高中數(shù)學(xué)平面向量的基本概念及線性運(yùn)算第一頁，共四十七頁，2022年，8月28日第二頁，共四十七頁，2022年，8月28日第三頁，共四十七頁，2022年，8月28日第四頁，共四十七頁，2022年，8月28日第一節(jié)平面向量的基本概念及線性運(yùn)算第五頁，共四十七頁，2022年，8月28日1．向量的有關(guān)概念(1)向量：既有_______又有_______的量叫做向量，向量的大小叫做向量的

______(或模)．(2)零向量：__________的向量，其方向是任意的．(3)單位向量：長度等于__________的向量．(4)平行向量：方向____________的非零向量．平行向量又叫_____________．規(guī)定：0與任一向量_______．(5)相等向量：長度_______且方向_______的向量．(6)相反向量：長度_______且方向_______的向量．大小方向長度長度為01個單位相同或相反共線向量平行相等相同相等相反第六頁，共四十七頁，2022年，8月28日2．向量的加法和減法(1)加法法則：服從三角形法則，平行四邊形法則．運(yùn)算性質(zhì)：a＋b＝_______；(a＋b)＋c＝__________．(2)減法與_______互為逆運(yùn)算；服從三角形法則．3．實數(shù)與向量的積(1)實數(shù)λ與向量a的積是一個向量，記作λa，規(guī)定：①長度：|λa|＝________；②方向：當(dāng)_______時，λa與a的方向相同；當(dāng)_________時，λa與a的方向相反；當(dāng)λ＝0時，λa＝_____．b＋aa＋(b＋c)加法|λ||a|λ>0λ＜00第七頁，共四十七頁，2022年，8月28日(2)運(yùn)算律：設(shè)λ、μ∈R，則：①λ(μa)＝__________；②(λ＋μ)a＝____________；③λ(a＋b)＝____________．4．平面向量共線定理向量b與a(a≠0)共線的充要條件是_________________________________．(λμ)aλa＋μaλa＋λb有且只有一個實數(shù)λ，使得b＝λa第八頁，共四十七頁，2022年，8月28日第九頁，共四十七頁，2022年，8月28日2．a(chǎn)∥b是a＝λb(λ∈R)的充要條件嗎？【提示】

當(dāng)a≠0，b＝0時，a∥bDa＝λb，但a＝λba∥b，∴a∥b是a＝λb(λ∈R)的必要不充分條件，不是充要條件．第十頁，共四十七頁，2022年，8月28日【答案】

D第十一頁，共四十七頁，2022年，8月28日2．下列給出的命題正確的是(

)A．零向量是唯一沒有方向的向量B．平面內(nèi)的單位向量有且僅有一個C．a(chǎn)與b是共線向量，b與c是平行向量，則a與c是方向相同的向量D．相等的向量必是共線向量第十二頁，共四十七頁，2022年，8月28日【解析】

零向量方向任意，而不是沒有方向，故A錯；平面內(nèi)單位向量有無數(shù)個，故B錯；若b＝0，b與a、c都平行，但a、c不一定共線，故C錯；相等的向量方向相同，必是共線向量，故D正確．【答案】

D第十三頁，共四十七頁，2022年，8月28日【答案】

B第十四頁，共四十七頁，2022年，8月28日【解析】

由題意知a＋λb＝－k(b－3a)＝－kb＋3ka，【答案】

D第十五頁，共四十七頁，2022年，8月28日【答案】

D第十六頁，共四十七頁，2022年，8月28日第十七頁，共四十七頁，2022年，8月28日【思路點撥】

以概念為判斷依據(jù)，或通過舉反例來說明其不正確．【答案】

D

第十八頁，共四十七頁，2022年，8月28日1．(1)易忽視零向量這一特殊向量，誤認(rèn)為④是正確的；(2)充分利用反例進(jìn)行否定是對向量的有關(guān)概念題進(jìn)行判定的行之有效的方法．2．準(zhǔn)確理解向量的基本概念是解決這類題目的關(guān)鍵．(1)相等向量具有傳遞性，非零向量平行也具有傳遞性．(2)共線向量(平行向量)和相等向量均與向量的起點無關(guān)．3．“向量”和“有向線段”是兩個不同的概念，向量只有兩個要素：大小、方向；而有向線段有三個要素：起點、方向、長度．第十九頁，共四十七頁，2022年，8月28日給出下列四個命題：①兩個向量相等，則它們的起點相同，終點相同；②若a＝b，b＝c，則a＝c；③若a∥b，b∥c，則a∥c；④a＝b的充要條件是|a|＝|b|且a∥b.其中假命題的個數(shù)為(

)A．1

B．2

C．3

D．4第二十頁，共四十七頁，2022年，8月28日【解析】

①不正確．兩個向量起點相同，終點相同，則兩向量相等；但兩個向量相等，不一定有相同的起點和終點．②正確．根據(jù)向量相等的定義知．③不正確．若b＝0時，b與a、c都平行，但a、c不一定平行．④不正確．a(chǎn)＝b的充要條件是|a|＝|b|且a，b同向．【答案】

