第1講數(shù)學(xué)文化及核心素養(yǎng)類試題「考情研析」數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)知識相結(jié)合，有效考查考生的閱讀理解能力、抽象概括能力、轉(zhuǎn)化與化歸能力，既體現(xiàn)了對數(shù)學(xué)應(yīng)用性的考查，也體現(xiàn)了我國數(shù)學(xué)文化的源遠(yuǎn)流長．高考中多以選擇題的形式出現(xiàn)，難度中等.核心知識回顧1.以古代數(shù)學(xué)書籍《九章算術(shù)》《數(shù)書九章》等書為背景的數(shù)學(xué)文化類題目．2．與高等數(shù)學(xué)相銜接的題目，如幾類特殊的函數(shù)：取整函數(shù)、狄利克雷函數(shù)、符號函數(shù)．3．以課本閱讀和課后習(xí)題為背景的數(shù)學(xué)文化類題目：輾轉(zhuǎn)相除法、更相減損術(shù)、秦九韶算法、二進(jìn)制、割圓術(shù)、阿氏圓等．4．以中外一些經(jīng)典的數(shù)學(xué)問題為背景的題目，如：回文數(shù)、匹克定理、哥尼斯堡七橋問題、四色猜想等經(jīng)典數(shù)學(xué)小問題．熱點考向探究考向1算法中的數(shù)學(xué)文化例1(2019·哈爾濱市第三中學(xué)高三第二次模擬)我國古代名著《莊子·天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”，其意思為：一尺的木棍，每天截取一半，永遠(yuǎn)都截不完．現(xiàn)將該木棍依此規(guī)律截取，如圖所示的程序框圖的功能就是計算截取20天后所剩木棍的長度(單位：尺)，則①②③處可分別填入的是()A．i<20，S＝S－eq\f(1,i)，i＝2iB．i≤20，S＝S－eq\f(1,i)，i＝2iC．i<20，S＝eq\f(S,2)，i＝i＋1D．i≤20，S＝eq\f(S,2)，i＝i＋1答案D解析根據(jù)題意可知，第一天S＝eq\f(1,2)，所以滿足S＝eq\f(S,2)，不滿足S＝S－eq\f(1,i)，故排除A，B；由框圖可知，計算第二十天的剩余時，有S＝eq\f(S,2)，且i＝21，所以循環(huán)條件應(yīng)該是i≤20.故選D.以古代秦九韶算法，更相減損術(shù)、割圓術(shù)等為背景，將數(shù)學(xué)文化嵌入到程序框圖，既強調(diào)了算法的歷史，又展示了算法的思想，解題時要弄明白計數(shù)變量和累加變量的變化規(guī)律，理解程序框圖的算法功能．我國古代數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》中有如下問題：“今有方物一束，外周一匝有三十二枚，問積幾何？”設(shè)每層外周枚數(shù)為a，如圖是解決該問題的程序框圖，則輸出的結(jié)果為()A．121B．81C．74D．49答案B解析滿足a≤32，第一次循環(huán)：S＝1，n＝2，a＝8；滿足a≤32，第二次循環(huán)：S＝9，n＝3，a＝16；滿足a≤32，第三次循環(huán)：S＝25，n＝4，a＝24；滿足a≤32，第四次循環(huán)：S＝49，n＝5，a＝32；滿足a≤32，第五次循環(huán)：S＝81，n＝6，a＝40.不滿足a≤32，輸出S.故選B.考向2數(shù)列中的數(shù)學(xué)文化例2(2019·陜西省高三第三次教學(xué)質(zhì)量檢測)我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書里出現(xiàn)了如圖所示的表，即楊輝三角，這是數(shù)學(xué)史上的一個偉大成就，在“楊輝三角”中，第n行的所有數(shù)字之和為2n－1，若去除所有為1的項，依次構(gòu)成數(shù)列2,3,3,4,6,4,5,10,10,5，…，則此數(shù)列的前15項和為()A．110B．114C．124D．