。一方面，意想不到：數(shù)學(xué)中出人意料的結(jié)果、公式、方法、思想等。另一方面，突破原有思想、觀點產(chǎn)生新思想、新方法、新理論1.數(shù)學(xué)中的奇異性表現(xiàn)為出人意料凡是新的不平常的東西都能在想象當中引起一種樂趣，因為這種東西會使人的心靈感到一種愉快的驚奇。如：當前146頁，總共179頁。2.數(shù)學(xué)中的奇異性還表現(xiàn)在新思想、新觀念、新方法例1雞兔同籠的奇異、簡單解法。不用列方程，只用心算就解決了。當前147頁，總共179頁。1.小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的“雞兔同籠”人教版六上P112數(shù)學(xué)廣角：雞兔同籠籠子里有若干雞和兔，從上面數(shù)，有8個頭，從下面數(shù)，有26只腳。雞和兔各有幾只？枚舉法(列表解決）假設(shè)法（算術(shù)思維——算術(shù)解法）8×2=16,26-16=10,10÷2=5,3只雞，5只兔。“雞兔同籠”在小學(xué)、初中數(shù)學(xué)教材中當前148頁，總共179頁。代數(shù)思維——方程解法設(shè)有x只兔，那么就有8-x只雞。4x+2(8-x)=26x=5大家思考：若設(shè)雞x只，會怎樣？當前149頁，總共179頁。事實上，大家知道，雞兔同籠問題也適合初中生學(xué)習，那就是方程組：

①①×2，意義：假設(shè)都是雞②②-①：2y=10意義：一只兔比一只雞多2只腳，共多出10只腳，y=10÷2：意義：多出的10只腳是由5只兔多出的。于是，得到：兔5只，雞3只?？梢宰尦踔猩貞浶W(xué)里求解過的問題和方法，用代數(shù)思維解釋算術(shù)思維。當前150頁，總共179頁。同樣，古人解決“雞兔同籠：今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雞雉各幾何？”的算術(shù)思維與代數(shù)思維的關(guān)系如下：①②②÷2得x+2y=47③：意義：假如讓雞抬起一只腳，兔子抬起兩只腳，還有47只腳。③-①得：y=12：意義：由假設(shè)，籠中只要有一只兔子，則腳的總數(shù)就比頭得總數(shù)多1，而此時，腳的總數(shù)與頭得總數(shù)之差是47-35=12，就應(yīng)該是兔子的只數(shù)。當前151頁，總共179頁。2.初中數(shù)學(xué)教材中的“雞兔同籠”。如：北師大版八上第七章第3單元“雞兔同籠”。教材介紹了《孫子算經(jīng)》中的雞兔同籠：“今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雞雉各幾何？”僅僅讓初中生用二元一次方程解之。當前152頁，總共179頁。事實上，可讓初中生經(jīng)歷一個比較完整的思維發(fā)展過程如：1）試探法；2）巧妙的想法，如都是雞，都是兔，雞兔都用半腳數(shù)站立等；3）用代數(shù)的方法；4）推廣當前153頁，總共179頁。設(shè)雞x只，兔y只，頭個，腿f只。①②②÷2得x+2y=f/2③：意義：假如讓雞抬起一只腳，兔子抬起兩只腳，地上還有的腳數(shù)。③-①得：y=f/2-h：意義：由假設(shè)，籠中只要有一只兔子，則腳的總數(shù)就比頭得總數(shù)多1，而此時，腳的總數(shù)與頭得總數(shù)之差是f/2-h，就應(yīng)該是兔子的只數(shù)。這正是奇異的富于想象力的想法“金雞獨立，動畫兔”的邏輯推理！當前154頁，總共179頁。奇異的解法后面往往隱藏著具有一般意義的思想。例2一位數(shù)學(xué)家在電車上給某教授出了一道題：“甲、乙兩人相對而行，距離為一百公里，甲每小時走六公里，乙每小時走四公里，總有一個時候會碰面。一只狗每小時走十公里，同甲一起出發(fā)，碰到乙后向甲走，碰到甲后又向乙走。問這只狗一共走了多少公里？當前155頁，總共179頁。教授抓住了問題中的不變量：狗不斷地跑來跑去，但其速度不變，從而抓住問題的本質(zhì)。小高斯計算“百子和”也是利用“不變量思想”。等差、等比數(shù)列前n項的和公式的推導(dǎo)也是如此。利用不變量思想可以給出不少問題的簡捷解法。例3希爾伯特的旅館當前156頁，總共179頁。157“”“有無限個房間”的旅館“客滿”再住人的問題

1）“客滿”后又來1位客人

1234┅k┅↓↓↓↓┅↓┅2345┅k+1┅空出了1號房間

數(shù)學(xué)無限的奇異當前157頁，總共179頁。158

2）

客滿后又來了一個旅游團，旅游團中有無窮個客人

1234┅k┅↓↓↓↓┅↓┅2468┅2k┅

空下了奇數(shù)號房間

當前158頁，總共179頁。另解：將原來住著的旅客視為1個團，新來1個團，共有1+1個團的客人重新安排住宿?？梢?個2個房間分段，每一段