函數(shù)模型及其應(yīng)用配套課件第1頁，共32頁，2023年，2月20日，星期三考綱要求考情風(fēng)向標(biāo)1.了解指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)的增長特征，知道直線上升、指數(shù)增長、對數(shù)增長等不同函數(shù)類型增長的含義．2.了解函數(shù)模型(如指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、分段函數(shù)等在社會生活中普遍使用的函數(shù)模型)的廣泛應(yīng)用.應(yīng)用函數(shù)知識解其他問題，特別是解應(yīng)用題能很好地考查學(xué)生分析問題、解決問題的能力，這類問題在高考中具有較強的生存力．從近幾年的高考試題來看，函數(shù)模型及其應(yīng)用是高考的一個重點．函數(shù)除了涉及方程、不等式、數(shù)列等知識，還可滲透到三角、立體幾何、解析幾何，甚至還呈現(xiàn)于概率知識中，它具有題源豐富、跨學(xué)科綜合的特征．解題時應(yīng)注意把握問題主線，明確問題實質(zhì)，運用有關(guān)知識進行轉(zhuǎn)換．預(yù)計2015年高考仍將以函數(shù)建模為主要考點，重點考查利用二次函數(shù)、基本不等式、導(dǎo)數(shù)、線性規(guī)劃求最值.第2頁，共32頁，2023年，2月20日，星期三1．學(xué)習(xí)過的基本初等函數(shù)指數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)冪函數(shù)

一次函數(shù)、二次函數(shù)、正(反)比例函數(shù)、三角函數(shù)、_________、___________、_________等． 要熟練掌握這些函數(shù)的圖象與性質(zhì)，以便利用它們來解決一些非基本函數(shù)的問題．第3頁，共32頁，2023年，2月20日，星期三

2．用基本初等函數(shù)解決非基本函數(shù)問題的途徑

(1)化整為零：即將非基本函數(shù)“拆”成基本初等函數(shù)，以便用已知知識解決問題．

(2)圖象變換：某些非基本函數(shù)的圖象可看成是由基本初等函數(shù)圖象通過圖象變換得到的，搞清了變換關(guān)系，便可借助基本初等函數(shù)解決非基本函數(shù)問題．

3．在解決某些應(yīng)用問題時，通常要用到的一些函數(shù)模型

________________、________________、______________、________________、________________、分式函數(shù)模型、分段函數(shù)模型等．二次函數(shù)模型指數(shù)函數(shù)模型對數(shù)函數(shù)模型冪函數(shù)模型一次函數(shù)模型第4頁，共32頁，2023年，2月20日，星期三4．三種函數(shù)增長的條件(1)當(dāng)a>1時，指數(shù)函數(shù)y＝ax

是增函數(shù)，并且當(dāng)a越大時，其函數(shù)的增長就越快．(2)當(dāng)a>1時，對數(shù)函數(shù)y＝logax是增函數(shù)，并且當(dāng)a越小時，其函數(shù)的增長就越快．(3)當(dāng)x>0，n>0時，冪函數(shù)y＝xn

是增函數(shù)，并且當(dāng)n越大時，其函數(shù)的增長就越快．第5頁，共32頁，2023年，2月20日，星期三5．三種函數(shù)增長速度的比較

直線上升、指數(shù)爆炸、對數(shù)增長等不同函數(shù)模型的增長的含義：當(dāng)a>1，n>0時，那么當(dāng)x足夠大時，一定有指數(shù)函數(shù)值增長快于冪函數(shù)值增長，冪函數(shù)值增長快于對數(shù)函數(shù)值增長．也就是說，指數(shù)函數(shù)值增長最快，人們常稱這種現(xiàn)象為“指數(shù)爆炸”．第6頁，共32頁，2023年，2月20日，星期三D．11%1．某一種商品降價10%后，欲恢復(fù)原價，則應(yīng)提價()DA．10%C．11%B．9%第7頁，共32頁，2023年，2月20日，星期三

2．在本埠投寄平信，每封信不超過20g時付郵資0.80元，超過20g而不超過40g付郵資1.60元，依次類推，每增加20g需增加郵資0.80元(信重在100g以內(nèi))．如果某人所寄一封信的質(zhì)量為82.5g，那么他應(yīng)付郵資()DA．2.4元B．2.8元C．3.2元D．4元第8頁，共32頁，2023年，2月20日，星期三P＝

