二推理與證明第1頁(yè)，共64頁(yè)，2023年，2月20日，星期三推理推理與證明合情推理證明演繹推理類(lèi)比推理歸納推理三段論數(shù)學(xué)歸納法分析法反證法綜合法直接證明間接證明由因?qū)Ч孪氪笄疤?、小前提、結(jié)論驗(yàn)初值、證遞推、結(jié)論反設(shè)、歸謬、定論執(zhí)果索因第2頁(yè)，共64頁(yè)，2023年，2月20日，星期三第3頁(yè)，共64頁(yè)，2023年，2月20日，星期三1.了解合情推理的含義，能利用歸納和類(lèi)比等進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理，了解合情推理在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的作用．2.了解演繹推理的重要性，掌握演繹推理的基本模式，并能運(yùn)用它們進(jìn)行一些簡(jiǎn)單推理．3.了解合情推理和演繹推理之間的聯(lián)系和差異．一、合情推理與演繹推理二、直接證明與間接證明三、數(shù)學(xué)歸納法1.了解直接證明的兩種基本方法：分析法和綜合法；了解分析法和綜合法的思考過(guò)程、特點(diǎn)．2.了解間接證明的一種基本方法──反證法；了解反證法的思考過(guò)程、特點(diǎn)．了解數(shù)學(xué)歸納法的原理，能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)命題.第4頁(yè)，共64頁(yè)，2023年，2月20日，星期三

推理與證明是新課標(biāo)增加的內(nèi)容，旨在培養(yǎng)學(xué)生的觀察、猜測(cè)和創(chuàng)新的能力,自2007年新課改第一次高考以來(lái),推理與證明一直是高考關(guān)注的對(duì)象,歸納推理和類(lèi)比推理的題目時(shí)常出現(xiàn),且類(lèi)比推理的題目占多數(shù),考查形式為填空題.主要以三種方式出現(xiàn):1.以填空題形式考查合情推理(歸納與類(lèi)比)．2.以選擇題形式考查信息給予題．3.與數(shù)列等大題相結(jié)合，考查推理證明能力,難度不大，但相當(dāng)有新意，而且?？汲Ｐ?能達(dá)到考查能力的目的，應(yīng)該引起我們的重視.4.從近幾年的考題分析，可以發(fā)現(xiàn)，使用分析法、綜合法證明的題目稍多一些，雖然反證法證題體現(xiàn)的較少，但反證法是數(shù)學(xué)證明的重要方法．第5頁(yè)，共64頁(yè)，2023年，2月20日，星期三從具體問(wèn)題出發(fā)觀察、分析、比較、聯(lián)想歸納、類(lèi)比提出猜想歸納推理類(lèi)比推理1.合情推理主要包括_________和___________.合情推理的過(guò)程(1)歸納推理：由某類(lèi)事物的________具有某些特征,推出該類(lèi)事物的__________都具有這些特征的推理,或者由__________概括出__________的推理,稱為歸納推理(簡(jiǎn)稱歸納).簡(jiǎn)言之,歸納推理是由____到____、由個(gè)別到_____的推理.歸納推理的基本模式:___________________________,部分對(duì)象全部對(duì)象個(gè)別事實(shí)一般結(jié)論部分整體一般結(jié)論:_______________________.?d∈M，d也具有某屬性a,b,c∈M且a,b,c具有某屬性第6頁(yè)，共64頁(yè)，2023年，2月20日，星期三兩類(lèi)對(duì)象一類(lèi)對(duì)象另一類(lèi)對(duì)象特殊到特殊(2)類(lèi)比推理：由________具有某些類(lèi)似特征和其中_______的某些已知特征，推出___________也具有這些特征的推理稱為類(lèi)比推理(簡(jiǎn)稱類(lèi)比),簡(jiǎn)言之，類(lèi)比推理是由___________的推理.(a,b,c,d與a′,b′,c′,d′相似或相同)類(lèi)比推理的基本模式:A:具有屬性a,b,c,d；B:_________________;具有屬性a′,b′,c′結(jié)論:B具有屬性d′.第7頁(yè)，共64頁(yè)，2023年，2月20日，星期三從_______的原理出發(fā),推出某個(gè)__________的結(jié)論,我們把這種推理稱為演繹推理.簡(jiǎn)言之，演繹推理是由_____到_______的推理.一般性一般特殊特殊情況下2.演繹推理：(1)“三段論”是演繹推理的一般模式，包括：①大前提——已知的一般原理；②小前提——所研究的特殊情況；③結(jié)論——根據(jù)一般原理,對(duì)特殊情況做出的判斷.(2)“三段論”可以表示為①大前提：M是P；②小前提：S是M；③結(jié)論：S是P.(3)數(shù)學(xué)問(wèn)題的證明主要通過(guò)演繹推理來(lái)進(jìn)行.第8頁(yè)，共64頁(yè)，2023年，2月20日，星期三3.直接證明(1)綜合法

①定義：利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、公理、定理等，經(jīng)過(guò)一系列的___________，最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論______，這種證明方法叫做綜合法.

