2022-2023學(xué)年高一下數(shù)學(xué)期末模擬試卷考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．在中，若，則（）A． B． C． D．2．從裝有兩個(gè)紅球和三個(gè)黑球的口袋里任取兩個(gè)球，那么互斥而不對立的兩個(gè)事件是（）A．“至少有一個(gè)黑球”與“都是黑球” B．“至少有一個(gè)黑球”與“至少有一個(gè)紅球”C．“恰好有一個(gè)黑球”與“恰好有兩個(gè)黑球” D．“至少有一個(gè)黑球”與“都是紅球”3．設(shè)函數(shù)的圖象分別向左平移m(m>0)個(gè)單位，向右平移n(n>0>個(gè)單位，所得到的兩個(gè)圖象都與函數(shù)的圖象重合的最小值為（）A． B． C． D．4．長方體共頂點(diǎn)的三個(gè)相鄰面面積分別為，這個(gè)長方體的頂點(diǎn)在同一個(gè)球面上，則這個(gè)球的表面積為（）A． B． C． D．5．為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，且，．記，其中表示不超過的最大整數(shù)，如，．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和為（）A． B． C． D．6．等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且，則（）A． B． C． D．7．若一個(gè)三角形，采用斜二測畫法作出其直觀圖，則其直觀圖的面積是原三角形面積的()A．倍 B．2倍 C．倍 D．倍8．在1和19之間插入個(gè)數(shù)，使這個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，若這個(gè)數(shù)中第一個(gè)為，第個(gè)為，當(dāng)取最小值時(shí)，的值是（）A．4 B．5 C．6 D．79．在△ABC中，內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，若，則（）A． B． C． D．10．在中，若，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A．當(dāng)時(shí)，是直角三角形 B．當(dāng)時(shí)，是銳角三角形C．當(dāng)時(shí)，是鈍角三角形 D．當(dāng)時(shí)，是鈍角三角形二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知腰長為的等腰直角△中，為斜邊的中點(diǎn)，點(diǎn)為該平面內(nèi)一動點(diǎn)，若，則的最小值________．12．某球的體積與表面積的數(shù)值相等，則球的半徑是13．已知數(shù)列中，，當(dāng)時(shí)，，數(shù)列的前項(xiàng)和為_____．14．已知點(diǎn)及其關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)均在不等式表示的平面區(qū)域內(nèi)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是____．15．函數(shù)的值域是________．16．已知正實(shí)數(shù)滿足，則的最大值為_______.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知，，，均為銳角，且.（1）求的值；（2）若，求的值.18．等差數(shù)列中，公差，，.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.19．如圖，在四棱錐中，底面是正方形，底面，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是和的交點(diǎn)．(1)證明：平面；(2)求三棱錐的體積．20．已知數(shù)列滿足：，，.（1）求證：數(shù)列為等差數(shù)列，并求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）記（），用數(shù)學(xué)歸納法證明：，21．已知數(shù)列為遞增的等差數(shù)列，，且成等比數(shù)列．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足．（1）求，的通項(xiàng)公式；（2）令，求的前項(xiàng)和．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、A【解析】

由已知利用余弦定理即可解得的值．【詳解】解：，，，由余弦定理可得：，解得：，故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．2、C【解析】分析：利用對立事件、互斥事件的定義求解．詳解：從裝有兩個(gè)紅球和三個(gè)黑球的口袋里任取兩個(gè)球，在A中，“至少有一個(gè)黑球”與“都是黑球”能同時(shí)發(fā)生，不是互斥事件，故A錯(cuò)誤；在B中，“至少有一個(gè)黑球”與“至少有一個(gè)紅球”能同時(shí)發(fā)生，不是互斥事件，故B錯(cuò)誤；在C中，“恰好有一個(gè)黑球”與“恰好有兩個(gè)黑球”不能同時(shí)發(fā)生，但能同時(shí)不發(fā)生，是互斥而不對立的兩個(gè)事件，故C正確；在D中，“至少有一個(gè)黑球”與“都是紅球”是對立事件，故D錯(cuò)誤．故答案為：C點(diǎn)睛：（1）本題主要考查互斥事件和對立事件的定義，意在考查學(xué)生對這些基礎(chǔ)知識的掌握水平.(2)互斥事件指的是在一次試驗(yàn)中，不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件，對立事件指的是在一次試驗(yàn)中，不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件，且在一次試驗(yàn)中，必有一個(gè)發(fā)生的兩個(gè)事件.注意理解它們的區(qū)別和聯(lián)系.3、C【解析】