3．某計算機集團公司生產(chǎn)某種型號計算機的固定成本為200萬元，生產(chǎn)每臺計算機的可變成本為3000元，每臺計算機的售價為5000元．則：

(1)總成本C(單位：萬元)關(guān)于總產(chǎn)量x(單位：臺)的函數(shù)關(guān)系式為___________________；C＝200＋0.3x(x∈N*)(2)單位成本P(單位：萬元)關(guān)于總產(chǎn)量x(單位：臺)的函數(shù)關(guān)系式為___________________；200

x＋0.3(x∈N*)(3)銷售收入R(單位：萬元)關(guān)于總產(chǎn)量x(單位：臺)的函數(shù)關(guān)系式為______________；R＝0.5x(x∈N*)(4)利潤L(單位：萬元)關(guān)于總產(chǎn)量x(單位：臺)的函數(shù)關(guān)系式為_____________________．L＝0.2x－200(x∈N*)第9頁，共32頁，2023年，2月20日，星期三4．一等腰三角形的周長是20，底邊y是關(guān)于腰長x的函數(shù)，y＝20－2x(5＜x＜10)它的解析式為____________________．

5．已知函數(shù)y1＝2x

和y2＝x2.當(dāng)x∈(2,4]時，函數(shù)_______的值增長快；當(dāng)x∈(4，＋∞)時，函數(shù)_______的值增長快．y1＝2xy2＝x2第10頁，共32頁，2023年，2月20日，星期三考點1正比例、反比例和一次函數(shù)類的實際問題

例1：(2012年上海)某環(huán)線地鐵按內(nèi)、外環(huán)線同時運行，內(nèi)、外環(huán)線的長均為30千米(忽略內(nèi)、外環(huán)線長度差異)．

(1)當(dāng)9列列車同時在內(nèi)環(huán)線上運行時，要使內(nèi)環(huán)線乘客最長候車時間為10分鐘，求內(nèi)環(huán)線列車的最小平均速度；

(2)新調(diào)整的方案要求內(nèi)環(huán)線列車平均速度為25千米/時，外環(huán)線列車平均速度為30千米/時．現(xiàn)內(nèi)、外環(huán)線共有18列列車全部投入運行，要使內(nèi)、外環(huán)線乘客的最長候車時間之差不超過1分鐘，問：內(nèi)、外環(huán)線應(yīng)各投入幾列列車運行？第11頁，共32頁，2023年，2月20日，星期三解：(1)設(shè)內(nèi)環(huán)線列車運行的平均速度為v千米/時，由題意可知，309v×60≤10?v≥20.

所以，要使內(nèi)環(huán)線乘客最長候車時間為10分鐘，列車的最小平均速度是20千米/時．

(2)設(shè)內(nèi)環(huán)線投入x列列車運行，則外環(huán)線投入(18－x)列列車運行，內(nèi)、外環(huán)線乘客最長候車時間分別為t1，t2分鐘，則t1＝

3025x×60＝72

x，t2＝

3030(18－x)×60＝

6018－x.第12頁，共32頁，2023年，2月20日，星期三

又因為x∈N*，所以x＝10，即當(dāng)內(nèi)環(huán)線投入10列，外環(huán)線投入8列列車運行時，內(nèi)、外環(huán)線乘客最長候車時間之差不超過1分鐘．第13頁，共32頁，2023年，2月20日，星期三第14頁，共32頁，2023年，2月20日，星期三

【互動探究】

1．(2013年山東臨沂三模)某公司一年購買某種貨物400t，每次都購買xt，運費為4萬元/次，一年的總存儲費用為4x萬元．要使一年的總運費與儲存費用之和最小，則x等于()A．10B．20C．30D．40第15頁，共32頁，2023年，2月20日，星期三

答案：B第16頁，共32頁，2023年，2月20日，星期三考點2分段函數(shù)類的實際問題

例2：某公司研制出了一種新產(chǎn)品，試制了一批樣品分別在國內(nèi)和國外上市銷售，并且價格根據(jù)銷售情況不斷進行調(diào)整，結(jié)果40天內(nèi)全部銷售完．公司對銷售及銷售利潤進行了調(diào)研，結(jié)果如圖3-8-1所示，其中圖3-8-1①(一條折線)、圖3-8-1②(一條拋物線)分別是國外和國內(nèi)市場的日銷售量與上市時間的關(guān)系，圖3-8-1③是每件樣品的銷售利潤與上市時間的關(guān)系．第17頁，共32頁，2023年，2月20日，星期三圖3-8-1(1)分別寫出國外市場的日銷售量f(t)與上市時間t的關(guān)系及國內(nèi)市場的日銷售量g(t)與上市時間t的關(guān)系；

(2)國外和國內(nèi)的日銷售利潤之和有沒有可能恰好等于6300萬元？若有，請說明是上市后的第幾天；若沒有，請說明理由．第18頁，共32頁，2023年，2月20日，星期三第19頁，共32頁，2023年，2月20日，星期三第20頁，共32頁，2023年，2月20日，星期三第21頁，共32頁，2023年，2月20日，星期三

由F(t)在(30,40)上是減函數(shù)，得F(t)＜F(30)＝6300.