②框圖表示:(其中P表示已知條件、已有的定義、公理、定理等，Q表示要證明的結(jié)論).推理論證成立第9頁(yè)，共64頁(yè)，2023年，2月20日，星期三3.直接證明(2)分析法①定義：從______________出發(fā)，逐步尋求使它成立的_________，直至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個(gè)明顯成立的條件(已知條件、定理、定義、公理等)為止．這種證明方法叫做分析法．②框圖表示:要證明的結(jié)論充分條件得到一個(gè)明顯成立的條件第10頁(yè)，共64頁(yè)，2023年，2月20日，星期三內(nèi)容綜合法分析法定義利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、公理、定理等，經(jīng)過(guò)一系列的___________,最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論______.從要____________出發(fā),逐步尋求使它成立___________,直至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個(gè)明顯成立的條件實(shí)質(zhì)由因?qū)Ч麍?zhí)果索因框圖表示文字語(yǔ)言因?yàn)椤浴蛴伞谩C…只需證…即證…推理論證成立證明的結(jié)論充分條件第11頁(yè)，共64頁(yè)，2023年，2月20日，星期三4.間接證明

(1)反證法：假設(shè)原命題________,經(jīng)過(guò)正確的推理,最后得出______,因此說(shuō)明假設(shè)錯(cuò)誤,從而證明了原命題成立，這樣的證明方法叫做反證法．不成立矛盾

(2)適宜使用反證法的情況:①結(jié)論以否定形式出現(xiàn)；②結(jié)論以“至多…,”,“至少…”形式出現(xiàn)；③唯一性、存在性問(wèn)題;④結(jié)論的反面比原結(jié)論更具體更容易研究的命題.用反證法在歸謬中所導(dǎo)出的矛盾可以是與題設(shè)矛盾,與假設(shè)矛盾,與已知定義、公理、定理矛盾，自相矛盾等.反證法證題步驟:①反設(shè)②歸謬③存真.第12頁(yè)，共64頁(yè)，2023年，2月20日，星期三(1)歸納法由一系列有限的特殊事例得出________的推理方法叫歸納法.根據(jù)推理過(guò)程中考查的對(duì)象是涉及事物的全體或部分可分為_(kāi)______歸納法和_________歸納法.一般結(jié)論完全不完全5．?dāng)?shù)學(xué)歸納法(2)數(shù)學(xué)歸納法

對(duì)某些與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題常采用下面的方法來(lái)證明它們的正確性：先證明當(dāng)n取第1個(gè)值n0時(shí),命題成立；然后假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N*，k≥n0)時(shí)，命題成立；證明當(dāng)n＝k＋1時(shí)，命題也成立，這種證明方法叫做______________.數(shù)學(xué)歸納法第13頁(yè)，共64頁(yè)，2023年，2月20日，星期三(3)用數(shù)學(xué)歸納法證明一個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的命題時(shí),其步驟為：

①__________：證明當(dāng)n取第一個(gè)值n0(n0∈N*)時(shí)命題成立；②__________：假設(shè)n＝k(k∈N*,k≥n0)時(shí)命題成立，證明當(dāng)n＝k＋1時(shí)命題成立．③歸納結(jié)論:由①②得出結(jié)論．歸納奠基歸納遞推第14頁(yè)，共64頁(yè)，2023年，2月20日，星期三

