工程力學(xué)梁彎曲第1頁/共185頁(一)、平面彎曲的概念q彎曲——桿件受到垂直于桿的軸線的外力即橫向力或受到位于桿軸平面內(nèi)的外力偶作用時，桿的軸線由直線彎成曲線。軸線梁——以彎曲為主要變形的桿件。彎曲內(nèi)力/引言§7–1引言第七章梁彎曲第2頁/共185頁彎曲內(nèi)力/引言第3頁/共185頁P(yáng)aAB陽臺梁欄桿PABq第4頁/共185頁工程中常見的梁，其橫截面均有對稱軸，例如：對稱軸對稱軸彎曲內(nèi)力/引言第5頁/共185頁軸線縱向?qū)ΨQ面FqM彎曲后梁的軸線（撓曲線）平面彎曲——梁的撓曲線與載荷作用面共面。彎曲內(nèi)力/引言縱向?qū)ΨQ面——通過梁軸線和截面對稱軸的平面。第6頁/共185頁車床主軸示意圖1、支座的幾種基本形式（二）、梁的支座和梁的種類向心推力軸承滾珠軸承第7頁/共185頁第8頁/共185頁2、靜定梁——支座反力可由靜力平衡方程確定的梁。（a）簡支梁（b）懸臂梁（c）外伸梁（d）靜定組合梁中間鉸彎曲內(nèi)力/引言第9頁/共185頁3、靜不定梁——支座反力不能由靜力平衡方程完全確定的梁。彎曲內(nèi)力/引言第10頁/共185頁

設(shè)有一簡支梁AB，受集中力F作用。現(xiàn)分析距A端為x處的橫截面m-m上的內(nèi)力。x解：1、根據(jù)平衡條件求支座反力2、截取m-m截面左段。AxmmM剪力

——使截面不產(chǎn)生移動彎矩M——使截面不產(chǎn)生轉(zhuǎn)動得到：oALBFabmm彎曲內(nèi)力/剪力和彎矩§7–2剪力和彎矩求彎曲內(nèi)力（剪力和彎矩）的基本方法——截面法第11頁/共185頁得到：如截取m-m截面右段梁:L-xBFbmmM由作用力與反作用力，得3、根據(jù)變形規(guī)定內(nèi)力符號：

同一位置處左、右側(cè)截面上內(nèi)力分量必須具有相同的正負(fù)號。

內(nèi)力正負(fù)號規(guī)則：AxmmMo彎曲內(nèi)力/剪力和彎矩第12頁/共185頁剪力：梁的左側(cè)截面上向上的剪力為正，梁的右側(cè)截面上向下的剪力為正，反之則為負(fù)。概括為“左上或右下，剪力為正”。彎曲內(nèi)力/剪力和彎矩第13頁/共185頁彎矩M：使梁彎曲呈凹形的彎矩為正，反之則為負(fù)。壓拉或者梁的左側(cè)截面上順時針方向轉(zhuǎn)動的彎矩或梁的右側(cè)截面上逆時針方向轉(zhuǎn)動的彎矩為正，反之則為負(fù)。概括為“左順或右逆，彎矩為正”。彎曲內(nèi)力/剪力和彎矩第14頁/共185頁例5-1一簡支梁受力如圖所示。試求C截面（跨中截面）上的內(nèi)力。解：1、根據(jù)平衡條件求支座反力qAB4aaaC彎曲內(nèi)力/剪力和彎矩B第15頁/共185頁2、求C截面（跨中截面）上的內(nèi)力qAaC得到：（剪力的實(shí)際方向與假設(shè)方向相反，為負(fù)剪力）得到：（彎矩M的實(shí)際方向與假設(shè)方向相同，為正彎矩）彎曲內(nèi)力/剪力和彎矩第16頁/共185頁qBaC如以右側(cè)梁作為研究對象，則：為了計(jì)算方便，通常取外力比較簡單的一段梁作為研究對象。彎曲內(nèi)力/剪力和彎矩第17頁/共185頁qAB4aaaC取左段梁為研究對象:取右段梁為研究對象:截面左側(cè)（或右側(cè)）梁上的所有外力向截面形心簡化所得到的主矢。彎曲內(nèi)力/剪力和彎矩第18頁/共185頁截面左側(cè)（或右側(cè)）梁上的所有外力（力和力偶）向截面形心簡化所得到的主矩。qAB4aaaC取左段梁為研究對象:取右段梁為研究對象:彎曲內(nèi)力/剪力和彎矩第19頁/共185頁截面左側(cè)（或右側(cè)）梁上的所有外力向截面形心簡化所得到的主矢。截面左側(cè)（或右側(cè)）梁上的所有外力（力和力偶）向截面形心簡化所得到的主矩。彎曲內(nèi)力/剪力和彎矩第20頁/共185頁AB1m1m1m1m2mq=2KN/mP=2KNECDF解：1、根據(jù)平衡條件求支座反力例5-2一外伸梁受力如圖所示。試求C截面、截面和上的內(nèi)力。彎曲內(nèi)力/剪力和彎矩第21頁/共185頁2、求指定橫截面上的剪力和彎矩C截面：AB1m1m1m1m2mq=2KN/mP=2KNECDF彎曲內(nèi)力/剪力和彎矩第22頁/共185頁截面：AB1m1m1m1m2mq=2KN/mP=2KNECDF彎曲內(nèi)力/剪力和彎矩第23頁/共185頁截面：與截面相比，該截面的內(nèi)力只增加了約束反力，故有：亦可取梁的右側(cè)的外力簡化，但必須注意外力的符號變化。AB1m1m1m1m2mq=2KN/mP=2KNECDF彎曲內(nèi)力/剪力和彎矩第24頁/共185頁第25頁/共185頁在一般情況下，梁橫截面上的剪力和彎矩隨截面的位置而變化。因此，剪力和彎矩均可表示為截面位置x的函數(shù)，即稱為剪力方程和彎矩方程AB1m1m1m1m2mq=2KN/mP=2KNECDF§7–3剪力方程和彎矩方程剪力圖和彎矩圖第26頁/共185頁

