函數(shù)的多項(xiàng)式插值與逼近第1頁(yè)，共25頁(yè)，2023年，2月20日，星期三注意下面圖中曲線的變化情況！例3：在[5,5]上考察的Ln(x)。取

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

n

越大，端點(diǎn)附近誤差越大，稱為Runge

現(xiàn)象Ln(x)

f(x)高次插值多項(xiàng)式的這種危險(xiǎn)性,在20世紀(jì)初被Runge發(fā)現(xiàn).第2頁(yè)，共25頁(yè)，2023年，2月20日，星期三2、從穩(wěn)定性角度分析由于插值函數(shù)不可避免有誤差，不妨設(shè)由和構(gòu)造出的插值多項(xiàng)式分別記為:和

第3頁(yè)，共25頁(yè)，2023年，2月20日，星期三二、分段插值的構(gòu)造方法將插值區(qū)間劃分為若干個(gè)小區(qū)間（通常取等距劃分）采用低次插值在區(qū)間上得到分段函數(shù)第4頁(yè)，共25頁(yè)，2023年，2月20日，星期三1、分段線性插值

/*piecewiselinearinterpolation*/(1)在每個(gè)區(qū)間上，用1階多項(xiàng)式

(直線)逼近

f(x):或者：這里x是局部變量，其定義域?yàn)?/p>

：

也僅在其定義域內(nèi)有定義。

第5頁(yè)，共25頁(yè)，2023年，2月20日，星期三幾何意義為

：

第6頁(yè)，共25頁(yè)，2023年，2月20日，星期三(2)、分段線性插值基函數(shù)

類似于Lagrange插值函數(shù)，分段1階多項(xiàng)式

(直線)可表示為:其中為分段線性插值基函數(shù)，滿足：

n+1個(gè)分段線性插值基函數(shù)分別為：

第7頁(yè)，共25頁(yè)，2023年，2月20日，星期三第8頁(yè)，共25頁(yè)，2023年，2月20日，星期三一般地：且第9頁(yè)，共25頁(yè)，2023年，2月20日，星期三第10頁(yè)，共25頁(yè)，2023年，2月20日，星期三也稱折線插值,如右圖曲線的光滑性較差在節(jié)點(diǎn)處有尖點(diǎn)

但如果增加節(jié)點(diǎn)的數(shù)量減小步長(zhǎng),會(huì)改善插值效果因此則第11頁(yè)，共25頁(yè)，2023年，2月20日，星期三第12頁(yè)，共25頁(yè)，2023年，2月20日，星期三分段線性插值從整體上看，逼近效果是較好的，但失去了原函數(shù)的光滑性。

設(shè)給定節(jié)點(diǎn) 及相應(yīng)的函數(shù)值，

在[a,b]上存在，是在[a,b]上由數(shù)據(jù)構(gòu)成的分段線性插值函數(shù)，則其中關(guān)于分段二次插值

/*PiecewiseSquareInterpolation

*/討論方法同分段線性插值完全類似。第13頁(yè)，共25頁(yè)，2023年，2月20日，星期三（1）幾何直觀：分段拋物線弧段近似

2、分段二次插值第14頁(yè)，共25頁(yè)，2023年，2月20日，星期三（2）方法概述：第15頁(yè)，共25頁(yè)，2023年，2月20日，星期三3、誤差估計(jì)：第16頁(yè)，共25頁(yè)，2023年，2月20日，星期三三、埃爾米特插值

/*HermiteInterpolation*/不僅要求函數(shù)值重合，而且要求若干階導(dǎo)數(shù)也重合。即：要求插值函數(shù)滿足，注：

N

個(gè)條件可以確定次多項(xiàng)式。N

1要求在1個(gè)節(jié)點(diǎn)x0處直到m0階導(dǎo)數(shù)都重合的插值多項(xiàng)式即為Taylor多項(xiàng)式其余項(xiàng)為一般只考慮與的值。第17頁(yè)，共25頁(yè)，2023年，2月20日，星期三1、分段三次Hermite插值可構(gòu)造兩點(diǎn)三次Hermite插值多項(xiàng)式第18頁(yè)，共25頁(yè)，2023年，2月20日，星期三其中我們稱為分段三次Hermite插值多項(xiàng)式，其余項(xiàng)為第19頁(yè)，共25頁(yè)，2023年，2月20日，星期三分段低次插值的特點(diǎn):計(jì)算較容易可以解決Runge現(xiàn)象,可保證收斂性但插值多項(xiàng)式分段插值曲線在節(jié)點(diǎn)處會(huì)出現(xiàn)尖點(diǎn)（若無導(dǎo)數(shù)值）優(yōu)點(diǎn):缺點(diǎn):第20頁(yè)，共25頁(yè)，2023年，2月20日，星期三Qestion:已知函數(shù)在互異節(jié)點(diǎn)處的函數(shù)值

以及導(dǎo)數(shù)值，要構(gòu)造不超過2n+1次的多項(xiàng)式滿足如下的2n+2個(gè)條件

稱上述問題為全導(dǎo)數(shù)的Hermite插值問題2、整體（高次）Hermite插值第21頁(yè)，共25頁(yè)，2023年，2月20日，星期三思想類似于Lagrange插值多項(xiàng)式的構(gòu)造方法，即通過構(gòu)造一組插值基函數(shù)來表示Hermite插值多項(xiàng)式。設(shè)滿足前述2n+2個(gè)條件的插值多項(xiàng)式為其中，滿足第22頁(yè)，共25頁(yè)，2023年，2月20日，星期三容易導(dǎo)出——全導(dǎo)數(shù)的Hermite插值多項(xiàng)式：其中第23頁(yè)，共25頁(yè)，2023年，2月20日，星期三如n=1時(shí)Hermite插值多項(xiàng)式為第24頁(yè)，共25頁(yè)，2023年，2月20日，星期三012

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