先歸納推理(依據(jù)特殊情形)猜想出一般結(jié)論,再用數(shù)學(xué)歸納法證明猜想結(jié)論的正確性.一般地,數(shù)學(xué)研究與發(fā)現(xiàn)往往包括兩個(gè)要素---發(fā)現(xiàn)結(jié)論與證明結(jié)論(兩者通常交織在一起),發(fā)現(xiàn)結(jié)論往往通過(guò)合情推理,結(jié)論的正確性需要通過(guò)邏輯證明來(lái)確認(rèn).④“歸納——猜想——證明”問(wèn)題的證法⑤數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用：對(duì)于由歸納法得到的某些與自然數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題,我們常采用數(shù)學(xué)歸納法來(lái)證明它們的正確性:1)恒等式2)整除性3)不等式計(jì)算、猜想、證明4)不等式5)幾何方面6)三角方面第15頁(yè)，共64頁(yè)，2023年，2月20日，星期三合情推理是地球上最美麗的思維花朵之一!第16頁(yè)，共64頁(yè)，2023年，2月20日，星期三【例1】(2010·山東)觀察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cosx)′＝－sinx，由歸納推理可得：若定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(－x)＝f(x)，記g(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，則g(－x)＝()A．f(x)B．－f(x)C．g(x)D．－g(x)解:由所給函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)知,偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為奇函數(shù).因此當(dāng)f(x)是偶函數(shù)時(shí)，其導(dǎo)函數(shù)應(yīng)為奇函數(shù)，故g(－x)＝－g(x)．D題型一歸納推理【題后拓展】歸納推理的一般步驟是：(1)通過(guò)觀察個(gè)別事物發(fā)現(xiàn)某些相同的性質(zhì)；(2)從已知的相同性質(zhì)中推出一個(gè)明確表述的一般性命題．一般情況下，歸納的個(gè)別事物越多，越具有代表性，推廣的一般性結(jié)論也就越可靠．第17頁(yè)，共64頁(yè)，2023年，2月20日，星期三【思維點(diǎn)撥】歸納總結(jié)時(shí)，看等號(hào)左邊式子的變化規(guī)律，右邊結(jié)果的特點(diǎn)，根據(jù)以上規(guī)律寫(xiě)出第五個(gè)等式，注意行數(shù)、項(xiàng)數(shù)及其變化規(guī)律是解答本題的關(guān)鍵．第18頁(yè)，共64頁(yè)，2023年，2月20日，星期三【2】(2012·江西)觀察下列各式：a＋b＝1,a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11,…，則a10＋b10＝()A．28B．76C．123D．199等式右面的數(shù)構(gòu)成一個(gè)數(shù)列1,3,4,7,11,…,即an＋an＋1＝an＋2,a6＋b6＝11＋7＝18，a7＋b7＝18＋11＝29，a8＋b8＝29＋18＝47，a9＋b9＝47＋29＝76，a10＋b10＝76＋47＝123，故選C.C第19頁(yè)，共64頁(yè)，2023年，2月20日，星期三

【3】（2009·湖北）古希臘人常用小石子在沙灘上擺成各種形狀來(lái)研究數(shù)，例如：他們研究過(guò)圖1中的1，3，6，10，…，由于這些數(shù)能夠表示成三角形，將其稱為三角形數(shù);類(lèi)似地,稱圖2中的1，4，9，16…這樣的數(shù)成為正方形數(shù).下列數(shù)中既是三角形數(shù)又是正方形數(shù)的是()

A.289

B.1024

C.1225

D.1378C三角形數(shù)構(gòu)成的數(shù)列通項(xiàng)正方形數(shù)構(gòu)成的數(shù)列通項(xiàng)bn=n2.第20頁(yè)，共64頁(yè)，2023年，2月20日，星期三【4】考察下列一組不等式：23+53>22·5+2·52,24+54>23·5+2·53,25+55>23·52+22·53,…….將上述不等式在左右兩端仍為兩項(xiàng)和的情況下加以推廣,使以上的不等式成為推廣不等式的特例,則推廣的不等式可以是_______________________________.第21頁(yè)，共64頁(yè)，2023年，2月20日，星期三第22頁(yè)，共64頁(yè)，2023年，2月20日，星期三所以命題成立．第23頁(yè)，共64頁(yè)，2023年，2月20日，星期三AA.M(45,14)B.M(45,24)C.M(46,14)D.M(46,15)【7】把偶數(shù)數(shù)列{2n}的各項(xiàng)從小到大依次排成如圖所示的三角形數(shù)表,記M(r,t)表示該表中第r行的第t個(gè)數(shù),則表中的數(shù)2008對(duì)應(yīng)于()由1+2+3+…+n=1004，得因?yàn)?4×45=1980,

45×46=2070.所以2008為第45行的數(shù),又1004－990=14.即2008為第14個(gè)數(shù).第24頁(yè)，共64頁(yè)，2023年，2月20日，星期三【8】(2010·浙江)設(shè)n≥2，n∈N，(2x＋)n－(3x＋)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，將|ak|(0≤k≤n)的最小值記為T(mén)n，則T2＝0，T3＝，T4＝0，T5＝,…,Tn，其中Tn＝第25頁(yè)，共64頁(yè)，2023年，2月20日，星期三題型二類(lèi)比推理

1．類(lèi)比可以是形式上的類(lèi)比，用于發(fā)現(xiàn)新的結(jié)論；也可以是方法上的類(lèi)比，用于尋找求解途徑．

2．常見(jiàn)的類(lèi)比有平面?空間；等差數(shù)列?等比數(shù)列；實(shí)數(shù)?復(fù)數(shù)；向量數(shù)量積?實(shí)數(shù)積等．類(lèi)比是一種合情推理，結(jié)論不一定為真，需驗(yàn)證或證明．