*

在載荷無突變的一段桿的各截面上內(nèi)力按相同的規(guī)律變化。彎曲內(nèi)力/剪力方程和彎矩方程剪力圖和彎矩圖第27頁/共185頁AB1m1m1m1m2mq=2KN/mP=2KNEDF◆因此，必須分段列出梁的剪力方程和彎矩方程，各段的分界點(diǎn)為各段梁的控制截面。*

控制截面的概念：外力規(guī)律發(fā)生變化的截面—集中力、集中力偶作用點(diǎn)、分布載荷的起點(diǎn)和終點(diǎn)處的橫截面。彎曲內(nèi)力/剪力方程和彎矩方程剪力圖和彎矩圖第28頁/共185頁xx(+)(+)(-)(-)剪力圖和彎矩圖——用圖示方法形象地表示剪力和彎矩沿梁軸線的變化情況。注意：必須標(biāo)明控制截面上的內(nèi)力值彎曲內(nèi)力/剪力方程和彎矩方程剪力圖和彎矩圖第29頁/共185頁例5-3懸臂梁受力如圖所示。試列出梁的剪力方程和彎矩方程，作出梁的剪力圖和彎矩圖，并求出梁的和及其所在截面位置。Pm=PaACBaa取參考坐標(biāo)系A(chǔ)xy。解：xy1、列出梁的剪力方程和彎矩方程AB段:彎曲內(nèi)力/剪力方程和彎矩方程剪力圖和彎矩圖xx第30頁/共185頁BC段:Pm=PaACBaaxx2、作梁的剪力圖和彎矩圖-PPa(+)(-)3、求和（在BC段的各截面）（在AB段的各截面）彎曲內(nèi)力/剪力方程和彎矩方程剪力圖和彎矩圖第31頁/共185頁注意：1、在列梁的剪力方程和彎矩方程時，參數(shù)x可以從坐標(biāo)原點(diǎn)算起，也可從另外的點(diǎn)算起，僅需要寫清楚方程的適用范圍（x的區(qū)間）即可。2、剪力、彎矩方程的適用范圍，在集中力（包括支座反力）作用處，應(yīng)為開區(qū)間，因在該處剪力圖有突變；而在集中力偶作用處，M(x)應(yīng)為開區(qū)間，因在該處彎矩圖有突變。3、若所得方程為x的二次或二次以上方程時，則在作圖時除計(jì)算控制截面的值外，應(yīng)注意曲線的凹凸向及其極值。彎曲內(nèi)力/剪力方程和彎矩方程剪力圖和彎矩圖第32頁/共185頁例5-4外伸簡支梁受力如圖所示。試列出梁的剪力方程和彎矩方程，作出梁的剪力圖和彎矩圖。ABqF=qaCa2a解：xy1、取參考坐標(biāo)系Cxy。根據(jù)平衡條件求支座反力彎曲內(nèi)力/剪力方程和彎矩方程剪力圖和彎矩圖xx第33頁/共185頁2、列出梁的剪力方程和彎矩方程yABqF=qaCa2axCA段:xAB段:x彎曲內(nèi)力/剪力方程和彎矩方程剪力圖和彎矩圖第34頁/共185頁yABqF=qaCa2ax3、作梁的剪力圖和彎矩圖-qa(-)(-)(+)(-)E(+)彎曲內(nèi)力/剪力方程和彎矩方程剪力圖和彎矩圖第35頁/共185頁考察受任意載荷作用的梁。建立xy坐標(biāo)系。規(guī)定向上的q(x)為正。xq(x)xydx彎曲內(nèi)力/彎矩、剪力和分布荷載集度之間的關(guān)系§7–4彎矩、剪力和分布荷載集度之間的關(guān)系第36頁/共185頁

考察dx微段的受力與平衡彎曲內(nèi)力/彎矩、剪力和分布荷載集度之間的關(guān)系第37頁/共185頁（4-4）由此式知：剪力圖曲線上一點(diǎn)處的斜率等于梁上相應(yīng)點(diǎn)處的載荷集度q。彎曲內(nèi)力/彎矩、剪力和分布荷載集度之間的關(guān)系第38頁/共185頁由此式知：剪力圖曲線上一點(diǎn)處的斜率等于梁上相應(yīng)點(diǎn)處的載荷集度q。ABqF=qaCa2a(-)-qa(-)(-)(+)E(+)第39頁/共185頁略去二階微量，得：（4-5）由此式知：彎矩圖曲線上一點(diǎn)的斜率等于梁上相應(yīng)截面處的剪力。彎曲內(nèi)力/彎矩、剪力和分布荷載集度之間的關(guān)系第40頁/共185頁由此式知：彎矩圖曲線上一點(diǎn)的斜率等于梁上相應(yīng)截面處的剪力FQ。ABqF=qaCa2a(-)-qa(-)(-)(+)E(+)第41頁/共185頁由此式知：彎矩圖曲線上某點(diǎn)處的凹凸方向由梁上相應(yīng)點(diǎn)處的載荷集度q的符號決定。彎曲內(nèi)力/彎矩、剪力和分布荷載集度之間的關(guān)系第42頁/共185頁內(nèi)力FQ

