2022-2023學(xué)年廣東省揭陽市北山中學(xué)高一數(shù)學(xué)文上學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.數(shù)列{an}中，，，則(

)．A. B. C. D.參考答案：B【分析】通過取倒數(shù)的方式可知數(shù)列為等差數(shù)列，利用等差數(shù)列通項公式求得，進(jìn)而得到結(jié)果.【詳解】由得：，即數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列

本題正確選項：B【點睛】本題考查利用遞推關(guān)系式求解數(shù)列中的項的問題，關(guān)鍵是能夠根據(jù)遞推關(guān)系式的形式，確定采用倒數(shù)法得到等差數(shù)列.2.已知為圓的兩條互相垂直的弦，且垂足為，則四邊形面積的最大值為（

）（A）5

（B）10

（C）15

（D）20參考答案：A3.從點向圓引切線，則切線長的最小值(

)A. B.5 C. D.參考答案：A【分析】設(shè)切線長為,則再利用二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)求函數(shù)的最小值得解.【詳解】設(shè)切線長為,則,.故選:A.【點睛】本題主要考查圓的切線問題,考查直線和圓的位置關(guān)系,意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.4.已知函數(shù)f（x）=在R上單調(diào)遞增，則實數(shù)a的取值范圍是（）A．0＜a≤3 B．a(chǎn)≥2 C．2≤a≤3 D．0＜a≤2或a≥3參考答案：C【考點】分段函數(shù)的應(yīng)用；函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)．【分析】由二次函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性的定義，解不等式即可得到所求范圍．【解答】解：當(dāng)x≤1時，f（x）=﹣x2+ax﹣2的對稱軸為x=，由遞增可得，1≤，解得a≥2；當(dāng)x＞1時，f（x）=logax遞增，可得a＞1；由x∈R，f（x）遞增，即有﹣1+a﹣2≤loga1=0，解得a≤3．綜上可得，a的范圍是2≤a≤3．故選：C．5.（4分）如圖所示為一個平面四邊形ABCD的直觀圖，A′D′∥B′C′，且A′D′=B′C′，則它的實際形狀（） A． 平行四邊形 B． 梯形 C． 菱形 D． 矩形參考答案：D考點： 平面圖形的直觀圖．專題： 計算題；空間位置關(guān)系與距離．分析： 由直觀圖可知，AB，CD兩條邊與橫軸平行且相等，邊BC與縱軸平行，得到AB與BC兩條相鄰的邊之間是垂直關(guān)系，得到平面圖形是一個矩形．解答： 解：根據(jù)直觀圖可知，AB，CD兩條邊與橫軸平行且相等，故四邊形ABCD為平行四邊形，邊BC與縱軸平行，∴AB⊥BC，∴平面圖形ABCD是一個矩形，故選：D．點評： 本題考查平面圖形的直觀圖，考查有直觀圖得到平面圖形，考查畫直觀圖要注意到兩條坐標(biāo)軸之間的關(guān)系，本題是一個基礎(chǔ)題．6.已知tanα=2，則=（）A． B． C． D．參考答案：A【考點】二倍角的正弦；三角函數(shù)的化簡求值．【分析】由條件利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、誘導(dǎo)公式求得所給式子的值．【解答】解：∵tanα=2，則=sinα?cosα===，故選：A．7.已知△ABC中，，，，那么角A等于()A.90° B.60° C.30° D.45°參考答案：D【分析】直接利用余弦定理計算得到答案.【詳解】已知中，，，則即故答案選D【點睛】本題考查了余弦定理，意在考查學(xué)生的計算能力.8.已知長方體的長、寬、高分別是3，4，5，且它的8個頂點都在同一球面上，則這個球的表面積是（

