Hertz彈性接觸理論彈性力學(xué)基礎(chǔ)理論空間軸對稱問題的基本微分方程空間軸對稱問題彈性接觸問題(Hertz彈性接觸理論)一般接觸問題彈性力學(xué)的應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系在彈性力學(xué)中假設(shè)物體是均勻、連續(xù)、和各向同性的，應(yīng)力和應(yīng)變的關(guān)系只決定于物體的物理性質(zhì)，所以彈性力學(xué)與塑性力學(xué)的主要區(qū)別主要是應(yīng)力和應(yīng)變的關(guān)系定性。拉伸試樣示意圖PD3鋼軌物體的彈性變形曲線材料力學(xué)的虎克定律

x=Ex式中E稱為彈性模量，對于一種材料在一定溫度下它是一個常數(shù)。應(yīng)變關(guān)系在研究拉伸變形時沿受力的方向引起伸長，同時在垂直于力作用線的方向則引起縮短。根據(jù)實(shí)驗(yàn)得知，在彈性范圍內(nèi)，橫向縮短和縱向相對伸長成正比，而縮短與伸長符號相反，故有：

y=-x其中是彈性常數(shù)，稱為波桑系數(shù)。應(yīng)變與三向應(yīng)力關(guān)系考慮應(yīng)力x

、y、

z

同時作用在x軸方向的應(yīng)變，則有：x=[x-（y+z

）]/E同理可以得到y(tǒng)軸和z軸方向的應(yīng)變。剪應(yīng)變與剪應(yīng)力的關(guān)系同樣的方法可以得出剪應(yīng)變與剪應(yīng)力的關(guān)系表達(dá)式：

xy

=

xy

/G式中G為剪切彈性模量。廣義虎克定律將各向同性材料在空間應(yīng)力狀態(tài)時的應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系按上述方程式給出，即為廣義虎克定律。由于進(jìn)行三向均勻加力存在實(shí)驗(yàn)技術(shù)困難，廣義虎克定律難與直接用實(shí)驗(yàn)來驗(yàn)證，但在長期的實(shí)踐中已間接證明它的可靠性。2,空間軸對稱問題的基本微分方程在工程中有不少問題，其幾何形狀和約束情況都是對稱于z軸的。此時，用柱坐標(biāo)表達(dá)則比較方便，所有各個分量都只是r和z的函數(shù)而與無關(guān)。這種問題稱為空間軸對稱問題。圖１所示為一個微小彈性體，用相距dr

的兩個圓柱面，互成d的兩個鉛直面和相距dz

的兩個水平面組成。圖中所有應(yīng)力分量、應(yīng)變分量和位移分量都將只是r和z的函數(shù)，不隨變化。即以z軸為對稱。圖1注意到應(yīng)力分量是（r，z）的函數(shù)，將各面上的應(yīng)力分量寫出，單位體積內(nèi)的體積力在r、z方向的分量表示為fr