故國外和國內(nèi)的日銷售利潤之和可以恰好等于6300萬元，為上市后的第30天．

【方法與技巧】分段函數(shù)主要是每一段自變量變化所遵循的規(guī)律不同，可以先將其當(dāng)作幾個問題，將各段的變化規(guī)律分別找出來，再將其合到一起．要注意各段自變量的范圍，特別是端點值．第(1)問就是根據(jù)圖①和圖②所給的數(shù)據(jù)，運用待定系數(shù)法求出各圖象中的解析式；第(2)問先求得總利潤的函數(shù)關(guān)系式，再將問題轉(zhuǎn)化為方程是否有解．第22頁，共32頁，2023年，2月20日，星期三【互動探究】

2．某市自來水收費標(biāo)準(zhǔn)如下：每戶每月用水不超過4噸時，每噸為1.80元；當(dāng)用水超過4噸時，超過部分每噸3.00元．某月甲、乙兩戶共交水費y元，已知甲、乙兩戶該月用水量分別為5x,3x(單位：噸)．

(1)求y關(guān)于x的函數(shù)；(2)若甲、乙兩戶該月共交水費26.4元，分別求出甲、乙兩戶該月的用水量和水費．第23頁，共32頁，2023年，2月20日，星期三

解：(1)當(dāng)甲的用水量不超過4噸時，即5x≤4，乙的用水量也不超過4噸，y＝1.8(5x＋3x)＝14.4x.

當(dāng)甲的用水量超過4噸，乙的用水量不超過4噸，即3x≤4，且5x>4時，y＝4×1.8＋3x×1.8＋3(5x－4)＝20.4x－4.8； 當(dāng)乙的用水量超過4噸，即3x>4時，

y＝2×4×1.8＋3×[(3x－4)＋(5x－4)]＝24x－9.6.第24頁，共32頁，2023年，2月20日，星期三(2)由于y＝f(x)在各段區(qū)間上均單調(diào)遞增，所以甲戶用水量為5x＝5×1.5＝7.5(噸)，水費S1＝4×1.8＋3.5×3＝17.70(元)；乙戶用水量為3x＝4.5(噸)，水費S2＝4×1.8＋0.5×3＝8.70(元)．第25頁，共32頁，2023年，2月20日，星期三考點3二次函數(shù)類的實際應(yīng)用題

例3：市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，某種產(chǎn)品在投放市場的30天中，其銷售價格P元和時間t(t∈N)的關(guān)系如圖3-8-2.

圖3-8-2第26頁，共32頁，2023年，2月20日，星期三(1)寫出銷售價格P(單位：元)和時間t(單位：天)的函數(shù)解析式；

(2)若日銷售量Q(單位：件)與時間t(單位：天)的函數(shù)關(guān)系是Q＝－t＋40(0≤t≤30，t∈N)，求該商品的日銷售金額y(單位：元)與時間t(單位：天)的函數(shù)解析式；(3)問該產(chǎn)品投放市場第幾天時，日銷售額最高，最高值為多少元？第27頁，共32頁，2023年，2月20日，星期三解：(1)①當(dāng)0≤t<25，t∈N時，設(shè)P＝at＋b，將(0,19)，(25,44)代入，得19＝b，44＝25a＋b，解得a＝1，b＝19.∴P＝t＋19(0≤t<25，t∈N)．②當(dāng)25≤t≤30，t∈N時，設(shè)P＝at＋b，將(25,75)，(30,70)代入，解得a＝－1，b＝100.∴P＝－t＋100(25≤t≤30，t∈N)．綜上所述，P＝t＋19－t＋100(0≤t<25，t∈N)，

(25≤t≤30，t∈N).第28頁，共32頁，2023年，2月20日，星期三(2)依題意，有y＝P·Q，第29頁，共32頁，2023年，2月20日，星期三

當(dāng)0≤t<25，t∈N時，由二次函數(shù)的性質(zhì)，可知：t＝10或t＝11時，y有最大值870元． 當(dāng)25≤t≤30，t∈N時，7