）A.25π B.50π C.125π D.都不對參考答案：B【分析】根據(jù)長方體的對角線長等于其外接球的直徑，求得，再由球的表面積公式，即可求解．【詳解】設(shè)球的半徑為，根據(jù)長方體的對角線長等于其外接球的直徑，可得，解得，所以球的表面積為.故選：B【點睛】本題主要考查了長方體的外接球的性質(zhì)，以及球的表面積的計算，其中解答中熟練應(yīng)用長方體的對角線長等于其外接球的直徑，求得球的半徑是解答的關(guān)鍵，著重考查了運算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題．9.已知P為△ABC所在平面外一點，PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，PH⊥平面ABC，H，則H為△ABC的（）A．重心 B．垂心 C．外心 D．內(nèi)心參考答案：B【考點】空間中直線與直線之間的位置關(guān)系；直線與平面垂直的性質(zhì)．【分析】點P為△ABC所在平面外一點，PH⊥平面ABC，垂足為H，分析可證得BE⊥AC、AD⊥BC，符合這一性質(zhì)的點H是△ABC垂心【解答】證明：連結(jié)AH并延長，交BC與D連結(jié)BH并延長，交AC與E；因PA⊥PB，PA⊥PC，故PA⊥面PBC，故PA⊥BC；因PH⊥面ABC，故PH⊥BC，故BC⊥面PAH，故AH⊥BC即AD⊥BC；同理：BE⊥AC；故H是△ABC的垂心．故選：B10.已知（a≠0），且方程無實根。現(xiàn)有四個命題①若，則不等式對一切成立；②若，則必存在實數(shù)使不等式成立；③方程一定沒有實數(shù)根；④若，則不等式對一切成立。其中真命題的個數(shù)是

(

)(A)

1個

(B)

2個

(C)

3個

(D)4個參考答案：C方程無實根，∴或。∵，∴對一切成立，∴，用代入，∴，∴命題①正確；同理若，則有，∴命題②錯誤；命題③正確；∵，∴，∴必然歸為，有，∴命題④正確。綜上，選(C)。

二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若一組樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為10，則該組樣本數(shù)據(jù)的方差為______.參考答案：2【分析】先利用平均數(shù)算出的值，再利用公式計算方差.【詳解】，故，所以方差，填.【點睛】樣本數(shù)據(jù)的方差的計算有兩種方法：（1）；（2）.

12.拋物線y=ax2+bx+c上部分點的橫坐標(biāo)x，縱坐標(biāo)y的對應(yīng)值如下表：…………

容易看出(-2，0)是它與x軸的一個交點，則它與x軸的另一個交點的坐標(biāo)為________．參考答案：（3，0）13.邊長為2的兩個等邊△ABD，△CBD所在的平面互相垂直，則四面體ABCD的體積是．參考答案：1【考點】棱柱、棱錐、棱臺的體積．【分析】取DB中點O，連結(jié)AO，CO，易得AO⊥面BCD，再利用體積公式即可求解．【解答】解：如圖，取DB中點O，連結(jié)AO，CO，∵△ABD，△CBD邊長為2的兩個等邊△‘∴AO⊥BD，CO⊥BD，又∵面ABD⊥面BDC；∴AO⊥面BCD，AO=，四面體ABCD的體積v=，故答案為：1．14.設(shè)a=0.60.2，b=log0.23，c=log0.70.6，則a、b、c用“＜”從小到大排列為

▲

．參考答案：15.定義在區(qū)間上的偶函數(shù),當(dāng)時單調(diào)遞減,若，則實數(shù)的取值范圍是

▲

．參考答案：16.已知點在第三象限，則角的終邊在第

象限.參考答案：二17.若函數(shù)在區(qū)間(1,4)上不是單調(diào)函數(shù)，那么實數(shù)a的取值范圍是__________.參考答案：（2，5）【分析】根據(jù)二次函數(shù)的對稱軸以及開口方向與單調(diào)性的關(guān)系，判斷出二次函數(shù)的對稱軸在區(qū)間內(nèi)，由此計算出的取值范圍.【詳解】因為函數(shù)f(x)=x2-2(a-1)x+2在區(qū)間(1,4)上不是單調(diào)函數(shù)，所以對稱軸x=a-1位于區(qū)間(1,4)上，即1＜a-1＜4，所以2＜a＜5.故答案為：.【點睛】判斷二次函數(shù)的單調(diào)性，可以通過二次函數(shù)的開口方向以及對稱軸來進(jìn)行分析：開口向上，在對稱軸左側(cè)單調(diào)遞減，在對稱軸右側(cè)單調(diào)遞增；開口向下，在對稱軸左側(cè)單調(diào)遞增，在對稱軸右側(cè)單調(diào)遞減.三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.每工廠要建造一個長方體形無蓋貯水池，其容積為4800，深為3m.，如果池底每平方米的造價為150元，池壁每平方米的造價為120元，怎樣設(shè)計水池能使總造價最底？最底總造價是多少？參考答案：則