、M

的變化規(guī)律,歸納如下：載荷F水平直線+-oror上斜直線上凸拋物線下凸拋物線下斜直線F(剪力圖無突變)F處有尖角彎曲內(nèi)力/彎矩、剪力和分布荷載集度之間的關(guān)系斜直線第43頁/共185頁例5-5一外伸梁受力如圖所示。試作梁的剪力圖、彎矩圖。解：1、根據(jù)平衡條件求支座反力AB1m1m4mF=3KNCDq=2KN/m彎曲內(nèi)力/彎矩、剪力和分布荷載集度之間的關(guān)系第44頁/共185頁AB1m1m4mF=3KNCDq=2KN/m2、由微分關(guān)系判斷各段的形狀。載荷CADBAD斜直線斜直線彎曲內(nèi)力/彎矩、剪力和分布荷載集度之間的關(guān)系第45頁/共185頁AB1m1m4mF=3KNCDq=2KN/m3、作-圖。4、作M-圖。CA段：(-)DA段：-3KN4.2KN-3.8KN(+)(-)DB段：-3KN.m(-)Ex-2.2KN.m(-)3.8KN.m(+)(+)彎曲內(nèi)力/彎矩、剪力和分布荷載集度之間的關(guān)系第46頁/共185頁BaCAqaaD例5-6已知靜定組合梁受力如圖所示。試作梁的剪力圖、彎矩圖。載荷ABCDBC斜直線斜直線第47頁/共185頁第48頁/共185頁AB

剛架的組成—橫梁、立柱與剛節(jié)點(diǎn)。立柱剛節(jié)點(diǎn)橫梁剛節(jié)點(diǎn)：受力以后，剛節(jié)點(diǎn)處夾角保持不變。剛節(jié)點(diǎn)能承受力與力矩。彎曲內(nèi)力/平面剛架內(nèi)力圖平面剛架內(nèi)力圖****選學(xué)部分第49頁/共185頁*

內(nèi)力分量的正負(fù)號與觀察者位置的關(guān)系：無關(guān)FNFN面內(nèi)載荷作用下，剛架各桿橫截面上的內(nèi)力分量

——軸力、剪力和彎矩。剛架內(nèi)力的特點(diǎn)：無關(guān)FQFQ有關(guān)彎曲內(nèi)力/平面剛架內(nèi)力圖第50頁/共185頁例5-8求作圖示平面剛架的內(nèi)力圖。ABC解：1、根據(jù)平衡條件求得支座反力2、作內(nèi)力圖軸力立柱CA：橫梁CB：作軸力圖。FN彎曲內(nèi)力/平面剛架內(nèi)力圖第51頁/共185頁剪力求控制截面1、2、3、4上的剪力。1234Qqaqa/2FQ彎曲內(nèi)力/平面剛架內(nèi)力圖第52頁/共185頁1234彎矩立柱彎矩圖為拋物線，左側(cè)受壓，1、2截面的彎矩值為作彎矩圖。Mqa/2qa/2qa2/2Mqa/2qa/2qa2/2彎曲內(nèi)力/平面剛架內(nèi)力圖第53頁/共185頁節(jié)點(diǎn)處的平衡關(guān)系MMFNFQFQFNFNFQFNFQMM彎曲內(nèi)力/平面剛架內(nèi)力圖第54頁/共185頁

剛架內(nèi)力圖的畫法(3)彎矩的數(shù)值標(biāo)在受壓邊，軸力、剪力畫在里側(cè)和外側(cè)均可，但需標(biāo)出正負(fù)號；(1)無需建立坐標(biāo)系；(2)控制面、平衡微分方程；(4)注意節(jié)點(diǎn)處的平衡關(guān)系。彎曲內(nèi)力/平面剛架內(nèi)力圖第55頁/共185頁習(xí)題:一靜定組合梁受力如圖所示。試作梁的剪力圖、彎矩圖。AB2m3m8mCDq=5KN/m3mE第56頁/共185頁，

作業(yè)：圖示圓軸傳遞功率N=50PS，以n=100r/min作勻速轉(zhuǎn)動。1）求各螺栓剪切面上所受的剪力和平均剪應(yīng)力；2)如果軸的許用剪應(yīng)力為42MPa,設(shè)計(jì)軸的直徑。提示：當(dāng)給出功率單位為馬力（PS)時，求扭轉(zhuǎn)力偶算式為

m=7024N/n。TTTFQ0.076m第57頁/共185頁LaaFFF(+)(-)-FFa(+)M-圖純彎曲——梁彎曲變形時，橫截面上只有彎矩而無剪力（）。橫力彎曲——梁彎曲變形時，橫截面上既有彎矩又有剪力（）。純彎曲橫力彎曲橫力彎曲一、純彎曲時梁橫截面上的正應(yīng)力§7–5彎曲應(yīng)力第58頁/共185頁

