第十二章數(shù)學中蘊涵的美學思想第一節(jié)

數(shù)學美的涵義第二節(jié)數(shù)學美的特征退出一、數(shù)學家論數(shù)學美二、數(shù)學美的涵義

一、簡單美

二、

對稱美三、和諧美四、奇異美第三節(jié)

感受數(shù)學美

第四節(jié)

數(shù)學美在中國的源頭

一、美觀---外在的美二、美好---內(nèi)在的美三、美妙---快樂的美四、完美---

至善至美一、太極八卦---中國象數(shù)學的美二、河圖洛書—數(shù)學形式美的雛形第一節(jié)

數(shù)學美的涵義一、數(shù)學家論數(shù)學美

古希臘的哲學家、數(shù)學家普洛克拉斯(Proelus)斷言：“哪里有數(shù)，哪里就有美?！?/p>

古希臘著名學者畢達哥拉斯(Pythagoras)對數(shù)學有很深的造詣，其中畢氏定理(勾股定理)就是他的杰作,他認為“萬物最基本的元素是數(shù)，數(shù)的和諧---這就是美?！狈祷囟?、數(shù)學美的涵義返回返回返回返回簡約是一種美。數(shù)學便是用最簡潔的語言概括了數(shù)量關(guān)系、空間結(jié)構(gòu),也正因為簡潔,數(shù)學才得以最廣泛地運用,才有極強的生命力。簡潔的阿拉伯數(shù)字1,2,3,4,5,6,7,8,9,0這一組數(shù)字是人們對物質(zhì)世界存在性最直接最原始的表達。歷史上,各國各民族都有自己的數(shù)字,但只有阿拉伯數(shù)字保留并廣為流傳,究其原因,簡潔流暢的書寫,干脆上口的發(fā)音,運算中進位快捷方便,是其勝出的法寶。符號簡單符號是書寫數(shù)學語言的文字，大數(shù)學家克萊因說：“符號常常比發(fā)明它們的數(shù)學家更能推理”,人們總是探索用簡單的符號去表現(xiàn)復雜的數(shù)學內(nèi)容。返回在埃及出土的三千六百年前的萊因特紙草上有下面一串符號用今天的符號表示即：宋、元時期我國也開始了相當于現(xiàn)在“方程論”的研究，當時記數(shù)使用的是“算籌”，的記號來表示二次三項式

412x2－x+136其中x系數(shù)旁邊注以“元”字，常數(shù)項注以“太”字，籌上畫斜線表示“負數(shù)”。返回

如果要具體寫出圓周率或歐拉常數(shù)根本不可能，然而用數(shù)學符號卻能精確地表示它們。有些數(shù)及其運算只有用符號表示，才能更精確、更完美。例如，圓周率是一個常數(shù)，1737年歐拉首先倡導用希臘字母π來表示它，且通用全世界；也是歐拉用e表示特殊的無理常數(shù)─歐拉常數(shù)返回2.形式簡單

藝術(shù)家們追求的美中，形式美是其中特別重要的內(nèi)容，他們在渲染美時，常常運用不同形式，如泰山的雄偉，華山的險峻，黃山的奇特，峨眉的秀麗，青海的幽深，滇池的開闊等。返回數(shù)學家們也十分注重數(shù)學的形式美，美國數(shù)學家柏克提出了一個公式

審美度=即人們對數(shù)學的審美感受程度，與數(shù)學表現(xiàn)出的秩序成正比，與數(shù)學表現(xiàn)出的復雜性成反比。因此，按審美度要求，數(shù)學的表現(xiàn)形式越簡單就越美。格林公式斯托克斯公式返回3.語言簡單數(shù)學的簡單美表現(xiàn)在語言上使人回味無窮。