C第二十一頁，共四十七頁，2022年，8月28日第二十二頁，共四十七頁，2022年，8月28日【答案】

(1)A

(2)A第二十三頁，共四十七頁，2022年，8月28日第二十四頁，共四十七頁，2022年，8月28日第二十五頁，共四十七頁，2022年，8月28日第二十六頁，共四十七頁，2022年，8月28日第二十七頁，共四十七頁，2022年，8月28日第二十八頁，共四十七頁，2022年，8月28日第二十九頁，共四十七頁，2022年，8月28日第三十頁，共四十七頁，2022年，8月28日(1)(2013·南昌模擬)已知向量a，b不共線，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b.如果c∥d，那么(

)A．k＝1且c與d同向B．k＝1且c與d反向C．k＝－1且c與d同向 D．k＝－1且c與d反向(2)(2013·青島模擬)對于非零向量a、b，“a＋b＝0”是“a∥b”的(

)A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件第三十一頁，共四十七頁，2022年，8月28日【解析】

(1)∵c∥d，∴c＝λd，即ka＋b＝λ(a－b)＝λa－λb， ∴k＝λ＝－1，故選D.(2)由a＋b＝0知道a與b互為相反向量，從而a∥b，充分性成立．由a∥b知a＝λb，λ≠－1時，a＋b≠0，∴必要性不成立．【答案】

(1)D

(2)A第三十二頁，共四十七頁，2022年，8月28日一般地，首尾順次相接的多個向量的和等于從第一個向量起點指向最后一個向量終點的向量．第三十三頁，共四十七頁，2022年，8月28日1.向量共線的充要條件中要注意“a≠0”，否則λ可能不存在，也可能有無數(shù)個．2．證明三點共線問題，可用向量共線來解決，但應(yīng)注意向量共線與三點共線的區(qū)別與聯(lián)系，當(dāng)兩向量共線且有公共點時，才能得出三點共線；3．利用向量平行證明直線平行，必須說明這兩條直線不重合．第三十四頁，共四十七頁，2022年，8月28日從近兩年高考試題來看，平面向量的概念，線性運(yùn)算及向量共線是高考命題的重點，常與平面向量基本定理、平面向量的數(shù)量積交匯命題，多以客觀題形式呈現(xiàn)．在求解過程中，不要忽視零向量的特殊性．第三十五頁，共四十七頁，2022年，8月28日【錯解】

錯解一a、b共線，必然是有且只有一個實數(shù)λ，使b＝λa，故選A.【答案】

A第三十六頁，共四十七頁，2022年，8月28日【答案】

B錯解三當(dāng)a與b同向時，式子中第一個等號不成立；當(dāng)a與b反向時，式子中第二個等號不成立，當(dāng)兩個向量不共線時，兩個等號都不成立，故兩個等號不可能同時成立，故選C.【答案】

C第三十七頁，共四十七頁，2022年，8月28日錯因分析：(1)錯解一，忽視了a≠0這一條件．(2)錯解二，忽視了0與0的區(qū)別．(3)錯解三，忽視了零向量的特殊性，當(dāng)a＝0或b＝0時，兩個等號同時成立．第三十八頁，共四十七頁，2022年，8月28日防范措施：(1)共線向量定理中，b＝λa要求a≠0，否則λ值可能不存在．(2)向量的加減及數(shù)乘運(yùn)算的結(jié)果，仍然是一個向量，而不是一個數(shù)．(3)應(yīng)熟練掌握向量不等式||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|等號成立的條件．第三十九頁，共四十七頁，2022年，8月28日【正解】

∵向量a與b不共線，∴a，b，a＋b與a－b均不為零向量．若a＋b與a－b平行，則存在實數(shù)λ，使a＋b＝λ(a－b)，即(λ－1)a＝(1＋λ)b，

λ無解，故假設(shè)不成立，即a＋b與a－b不平行，故選D.【答案】

D第四十頁，共四十七頁，2022年，8月28日1．(2012·浙江高考)設(shè)a，b是兩個非零向量(

)A．若|a＋b|＝|a|－|b|，則a⊥bB．若a⊥b，則|a＋b|＝|a|－|b|C．若|a＋b|＝|a|－|b|，則存在實數(shù)λ，使得b＝λaD．若存在實數(shù)λ，使得b＝λa，則|a＋b|＝|a|－|b|【解析】

由|a＋b|＝|a|－|b|知(a＋b)2＝(|a|－|b|)2，即a2＋2a·b＋b2＝|a|2－2|a||b|＋|b|2，∴a·b＝－|a||b|.第四十一頁，共四十七頁，2022年，8月28日∵a·b＝|a||b|cos〈a，b〉，∴cos〈a，b〉＝－1，∴〈a，b〉＝π，此時a與b反向共線，因此A錯誤．當(dāng)a⊥b時，a與b不反向也不共線，因此B錯誤．若|a＋b|＝|a|－|b|，則存在實數(shù)λ＝－1，使b＝－a，滿足a與b反向共線，故C正確．若存在實數(shù)λ，使得b＝λa，則|a＋b|＝|a＋λa|＝|1＋λ||a|，|a|－|b|＝|a|－