正應(yīng)力分析方法4.應(yīng)變分布與應(yīng)力分布6.正應(yīng)力表達(dá)式3.平面假定與變形協(xié)調(diào)方程5.應(yīng)用靜力學(xué)方程確定待定常數(shù)1.外力分析（確定約束反力）2.內(nèi)力分析（繪剪力圖、彎矩圖）彎曲應(yīng)力/純彎曲時梁橫截面上的正應(yīng)力第59頁/共185頁M1、研究對象：等直細(xì)長對稱截面梁2、前提:(a)小變形——在彈性變形范圍內(nèi)，(b)滿足平面彎曲條件，（c）純彎曲。3、實(shí)驗(yàn)觀察:MM凹邊縮短凸邊伸長長度保持不變的縱向纖維橫截面上只有正應(yīng)力無剪應(yīng)力縱向纖維間無擠壓作用彎曲應(yīng)力/純彎曲時梁橫截面上的正應(yīng)力第60頁/共185頁中性層——桿件彎曲變形時，其縱向線段既不伸長又不縮短的曲面。中性軸——中性層與橫截面的交線。4、平面截面假設(shè)——橫截面變形后保持為平面，只是繞中性軸旋轉(zhuǎn)了一角度。彎曲應(yīng)力/純彎曲時梁橫截面上的正應(yīng)力中性軸中性層中性軸第61頁/共185頁5、理論分析（1）變形分布規(guī)律mmnndxaby變形后o——曲率中心，y——任意縱向纖維至中性層的距離——中性層的曲率半徑，縱向纖維bb:變形前變形后彎曲應(yīng)力/純彎曲時梁橫截面上的正應(yīng)力ob′a′第62頁/共185頁所以縱向纖維ab的應(yīng)變?yōu)?——橫截面上距中性軸為y處的軸向變形規(guī)律。曲率則曲率則當(dāng)與實(shí)驗(yàn)結(jié)果相符。(a)彎曲應(yīng)力/純彎曲時梁橫截面上的正應(yīng)力第63頁/共185頁（2）應(yīng)力分布規(guī)律在線彈性范圍內(nèi)，應(yīng)用胡克定律(b)對一定材料，E=C；對一定截面，——橫截面上某點(diǎn)處的應(yīng)力與此點(diǎn)距中性軸的距離y成比例。當(dāng)與實(shí)驗(yàn)結(jié)果相符。應(yīng)力為零的點(diǎn)的連線。彎曲應(yīng)力/純彎曲時梁橫截面上的正應(yīng)力M第64頁/共185頁（3）由靜力平衡方程確定中性軸的位置及應(yīng)力計(jì)算公式z(中性軸)y(對稱軸)xMMdAdA由得=0將(b)式代入，得因此z軸通過截面形心，即中性軸通過形心，并垂直于載荷作用面。(c)彎曲應(yīng)力/純彎曲時梁橫截面上的正應(yīng)力第65頁/共185頁靜力平衡條件自動滿足。考慮平衡條件——y、z軸為截面的形心主慣性軸(d)彎曲應(yīng)力/純彎曲時梁橫截面上的正應(yīng)力zyxMdAdA第66頁/共185頁

對于實(shí)心截面，若截面無對稱軸，要使梁產(chǎn)生平面彎曲，亦必須滿足。即y、z軸為截面的形心主慣性軸。所以只要外力作用在形心主慣性平面內(nèi)同樣可產(chǎn)生平面彎曲。中性軸的特點(diǎn)：平面彎曲時梁橫截面上的中性軸一定是形心主軸，它與外力作用面垂直，即中性軸是與外力作用面相垂直的形心主軸。彎曲應(yīng)力/純彎曲時梁橫截面上的正應(yīng)力zyxMdAdA第67頁/共185頁考慮平衡條件為截面對中性軸的慣性矩。(e)彎曲應(yīng)力/純彎曲時梁橫截面上的正應(yīng)力zyxMdAdA第68頁/共185頁可得撓曲軸的曲率方程：

為常數(shù)，撓取軸是一條圓弧線——抗彎剛度。正應(yīng)力的計(jì)算公式為橫截面上最大正應(yīng)力為彎曲應(yīng)力/純彎曲時梁橫截面上的正應(yīng)力第69頁/共185頁——截面的抗彎截面模量，反映了截面的幾何形狀、尺寸對強(qiáng)度的影響。矩形、圓形截面對中性軸的慣性矩及抗彎截面模量：zz′豎放：bhhb平放：若h>b,

則。彎曲應(yīng)力/純彎曲時梁橫截面上的正應(yīng)力第70頁/共185頁zddzD彎曲應(yīng)力/純彎曲時梁橫截面上的正應(yīng)力第71頁/共185頁由純彎曲推導(dǎo)得到的結(jié)果可推廣到橫力彎曲的梁：(b)對R/h>5的曲率梁，可使用直梁公式。非純彎曲時的撓曲軸的曲率方程為：正應(yīng)力計(jì)算公式為(a)橫力彎曲的細(xì)長梁，即梁的寬高比:L/h>5時，其誤差不大；彎曲應(yīng)力/純彎曲時梁橫截面上的正應(yīng)力hR第72頁/共185頁

注意：（1）在計(jì)算正應(yīng)力前，必須弄清楚所要求的是哪個截面上的正應(yīng)力，從而確定該截面上的彎矩及該截面對中性軸的慣性矩；以及所求的是該截面上哪一點(diǎn)的正應(yīng)力，并確定該點(diǎn)到中性軸的距離。（2）要特別注意正應(yīng)力在橫截面上沿高度呈線性分布的規(guī)律，在中性軸上為零，而在梁的上下邊緣處正應(yīng)力最大。彎曲應(yīng)力/純彎曲時梁橫截面上的正應(yīng)力第73頁/共185頁（4）必須熟記矩形截面、圓形截面對中性軸的慣性矩的計(jì)算式。（3）梁在中性軸的兩側(cè)分別受拉或受壓，正應(yīng)力的正負(fù)號（拉或壓）可根據(jù)彎矩的正負(fù)及梁的變形狀態(tài)來確定。彎曲應(yīng)力/純彎曲時梁橫截面上的正應(yīng)力第74頁/共185頁6、彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件：可解決三方面問題：（1）強(qiáng)度校核，即已知檢驗(yàn)梁是否安全；（2）設(shè)計(jì)截面，即已知可由確定截面的尺寸；（3）求許可載荷，即已知可由確定。彎曲應(yīng)力/純彎曲時梁橫截面上的正應(yīng)力第75頁/共185頁L=4mABq=0.5KN/m例6-1一簡支梁受力如圖所示。已知，空心圓截面的內(nèi)外徑之比，試選擇截面直徑D；若外徑D增加一倍，比值不變，則載荷q可增加到多大？(+)彎曲應(yīng)力/純彎曲時梁橫截面上的正應(yīng)力第76頁/共185頁解：由強(qiáng)度條件若外徑D增加一倍，則仍由強(qiáng)度條件，得彎曲應(yīng)力/純彎曲時梁橫截面上的正應(yīng)力第77頁/共185頁例6-2