∵3xy=4800

∴xy=1600∴=240000+720240=297600當(dāng)x=y，即x=y=40時，等號成立答（略）19.某廠家擬在2019年舉行促銷活動，經(jīng)過調(diào)查測算，該產(chǎn)品的年銷量（即該廠的年產(chǎn)量）x（單位：萬件）與年促銷費用t（）（單位：萬元）滿足（k為常數(shù)）.如果不搞促銷活動，則該產(chǎn)品的年銷量只能是1萬件.已知2019年生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定投入為6萬元，每生產(chǎn)1萬件該產(chǎn)品需要再投入12萬元，廠家將每件產(chǎn)品的銷售價格定為每件產(chǎn)品平均成本的1.5倍（產(chǎn)品成本包括固定投入和再投入兩部分）.（Ⅰ）將該廠家2019年該產(chǎn)品的利潤y萬元表示為年促銷費用t萬元的函數(shù)；（Ⅱ）該廠家2019年的年促銷費用投入多少萬元時，廠家利潤最大？參考答案：（Ⅰ）由題意有，得

……1分故∴ ……6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知：當(dāng)且僅當(dāng)即時，有最大值.

………11分答:2019年的年促銷費用投入2.5萬元時，該廠家利潤最大.

………12分20.（本10分）已知二次函數(shù)的最大值為2，圖像的頂點在直線y＝x＋1上，并且圖象經(jīng)過點（3，－2）．（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）當(dāng)時，求二次函數(shù)的最大值與最小值，并求此時的值．參考答案：（1）因為最大值為2,圖像的頂點在直線y＝x＋1上，所以頂點坐標(biāo)為，設(shè)二次函數(shù)為，并且圖象經(jīng)過點（3，－2），所以,解得，所以二次函數(shù)為。（2）因為，，所以當(dāng)時，的最大值為2，當(dāng)時，的最小值為。21.已知圓C圓心坐標(biāo)為點為坐標(biāo)原點，x軸、y軸被圓C截得的弦分別為OA、OB.（1）證明：△OAB的面積為定值；（2）設(shè)直線與圓C交于M，N兩點，若，求圓C的方程.參考答案：（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）利用幾何條件可知，△OAB為直角三角形，且圓過原點，所以得知三角形兩直角邊邊長，求得面積；（2）由及原點O在圓上，知OCMN，所以,求出的值，再利用直線與圓的位置關(guān)系判斷檢驗，符合題意的解，最后寫出圓的方程?！驹斀狻浚?）因為軸、軸被圓截得的弦分別為、，所以經(jīng)過，又為中點，所以，所以，所以的面積為定值.（2）因為直線與圓交于兩點，，所以的中垂線經(jīng)過，且過，所以的方程，所以，所以當(dāng)時，有圓心，半徑，所以圓心到直線的距離為，所以直線與圓交于點兩點，故成立；當(dāng)時，有圓心，半徑，所以圓心到直線的距離為，所以直線與圓不相交，故（舍去），綜上所述，圓的方程為.【點睛】本題通過直線與圓的有關(guān)知識，考查學(xué)生直觀想象和邏輯推理能力。解題注意幾何條件的運用可以簡化運算。22.設(shè)三角形ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且b=asinB，A為銳角（1）若a=3，b=，求角B；（2）若S△ABC=，b+c=3，b＞c，求b，c．參考答案：【考點