、fz。根據(jù)此單元體在r方向的平衡方程：

可以得：方程（１）因?yàn)閐很小，所以可以認(rèn)為式中的并略去高階微量，并除以r·dr·d·dz，前式整理后可得：方程（１）同理可得z方向的平衡微分方程:方程（２）進(jìn)一步推導(dǎo)空間軸對稱問題的幾何變形方程:設(shè)u、w分別代表r及z軸方向的位移分量，則有關(guān)系式：方程（３）根據(jù)廣義虎克定律，可得出物理方程：令e為體積應(yīng)變，即：前面各項(xiàng)式中共有１０個未知數(shù)，即：它們必需滿足方程式（１，２，３）。當(dāng)體積力Ｆ時，將方程（３）代入方程（１）中，便可得到位移表達(dá)的平衡方程式（５）。即為解空間軸對稱問題的位移法的基本方程。方程（５）通過邊界條件，求出滿足方程式（５）的位移函數(shù)，然后代入到方程（２、３），即可求得應(yīng)變及應(yīng)力分量。3，空間軸對稱問題設(shè)在彈性半空間體（即在一個方向界面，在其余各方向皆為無限大）的界面上，受垂直界面集中力Ｐ的作用，如圖２所示?，F(xiàn)用位移法求此時的位移及應(yīng)力分量。圖2求位移函數(shù)對空間軸對稱問題，把Ｚ軸放在Ｐ力的作用線方向，將Ｐ力作用點(diǎn)作為坐標(biāo)原點(diǎn)。當(dāng)用位移法求解時,問題在于如何求出方程式(5)的解，并使之滿足邊界條件。通過解方程可以求得兩組位移函數(shù)滿足方程特解，它們?yōu)椋旱谝唤M解：第二組解：方程（６）式中r和z是被考察點(diǎn)Ｍ的兩個坐標(biāo)，Ｒ=(r2+z2)1/2是被考慮點(diǎn)Ｍ到坐標(biāo)原點(diǎn)Ｏ的距離。Ａ１、Ａ２是兩個任意常數(shù)。為此可以將方程（５）的通解寫為：方程（８）現(xiàn)已得到滿足基本方程的位移函數(shù)。通過邊界條件來確定常數(shù)Ａ１、Ａ２。將方程（６）代入方程（３）中，求解可以得方程（８）：方程（９）把所得的Ａ１、Ａ２代回方程（３）式，最后可以求得位移函數(shù)為：求應(yīng)力分量（１０）將（８）式的Ａ１、Ａ２代入方程（４）中，可求得應(yīng)力分量的計(jì)算公式（１０）：由位移及應(yīng)力計(jì)算公式可以看出，隨著Ｒ的增大，位移和應(yīng)力分量都迅速減少。當(dāng)Ｒ→∞時，位移和應(yīng)力分量都趨于零。這說明此物體受力狀態(tài)下的應(yīng)力與位移均帶有局部性質(zhì)。當(dāng)Ｒ→０時，各應(yīng)力分量都趨于無限大。所以集中力Ｐ作用點(diǎn)處進(jìn)入塑性變形區(qū)域。而實(shí)際中加載不可能在一點(diǎn)上，而是分布在一個區(qū)域的面積上，因此分布壓力計(jì)算更有意義。4、Hertz彈性接觸理論在機(jī)械工程中，常遇到兩曲面物體相互接觸，以傳遞力的情況。例如齒輪、輪軌接觸等。這種接觸在加載前都是點(diǎn)接觸或線接觸，而在加載后，由于材料的彈性變形，接觸點(diǎn)變?yōu)榱私佑|面。實(shí)際工程中常常需要求解接觸面的壓力分布和接觸區(qū)域的應(yīng)力分布。１８８１年，Hertz首先用數(shù)學(xué)彈性力學(xué)方法導(dǎo)出接觸問題的計(jì)算公式。其假設(shè)條件為：認(rèn)為材料是均勻的，各向同性的、完全彈性的；接觸表面的摩擦力可忽略不計(jì)，表面是理想的光滑表面，在上述假設(shè)下，基本公式才能成立。應(yīng)用的三個基本原理（１）、變形方程：點(diǎn)接觸物體受力后其接觸表面為橢圓；而線接觸物體受力后其接觸表面為矩形。兩接觸物體的變形符合變形連續(xù)條件。（２）、物理方程：由于材料處于彈性階段且服從虎克定律，因此接觸表面上應(yīng)力的變化規(guī)律與接觸體的應(yīng)變成線性關(guān)系，在應(yīng)變最大的接觸表面中心壓應(yīng)力最大。