求出函數(shù)的圖象分別向左平移個(gè)單位，向右平移個(gè)單位后的函數(shù)解析式，再根據(jù)其圖象與函數(shù)的圖象重合，可分別得關(guān)于，的方程，解之即可．【詳解】解：將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位，得函數(shù)，其圖象與的圖象重合，，，，故，，，當(dāng)時(shí)，取得最小值為．將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位，得到函數(shù)，其圖象與的圖象重合，，，，故，，當(dāng)時(shí)，取得最小值為，的最小值為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查誘導(dǎo)公式，函數(shù)的圖象變換規(guī)律，屬于基礎(chǔ)題．4、A【解析】

設(shè)長方體的棱長為，球的半徑為，根據(jù)題意有，再根據(jù)球的直徑是長方體的體對角線求解.【詳解】設(shè)長方體的棱長為，球的半徑為，根據(jù)題意，，解得，所以，所以外接球的表面積，故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查了球的組合體問題，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.5、D【解析】

利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式可得，再利用，可得，，．即可得出．【詳解】解：為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，且，，．可得，則公差．，，則，，，．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和為：．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式、對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)、取整函數(shù)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．6、D【解析】

本題首先可根據(jù)數(shù)列是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列以及計(jì)算出的值，然后根據(jù)對數(shù)的相關(guān)運(yùn)算以及等比中項(xiàng)的相關(guān)性質(zhì)即可得出結(jié)果．【詳解】因?yàn)榈缺葦?shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，，所以，，所以，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查對數(shù)的相關(guān)運(yùn)算以及等比中項(xiàng)的相關(guān)性質(zhì)，考查的公式為以及在等比數(shù)列中有，考查計(jì)算能力，是簡單題．7、C【解析】

以三角形的一邊為x軸，高所在的直線為y軸，由斜二測畫法看三角形底邊長和高的變化即可．【詳解】以三角形的一邊為x軸，高所在的直線為y軸，由斜二測畫法知，三角形的底長度不變，高所在的直線為y′軸，長度減半，故三家性的高變?yōu)樵瓉淼膕in45°=，故直觀圖中三角形面積是原三角形面積的．故選C．【點(diǎn)睛】本題重點(diǎn)考查了斜二側(cè)畫法、平面圖形的面積的求解方法等知識，屬于中檔題．解題關(guān)鍵是準(zhǔn)確理解斜二側(cè)畫法的內(nèi)涵，與x軸平行的線段長度保持不變，與y軸平行的線段的長度減少為原來的一半．8、B【解析】

設(shè)等差數(shù)列公差為,可得,再利用基本不等式求最值,從而求出答案.【詳解】設(shè)等差數(shù)列公差為,則,從而,此時(shí),故,所以,即,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)取“=”,又,解得,所以,所以,故選:B.【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)列和不等式的綜合運(yùn)用,需要學(xué)生對所學(xué)知識融會貫通,靈活運(yùn)用.9、A【解析】

由正弦定理可得，再結(jié)合求解即可.【詳解】解：由，又，則，由，則，故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理，屬基礎(chǔ)題.10、D【解析】

由正弦定理化簡已知可得，利用余弦定理，勾股定理，三角形兩邊之和大于第三邊等知識逐一分析各個(gè)選項(xiàng)即可得解．【詳解】解：為非零實(shí)數(shù)），可得：，由正弦定理，可得：，對于A，時(shí)，可得：，可得，即為直角，可得是直角三角形，故正確；對于B，時(shí)，可得：，可得為最大角，由余弦定理可得，可得是銳角三角形，故正確；對于C，時(shí)，可得：，可得為最大角，由余弦定理可得，可得是鈍角三角形，故正確；對于D，時(shí)，可得：，可得，這樣的三角形不存在，故錯(cuò)誤．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理，余弦定理，勾股定理在解三角形中的應(yīng)用，考查了分類討論思想，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

如圖建立平面直角坐標(biāo)系，∴，當(dāng)sin時(shí)，得到最小值為，故選．12、3【解析】試題分析：，解得.考點(diǎn)：球的體積和表面積13、．【解析】