125答案B解析由題意，n次二項式系數(shù)對應(yīng)的楊輝三角形的第n＋1行，令x＝1，可得二項展開式的二項式系數(shù)的和2n，其中第1行為20，第2行為21，第3行為22，…以此類推，即每一行的數(shù)字之和構(gòu)成首項為1，公比為2的等比數(shù)列，則楊輝三角形中前n行的數(shù)字之和為Sn＝eq\f(1－2n,1－2)＝2n－1，若除去所有為1的項，則剩下的每一行的數(shù)字的個數(shù)為1,2,3,4，…，可以看成構(gòu)成一個首項為1，公差為2的等差數(shù)列，則Tn＝eq\f(nn＋1,2)，令eq\f(nn＋1,2)＝15，解得n＝5，所以前15項的和表示前7行的數(shù)列之和減去所有的1，即(27－1)－13＝114，即前15項的數(shù)字之和為114，故選B.以傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化為載體考查數(shù)列的實際應(yīng)用問題．解題的關(guān)鍵是將古代實際問題轉(zhuǎn)化為現(xiàn)代數(shù)學(xué)問題，建立等差、等比數(shù)列的模型，探索并掌握它們的一些基本數(shù)量關(guān)系，利用方程思想求解．《張丘建算經(jīng)》卷上第22題為“今有女善織，日益功疾，初日織五尺，今一月日織九匹三丈．”其意思為：現(xiàn)有一善于織布的女子，從第2天開始，每天比前一天多織相同量的布，第1天織了5尺布，現(xiàn)在一月(按30天計算)共織390尺布．記該女子一月中的第n天所織布的尺數(shù)為an，則a14＋a15＋a16＋a17的值為()A．55B．52C．39D．26答案B解析設(shè)從第2天開始，每天比前一天多織d尺布，則S30＝390，所以30×5＋eq\f(30×29,2)d＝390，解得d＝eq\f(16,29)，所以a14＋a15＋a16＋a17＝4a1＋58d＝4×5＋58×eq\f(16,29)＝52.故選B.考向3立體幾何中的數(shù)學(xué)文化例3(2019·六安市第一中學(xué)高三模擬)我國齊梁時代的數(shù)學(xué)家祖暅提出了一條原理：“冪勢既同，則積不容異”．意思是：兩個等高的幾何體若在所有等高處的水平截面的面積相等，則這兩個幾何體的體積相等．橢球體是橢圓繞其軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)體．如圖，將底面直徑都為2b，高皆為a的橢半球體和已被挖去了圓錐體的圓柱放置于同一平面β上，用平行于平面β且與平面β任意距離d處的平面截這兩個幾何體，可橫截得到S圓及S環(huán)兩截面．可以證明S圓＝S環(huán)總成立．據(jù)此，半短軸長為1，半長軸長為3的橢球體的體積是________．答案4π解析因為S圓＝S環(huán)總成立，則半橢球體的體積為πb2a－eq\f(1,3)πb2a＝eq\f(2,3)πb2a，所以橢球體的體積為V＝eq\f(4,3)πb2a，因為橢球體的半短軸長為1，半長軸長為3，所以橢球體的體積為V＝eq\f(4,3)πb2a＝eq\f(4,3)π×12×3＝4π，故答案是4π.依托立體幾何，傳播數(shù)學(xué)文化．立體幾何是中國古代數(shù)學(xué)的一個重要研究內(nèi)容，從中國古代數(shù)學(xué)中挖掘素材，考查立體幾何的三視圖、線面的位置關(guān)系、幾何體的體積等知識，既符合考生的認(rèn)知水平，又可以引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化．《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)名著，它在幾何學(xué)中的研究比西方早一千多年．例如塹堵指底面為直角三角形，且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱；陽馬指底面為矩形，一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐．如圖，在塹堵ABC－A1B1C1中，AC⊥BC，若A1A＝AB＝2，當(dāng)陽馬B－A1ACC1體積最大時，則塹堵ABC－A1B1C1的體積為()A.eq\f(8,3)B.eq\r(2)C．2D．2eq\r(2)答案C解析由陽馬的定義，知VB－A1ACC1＝eq\f(1,3)A1A·AC·BC＝eq\f(2,3)AC·BC≤eq\f(1,3)(AC2＋BC2)＝eq\f(1,3)AB2＝eq\f(4,3)，當(dāng)且僅當(dāng)AC＝BC＝eq\r(2)時等號成立，所以當(dāng)陽馬B－A1ACC1體積最大時，則塹堵ABC－A1B1C1的體積為eq\f(1,2)×eq\r(2)×eq\r(2)×2＝2，故選C.