中外小學高年級數(shù)學競賽試題難度的比較研究——以“華杯賽”與“袋鼠賽”為例摘要：小學數(shù)學競賽試題的難度與數(shù)學的普及和競賽活動本身的社會反響密切相關.對當前國內(nèi)外小學數(shù)學競賽試題的難度進行探討，回答了國內(nèi)小學數(shù)學競賽與國外相比是否太難的問題.首先在已有模型的基礎上構建小學數(shù)學競賽試題綜合難度的一個多因素模型，對中外兩類參與面很廣的小學高年級數(shù)學競賽"華杯賽"和"袋鼠賽"近6年的試題進行綜合難度比較,利用SPSS22處理所得數(shù)據(jù).在考慮到中外國情、文化傳統(tǒng)差異的基礎上得到如下結論：國內(nèi)小學數(shù)學競賽試題的難度較高，應適當降低難度；國內(nèi)小學數(shù)學競賽應進一步處理好普及與提高的關系；國內(nèi)小學數(shù)學競賽試題在情境上應更加生活化，在認知上應更貼近學生的思維水平.關鍵詞：袋鼠數(shù)學；華杯賽；難度；小學數(shù)學競賽華杯賽始于1986年，是一項紀念中國著名數(shù)學家華羅庚(傳承其精神)的全國性少年數(shù)學競賽活動，競賽命題的基本原則是：普及性、趣味性和新穎性［1］.普及數(shù)學是該競賽的重要目的和根本出發(fā)點.國際上以普及數(shù)學和最基本的數(shù)學文化為宗旨的小學數(shù)學競賽參與面較廣的是袋鼠數(shù)學競賽(MathKangaroo)，該競賽(以下簡稱袋鼠賽)始于1991年，目前全球每年有超過600萬中小學生參與該賽事.該活動在美國、法國和加拿大等國家受到孩子們及其家長的一致歡迎和好評閔.恰與之相反，華杯賽等小學數(shù)學競賽在中國已經(jīng)被明令禁止開展.同樣以普及數(shù)學為宗旨的數(shù)學競賽活動，為什么會有如此不同的結局？很明顯，袋鼠賽在國際上日漸受歡迎，在數(shù)學普及上，袋鼠賽日益展現(xiàn)它的價值；而華杯賽等活動在數(shù)學普及上已然無力，因為活動本身已經(jīng)被禁停.其中的原因非常復雜，但不少人持這樣一種觀點：小學數(shù)學競賽的內(nèi)容超出了孩子們的認知水平，過難的試題不僅沒有激發(fā)孩子們的興趣，反而是對孩子們的摧殘［3］.國內(nèi)小學數(shù)學競賽的試題是否真的太難？考慮到小學高年級是小學生思維發(fā)展的關鍵時期，為了解中外小學數(shù)學競賽活動的差異，弄清楚國內(nèi)小學數(shù)學競賽試題是否過難，以華杯賽和袋鼠賽為例，比較它們小學高年級數(shù)學競賽試題的綜合難度能夠得到一些啟示.1小學數(shù)學競賽試題的綜合難度模型數(shù)學試題的難度指的是數(shù)學試題的難易程度，單個試題的難易程度可以用難度系數(shù)來刻畫，難度系數(shù)越低，通過的人越少，試題越難.經(jīng)典測量理論(CTT)難度系數(shù)在數(shù)值上反映的是考生群體在該試題上的通過率或得分率；項目反應理論(IRT)中，難度被定義為試題本身固有的特性，不隨考生樣本的變化而變化［4］.由于數(shù)學課程難度的國際比較和大規(guī)模高利害數(shù)學教育考試命題等實際需要，要對試題本身固有的難度進行量化，因此發(fā)展出很多試題絕對難度的估計模型.比如，考慮影響數(shù)學試題難度的信息量、思維水平、推理步驟和認知要求等各因素而設計的綜合難度模型［5］.模糊綜合評判和神經(jīng)網(wǎng)絡等方法也用于試題客觀難度的刻畫［6-7］.國外有研究者將影響數(shù)學試題難度的因素進行了梳理，影響因素主要有情境、原理和知識技能等17個［8］.目前，綜合難度模型多用于數(shù)學課程難度的跨國比較［9-13］，在考試方面涉及高考試題的綜合難度模型已經(jīng)有研究［14］.