上海市上南中學北校高三數(shù)學文上學期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.設(shè)函數(shù)則（

）A．在區(qū)間內(nèi)均有零點.

B．在區(qū)間內(nèi)均有零點.C．在區(qū)間內(nèi)均無零點.

D．在區(qū)間內(nèi)內(nèi)均有零點.參考答案：D2.調(diào)查表明，酒后駕駛是導致交通事故的主要原因，交通法規(guī)規(guī)定：駕駛員在駕駛機動車時血液中酒精含量不得超過0.2mg/ml．如果某人喝了少量酒后，血液中酒精含量將迅速上升到0.8mg/ml，在停止喝酒后，血液中酒精含量就以每小時50%的速度減少，則他至少要經(jīng)過（

）小時后才可以駕駛機動車．A．1 B．2 C．3 D．4參考答案：B【分析】設(shè)n個小時后才可以駕車，根據(jù)題意可知，每單位時間內(nèi)酒精下降的量成等比數(shù)列，進而可得方程，求得n．【解答】解：設(shè)n個小時后才可以駕車，由題得方程0.8（1﹣50%）n=0.20.5n=，n=2即至少要經(jīng)過2小時后才可以駕駛機動車．故答案為2【點評】本題意實際問題為依托，主要考查了等比數(shù)列的性質(zhì)及實際應用．考查了學生運用所學知識解決實際問題的能力．

3.已知函數(shù)()，則“”是“函數(shù)在上是增函數(shù)”的……（

）（A）充分非必要條件.

（B）必要非充分條件.（C）充要條件.

（D）非充分非必要條件.參考答案：B若函數(shù)在上是增函數(shù)，則成立。當時，函數(shù)在上不一定是增函數(shù)，所以“”是“函數(shù)在上是增函數(shù)”的必要非充分條件，選B.4.設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且a1=a2=1，{nSn+（n+2）an}為等差數(shù)列，則an=（）A． B． C． D．參考答案：A【考點】數(shù)列遞推式．【專題】等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】設(shè)bn=nSn+（n+2）an，由已知得b1=4，b2=8，從而bn=nSn+（n+2）an=4n，進而得到是以為公比，1為首項的等比數(shù)列，由此能求出．【解答】解：設(shè)bn=nSn+（n+2）an，∵數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且a1=a2=1，∴b1=4，b2=8，∴bn=b1+（n﹣1）×（8﹣4）=4n，即bn=nSn+（n+2）an=4n當n≥2時，∴，即，∴是以為公比，1為首項的等比數(shù)列，∴，∴．故選：A．【點評】本題考查數(shù)列的通項公式的求法，是中檔題，解題時要注意構(gòu)造法和等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)的合理運用．5.雙曲線的左右焦點分別是，點在其右支上，且滿足,則的值是

A.8056

B.8048

C.8056

D.8048參考答案：C6.設(shè)集合，，則(

)A. B. C. D.參考答案：A7.已知全集為R，集合A={x|（）x≤1}，B={x|x≥2}，A∩（?RB）=（） A．[0，2） B．[0，2] C．（1，2） D．（1，2]參考答案：A【考點】交、并、補集的混合運算． 【分析】求出集合A中不等式的解集確定出A，求出B的補集，即可確定出所求的集合．【解答】解：由集合A中（）x≤1，得到x≥0，即A=[0，+∞）， ∵B={x|x≥2}， ∴（?RB）={x|x＜2}=（﹣∞，2）， 則A∩（?RB）=[0，2）， 故選：A． 【點評】此題考查了交、并、補集的混合運算，熟練掌握各自的定義是解本題的關(guān)鍵．8.設(shè)函數(shù)是上的減函數(shù)，則有（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B9.定義方程的實數(shù)根叫做的“新駐點”，若函數(shù)；；（）的“新駐點”分別為，則（

）A.

B.

C.