考向4概率中的數(shù)學(xué)文化例4(2019·皖南八校高三第三次聯(lián)考)七巧板是古代中國勞動人民發(fā)明的一種中國傳統(tǒng)智力玩具，它由五塊等腰直角三角形，一塊正方形和一塊平行四邊形共七塊板組成．清陸以湉《冷廬雜識》卷一中寫道：近又有七巧圖，其式五，其數(shù)七，其變化之式多至千余．體物肖形，隨手變幻，蓋游戲之具，足以排悶破寂，故世俗皆喜為之．如圖是一個用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一點，則此點取自陰影部分的概率為()A.eq\f(5,16)B.eq\f(11,32)C.eq\f(3,8)D.eq\f(13,32)答案A解析設(shè)正方形的邊長為4，則正方形的面積為S＝4×4＝16，此時陰影部分所對應(yīng)的直角梯形的上底邊長為2eq\r(2)，下底邊長為3eq\r(2)，高為eq\r(2)，所以陰影部分的面積為S1＝eq\f(1,2)×(2eq\r(2)＋3eq\r(2))×eq\r(2)＝5，根據(jù)幾何概型，可得概率為P＝eq\f(S1,S)＝eq\f(5,16)，故選A.數(shù)學(xué)文化滲透到概率數(shù)學(xué)中去，不但豐富了數(shù)學(xué)的概率知識，還提高了學(xué)生的文化素養(yǎng)．解決此類問題的關(guān)鍵是構(gòu)建合理的概率模型，利用相應(yīng)的概率計算公式求解．《算法統(tǒng)宗》是我國古代的數(shù)學(xué)名著，書中把三角形中的田稱為“圭田”，把直角梯形的田稱為“邪田”，稱底是“廣”，稱高是“正從”，“步”是丈量土地的單位．現(xiàn)有一邪田，廣分別為十步和二十步，正從為十步，其內(nèi)有一塊廣為八步，正從為五步的圭田．若在邪田內(nèi)隨機(jī)種植一株茶樹，則該茶樹恰好被種在圭田內(nèi)的概率為()A.eq\f(2,15)B.eq\f(2,5)C.eq\f(4,15)D.eq\f(1,5)答案A解析根據(jù)題意，得出其示意圖如圖所示，題意為：在直角梯形ABCD內(nèi)隨機(jī)種一株茶樹，求該茶樹恰好被種在三角形AEF內(nèi)的概率．且已知AB＝20，DC＝10，AD＝10，AE＝8，三角形AEF的高h(yuǎn)＝5，所以該茶樹被種在三角形AEF內(nèi)的概率P＝eq\f(8×5×\f(1,2),20＋10×10×\f(1,2))＝eq\f(2,15)，故選A.考向5推理與證明中的數(shù)學(xué)文化例5(2019·南充市第三次診斷)《九章算術(shù)》是我國古代的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問題：“今有五人分五錢，令上二人所得與下三人等，問各得幾何．”其意思為“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分五錢，甲、乙兩人所得與丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差數(shù)列，問五人各得多少錢？”(“錢”是古代的一種重量單位)．這個問題中，甲所得為()A.eq\f(5,4)錢B.eq\f(4,3)錢C.eq\f(3,2)錢D.eq\f(5,3)錢答案B解析設(shè)甲、乙、丙、丁、戊所得錢分別為a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，則a－2d＋a－d＝a＋a＋d＋a＋2d，解得a＝－6d，又a－2d＋a－d＋a＋a＋d＋a＋2d＝5，∴a＝1，則a－2d＝a－2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,6)))＝eq\f(4,3)a＝eq\f(4,3)，故選B.以古代有代表意義的猜想推理為背景，考查數(shù)學(xué)文化相關(guān)知識，讓學(xué)生通過邏輯推理得到結(jié)論．解題時要聯(lián)系具體實例，體會和領(lǐng)悟歸納推理、類比推理、演繹推理的原理、內(nèi)涵及特點，并會用這些方法分析、解決具體問題．(2019·上海市奉賢區(qū)高三一模)天干地支紀(jì)年法源于中國，中國自古便有十天干與十二地支．