3．類(lèi)比推理能有效地考查考生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，是高考中常考題型．因此，在平時(shí)學(xué)習(xí)中要加強(qiáng)訓(xùn)練．

第26頁(yè)，共64頁(yè)，2023年，2月20日，星期三【1】(2009·浙江)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn

,則S4,

S8－S4,

S12－S8,

S16－S12成等差數(shù)列.類(lèi)比以上結(jié)論,有：設(shè)等比數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)積為T(mén)n,則此題是一個(gè)數(shù)列與類(lèi)比推理結(jié)合的問(wèn)題,既考查了數(shù)列中等差數(shù)列和等比數(shù)列的知識(shí),也考查了通過(guò)已知條件進(jìn)行類(lèi)比推理的方法和能力.成等比數(shù)列.第27頁(yè)，共64頁(yè)，2023年，2月20日，星期三第28頁(yè)，共64頁(yè)，2023年，2月20日，星期三∵f(x)=sin

x在區(qū)間(0,π)上是凸函數(shù),且A,B,C∈(0,π),第29頁(yè)，共64頁(yè)，2023年，2月20日，星期三題型第30頁(yè)，共64頁(yè)，2023年，2月20日，星期三第31頁(yè)，共64頁(yè)，2023年，2月20日，星期三【7】第32頁(yè)，共64頁(yè)，2023年，2月20日，星期三B第33頁(yè)，共64頁(yè)，2023年，2月20日，星期三第34頁(yè)，共64頁(yè)，2023年，2月20日，星期三C第35頁(yè)，共64頁(yè)，2023年，2月20日，星期三C第36頁(yè)，共64頁(yè)，2023年，2月20日，星期三A第37頁(yè)，共64頁(yè)，2023年，2月20日，星期三C第38頁(yè)，共64頁(yè)，2023年，2月20日，星期三

①合情推理包括歸納推理與類(lèi)比推理：歸納推理是由特殊到一般，類(lèi)比推理是由特殊到特殊.

②證明包括直接證明和間接證明：直接證明主要有綜合法、分析法等；間接證明主要是反證法.

③數(shù)學(xué)歸納法是一種完全歸納的證明方法,它適用于與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的證明.本節(jié)要注重三維空間與二維平面的類(lèi)比(如三角形與三棱錐、四邊形與四棱柱、長(zhǎng)度與面積、表面積與體積等)、代數(shù)運(yùn)算與向量的類(lèi)比、等差數(shù)列與等比數(shù)列的類(lèi)比、橢圓與雙曲線的類(lèi)比等．學(xué)好這一節(jié),不僅可以培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用合情推理去猜測(cè)和發(fā)現(xiàn)一些新的結(jié)論的能力，還可以幫我們?cè)谌粘５膶W(xué)習(xí)中達(dá)到事半功倍的效果！第39頁(yè)，共64頁(yè)，2023年，2月20日，星期三預(yù)祝各位同學(xué)，2013高考取得好成績(jī)!第40頁(yè)，共64頁(yè)，2023年，2月20日，星期三善于觀察勤于思考敢于猜想的人常常會(huì)冒出創(chuàng)造的靈感火花第41頁(yè)，共64頁(yè)，2023年，2月20日，星期三例1.求證:證明：不等式顯然成立.若ac+bd≤0,故要證只需證故只需證即證亦即證而上述不等式顯然成立.所以原不等式成立.第42頁(yè)，共64頁(yè)，2023年，2月20日，星期三第43頁(yè)，共64頁(yè)，2023年，2月20日，星期三證明:假設(shè)直線ME與BN共面，則AB?平面MBEN，且平面MBEN∩DCEF=EN，由已知，兩正方形不共面，故AB?平面DCEF.又AB∥CD，所以AB∥平面DCEF，所以AB∥EN.又AB∥CD∥EF，所以EN∥EF．這與已知EN∩EF=E矛盾，所以ME與BN不共面,它們是異面直線.【例3】(2009·遼寧)如圖，己知兩個(gè)正方形ABCD和DCEF不在同一平面內(nèi)，M，N分別為AB,DF的中點(diǎn)．用反證法證明：直線ME與BN是兩條異面直線．第44頁(yè)，共64頁(yè)，2023年，2月20日，星期三練一練第45頁(yè)，共64頁(yè)，2023年，2月20日，星期三2.設(shè)0<a<1,0<b<1,0<c<1.求證:不可能都大于證明:假設(shè)都大于(1)+(2)+(3),得所以原命題成立.而是自相矛盾的.所以假設(shè)不成立,練一練第46頁(yè)，共64頁(yè)，2023年，2月20日，星期三三式相乘,得證明:假設(shè)都大于所以原命題成立.與(※)矛盾.所以假設(shè)不成立,2.設(shè)0<a<1,0<b<1,0<c<1.求