如“負負得正”；“對頂角相等”；“實數(shù)集不可數(shù)”；

“角、邊、角”；“邊、角、邊”等。數(shù)列極限

函數(shù)極限

導數(shù)概念

返回4.方法簡單

數(shù)學中的許多簡單有效的判定定理，形式優(yōu)美的表達方式，并不是原本固有的，而是經(jīng)過人們長期比較、篩選的結(jié)果。

例如，對于正項級數(shù)的收斂性判別，達朗貝爾判別法(比值法)與柯西判別法(根式法)都是十分簡單有效的判別法,然而它們都有一個共同的不足，就是不能判別當極限值時級數(shù)的斂散性，于是人們不斷地給出了許多其他形式的判別法。比達朗貝爾判別法更精細的是拉貝(Laber)判別法

設(shè)

則當r>1時，級數(shù)收斂；

當r<1時，級數(shù)發(fā)散。返回

然而，人們在應用泰勒公式時，最習慣使用的還是拉格朗日型余項

其中在x與x0

之間。返回

又如，泰勒公式的余項，局部性的有皮亞諾(Peano)余項，整體性的有施諾米爾奇(Schlomilch)─羅赫(Roche)余項，柯西余項和拉格朗日余項等。在整體性余項中，后兩種余項僅是前一種余項的特例。因而，從整體性考慮，前一種余項更完美。

拉格朗日型余項簡單整齊，易于記憶，使用方便。從審美度而言拉格朗日型余項是最美的，因此受到人們的青睞。1.形式對稱解析幾何中的標準圖形

返回代數(shù)中二項式的展開，呈現(xiàn)出的也是一種對稱：返回返回對稱多項式對稱行列式:

對稱矩陣：返回“共軛”關(guān)系對稱性：

共軛無理數(shù)

共軛矩陣

共軛積分返回返回“對偶”關(guān)系對稱性：

集合中的對偶關(guān)系

線性規(guī)劃中的對偶關(guān)系

線性規(guī)劃問題：

(*)返回對偶規(guī)劃問題：

(**)

由對偶定理知，若線性規(guī)劃問題(*)有最優(yōu)解，則其對偶規(guī)劃問題(**)也有最優(yōu)解,且兩問題的目標函數(shù)最優(yōu)值相等。反之也成立。返回返回例

有A、B、C、D、E五個人站成一橫排，如果B必須站在A右邊(A、B可不相鄰)，有多少種不同站法?例

求

展開式中的整數(shù)次幕各系數(shù)的和。三、和諧美

數(shù)學中的和諧美是指數(shù)學內(nèi)容與內(nèi)容之間、內(nèi)容與形式之間、部分與整體之間存在著內(nèi)在的聯(lián)系或共同規(guī)律，從而形成本質(zhì)上的嚴謹與統(tǒng)一。和諧指事物之間具有勻稱、有序、明確的變化規(guī)律。

1.嚴謹是和諧的基礎(chǔ)

數(shù)學的嚴謹自然顯現(xiàn)出它的和諧。為了追求嚴謹，消除數(shù)學中的不和諧因素，數(shù)學家們一直在努力。數(shù)學史上所謂的“數(shù)學危機”正是某些數(shù)學理論不和諧所致。

返回第一次危機---無理數(shù)的誕生。

第二次危機------實數(shù)理論得以建立,導致集合論的誕生。第三次數(shù)學危機------“羅素悖論”和其它悖論的產(chǎn)生，為了避免悖論，策梅洛(Zermelo)在1908年提出了一種公理系統(tǒng)，后經(jīng)弗蘭克爾(Fraenkel)在1921年加以改進，形成了目前公認的彼此無矛盾的公理系統(tǒng)，簡稱ZF公理系統(tǒng)。函數(shù)的連續(xù)性，是當今數(shù)學中的一個重要基本概念，然而它的現(xiàn)代定義的形成，也經(jīng)歷了一個從不和諧到和諧的漫長過程。18世紀，數(shù)學家歐拉認為，由一個單獨表達式給出的函數(shù)是連續(xù)的，而由幾個表達式給出的函數(shù)是不連續(xù)的。例如,歐拉函數(shù)返回是不連續(xù)的，而由兩個分支組成的雙曲線(反比例函數(shù))，因為它是由一個表達式給出的，就認為它是連續(xù)的。19世紀，傅立葉證明：定義在某個區(qū)間上的任意函數(shù)可表示成該區(qū)間上的正弦與余弦的無窮級數(shù)。比如，返回可表示為