十天干：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸．十二地支：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．天干地支紀(jì)年法是按順序以一個天干和一個地支相配，排列起來，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年為“甲子”，第二年為“乙丑”，第三年為“丙寅”，…，以此類推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新開始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新開始，即“丙子”，…，以此類推，已知2016年為丙申年，那么到改革開放100年時，即2078年為________年．答案戊戌解析從2017年到2078年經(jīng)過了61年，且2017年為丁酉年，61÷10＝6余1，則2078年的天干為戊，61÷12＝5余1，則2078年的地支為戌，所以2078年為戊戌年．考向6數(shù)學(xué)文化與現(xiàn)代科學(xué)例62016年1月14日，國防科工局宣布，嫦娥四號任務(wù)已經(jīng)通過了探月工程重大專項領(lǐng)導(dǎo)小組審議，正式開始實施．如圖所示，假設(shè)“嫦娥四號”衛(wèi)星將沿地月轉(zhuǎn)移軌道飛向月球后，在月球附近一點P變軌進(jìn)入以月球球心F為一個焦點的橢圓軌道Ⅰ繞月飛行，之后衛(wèi)星在P點第二次變軌進(jìn)入仍以F為一個焦點的橢圓軌道Ⅱ繞月飛行．若用2c1和2c2分別表示橢圓軌道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分別表示橢圓軌道Ⅰ和Ⅱ的長軸長，給出下列式子：①a1＋c1＝a2＋c2；②a1－c1＝a2－c2；③eq\f(c1,a1)<eq\f(c2,a2)；④c1a2>a1c2.其中正確式子的序號是()A．①③B．①④C．②③D．②④答案D解析觀察題圖可知a1>a2，c1>c2，∴a1＋c1>a2＋c2，即①式不正確；a1－c1＝a2－c2＝|PF|，即②式正確；由a1－c1＝a2－c2>0，c1>c2>0，知eq\f(a1－c1,c1)<eq\f(a2－c2,c2)，即eq\f(a1,c1)<eq\f(a2,c2)，從而c1a2>a1c2，eq\f(c1,a1)>eq\f(c2,a2).即④式正確，③式不正確．(1)命題者抓住“嫦娥奔月”這個古老而又現(xiàn)代的浪漫話題，以探測衛(wèi)星軌道為背景，抽象出共一條對稱軸、一個焦點和一個頂點的兩個橢圓的幾何性質(zhì)，并以加減乘除的方式構(gòu)造兩個等式和兩個不等式，考查橢圓的幾何性質(zhì)，可謂匠心獨運．(2)注意到橢圓軌道Ⅰ和Ⅱ共一個頂點P和一個焦點F，題目所給四個式子涉及長半軸長和半焦距，從焦距入手，這是求解的關(guān)鍵，本題對考生的數(shù)學(xué)能力進(jìn)行了比較全面的考查，是一道名副其實的小中見大、常中見新、蘊文化于現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)應(yīng)用之中的好題．第24屆國際數(shù)學(xué)家大會會標(biāo)是以我國古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖為基礎(chǔ)進(jìn)行設(shè)計的．如圖所示，會標(biāo)是由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形．如果小正方形的面積為1，大正方形的面積為25，直角三角形中較大的銳角為θ，那么taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))＝________.答案－7解析依題意，得大、小正方形的邊長分別是5,1，于是有5sinθ－5cosθ＝1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0<θ<\f(π,2)))，則sinθ－cosθ＝eq\f(1,5).