D.參考答案：C10.已知兩點為坐標原點，點在第二象限，且，設(shè)等于

(

)

A． B．2 C． D．1參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.（選修4—5不等式選講）如果關(guān)于x的不等式的解集不是空集，則實數(shù)的取值范圍是

參考答案：（2）a>-112.下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的是

(

）A．

B．

C．

D．參考答案：C13.若拋物線y2=2x上的一點M到坐標原點O的距離為，則點M到該拋物線焦點的距離為

。參考答案：略14.已知是單位圓上（圓心在坐標原點）任一點，將射線繞點逆時針旋轉(zhuǎn)到交單位圓于點，則的最大值為

．參考答案：略15.已知某算法的程序框圖如圖所示，則輸出的S的值是______.參考答案：略16.在等差數(shù)列中，若，則此數(shù)列的前13項之和為

.參考答案：52略17.已知向量，滿足||=3，||=2||，若|+λ|≥3恒成立，則實數(shù)λ的取值范圍為

．參考答案：（﹣∞，﹣）∪[，+∞）【考點】9R：平面向量數(shù)量積的運算．【分析】利用向量模的性質(zhì)得出||的范圍，根據(jù)||=2||得出和的關(guān)系，由|+λ|≥3恒成立得出關(guān)于的函數(shù)f（）≥0恒成立，討論函數(shù)的單調(diào)性求出最小值即可得出λ的范圍．【解答】解：設(shè)，=，則=，設(shè)||=x，則|OA|=x，|AB|=，∴，解得2≤x≤6．即2≤||≤6．∵||=2||，∴=4（9﹣2+2），即3﹣8+36=0，∴=+，∵|+λ|≥3恒成立，∴+2λ（+）+9λ2≥9，令f（2）=（1+λ）2+9λ+9λ2﹣9，則fmin（）≥0，∈[4，36]．（1）若1+λ=0即λ=﹣時，f（）=9λ+9λ2﹣9=﹣5，不符合題意；（2）若1+＞0即λ＞﹣時，f（）為增函數(shù)，故fmin（）=f（4）=9λ2+12λ﹣5≥0，解得λ或λ≤﹣，∴λ≥．（3）若1+＜0即λ＜﹣時，f（）為減函數(shù)，故fmin（）=f（36）=9λ2+36λ+27≥0，解得λ≤1或λ≥3．∴λ＜﹣．綜上，λ＜﹣或λ．故答案為：（﹣∞，﹣）∪[，+∞）．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（13分）（2015?河南二模）設(shè)a為實數(shù)，函數(shù)f（x）=ex﹣2x+2a，x∈R．（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間及極值；（2）求證：當a＞ln2﹣1且x＞0時，ex＞x2﹣2ax+1．參考答案：考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值；導數(shù)在最大值、最小值問題中的應用．專題：計算題；壓軸題．分析：（1）由f（x）=ex﹣2x+2a，x∈R，知f′（x）=ex﹣2，x∈R．令f′（x）=0，得x=ln2．列表討論能求出f（x）的單調(diào)區(qū)間區(qū)間及極值．（2）設(shè)g（x）=ex﹣x2+2ax﹣1，x∈R，于是g′（x）=ex﹣2x+2a，x∈R．由（1）知當a＞ln2﹣1時，g′（x）最小值為g′（ln2）=2（1﹣ln2+a）＞0．于是對任意x∈R，都有g(shù)′（x）＞0，所以g（x）在R內(nèi)單調(diào)遞增．由此能夠證明ex＞x2﹣2ax+1．解答：（1）解：∵f（x）=ex﹣2x+2a，x∈R，∴f′（x）=ex﹣2，x∈R．令f′（x）=0，得x=ln2．于是當x變化時，f′（x），f（x）的變化情況如下表：x（﹣∞，ln2）ln2（ln2，+∞）f′（x）﹣0+f（x）單調(diào)遞減2（1﹣ln2+a）單調(diào)遞增故f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（﹣∞，ln2），單調(diào)遞增區(qū)間是（ln2，+∞），f（x）在x=ln2處取得極小值，極小值為f（ln2）=eln2﹣2ln2+2a=2（1﹣ln2+a），無極大值．（2）證明：設(shè)g（x）=ex﹣x2+2ax﹣1，x∈R，于是g′（x）=ex﹣2x+2a，x∈R．由（1）知當a＞ln2﹣1時，g′（x）最小值為g′（ln2）=2（1﹣ln2+a）＞0．于是對任意x∈R，都有g(shù)′（x）＞0，所以g（x）在R內(nèi)單調(diào)遞增．于是當a＞ln2﹣1時，對任意x∈（0，+∞），都有g(shù)（x）＞g（0）．而g（0）=0，從而對任意x∈（0，+∞），g（x）＞0．即ex﹣x2+2ax﹣1＞0，故ex＞x2﹣2ax+1．點評：本題考查函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及極值的求法和不等式的證明，具體涉及到導數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)增減區(qū)間的判斷、極值的計算和不等式性質(zhì)的應用．解題時要認真審題，仔細解答．19.（14分）已知定義域為，滿足：①；②對任意實數(shù)，有.（Ⅰ）求，的值；（Ⅱ）求的值；（Ⅲ）是否存在常數(shù)，使得不等式對一切實數(shù)成立.如果存在，求出常數(shù)的值；如果不存在，請說明理由.參考答案：解析：（Ⅰ）取，得，即.因為，所以.