這樣一來，上述函數(shù)依照歐拉的見解既不是連續(xù)的，同時又是連續(xù)的。

1821年，柯西對“連續(xù)”概念重新敘述，直至1850年魏爾斯特拉斯給出“形式”的定義，才使得“連續(xù)”這一概念有了新的解釋。2.統(tǒng)一是和諧的標志

統(tǒng)一是指數(shù)學中內(nèi)容與內(nèi)容之間、內(nèi)容與形式之間、章節(jié)與章節(jié)之間客觀存在的相互聯(lián)系。

返回解析幾何中,引入極坐標之后，橢圓、雙曲線、拋物線統(tǒng)一于公式平面上的二次曲線方程

由于系數(shù)A,B,C,…,F不同，其形態(tài)萬千，但是歐拉通過坐標變換，將它們化為下面九種標準形狀:返回可描繪橢圓、拋物線和雙曲線，描繪天體運動和萬有引力場中運動物體的軌跡(雙曲線)(兩虛直線相交)(虛橢圓)(橢圓)返回(兩重合直線)(兩平行虛直線)(兩平行直線)(拋物線)(兩相交直線)返回

在積分學中，不定積分與定積分是兩個截然不同的概念，但在微積分基本公式之中得到和諧統(tǒng)一,從而極大地推動了微積分的應用與發(fā)展。

定積分、重積分、曲線積分和曲面積分，它們表述的實際意義各不相同，但卻都統(tǒng)一于黎曼積分之中。

各類積分之間都有著內(nèi)在聯(lián)系：返回二重積分三重積分Ⅰ型曲線積分Ⅰ型曲面積分Ⅱ型曲線積分Ⅱ型曲面積分定積分返回

四、奇異美

奇異指數(shù)學中的方法、結(jié)論或有關(guān)發(fā)展出乎意料，使人既驚奇又贊賞與折服。

徐利治先生說：“奇異是一種美，奇異到極度更是一種美?！狈祷匾恍缘纳A，而新的和諧統(tǒng)一性又是奇異性的進一步發(fā)展。返回在數(shù)學史上曾吸引人們廣泛關(guān)注的有“蝴蝶定理”。

1815年，數(shù)學家奧納首先解決了這個問題的證明。但由于它優(yōu)美的外形及包含的深刻內(nèi)涵，引起了人們廣泛的興趣，100多年來研究者眾多，給出了不少初等與高等的證明，其中被公認為最奇妙的證明是1973年由斯特溫等人給出的。

蝴蝶定理：若過圓O中AB弦的中點M引任意兩弦CD和EF，連結(jié)CF和ED交AB弦于P，Q，則PM=MQ。證明：由圖所示，圓內(nèi)共有四對相等的角。

設(shè)

PM=x,MQ=y,AM=MB=a,則有

化簡得

返回由相交弦定理知

故有

因x,y都大于0,上式僅在x=y,即PM=MQ時成立。

上述證明中沒有添加任何輔助線，證明過程簡明、勻稱，好優(yōu)美漂亮！

返回高等數(shù)學中這種“離經(jīng)叛道”的奇異現(xiàn)象，隨處可見。

比如，人們長期以為，周期函數(shù)一定存在最小正周期,然而狄利克雷函數(shù)是周期函數(shù)，但不存在最小正周期。

實數(shù)軸上的有理點與無理點都是處處稠密的，然而無理點卻比有理點多得多。

洛比達(L’Hospital)法則是求未定式極限的銳利武器,但它對極限返回卻無能為力。

在不定積分中，有些看上去非常簡單的函數(shù)，卻“積”不出來：

在歐拉公式

代入

,得

人們把這5個常數(shù)戲稱為數(shù)學中的“五朵金花”。返回巧妙的聯(lián)系起來了第三節(jié)

感受數(shù)學美

如何在數(shù)學教學過程中展現(xiàn)數(shù)學美，讓學生在數(shù)學學習中能夠感受和欣賞數(shù)學美，張奠宙教授認為，數(shù)學教學中的美學教育有以下4個層次：