從而(sinθ＋cosθ)2＝2－(sinθ－cosθ)2＝eq\f(49,25)，則sinθ＋cosθ＝eq\f(7,5)，因此sinθ＝eq\f(4,5)，cosθ＝eq\f(3,5)，tanθ＝eq\f(4,3).故taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))＝eq\f(tanθ＋1,1－tanθ)＝－7.真題押題『真題模擬』1．(2019·浙江高考)祖暅?zhǔn)俏覈媳背瘯r代的偉大科學(xué)家，他提出的“冪勢既同，則積不容異”稱為祖暅原理，利用該原理可以得到柱體的體積公式V柱體＝Sh，其中S是柱體的底面積，h是柱體的高．若某柱體的三視圖如圖所示(單位：cm)，則該柱體的體積(單位：cm3)是()A．158B．162C．182D．324答案B解析如圖，該柱體是一個五棱柱，棱柱的高為6，底面可以看作由兩個直角梯形組合而成，其中一個上底為4，下底為6，高為3，另一個的上底為2，下底為6，高為3.則底面面積S＝eq\f(2＋6,2)×3＋eq\f(4＋6,2)×3＝27，因此，該柱體的體積V＝27×6＝162.故選B.2．(2019·北京高考)在天文學(xué)中，天體的明暗程度可以用星等或亮度來描述．兩顆星的星等與亮度滿足m2－m1＝eq\f(5,2)lgeq\f(E1,E2)，其中星等為mk的星的亮度為Ek(k＝1,2)．已知太陽的星等是－26.7，天狼星的星等是－1.45，則太陽與天狼星的亮度的比值為()A．1010.1B．10.1C．lg10.1D．10－10.1答案A解析由題意知，m1＝－26.7，m2＝－1.45，代入所給公式得－1.45－(－26.7)＝eq\f(5,2)lgeq\f(E1,E2)，所以lgeq\f(E1,E2)＝10.1，所以eq\f(E1,E2)＝1010.1.故選A.3．(2019·湖南省高三六校聯(lián)考)秦九韶是我國南宋時期的數(shù)學(xué)家，他在所著《數(shù)書九章》中提出的求多項式值的秦九韶算法，至今仍是比較先進(jìn)的算法．如圖所示的程序框圖，是利用秦九韶算法求一個多項式的值，若輸入n，x的值分別為3，eq\f(3,2)，則輸出v的值為()A．17B．11.5C．10D．7答案B解析初始值n＝3，x＝eq\f(3,2)，程序運行過程如下：v＝2，v＝2×eq\f(3,2)＋1＝4，n＝2，不滿足n≤0；v＝4×eq\f(3,2)＋1＝7，n＝1，不滿足n≤0；v＝7×eq\f(3,2)＋1＝eq\f(23,2)，n＝0，滿足n≤0，退出循環(huán)，輸出v的值為eq\f(23,2)＝11.5.故選B.4．(2019·全國卷Ⅱ)中國有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形狀多為長方體、正方體或圓柱體，但南北朝時期的官員獨孤信的印信形狀是“半正多面體”(圖1)．半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體．半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美．圖2是一個棱數(shù)為48的半正多面體，它的所有頂點都在同一個正方體的表面上，且此正方體的棱長為1.則該半正多面體共有________個面，其棱長為________．答案26eq\r(2)－1解析先求面數(shù)，有如下兩種方法．解法一：由“半正多面體”的結(jié)構(gòu)特征及棱數(shù)為48可知，其上部分有9個面，中間部分有8個面，下部分有9個面，共有2×9＋8＝26(個)面．解法二：一般地，對于凸多面體，頂點數(shù)(V)＋面數(shù)(F)－棱數(shù)(E)＝2(歐拉公式)．由圖形知，棱數(shù)為48的半正多面體的頂點數(shù)為24，故由V＋F－E＝2，得面數(shù)F＝2＋E－V＝2＋48－24＝26.再求棱長.作中間部分的橫截面，由題意知該截面為各頂點都在邊長為1的正方形上的正八邊形ABCDEFGH，如圖，設(shè)其邊長為x，則正八邊形的邊長即為半正多面體的棱長．連接AF，過H，G分別作HM⊥AF，GN⊥AF，垂足分別為M，N，則AM＝MH＝NG＝NF＝eq\f(\r(2),2)x.又AM＋MN＋NF＝1，即eq\f(\r(2),2)x＋x＋eq\f(\r(2),2)x＝1.解得x＝eq\r(2)－1，即半正多面體的棱長為eq\r(2)－1.『金版押題』5．