高等數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)有什么不同第一頁，共二十七頁，2022年，8月28日第二頁，共二十七頁，2022年，8月28日阿基米德圓錐曲線的研究，變速運動，坐標(biāo)系的出現(xiàn)是數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)折點。初等數(shù)學(xué)：形式邏輯。孤立，靜止，一個一個的數(shù)。微積分——無窮小量分析在微積分中要加強而不是回避邏輯，要從直觀上理解和分析漂亮的概念，嚴(yán)密性不妨礙直觀理解。學(xué)會方向思維。21世紀(jì)的高科技——“數(shù)學(xué)技術(shù)”，不僅是工具，而且從后臺走到了前臺。要明白：（1）數(shù)學(xué)作為科學(xué)方法的效力，他應(yīng)有的統(tǒng)一與美；（2）數(shù)學(xué)的應(yīng)用，最好的學(xué)習(xí)就是用？要培養(yǎng)應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識、興趣和能力。

第三頁，共二十七頁，2022年，8月28日說明:

記號f和f(x)的區(qū)別:前者表示自變量x和因變量y之間的對應(yīng)法則,而后者表示與自變量x對應(yīng)的函數(shù)值.說明:

為了敘述方便,常用記號“f(x),xD”或“yf(x),xD”來表示定義在D上的函數(shù),這時應(yīng)理解為由它所確定的函數(shù)f.說明:

函數(shù)的記號是可以任意選取的,除了用f外,還可用“g”、“F”、“”等,此時函數(shù)就記作yg(x)、yF(x)、y(x)等.

但在同一問題中,不同的函數(shù)應(yīng)選用不同的記號.三、函數(shù)設(shè)數(shù)集DR,則稱映射f:D

R為定義在D上的函數(shù),通常簡記為

yf(x),xD,其中x稱為自變量,y稱為因變量,D稱為定義域,記作Df,即DfD.1.函數(shù)概念定義第四頁，共二十七頁，2022年，8月28日構(gòu)成函數(shù)的要素是定義域Df及對應(yīng)法則f.

如果兩個函數(shù)的定義域相同,對應(yīng)法則也相同,那么這兩個函數(shù)就是相同的,否則就是不同的.函數(shù)的兩要素函數(shù)的定義域通常按以下兩種情形來確定:

對有實際背景的函數(shù),根據(jù)實際背景中變量的實際意義確定.函數(shù)的定義域?qū)Τ橄蟮赜盟闶奖磉_(dá)的函數(shù),其定義域是使得算式有意義的一切實數(shù)組成的集合,這種定義域稱為函數(shù)的自然定義域.求函數(shù)的定義域舉例>>>第五頁，共二十七頁，2022年，8月28日單值函數(shù)與多值函數(shù)在函數(shù)的定義中,對每個xD,對應(yīng)的函數(shù)值y總是唯一的,這樣定義的函數(shù)稱為單值函數(shù).

如果給定一個對應(yīng)法則,按這個法則,對每個xD,總有確定的y值與之對應(yīng),但這個y不總是唯一的,我們稱這種法則確定了一個多值函數(shù).例如,由方程x2y2r2確定的函數(shù)是一個多值函數(shù):此多值函數(shù)附加條件“y0”后可得到一個單值分支第六頁，共二十七頁，2022年，8月28日表示函數(shù)的主要方法有三種:表格法、圖形法、解析法(公式法).

用圖形法表示函數(shù)是基于函數(shù)圖形的概念,坐標(biāo)平面上的點集

{P(x,y)|yf(x),xD}稱為函數(shù)yf(x),xD的圖形.函數(shù)的表示法第七頁，共二十七頁，2022年，8月28日此函數(shù)稱為絕對值函數(shù),其定義域為D=(-,+),其值域為Rf

=[0,+).

例6

例5

函數(shù)y=2.

這是一個常值函數(shù),其定義域為D=(-,

+),其值域為Rf

={2}.函數(shù)舉例第八頁，共二十七頁，2022年，8月28日此函數(shù)稱為符號函數(shù),其定義域為D=(-,+),其值域為Rf

={-1,0,1}.

例8

函數(shù)y=[x].

例7

注:

設(shè)x為任上實數(shù),不超過x的最大整數(shù)稱為x的整數(shù)部分,記作[x].此函數(shù)稱為取整函數(shù),其定義域為D=(-,+),其值域為Rf

=Z.第九頁，共二十七頁，2022年，8月28日

例9

此函數(shù)的定義域為D=[0,1](0,+)=[0,+).

f(3)=1+3=4.分段函數(shù)在自變量的不同變化范圍中,對應(yīng)法則用不同式子來表示的函數(shù)稱為分段函數(shù).第十頁，共二十七頁，2022年，8月28日設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為D,數(shù)集XD.

如果存在數(shù)K1,使對任一xX,有f(x)K1,則稱函數(shù)f(x)在X上有上界.(1)函數(shù)的有界性如果存在數(shù)K2,使對任一xX,有f(x)K2,則稱函數(shù)f(x)在X上有下界.如果存在正數(shù)M,使對任一xX,有|f(x)|M,則稱函數(shù)f(x)在X上有界;如果這樣的M不存在,則稱函數(shù)f(x)在X上無界.2.函數(shù)的幾種特性第十一頁，共二十七頁，2022年，8月28日

f(x)=sinx在(-,+)上是有界的:

|sinx|1.所以函數(shù)無上界.函數(shù)的有界性舉例第十二頁，共二十七頁，2022年，8月28日設(shè)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間I上有定義,

x1及x2為區(qū)間I上任意兩點,

且x1<x2.如果恒有f(x1)<f(x2),則稱f(x)在I上是單調(diào)增加的.(2)函數(shù)的單調(diào)性如果恒有f(x1)>f(x2),則稱f(x)在I上是單調(diào)減少的.單調(diào)增加和單調(diào)減少的函數(shù)統(tǒng)稱為單調(diào)函數(shù).