美觀、美好、美妙、完美。

返回一、美觀---外在的美

這主要是數(shù)學對象以形式上的對稱、和諧、簡潔，給人的感官帶來美麗、漂亮的感受。

幾何學常常帶給人們直觀的美學形象

返回2000年，在東京召開的國際數(shù)學教育大會上，日本教師一堂公開課的題目:

在一塊矩形場地上筑一花壇，使其面積為場地的一半，要求設(shè)計美觀。

美國教師要求學生用二次曲線畫“米老鼠”或其它畫作，發(fā)揮學生用幾何曲線(寫出方程)進行美術(shù)創(chuàng)作的想象力。

上海進才中學教研組，他們在進行立體幾何教學時，要求學生以“柱體”、“臺體”、“錐體”、“球體”、“圓柱”、“圓錐”等3維幾何圖形，制作一座運動會的獎杯，并要求學生寫出每個部件的方程式。

返回二、美好---內(nèi)在的美

數(shù)學上的許多東西，只有認識到它的正確性，才能感覺其“美好”。

“美觀”的數(shù)學對象,也必須進到“美好”的層次。

“圓”從結(jié)構(gòu)上看是極其美觀的。從性質(zhì)上看它也十分美好。任何圓的周長與直徑之比總是一個常數(shù)π。π既非有理數(shù)又非代數(shù)數(shù)，是超越數(shù)。這種內(nèi)在的數(shù)學價值，展現(xiàn)了“圓”的魅力，引無數(shù)英雄盡折腰。從祖沖之的計算到今天用計算機算到60億位小數(shù)，對它的研究尚未完結(jié)。返回

不美觀的數(shù)學對象是很多的。一個突出的例子是一元二次方程的求根公式：

這一公式無論從哪方面看都不對稱、不和諧、不美觀。

返回三、美妙---快樂的美

教師要給學生一些創(chuàng)新、探究、以至發(fā)現(xiàn)的機會，體驗發(fā)現(xiàn)真理的快樂。

美妙的感覺需要培養(yǎng),例如，三角形的3條高、3條中線、3條內(nèi)角平分線都交于一點,這是很美麗、十分美好，同時令人驚奇的結(jié)論。發(fā)現(xiàn)它會使人覺得數(shù)學妙不可言，特別是幾何學妙極了。那么在教學時，先不告訴學生結(jié)果,讓學生自己親手作圖，讓學生自己發(fā)現(xiàn)這些一下子看不出來的“真理”。可以想見，學生自己發(fā)現(xiàn)一個數(shù)學真理該會是何等的驚喜。一旦體會到數(shù)學的“美妙”,對數(shù)學產(chǎn)生由衷的興趣，也就是順理成章的事了。返回每個喜歡數(shù)字的人，都曾感受到那樣的時刻：一條輔助線使無從著手的幾何題豁然開朗，一個技巧使百思不得其解的不等式證明得以通過，一個特定的“關(guān)系一映射一反演”方法使原不相干的問題得以解決,這時的快樂與興奮真是難以形容，也許只有用一個“妙”字加以概括。

這種美妙的意境，會使人感到天地造化數(shù)學之巧妙,數(shù)學家創(chuàng)造數(shù)字之深邃，數(shù)學學習領(lǐng)悟之歡快。達到這一步，學生才算真正感受到數(shù)學美的真諦，被數(shù)學所吸引，喜歡數(shù)學，熱愛數(shù)學。返回四、完美

-----至善至美

數(shù)學總是盡力做到至善至美、完美無缺,這也許是數(shù)學的最高“品質(zhì)”和最高的精神“境界”。

數(shù)學家通過300余年的努力來證明費馬定理，陳景潤對歌德巴赫猜想的苦苦追求,都是追求數(shù)學“完美”的典型事例。

二次曲線標準方程，既有圓錐曲線的優(yōu)美，又有數(shù)形結(jié)合的風采;既有啟迪二次型的數(shù)學底蘊，更有描摹天體運動的功能,確實是一件完美的科學杰作。