基于已有的綜合難度模型，考慮小學數(shù)學競賽的特點，在專家論證的基礎上，確定符合小學生特點的難度影響因素結構及各水平的權重，構建小學數(shù)學競賽試題的五因素綜合難度模型分析框架(見表1),用該框架作中外小學高年級數(shù)學競賽試題綜合難度的分析比較.以下給出兩個按照上述框架進行因素水平分析的具體例子.例1設q是一個平方數(shù)，如果q-2和q+2都是質(zhì)數(shù)，就稱q為P型平方數(shù)，例如，9就是一個P型平方數(shù)，那么小于1000的最大P型平方數(shù)是 .(2016年華杯賽小高組初賽第9題)該題主要考查同余的思想，試題情境為數(shù)學本身，信息量為知識較多，運算次數(shù)為多次運算，推理類型為復雜推理，認知要求為分析水平．例2WhatisthegreatestnumberN,which,whendividedby7,hasaremainderthatisequaltothequotient?(2014年袋鼠賽五~六年級第20題)(A)7 (B)8 (C)48 (D)56 (E)77該題譯為：被7除所得的商和余數(shù)相等的最大的整數(shù)N是多少？該題主要考查帶余除法，試題情境為數(shù)學本身，信息量認知要求為理解水平.及試題的圖文并茂，試題整體給人一種親切感，能夠激發(fā)學生的探索興趣，及試題的圖文并茂，試題整體給人一種親切感，能夠激發(fā)學生的探索興趣，如2018年第28題（圖1）.該題雖考查的知識點不多，但要認真分析才能獲得答案.編碼因素因素水平具體含義生活實際試題背景為現(xiàn)實生活場景，特點為生活性、實際性情境數(shù)學本身問題提出源于對數(shù)學本身認知的需要，特點是純數(shù)學性科學應用試題背景為數(shù)學在科學技術中的應用，特點是技術性和應用性2信息知識較少問題涉及的獨立知識點個數(shù)不超過3個知識較多問題涉及的獨立知識點個數(shù)在4個以上簡單運算加、減、乘、除、乘方、開方等3次以內(nèi)的數(shù)字運算3運算多次運算加、減、乘、除、乘方、開方等4次以上的數(shù)字運算符號運算加、減、乘、除、乘方、開方等含符號綜合運算4推理簡單推理推理涉及到的數(shù)學知識背景比較具體，推理步驟少于3步復雜推理推理涉及到的數(shù)學知識背景比較抽象，推理步驟4步以上記憶能按照記住的或題意給出的簡單算法或公式等進行運算5認知理解能理解未知與已知之間的聯(lián)系，通過簡單變形轉化問題分析能對陌生的問題進行綜合分析，想辦法解決問題表1小學數(shù)學競賽試題綜合難度模型分析框架基于已有模型［9-14］，按表1所示框架，單個因素的難度模型為：dt=——（i=1,2,3,4,5）.n其中，d表示第i個因素的難度系數(shù)，扁表示第i個因素第j個水平的難度權重（權重由兩位命題專家討論后確定），n表示符合第i個因素第j個水平題目的數(shù)量，Snj=n.綜合難度模型為：D=、di-ki=-S（kiSnijdij\.i=1 ni=1I j）其中，kt表示第i個因素對整體難度的權重（由兩位命題專家討論后給出），各權重的和為1.權重dv和kt的確定是基于兩位命題專家的試題難度預估經(jīng)驗，按照該權重計算得到的難度系數(shù)與抽樣實測難度系數(shù)基本吻合.權重的選取使得單個因素難度系數(shù)d和綜合難度系數(shù)D都是區(qū)間（0,1）之間的實數(shù)，與CTT理論的難度系數(shù)意義一致，試題的難度系數(shù)越小，試題的難度越大，試題越難.2中外小學高年級數(shù)學競賽試題難度的比較選取華杯賽小學高年級組初賽（以下均簡稱為華杯賽）和袋鼠賽五~六年級（以下均簡稱為袋鼠賽）近6年的試題進行分析.