已知材料的，由M圖知：，試校核其強(qiáng)度。16281448解：（1）確定中性軸的位置（2）求彎曲應(yīng)力/純彎曲時梁橫截面上的正應(yīng)力z'Cz單位：cm第78頁/共185頁（3）正應(yīng)力校核所以結(jié)構(gòu)安全。問題：若材料為鑄鐵，截面這樣放置是否合理？彎曲應(yīng)力/純彎曲時梁橫截面上的正應(yīng)力第79頁/共185頁對于T字形截面，則對于低碳鋼等材料，因此只需計(jì)算對于鑄鐵材料，因此需計(jì)算彎曲應(yīng)力/純彎曲時梁橫截面上的正應(yīng)力z第80頁/共185頁

在有剪應(yīng)力存在的情形下，彎曲正應(yīng)力公式依然存在

剪應(yīng)力方向與剪力的方向相同，并沿截面寬度方向切應(yīng)力均勻分布（對于狹長的矩形截面適用）

在上述前提下，可由平衡直接確定橫截面上的切應(yīng)力，而無須應(yīng)用“平衡，變形協(xié)調(diào)和物性關(guān)系”。假設(shè)彎曲應(yīng)力/彎曲時的剪應(yīng)力二、彎曲時的剪應(yīng)力第81頁/共185頁（一）矩形截面LABF(+)(-)bh分析方法（截面法）：1、沿mm,nn截面截開，取微段dx。mmnndxmmnnMM+dMmmnnkl(+)彎曲應(yīng)力/彎曲時的剪應(yīng)力第82頁/共185頁mnkl2、沿kl截面截開，根據(jù)剪應(yīng)力的互等定理：∵dx很小，在kl面上可認(rèn)為均布。3、列平衡方程，由：即彎曲應(yīng)力/彎曲時的剪應(yīng)力第83頁/共185頁而代入得：彎曲應(yīng)力/彎曲時的剪應(yīng)力第84頁/共185頁（儒拉夫斯基公式）式中符號意義：：截面上距中性軸y處的剪應(yīng)力

：y以外面積對中性軸的靜矩

：整個截面對中性軸的慣性矩b：y處的寬度bhzy對于矩形：c彎曲應(yīng)力/彎曲時的剪應(yīng)力第85頁/共185頁而因此矩形截面梁橫截面上的剪應(yīng)力的大小沿著梁的高度按拋物線規(guī)律分布。并且彎曲應(yīng)力/彎曲時的剪應(yīng)力第86頁/共185頁實(shí)心截面梁的彎曲切應(yīng)力誤差分析hb精確解==FQSz*bIzh/b1.02/11.041/11.121/21.571/42.30彎曲應(yīng)力/彎曲時的剪應(yīng)力第87頁/共185頁（二）工字形截面梁的彎曲切應(yīng)力翼緣1、腹板z腹板式中(y)：截面上距中性軸y處的剪應(yīng)力