《九章算術(shù)》中有一題：今有牛、馬、羊食人苗．苗主責(zé)之粟五斗．羊主曰：“我羊食半馬．”馬主曰：“我馬食半牛．”今欲衰償之，問各出幾何．其意思是：今有牛、馬、羊吃了別人的禾苗，禾苗主人要求賠償五斗粟．羊主人說：“我羊所吃的禾苗只有馬的一半．”馬主人說：“我馬所吃的禾苗只有牛的一半．”若按此比例償還，牛、馬、羊的主人各應(yīng)賠償多少粟？在這個問題中，牛主人比羊主人多賠償()A.eq\f(50,7)斗粟B.eq\f(10,7)斗粟C.eq\f(15,7)斗粟D.eq\f(20,7)斗粟答案C解析解法一：設(shè)羊、馬、牛主人賠償?shù)乃诘亩窋?shù)分別為a1，a2，a3，則這3個數(shù)依次成等比數(shù)列，公比q＝2，所以a1＋2a1＋4a1＝5，解得a1＝eq\f(5,7)，故a3＝eq\f(20,7)，a3－a1＝eq\f(20,7)－eq\f(5,7)＝eq\f(15,7)，故選C.解法二：羊、馬、牛主人賠償?shù)谋壤?∶2∶4，故牛主人應(yīng)賠償5×eq\f(4,7)＝eq\f(20,7)斗，羊主人應(yīng)賠償5×eq\f(1,7)＝eq\f(5,7)斗，故牛主人比羊主人多賠償了eq\f(20,7)－eq\f(5,7)＝eq\f(15,7)斗，故選C.6．《九章算術(shù)》中，將底面是直角三角形的直三棱柱稱之為“塹堵”．已知某“塹堵”的三視圖如圖所示，俯視圖中虛線平分矩形的面積，則該“塹堵”的側(cè)面積為()A．2 B．4＋2eq\r(2)C．4＋4eq\r(2) D．4＋6eq\r(2)答案C解析由三視圖知幾何體為一個三棱柱，底面為等腰直角三角形，高為1，則底面三角形腰長為eq\r(2)，底邊長為2，三棱柱高為2，所以側(cè)面積為2×2＋2×eq\r(2)×2＝4＋4eq\r(2).故選C.

配套作業(yè)一、選擇題1．(2019·赤峰市高三模擬)《史記》卷六十五《孫子吳起列傳第五》中有這樣一道題：齊王與田忌賽馬，田忌的上等馬優(yōu)于齊王的中等馬，劣于齊王的上等馬，田忌的中等馬優(yōu)于齊王的下等馬，劣于齊王的中等馬，田忌的下等馬劣于齊王的下等馬，現(xiàn)從雙方的馬匹中隨機(jī)選一匹馬進(jìn)行一場比賽，齊王獲勝的概率是()A.eq\f(2,3)B.eq\f(3,5)C.eq\f(5,9)D.eq\f(3,4)答案A解析因為雙方各有3匹馬，所以“從雙方的馬匹中隨機(jī)選一匹馬進(jìn)行一場比賽”的事件數(shù)為9種，滿足“齊王獲勝”這一條件的情況為：齊王派出上等馬，則獲勝的事件數(shù)為3；齊王派出中等馬，則獲勝的事件數(shù)為2；齊王派出下等馬，則獲勝的事件數(shù)為1；故滿足“齊王獲勝”這一條件的事件數(shù)為6種，根據(jù)古典概型公式可得，齊王獲勝的概率P＝eq\f(6,9)＝eq\f(2,3)，故選A.2．(2019·南昌外國語學(xué)校高三高考適應(yīng)性測試)下邊程序框圖的算法思路源于我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中的“更相減損術(shù)”．執(zhí)行該程序框圖，若輸入的a，b分別為16,20，則輸出的a的值為()A．0B．2C．4D．1答案C解析輸入a，b的值，分別為16,20，第一次循環(huán)：第一層判斷：滿足a≠b，進(jìn)入第二層選擇結(jié)構(gòu)，第二層判斷：不滿足a>b，滿足a≤b，故b＝20－16＝4；第二次循環(huán)：第一層判斷：滿足a≠b，進(jìn)入第二層選擇結(jié)構(gòu)，第二層判斷：滿足a>b，故a＝16－4＝12；第三次循環(huán)：第一層判斷：滿足a≠b，進(jìn)入第二層選擇結(jié)構(gòu)，第二層判斷：滿足a>b，故a＝12－4＝8；第四次循環(huán)：第一層判斷：滿足a≠b，進(jìn)入第二層選擇結(jié)構(gòu)，第二層判斷：滿足a>b，故a＝8－4＝4；第五次循環(huán)：第一層判斷：滿足a＝b＝4，故輸出4，選C.3．中國古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個問題：“三百七十八里關(guān)，初步健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見次日行里數(shù)，請公仔細(xì)算相還”．