返回

數(shù)學的美學風格，和藝術(shù)風格是一脈相承的。徐利治先生早就把數(shù)學概念和詩的意境相結(jié)合,如借“孤帆遠影碧空盡”來描述極限，更是一種高品位的美學欣賞。愛舍兒的數(shù)學畫，顯示出濃厚的哲學意味，而奇異的數(shù)學分形藝術(shù)則是20世紀計算機技術(shù)的產(chǎn)物。

欣賞數(shù)學藝術(shù)，如何在課堂教學中發(fā)掘數(shù)學的藝術(shù)魅力，在我國還沒有得到應有重視，特別是當前數(shù)學教學中某種過度形式化的趨向，往往掩蓋了數(shù)學的美麗色彩，遮蔽了數(shù)學文化光芒，以至喪失了數(shù)學教學的美育功能。

把數(shù)學美的展示真正落實到課堂上，還有許多工作要做。返回第四節(jié)

數(shù)學美在中國的源頭

數(shù)學作為一門有組織的、獨立的、理性的學科來說，形成于公元前6世紀至公元前3世紀的古希臘時代。

早期的一些古代文明國家，如中國、埃及、印度和巴比倫等，數(shù)學已有了開端和萌芽,我們稱公元前6世紀以前的這個時期的數(shù)學為早期數(shù)學，而人類在早期數(shù)學中，就已經(jīng)發(fā)現(xiàn)一種朦朧而神秘的數(shù)學美了，這是為考古學家和數(shù)學史家的大量發(fā)現(xiàn)和研究成果所證明了的。

人類關(guān)于數(shù)學美的觀念，對于數(shù)學美的感受、追求、探索以及研究也早在遙遠的古代就開始了,這里介紹數(shù)學美在中國的源頭。返回一、太極八卦---中國象數(shù)學的美

中國，在古代對于數(shù)學美的感受與體驗，一直可追溯到公元前11世紀的殷末周初時期。

傳說“天神”伏羲氏所創(chuàng)造的太極八卦圖，說明我國古代先人對于圓形所呈現(xiàn)的美有著自己獨特的認識。

古希臘的畢達哥拉斯之所以認為“一切平面圖形中最美的是圓形”，其主要原因是由于圓有著無數(shù)條對稱軸，

顯示出一種絕對的對稱與和諧。

返回中國的太極圖表示出了陰與陽的運動性質(zhì),黑色的陰和白色的陽也呈現(xiàn)出一種對稱。

但這種對稱不是以平直單調(diào)的直徑作為對稱軸，而是以一條S形曲線將大圓均分成兩半。

這一奇妙的分割產(chǎn)生許多意想不到的美的效果：它使得這個陰與陽之間的對稱不是靜止的，而是若即若離、似合非合，彼此滲透、相互補充。

暗示著無休止的強有力的運動，并可通過這個具有動態(tài)美的幾何圖形對事物進行抽象，給出宇宙萬物對立統(tǒng)一運動的形象模式，告訴我們宇宙美的一種簡單美妙的組合方式，但又沒有具體指出它們的確切涵義，只道出了一個“互補性之謎”。其內(nèi)含寓意的深刻，令人贊嘆不已。

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“周易”經(jīng)史學家考證，大約出于公元前11世紀左右，這是一部具有很強的科學現(xiàn)實性和實用性的古典，是世界公認的第一部討論排列組合的著作，可以說是中國象數(shù)學的起源。

從數(shù)學角度看，八卦是世界上最早的二進制碼，“易有太極，極生兩儀，兩儀生四象，四象生八卦……”

其中“極、儀、象、卦”和十進制中的“個、十、百、千”一樣可以看作進位制的“權(quán)”。

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八卦僅用兩種基本符號：

陽爻“—”和陰爻“一一”，這與現(xiàn)代二進制數(shù)用“l(fā)”和“0’’兩個符號來記數(shù)完全一致。

“陽爻”與“陰爻”合稱“兩儀”，如果取兩個為一卦，則這兩個符號的排列組合僅有四種，稱為“四象”：太陽、少陰、少陽、太陰。

如果取三個為一卦，則這兩個符號的排列組合共有八種，稱為“八卦”：乾、坤、