：y處橫線一側(cè)的部分面積對中性軸的靜矩

：整個截面對中性軸的慣性矩：y處的寬度彎曲應(yīng)力/彎曲時的剪應(yīng)力y第88頁/共185頁腹板上的剪應(yīng)力呈拋物線變化，腹板部分的剪應(yīng)力合力占總剪力的95~97%。彎曲應(yīng)力/彎曲時的剪應(yīng)力第89頁/共185頁2、翼緣翼緣部分的水平剪應(yīng)力沿翼緣寬度按直線規(guī)律變化，并與腹板部分的豎向剪力形成“剪應(yīng)力流”。翼緣部分的剪應(yīng)力強(qiáng)度計(jì)算時一般不予考慮。腹板與翼緣交界處的應(yīng)力較復(fù)雜，在連接處的轉(zhuǎn)角上發(fā)生應(yīng)力集中，為了避免這一點(diǎn)，以圓弧連接，使這里的剪應(yīng)力實(shí)際值接近以腹板剪應(yīng)力公式所得到的結(jié)果。彎曲應(yīng)力/彎曲時的剪應(yīng)力第90頁/共185頁max=43FQA（三）其它形狀截面梁的彎曲切應(yīng)力圓截面彎曲應(yīng)力/彎曲時的剪應(yīng)力第91頁/共185頁max=2.0FQA圓環(huán)截面zy彎曲應(yīng)力/彎曲時的剪應(yīng)力第92頁/共185頁（四）切應(yīng)力強(qiáng)度條件對于等寬度截面，發(fā)生在中性軸上；對于寬度變化的截面，不一定發(fā)生在中性軸上。在進(jìn)行梁的強(qiáng)度計(jì)算時，需注意以下問題：（1）對于細(xì)長梁的彎曲變形，正應(yīng)力的強(qiáng)度條件是主要的，剪應(yīng)力的強(qiáng)度條件是次要的。但對于較粗短的梁，當(dāng)集中力較大時，截面上的剪力較大而彎矩較小，或是薄壁截面梁時，也需要較核剪應(yīng)力強(qiáng)度。彎曲應(yīng)力/彎曲時的剪應(yīng)力第93頁/共185頁例如LABF0.9LABFF0.2L0.2L0.6L(+)(-)0.9F0.1F(+)0.09FLF(+)(-)-F0.2FL(+)M-圖彎曲應(yīng)力/彎曲時的剪應(yīng)力第94頁/共185頁（2）正應(yīng)力的最大值發(fā)生在橫截面的上下邊緣，該處的剪應(yīng)力為零；剪應(yīng)力的最大值發(fā)生在中性軸上，該處的正應(yīng)力為零。對于橫截面上其余各點(diǎn)，同時存在正應(yīng)力、剪應(yīng)力。這些點(diǎn)的強(qiáng)度計(jì)算，應(yīng)按強(qiáng)度理論進(jìn)行計(jì)算。彎曲應(yīng)力/彎曲時的剪應(yīng)力第95頁/共185頁例6-3鑄鐵梁的截面為T字形，受力如圖。已知材料許用拉應(yīng)力為，許用壓應(yīng)力為，。試校核梁的正應(yīng)力強(qiáng)度和剪應(yīng)力強(qiáng)度。若將梁的截面倒置，情況又如何？AB2m1m3mP=20KNECDq=10KN/m200mm30200mmycz彎曲應(yīng)力/彎曲時的剪應(yīng)力約束反力：第96頁/共185頁200mm30200mmycz解：（1）確定中性軸的位置最大靜矩：彎曲應(yīng)力/彎曲時的剪應(yīng)力第97頁/共185頁AB2m1m3mP=20KNCDq=10KN/m（2）繪剪力圖、彎矩圖約束反力：(+)(-)(-)20KN10KN10KN(+)(-)10KN.m20KN.m由、知：彎曲應(yīng)力/彎曲時的剪應(yīng)力第98頁/共185頁（3）正應(yīng)力強(qiáng)度校核對于A截面：z200mm30200mmycz彎曲應(yīng)力/彎曲時的剪應(yīng)力第99頁/共185頁對于D截面：z200mm30200mmyczz彎曲應(yīng)力/彎曲時的剪應(yīng)力第100頁/共185頁∴正應(yīng)力強(qiáng)度足夠。因此（4）剪應(yīng)力強(qiáng)度校核在A截面：∴剪應(yīng)力強(qiáng)度足夠。彎曲應(yīng)力/彎曲時的剪應(yīng)力第101頁/共185頁（5）若將梁的截面倒置，則此時強(qiáng)度不足會導(dǎo)致破壞。yczz彎曲應(yīng)力/彎曲時的剪應(yīng)力第102頁/共185頁三、提高彎曲強(qiáng)度的一些措施彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件：在[]一定時，提高彎曲強(qiáng)度的主要途徑：（一）、選擇合理截面（1）矩形截面中性軸附近的材料未充分利用，工字形截面更合理。1、根據(jù)應(yīng)力分布的規(guī)律選擇：z彎曲應(yīng)力/提高彎曲強(qiáng)度的一些措施第103頁/共185頁（2）為降低重量，可在中性軸附近開孔。彎曲應(yīng)力/提高彎曲強(qiáng)度的一些措施第104頁/共185頁2、根據(jù)截面模量選擇：

為了比較各種截面的合理性，以來衡量。越大，截面越合理。截面形狀矩形圓形槽鋼工字鋼0.167h0.125d(0.27~0.31)h(0.27~0.31)h(d=h)彎曲應(yīng)力/提高彎曲強(qiáng)度的一些措施第105頁/共185頁2、根據(jù)材料特性選擇：塑性材料：宜采用中性軸為對稱軸的截面。脆性材料：宜采用中性軸為非對稱軸的截面，例如T字形截面：ycz拉邊壓邊即使最大拉、壓應(yīng)力同時達(dá)到許用應(yīng)力值。彎曲應(yīng)力/提高彎曲強(qiáng)度的一些措施第106頁/共185頁（二）、合理安排載荷和支承的位置，以降低值。1、載荷盡量靠近支座：LABF0.5L(+)0.25FLLABF0.8L(+)0.16FL彎曲應(yīng)力/提高彎曲強(qiáng)度的一些措施第107頁/共185頁LABF0.9L(+)0.09FLLABF彎曲應(yīng)力/提高彎曲強(qiáng)度的一些措施第108頁/共185頁2、將集中力分解為分力或均布力。LABF0.5L(+)0.25FL0.25LABF0.5L0.25L0.125FL(+)彎曲應(yīng)力/提高彎曲強(qiáng)度的一些措施第109頁/共185頁3、合理安排支座位置及增加支座——減小跨度，減小。ABF0.6L0.2L0.2L0.025FL(+)0.02FL0.02FLABFL0.125FL(+)彎曲應(yīng)力/提高彎曲強(qiáng)度的一些措施第110頁/共185頁ABF0.5L0.5L(+)(+)（三）、選用合理結(jié)構(gòu)1、等強(qiáng)度梁設(shè)計(jì)思想：按M(x)的變化來設(shè)計(jì)截面，采用變截面梁——橫截面沿著梁軸線變化的梁。彎曲應(yīng)力/提高彎曲強(qiáng)度的一些措施增加支座第111頁/共185頁例如矩形截面懸臂梁，設(shè)h=const,b=b(x),則FLxhb(x)x=0時，b=0,但要有足夠的面積承受剪力。因此而（沿梁軸線呈線性分布）彎曲應(yīng)力/提高彎曲強(qiáng)度的一些措施第112頁/共185頁2、桁架整體桁架——受彎構(gòu)件桁架中單個桿件——受軸向拉壓第113頁/共185頁工程中的桁架結(jié)構(gòu)——屋蓋第114頁/共185頁第115頁/共185頁3、拱ABF——提高強(qiáng)度——壓應(yīng)力使截面上拉應(yīng)力降低，可使抗拉能力差的材料充分利用。第116頁/共185頁一、變形的基本概念彎曲變形/變形的基本概念微段變形