首先利用數(shù)列的關(guān)系式的變換求出數(shù)列為等差數(shù)列，進(jìn)一步求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，最后求出數(shù)列的和．【詳解】解：數(shù)列中，，當(dāng)時(shí)，，整理得，即，∴數(shù)列是以為首項(xiàng)，6為公差的等差數(shù)列，故，所以，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查定義法判斷等差數(shù)列，考查等差數(shù)列的前項(xiàng)和，考查運(yùn)算能力和推理能力，屬于中檔題．14、【解析】

根據(jù)題意，設(shè)與關(guān)于原點(diǎn)的對稱，分析可得的坐標(biāo)，由二元一次不等式的幾何意義可得，解可得的取值范圍，即可得答案．【詳解】根據(jù)題意，設(shè)與關(guān)于原點(diǎn)的對稱，則的坐標(biāo)為，若、均在不等式表示的平面區(qū)域內(nèi)，則有，解可得：，即的取值范圍為，；故答案為，．【點(diǎn)睛】本題考查二元一次不等式表示平面區(qū)域的問題，涉及不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題．15、【解析】

求出函數(shù)在上的值域，根據(jù)原函數(shù)與反函數(shù)的關(guān)系即可求解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，當(dāng)時(shí)是單調(diào)減函數(shù)當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，所以在上的值域?yàn)楦鶕?jù)反函數(shù)的定義域就是原函數(shù)的值域可得函數(shù)的值域?yàn)楣蚀鸢笧椋骸军c(diǎn)睛】本題求一個(gè)反三角函數(shù)的值域，著重考查了余弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)和反函數(shù)的性質(zhì)等知識，屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】

對所求式子平邊平方，再將代入，從而將問題轉(zhuǎn)化為求【詳解】∵∵，∴，∴，等號成立當(dāng)且僅當(dāng).故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查條件等式下利用基本不等式求最值，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力，求解時(shí)注意等號成立的條件.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）【解析】

(1)計(jì)算表達(dá)出,再根據(jù),兩邊平方求化簡即可求得.(2)根據(jù),再利用余弦的差角公式展開后分別計(jì)算求解即可.【詳解】（1）由題意,得,,,,.（2）,,均為銳角,仍為銳角,,,.【點(diǎn)睛】本題主要考查了根據(jù)向量的數(shù)量積列出關(guān)于三角函數(shù)的等式,再利用三角函數(shù)中的和差角以及湊角求解的方法.屬于中檔題.18、（1）（2）【解析】

（1）由和可列出方程組，解出和，即得通項(xiàng)公式；（2）將（1）中所得通項(xiàng)公式代入，列項(xiàng)，用裂項(xiàng)相消法求的前n項(xiàng)和．【詳解】解：（1）因?yàn)?，，所以因?yàn)?，所以故的通?xiàng)公式為.（2）因?yàn)椋?【點(diǎn)睛】本題考查求等差數(shù)列通項(xiàng)公式和用裂項(xiàng)相消法求數(shù)列前n項(xiàng)和，是典型考題．19、(1)證明見解析；（2）.【解析】

(1)在中，利用中位線性質(zhì)得到，證明平面.(2)直接利用體積公式得到答案.【詳解】在中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，底面是正方形點(diǎn)為中點(diǎn)根據(jù)中位線性質(zhì)得到，平面，故平面.(2)底面【點(diǎn)睛】本題考查了線面平行，三棱錐體積，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和空間想象能力.20、（1）證明見解析，；（2）見解析【解析】

（1）定義法證明：；（2）采用數(shù)學(xué)歸納法直接證明（注意步驟）.【詳解】由可知：，則有，即，所以為等差數(shù)列，且首相為，公差，所以，故；（2），當(dāng)時(shí)，成立；假設(shè)當(dāng)時(shí)，不等式成立則：；當(dāng)時(shí)，，因?yàn)椋?，則，故時(shí)不等式成立，綜上可知：.【點(diǎn)睛】數(shù)學(xué)歸納法的一般步驟：（1）命題成立；（2）假設(shè)命題成立；（3）證明命題成立（一定要借助假設(shè)，否則不能稱之為數(shù)學(xué)歸