這兩類競賽的考生均處于小學高年級階段（五年級和六年級），兩類競賽的本質(zhì)目的都是普及數(shù)學.其中，華杯賽是國內(nèi)參與人數(shù)最多的小學數(shù)學競賽之一；袋鼠賽則是國際上參與人數(shù)最多的國際性小學數(shù)學競賽.華杯賽一般是6道選擇題，4道填空題，答題時間為60分鐘;袋鼠賽是30道選擇題，答題時間為75分鐘.兩類競賽試題除了考查小學階段基礎的數(shù)和幾何知識外，都或多或少涉及到初等數(shù)論和組合數(shù)學等離散數(shù)學的內(nèi)容.相對而言，華杯賽更注重數(shù)學的深度，數(shù)學味道較濃，如2018年的第5題，從1—20這20個整數(shù)中任選11個，要回答必有兩個整數(shù)的和是21.該題考查的是抽屜原理，要能正確構造"抽屜"才能完成解答.袋鼠賽則更注重數(shù)學與生活的聯(lián)系、趣味性以圖1袋鼠賽2018年第28題原題在上述模型和分析框架的基礎上，統(tǒng)計華杯賽和袋鼠賽近6年試題難度的各單因素難度系數(shù)和綜合難度系數(shù)，對中外這兩類數(shù)學競賽各單因素難度系數(shù)和綜合難度系數(shù)作均值比較，既分析中外試題各因素難度和綜合難度是否存在顯著性差異，也揭示中外各影響試題難度的因素的特點，并從中得到啟示.2.1描述性統(tǒng)計表2是近6年小學高年級華杯賽和袋鼠賽試題各因素難度系數(shù)和綜合難度系數(shù)的統(tǒng)計表.近6年中的每一年華杯賽試題的綜合難度均高于袋鼠賽相應試題的綜合難度.華杯賽試題的綜合難度最難達到難度系數(shù)0.40（2017年），最容易時綜合難度系數(shù)為0.51（2013年）;袋鼠賽試題的綜合難度最難時難度系數(shù)為0.67（2018年），最容易時綜合難度系數(shù)為0.72（2013年）.近6年華杯賽試題的綜合難度系數(shù)的標準差為0.04，袋鼠賽試題的綜合難度系數(shù)的標準差為0.02，華杯賽試題的綜合難度的波動性略高于袋鼠賽.近6年華杯賽試題運算難度系數(shù)的標準差是0.09，運算難度相對于其它因素難度波動性較大，2016年和2017年華杯賽試題的運算難度相對其它年份較難.根據(jù)表2數(shù)據(jù)，近6年華杯賽在影響試題難度的各個因素的難度系數(shù)上都小于袋鼠賽，華杯賽在影響試題難度的各個因素上都比袋鼠賽要求高、難度大.2.2差異性檢驗為了進一步分析華杯賽和袋鼠賽試題綜合難度的差異性特點，研究者對華杯賽和袋鼠賽小學高年級近6年的試題作了各單因素難度系數(shù)和綜合難度系數(shù)均值的差異檢驗.檢驗方式為獨立樣本t檢驗，顯著性結果在P<0.05水平上為顯著水平、在P<0.01水平上為極顯著水平，并計算Cohen's

d值，報告效應量（r）.由表3可知，華杯賽試題情境因素難度系數(shù)均值為0.7867，袋鼠賽試題情境因素難度系數(shù)均值為0.8567，二者存在極顯著差異（t=-3.380，P=0.007），且效應較高（r=0.70），華杯賽試題情境因素難度極顯著高于袋鼠賽試題情境因素難度；華杯賽試題信息因素難度系數(shù)均值為0.7200，袋鼠賽試題信息因素難度系數(shù)均值為0.8867，二者存在極顯著差異（t=0.235,P=0.000），且效應極高（r=0.92），華杯賽試題信息因素難度極顯著高于袋鼠賽試題信息因素難度；華杯賽試題運算因素難度系數(shù)均值為0.5600，袋鼠賽試題運算因素難度系數(shù)均值為0.8150，二者存在極顯著差異（t=-6.300，P=0.001），且效應很高（r=0.88），華杯賽試題運算因素難