………1分取，得.因為，所以.取，得，所以.

…………………3分（Ⅱ）在中取得.所以.在中取，得.在中取，得.所以.在中取，得.所以.在中取，得

.所以對任意實數(shù)均成立.所以.

………………9分（Ⅲ）由（Ⅱ）知，在中，取，得，即

①取，得

②取，得，即

③②+①得，②+③得..將代入①得.將代入②得..由（Ⅱ）知，所以對一切實數(shù)成立.故當時，對一切實數(shù)成立.存在常數(shù)，使得不等式對一切實數(shù)成立，且為滿足題設(shè)的唯一一組值.

………14分

說明：其它正確解法按相應步驟給分.20.已知f（x）=xlnx，g（x）=﹣x+a．（1）當a=2時，求函數(shù)y=g（x）在[0，3]上的值域；（2）求函數(shù)f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；（3）證明：對一切x∈（0，+∞），都有xlnx＞成立．參考答案：考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；二次函數(shù)的性質(zhì)；二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值．專題：計算題．分析：（1）當a=2時，由g（x）=，x∈[0，3]，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出它的值域．（2）利用函數(shù)f（x）的導數(shù)的符號，分類討論f（x）單調(diào)性，從而求出f（x）的最小值．（3）令h（x）==﹣，通過h′（x）=的符號研究h（x）的單調(diào)性，求出h（x）的最大值為h（1）=﹣．再由f（x）=xlnx在（0，+∞）上的最小值為﹣，且f（1）=0大于h（1），可得在（0，+∞）上恒有f（x）＞h（x），即．解答： 解：（1）當a=2時，g（x）=，x∈[0，3]，當x=1時，；當x=3時，，故g（x）值域為．（2）f'（x）=lnx+1，當，f'（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，當，f'（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增．

①若，t無解；

②若，即時，；

③若，即時，f（x）在[t，t+2]上單調(diào)遞增，f（x）min=f（t）=tlnt，所以f（x）min=．

（3）證明：令h（x）==﹣，h′（x）=，當0＜x＜1時，h′（x）＞0，h（x）是增函數(shù)．當1＜x時．h′（x）＜0，h（x）是減函數(shù)，故h（x）在（0，+∞）上的最大值為h（1）=﹣．而由（2）可得，f（x）=xlnx在（0，+∞）上的最小值為﹣，且當h（x）在（0，+∞）上的最大值為h（1）時，f（x）的值為ln1=0，故在（0，+∞）上恒有f（x）＞h（x），即．點評：本題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，二次函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)的恒成立問題，屬于中檔題．21.（本小題滿分12分）等差數(shù)列的前項和為，數(shù)列是等比數(shù)列，滿足，(Ⅰ)求數(shù)列和的通項公式；(Ⅱ)令設(shè)數(shù)列的前項和，求參考答案：(Ⅰ)，；

(Ⅱ)

【知識點】等差、等比數(shù)列的性質(zhì)；數(shù)列的和D2D3D4解析：(Ⅰ)設(shè)數(shù)列的公差為d，數(shù)列的公比為q，則由得解得所以，．

…4分(Ⅱ)由，得，

則即

…6分

…