第十三頁，共二十七頁，2022年，8月28日設(shè)函數(shù)f(x)的定義域D關(guān)于原點對稱,

如果在D上有f(-x)=f(x),則稱f(x)為偶函數(shù).

如果在D上有f(-x)=-f(x),則稱f(x)為奇函數(shù).(3)函數(shù)的奇偶性奇偶函數(shù)舉例

y=x2,

y=cosx都是偶函數(shù).

y=x3,

y=sinx都是奇函數(shù).第十四頁，共二十七頁，2022年，8月28日奇函數(shù)的圖形對稱于原點偶函數(shù)的圖形對稱于y軸奇偶函數(shù)的圖形特點設(shè)函數(shù)f(x)的定義域D關(guān)于原點對稱,

如果在D上有f(-x)=f(x),則稱f(x)為偶函數(shù).

如果在D上有f(-x)=-f(x),則稱f(x)為奇函數(shù).(3)函數(shù)的奇偶性第十五頁，共二十七頁，2022年，8月28日(4)函數(shù)的周期性設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為D.如果存在一個不為零的數(shù)l,使得對于任一xD有(xl)D,且f(x+l)=f(x),則稱f(x)為周期函數(shù),l稱為f(x)的周期.周期函數(shù)的圖形特點第十六頁，共二十七頁，2022年，8月28日3.反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)反函數(shù)設(shè)函數(shù)f:Df(D)是單射,則它存在逆映射

f

1:f(D)D,稱此映射f

1為函數(shù)f的反函數(shù).按習(xí)慣,yf(x),xD的反函數(shù)記成yf

1(x),xf(D).例如,函數(shù)yx3,xR是單射,所以它的反函數(shù)存在,其反函數(shù)為函數(shù)yx3,xR的反函數(shù)是提問:下列結(jié)論是否正確？第十七頁，共二十七頁，2022年，8月28日3.反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)反函數(shù)設(shè)函數(shù)f:Df(D)是單射,則它存在逆映射

f

1:f(D)D,稱此映射f

1為函數(shù)f的反函數(shù).按習(xí)慣,yf(x),xD的反函數(shù)記成yf

1(x),xf(D).若f是定義在D上的單調(diào)函數(shù),則f:Df(D)是單射,于是f的反函數(shù)f

1必定存在,而且容易證明f

1也是f(D)上的單調(diào)函數(shù).第十八頁，共二十七頁，2022年，8月28日相對于反函數(shù)yf

1(x)來說,原來的函數(shù)yf(x)稱為直接函數(shù).

函數(shù)yf(x)和yf

1(x)的圖形關(guān)于直線yx是對稱的.3.反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)反函數(shù)設(shè)函數(shù)f:Df(D)是單射,則它存在逆映射

f

1:f(D)D,稱此映射f

1為函數(shù)f的反函數(shù).按習(xí)慣,yf(x),xD的反函數(shù)記成yf

1(x),xf(D).第十九頁，共二十七頁，2022年，8月28日3.反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)設(shè)函數(shù)yf(u)的定義域為D1,函數(shù)ug(x)在D上有定義且g(D)D1,則由

yf[g(x)],xD確定的函數(shù)稱為由函數(shù)ug(x)和函數(shù)yf(u)構(gòu)成的復(fù)合函數(shù),它的定義域為D,變量u稱為中間變量.復(fù)合函數(shù)函數(shù)g與函數(shù)f構(gòu)成的復(fù)合函數(shù)通常記為f

o

g,即

(f

o

g)(x)f[g(x)].說明:g與f構(gòu)成的復(fù)合函數(shù)f

o

g的條件是:是函數(shù)g在D上的值域g(D)必須含在f的定義域Df內(nèi),即g(D)Df.否則,不能構(gòu)成復(fù)合函數(shù).例如>>>第二十頁，共二十七頁，2022年，8月28日4.函數(shù)的運算設(shè)函數(shù)f(x),g(x)的定義域依次為D1,D2,DD1D2,則可以定義這兩個函數(shù)的下列運算:

和(差)f

g:(f

g)(x)f(x)g(x),xD;

積f

g:(f

g)(x)f(x)g(x),xD;第二十一頁，共二十七頁，2022年，8月28日

例10

設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為(l,l),證明必存在(l,l)上的偶函數(shù)g(x)及奇函數(shù)h(x),使得f(x)g(x)h(x).提示:如果f(x)g(x)h(x),則f(x)g(x)h(x),于是

證

則f(x)g(x)h(x),且第二十二頁，共二十七頁，2022年，8月28日基本初等函數(shù)冪函數(shù):yx

(R是常數(shù));

指數(shù)函數(shù):ya

x(a0且a1);

對數(shù)函數(shù):yloga

x(a0且a1),

特別當(dāng)ae時,記為ylnx;

三角函數(shù):ysinx,ycosx,ytanx,ycotx,ysecx,ycscx;5.初等函數(shù)反三角函數(shù):yarcsinx,yarccosx,

yarctanx,yarccotx.>>>第二十三頁，共二十七頁，2022年，8月28日5.初等函數(shù)初等函數(shù)

由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運算和有限次的函數(shù)復(fù)合步驟所構(gòu)成并可用一個式子表示的函數(shù),稱為初等函數(shù).都是初等函數(shù).例如,