度極顯著高于袋鼠賽試題表2賽別2013年2014年2015年2016年2017年2018年標準差情境難度華杯賽0.840.840.780.740.740.780.04袋鼠賽0.850.890.830.850.880.840.02信息難度華杯賽0.740.740.700.700.660.780.04袋鼠賽0.900.830.900.900.900.890.03賽別2013年2014年2015年2016年2017年2018年標準差情境難度華杯賽0.840.840.780.740.740.780.04袋鼠賽0.850.890.830.850.880.840.02信息難度華杯賽0.740.740.700.700.660.780.04袋鼠賽0.900.830.900.900.900.890.03運算難度華杯賽0.620.580.620.460.420.660.09袋鼠賽0.810.790.810.850.820.810.02推理難度華杯賽0.460.420.340.340.340.420.05袋鼠賽0.580.530.530.590.570.420.06認知難度華杯賽0.300.340.260.260.260.300.03袋鼠賽0.690.690.620.630.630.650.03綜合難度華杯賽0.510.500.450.420.400.500.04袋鼠賽0.720.690.680.710.700.670.02近6年華杯賽和袋鼠賽試題各因素難度以及綜合難度統(tǒng)計表3華杯賽和袋鼠賽試題各因素難度以及綜合難度的差異性賽別 平均值標準差 T值 P值顯著性效應量r情境難度信息難度運算難度推理難度認知難度綜合難度-3.380情境難度信息難度運算難度推理難度認知難度綜合難度-3.3800.007**0.700.2350.000***0.92-6.3000.001**0.88-4.4780.001**0.79-19.7790.000***0.99-11.2670.000***0.96TOC\o"1-5"\h\z華杯賽 0.786 7 0.045 02袋鼠賽 0.856 7 0.023 38華杯賽 0.720 0 0.041 95袋鼠賽 0.886 7 0.028 05華杯賽 0.560 0 0.097 16袋鼠賽 0.815 0 0.019 75華杯賽 0.386 7 0.053 17袋鼠賽 0.536 7 0.062 50華杯賽 0.286 7 0.032 66袋鼠賽 0.651 7 0.031 25華杯賽 0.463 3 0.046 79袋鼠賽 0.695 0 0.018 71注：**P<0.01，***P<0.001以上數(shù)據(jù)分析得出的結論是：在影響試題難度的情境、信息、運算、推理和認知5個因素上，華杯賽試題的難度都極顯著高于袋鼠賽試題的難度；在信息、運算和認知因素上，華杯賽難度與袋鼠賽難度實際差異更大（在實際中更可能出現(xiàn)顯著性差異）；在綜合難度上，華杯賽試題的綜合難度極顯著高于袋鼠賽試題的綜合難度.3討論與啟示在教育教學活動中，盡管中外各個國家在理念上大多都提倡重視學生學習的主體性，但在實踐中往往是國外的一些國家更加注重這一點，在國內(nèi)則更注重學習的結果和實效.在小學階段，國外不少國家更重視培養(yǎng)學生的數(shù)學興趣，參與數(shù)學競賽往往是出于學生本人的意愿，數(shù)學競賽成績也不與升學等高利害活動直接相關，試題難度的設計會充分考慮到多數(shù)學生的興趣和實際認知水平.在國內(nèi)，雖然小學數(shù)學競賽旨在普及數(shù)學、發(fā)展學生對數(shù)學的興趣、發(fā)現(xiàn)和培養(yǎng)數(shù)學資優(yōu)生，但是在濃厚的考試文化和精英主義導向下數(shù)學競賽的成績往往與升學掛鉤，有很強的選拔性，導致很多學生為了升入好的學校不得不參與小學的各類數(shù)學競賽，功利性目的覆蓋了個人興趣，這就必然要求試題具有較大的難度，只能關注到少部分學生.