軸向變形的微段變形dx=FNEAdx§7-6彎曲變形第117頁/共185頁l=lFNEAdx微段變形累加的結(jié)果軸向變形的整體變形彎曲變形/變形的基本概念整體變形第118頁/共185頁

扭轉(zhuǎn)的微段變形d=dxMxGIp=ddx

MxGIp彎曲變形/變形的基本概念第119頁/共185頁AB＝MxGIpl微段變形累加的結(jié)果

扭轉(zhuǎn)的整體變形彎曲變形/變形的基本概念第120頁/共185頁

彎曲變形的微段變形彎曲變形/變形的基本概念zyMMdy第121頁/共185頁微段變形累加的結(jié)果梁的軸線變成光滑連續(xù)曲線——撓曲線。

彎曲變形的整體變形彎曲變形/變形的基本概念第122頁/共185頁撓度：截面形心在垂直于軸線方向的線位移，以y表示。y與坐標(biāo)軸同向?yàn)檎?。（三?/p>

梁的位移撓度方程或撓曲線方程：水平方向位移：高階微量，忽略不計(jì)。彎曲變形/變形的基本概念y第123頁/共185頁角位移：橫截面相對于原來位置轉(zhuǎn)過的角度，以表示。亦可以用該截面處的切線與x軸的夾角描述。符號規(guī)定：以梁軸線為基線，逆時針轉(zhuǎn)向?yàn)檎?，反之則為負(fù)。彎曲變形/變形的基本概念y第124頁/共185頁＝dydx數(shù)學(xué)上，切線表示彈性曲線的斜率切線的斜率：彎曲變形/變形的基本概念第125頁/共185頁沒有約束無法確定位移彎曲變形/變形的基本概念（四）

約束對位移的影響第126頁/共185頁連續(xù)光滑曲線；鉸支座對位移的限制彎曲變形/變形的基本概念第127頁/共185頁連續(xù)光滑曲線；固定端對位移的限制彎曲變形/變形的基本概念第128頁/共185頁對于拉伸（壓縮)、扭轉(zhuǎn)變形定積分

對于梁的位移不定積分彈性曲線的小撓度微分方程彎曲變形/變形的基本概念第129頁/共185頁二、撓曲線的近似微分方程力學(xué)公式數(shù)學(xué)公式以上兩式消去，得：彎曲變形/撓曲線的近似微分方程第130頁/共185頁小撓度情形下：彎曲變形/撓曲線的近似微分方程第131頁/共185頁yy符號規(guī)定：MM因此（撓曲線的近似微分方程）彎曲變形/撓曲線的近似微分方程第132頁/共185頁三、用積分法求梁的變形由撓曲線的近似微分方程積分一次：（轉(zhuǎn)角方程）積分二次：（撓度方程）式中C、D為積分常數(shù)，由梁的約束條件決定。彎曲變形/用積分法求梁的變形第133頁/共185頁AqBL例7-1懸臂梁受力如圖所示。求和。xyx取參考坐標(biāo)系A(chǔ)xy。解：1、列出梁的彎矩方程2、積分一次：積分二次：（1）（2）彎曲變形/用積分法求梁的變形第134頁/共185頁3、確定常數(shù)C、D.由邊界條件：代入（1）得：代入（2）得：代入（1）（2）得：彎曲變形/用積分法求梁的變形第135頁/共185頁代入得：將（與C比較知：）（與D比較知：）常數(shù)C表示起始截面的轉(zhuǎn)角×剛度(EI)因此常數(shù)D表示起始截面的撓度×剛度(EI)彎曲變形/用積分法求梁的變形第136頁/共185頁例7-2一簡支梁受力如圖所示。試求和。ALFCabyx解：1、求支座反力x2、分段列出梁的彎矩方程BC段xAC段B彎曲變形/用積分法求梁的變形第137頁/共185頁BC段AC段3、確定常數(shù)由邊界條件：（1）（2）由光滑連續(xù)條件：（3）（4）可解得：彎曲變形/用積分法求梁的變形第138頁/共185頁則簡支梁的轉(zhuǎn)角方程和撓度方程為BC段AC段4、求轉(zhuǎn)角代入得：代入得：彎曲變形/用積分法求梁的變形第139頁/共185頁5、求。求得的位置值x。則由解得：彎曲變形/用積分法求梁的變形第140頁/共185頁代入得：若則：彎曲變形/用積分法求梁的變形在簡支梁情況下，不管F作用在何處（支承除外），可用中間撓度代替，其誤差不大，不超過3%。第141頁/共185頁懸臂梁：xyAB梁的約束條件簡支梁：xyABL彎曲變形/用積分法求梁的變形第142頁/共185頁若B支座改為彈簧支撐，則：若B支座改為拉桿支撐，則：ALFCabBEAhD彎曲變形/用積分法求梁的變形ALFCabkBxy第143頁/共185頁討論：（1）凡載荷有突變處（包括中間支座），應(yīng)作為分段點(diǎn)；（2）凡截面有變化處，或材料有變化處，應(yīng)作為分段點(diǎn)；（3）中間鉸視為兩個梁段間的聯(lián)系，此種聯(lián)系體現(xiàn)為兩部分之間的相互作用力，故應(yīng)作為分段點(diǎn)；彎曲變形/用積分法求梁的變形ABlaCM第144頁/共185頁ABlaCM（4）凡分段點(diǎn)處應(yīng)列出連續(xù)條件，根據(jù)梁的變形的連續(xù)性，對同一截面只可能有唯一確定的撓度和轉(zhuǎn)角；在中間鉸兩側(cè)雖然轉(zhuǎn)角不同，但撓度卻是唯一的。彎曲變形/用積分法求梁的變形第145頁/共185頁4、(16分)