Hertz假設(shè)接觸表面的壓應(yīng)力分布為半橢圓體。（３）、靜力平衡方程：根據(jù)接觸表面壓應(yīng)力分布規(guī)律求得表面接觸壓力所組成的合力應(yīng)等于外加載荷。將上述三方面的方程表達(dá)式聯(lián)合求解，即可求得各種接觸問題的公式?，F(xiàn)推導(dǎo)兩個球體彈性接觸時的公式。設(shè)兩圓球體的半徑分別為Ｒ１、Ｒ２。開始時在公切平面上的０點(diǎn)相互接觸，如圖３所示。Hertz接觸模型示意圖方程（１１）在兩球的子午面截線上，與z１和z２相距距離r處的兩點(diǎn)Ｍ和Ｎ的坐標(biāo)z１、z２可以近似地表達(dá)為：當(dāng)z１、z２很小時，上式（１１）成立。當(dāng)兩球體受到力Ｐ的作用而沿著０點(diǎn)的法向相互壓緊時，在接觸處發(fā)生局部變形，而形成一個小的圓形接觸面（斑），其接觸區(qū)半徑及變形均遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于兩球半徑Ｒ１、Ｒ２。

因此Ｍ和Ｎ兩點(diǎn)的距離為：彈性變形量計(jì)算（１４）設(shè)w1

表示球體１面上的點(diǎn)Ｍ由于局部變形所產(chǎn)生的沿z1

軸方向的位移，w2

表示球２面上的點(diǎn)Ｎ由于局部變形所產(chǎn)生的沿z2

軸方向的位移，兩球的中心Ｏ1Ｏ２彼此接近的距離為。如果Ｍ和Ｎ點(diǎn)在接觸區(qū)域內(nèi)，則可以得到：方程（１６）由于對稱性，由接觸產(chǎn)生的壓力q和位移w對于接觸中心Ｏ都是軸對稱的。從圖４中可得，取圓為接觸面，其中點(diǎn)Ｍ是接觸面上球體１的一點(diǎn)，將球體近似地作為彈性半空間，則利用以前求得的位移方程（９）可得：推導(dǎo)為：而Ｐ為壓力分布函數(shù)，可以用積分方式表示。方程（１７）在方程（１６）中，Ｅ1、1

是球１的彈性常數(shù)，積分是對整個接觸面取的。同樣方法可以求得球體２的位移變形方程，于是可以求得：方程（１９）由方程（１４）和（１７）可以求得方程（１９）的表達(dá)式為：現(xiàn)在問題轉(zhuǎn)化為尋求q的一個表達(dá)式以滿足上式。按照Hertz假設(shè)，接觸區(qū)域的壓力分布是半球體形式的，這樣接觸中心的壓力最大，為q０，其位置在接觸中心Ｏ處。所以接觸區(qū)的壓力分布q的積分可以表達(dá)為（見圖４）：式中Ｆ是虛線半圓的面積，a是接觸圓半徑。積分表達(dá)式是把接觸壓力沿弦mn

進(jìn)行積分，可以求得。將上述方程代入到方程（１９）式，得：對于r的任何值，此方程式都是使用的，因此有：方程（２２）由此可以計(jì)算出：以上公式可見，最大接觸壓應(yīng)力與載荷不時線性關(guān)系，而是與載荷的立方根成正比，這時候因?yàn)殡S著載荷的增加，接觸面積也在增大，其結(jié)果使接觸面上的最大壓應(yīng)力的增長較載荷的增長為慢。應(yīng)力與載荷成非線性關(guān)系是接觸應(yīng)力的重要特征之一。接觸應(yīng)力的另一個重要特征是應(yīng)力與材料的彈性模量Ｅ及波桑比有關(guān)，這時候因?yàn)榻佑|面積的大小與接觸物體的彈性變形有關(guān)部門的緣故。方程式（２２）中，當(dāng)Ｅ１＝Ｅ２＝Ｅ，１＝２＝0.3時，可以得：當(dāng)圓球與平面接觸時，則可以將Ｒ１＝Ｒ；Ｒ２

→∝代入方程求解即可。如果當(dāng)圓與凹球面接觸，則用-Ｒ２代入計(jì)算即可。5，一般接觸問題以下列出工程中常用的接觸物體計(jì)算公式。1，兩圓球接觸計(jì)算公式當(dāng)材料相同，為0.3時可得：2