文化背景不同導致中外小學數(shù)學競賽試題的難度差異較大，但總體而言，培養(yǎng)小學生的數(shù)學興趣是根本，而適當?shù)墓阅繕藙t有助于激發(fā)學習動機，應該中西結合通盤考慮，既要普及數(shù)學也要有所提高.小學階段數(shù)學競賽試題的難度應建立在小學生認知水平的一般性特點上，既發(fā)展學生的數(shù)學興趣，又提供適當?shù)奶魬?zhàn)和提高，因此在命題過程中要控制好試題的難度，命制既有趣又有數(shù)學味道的試題.基于這樣的考慮和上述數(shù)據(jù)的比較分析，當下國內(nèi)小學數(shù)學競賽試題在以下方面值得重視.3.1國內(nèi)小學數(shù)學競賽試題的難度較高應適當降低難度國內(nèi)小學數(shù)學競賽試題的難度高于國外同類競賽試題的難度，這是意料之中的，符合國內(nèi)的考試文化特點，符合國內(nèi)大眾對小學數(shù)學競賽活動的認識和體驗.研究數(shù)據(jù)顯示華杯賽試題的難度極顯著高于袋鼠賽試題的難度，同樣層次、同樣目的的競賽，國內(nèi)的試題的確過難.過難的試題將多數(shù)學生拒之門外，這在一定程度上可以解釋為什么國內(nèi)的諸多小學數(shù)學競賽活動受到質(zhì)疑.多年前就有研究者指出:奧數(shù)，因其難，被很多人視為高不可攀"3］ 奧數(shù)給學生造成沉重的心理壓力，是對學生的一種摧殘"［16］.這些觀點雖值得商榷但也在某種層度上揭示了小學數(shù)學競賽試題過難的現(xiàn)狀.袋鼠賽全卷的難度在0.70左右，這意味著多數(shù)考生能取得較好的成績，既有利于大眾參與也有利于激發(fā)興趣；華杯賽全卷的難度在0.46左右，這使得大部分學生的得分較低、在考試中失意，受到打擊.如果將來要開展小學數(shù)學競賽活動，那么國內(nèi)小學數(shù)學競賽應注意適當降低難度，使得學生在競賽活動中有獲得感，避免競賽活動淪為單一的考試選拔工具，偏離數(shù)學競賽活動最重要的普及數(shù)學文化、發(fā)現(xiàn)數(shù)學人才和培養(yǎng)數(shù)學興趣的本質(zhì)精神.3.2國內(nèi)小學數(shù)學競賽應進一步處理好普及與提高的關系小學數(shù)學競賽處理好普及與提高的關系不應只是口號.盡管有研究者曾經(jīng)指出:"應該把握好日常而平凡的數(shù)學課堂，如果僅通過數(shù)學競賽來普及數(shù)學，有舍本逐末之嫌.，，［17］事實上數(shù)學競賽活動與日常數(shù)學教學并不矛盾，數(shù)學競賽有競技性和提高性，競賽活動普及數(shù)學的重要價值毋庸置疑，關鍵在于如何做好和落實.這要求正確認識數(shù)學普及，處理好普及與提高的關系.數(shù)學普及不是把大學或中學的知識內(nèi)容一概下放到小學，數(shù)學普及也不是讓大眾去學習很多超出小學生認知水平的方法和技巧，數(shù)學普及是要讓小學生喜歡數(shù)學、認識到數(shù)學的價值、了解數(shù)學最基本的思想和方法，進而愿意親近數(shù)學，從而逐步發(fā)展數(shù)學思維和能力.一項在上海的調(diào)查研究顯示，學無余力和難以學好是小學生不參加數(shù)學競賽兩個重要的因素［18］，試題過難導致很多小學生不再參加小學數(shù)學競賽，并且使得很多小學生誤解數(shù)學、遠離數(shù)學，小學數(shù)學競賽普及數(shù)學的作用隨之煙消云散.普及與提高是辯證統(tǒng)