圖示懸臂梁AB的A端為彈性轉(zhuǎn)動約束，該處截面轉(zhuǎn)角與彎曲力矩m的關(guān)系為=km其中k為常數(shù)。若EI已知，試用積分法求梁AB的撓度曲線和B處的轉(zhuǎn)角與撓度。第146頁/共185頁例7-3

試?yán)L出各梁撓曲軸的大致形狀。AB3a解：1、作梁的彎矩圖(+)(-)拐點(diǎn)2、根據(jù)彎矩圖的變化規(guī)律，確定撓曲軸曲率的變化規(guī)律3、根據(jù)梁的約束（支座情況）、變形相容條件，繪制撓曲軸的大致形狀。彎曲變形/用積分法求梁的變形上凸下凸第147頁/共185頁F3FaaaFaFa(+)(-)拐點(diǎn)下凸上凸直線注意：（1）正彎矩使梁下凸，負(fù)彎矩使梁上凸；（2）在轉(zhuǎn)角為零處，撓度出現(xiàn)極值，在撓度最大處，截面的轉(zhuǎn)角不一定為零，在彎矩最大處，撓度不一定最大。彎曲變形/用積分法求梁的變形第148頁/共185頁三、用疊加法求梁的變形

疊加法前提

第一類疊加法

第二類疊加法彎曲變形/用疊加法求梁的變形第149頁/共185頁

疊加法前提小變形力與位移之間的線性關(guān)系撓度、轉(zhuǎn)角與載荷（如P、q、M）均為一次線性關(guān)系軸向位移忽略不計(jì)。彎曲變形/用疊加法求梁的變形第150頁/共185頁

第一類疊加法疊加原理：在小變形和線彈性范圍內(nèi)，由幾個載荷共同作用下梁的任一截面的撓度和轉(zhuǎn)角，應(yīng)等于每個載荷單獨(dú)作用下同一截面產(chǎn)生的撓度和轉(zhuǎn)角的代數(shù)和。應(yīng)用于多個載荷作用的情形彎曲變形/用疊加法求梁的變形例6-4

已知：q、l、

EI，求：yC

,B第151頁/共185頁www彎曲變形/用疊加法求梁的變形第152頁/共185頁www彎曲變形/用疊加法求梁的變形第153頁/共185頁彎曲變形/用疊加法求梁的變形第154頁/共185頁例6-5怎樣用疊加法確定C和yC?w彎曲變形/用疊加法求梁的變形第155頁/共185頁wwww彎曲變形/用疊加法求梁的變形第156頁/共185頁ww彎曲變形/用疊加法求梁的變形第157頁/共185頁w彎曲變形/用疊加法求梁的變形第158頁/共185頁

第二類疊加法逐段分析法將梁的撓曲線分成幾段，首先分別計(jì)算各段梁的變形在需求位移處引起的位移（撓度和轉(zhuǎn)角），然后計(jì)算其總和（代數(shù)和或矢量和），即得需求的位移。在分析各段梁的變形在需求位移處引起的位移時，除所研究的梁段發(fā)生變形外，其余各段梁均視為剛體。彎曲變形/用疊加法求梁的變形ABalFC例6-6

：

怎樣用疊加法確定yC?第159頁/共185頁ABalFC例6-6

：FABalCFaFaBC+1）考慮AB段(BC段看作剛體)F作用在支座上，不產(chǎn)生變形。Fa使AB梁產(chǎn)生向上凸的變形。查表得：則彎曲變形/用疊加法求梁的變形

怎樣用疊加法確定wC?第160頁/共185頁2）考慮BC段(AB段看作剛體)AFaBC所以彎曲變形/用疊加法求梁的變形ABalCFa第161頁/共185頁例6-7求圖示梁上CB段中點(diǎn)D處的撓度。ABlaCMD第162頁/共185頁

例：用疊加法求AB梁上E處的撓度.彎曲變形/用疊加法求梁的變形第163頁/共185頁wE1wE21、考慮AB段（BCD視作剛體）2、考慮BCD段（AB視作剛體）再以疊加法求。而彎曲變形/用疊加法求梁的變形第164頁/共185頁BC段看作懸臂梁（DC視作剛體）DC段看作懸臂梁（BC視作剛體）彎曲變形/用疊加法求梁的變形第165頁/共185頁因此彎曲變形/用疊加法求梁的變形第166頁/共185頁四、梁的剛度校核提高梁彎曲剛度的措施剛度條件：[y]——許用撓度，[]——許用轉(zhuǎn)角工程中，[y]常用梁的計(jì)算跨度l的若干分之一表示，例如：對于橋式起重機(jī)梁：對于一般用途的軸：在安裝齒輪或滑動軸承處，許用轉(zhuǎn)角為：彎曲變形/梁的剛度校核提高梁彎曲剛度的措施第167頁/共185頁提高梁彎曲剛度的措施梁的變形除了與載荷與梁的約束有關(guān)外，還取決于以下因素：材料——梁的變形與彈性模量E成反比；截面——梁的變形與截面的慣性矩成反比；跨長——梁的變形與跨長l的n次冪成正比彎曲變形/梁的剛度校核提高梁彎曲剛度的措施第168頁/共185頁(1)減小跨度，增加支座，或加固支座。例如受q作用的簡支梁：方法：增加支座：LABqLABq彎曲變形/梁的剛度校核提高梁彎曲剛度的措施第169頁/共185頁加固支座：LABqLABq(2)選用合理截面，。常采用