其大意為：“有一個人走378里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達(dá)目的地”．則該人第五天走的路程為()A．48里B．24里C．12里D．6里答案C解析設(shè)第一天的路程為a1里，則eq\f(a1\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))6)),1－\f(1,2))＝378，a1＝192，所以a5＝192×eq\f(1,24)＝12.4．(2019·河南洛陽高三階段性考試)《九章算術(shù)》中有如下問題：“今有牛、羊、馬食人苗，苗主責(zé)之粟五斗，羊主曰：‘我羊食半馬．’馬主曰：‘我馬食半牛．’今欲衰償之，問各出幾何？”翻譯為：今有牛、馬、羊吃了別人的禾苗，禾苗主人要求賠償5斗粟．羊主人說：“我羊所吃的禾苗只有馬的一半．”馬主人說“我馬吃的禾苗只有牛的一半．”打算按此比率償還，問：牛、馬、羊的主人各應(yīng)賠償多少粟？已知1斗＝10升，針對這一問題，設(shè)計程序框圖如圖所示，若輸出k的值為2，則m＝()A.eq\f(50,3)B.eq\f(50,7)C.eq\f(10,3)D.eq\f(100,7)答案B解析運行該程序，第一次循環(huán)，S＝50－m，k＝1；第二循環(huán)，S＝50－3m，k＝2；第三次循環(huán)，S＝50－7m，此時要輸出k的值，則50－7m＝0，解得m＝eq\f(50,7)，故選B.5．我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》的論割圓術(shù)中有：“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”．它體現(xiàn)了一種無限與有限的轉(zhuǎn)化過程．比如在表達(dá)式1＋eq\f(1,1＋\f(1,1＋…))中“…”即代表無限次重復(fù)，但原式卻是個定值，它可以通過方程1＋eq\f(1,x)＝x求得x＝eq\f(\r(5)＋1,2).類比上述過程，則eq\r(3＋2\r(3＋2\r(…)))＝()A．3 B.eq\f(\r(13)＋1,2)C．6 D．2eq\r(2)答案A解析令eq\r(3＋2\r(3＋2\r(…)))＝x(x>0)，兩邊平方，得3＋2eq\r(3＋2\r(…))＝x2，即3＋2x＝x2，解得x＝3，x＝－1(舍去)，故eq\r(3＋2\r(3＋2\r(…)))＝3，選A.6．(2019·江西省名校高三5月聯(lián)考)我國古代《九章算術(shù)》將上、下兩個平行平面為矩形的六面體稱為芻童．如圖是一個芻童的三視圖，其中正視圖及側(cè)視圖均為等腰梯形，兩底的長分別為2和6，高為2，則該芻童的體積為()A.eq\f(100,3)B.eq\f(104,3)C．27D．18答案B解析由題意，幾何體原圖為正四棱臺，底面的邊長分別為2和6，高為2，所以幾何體的體積V＝eq\f(1,3)×(4＋36＋eq\r(4×36))×2＝eq\f(104,3).故選B.7．(2019·河北聯(lián)考)《九章算術(shù)》是我國古代第一部數(shù)學(xué)專著，它有如下問題：“今有圓堡瑽(cōng)，周四丈八尺，高一丈一尺．問積幾何？”意思是“今有圓柱體形的土筑小城堡，底面周長為4丈8尺，高1丈1尺．則它的體積是(注：1丈＝10尺，取π＝3)()A．704立方尺 B．2112立方尺C．2115立方尺 D．2118立方尺答案B解析設(shè)圓柱體底面圓半徑為r，高為h，周長為C.因為C＝2πr，所以r＝eq\f(C,2π)，所以V＝πr2h＝π×eq\f(C2,4π2)×h＝eq\f(C2h,4π)＝eq\f(482×11,12)＝2112(立方尺)．故選B.8.(2019·南寧市高三第一次適應(yīng)性測試)元朝著名數(shù)學(xué)家朱世杰在《四元玉鑒》中有一首詩：“我有一壺酒，攜著游春走，遇店添一倍，逢友飲一斗，店友經(jīng)三處，沒了壺中酒，借問此壺中，當(dāng)原多少酒？”用程序框圖表達(dá)如圖所示．若將“沒了壺中酒”改為“剩余原壺中eq\f(1,3)的酒量”，即輸出值是輸入值的eq\f(1,3)，則輸入的x＝()A.eq\f(3,5)B.eq\f(9,11)C.eq\f(21,23)D.eq\f(45,47)答案C解析i＝1時，x＝2x－1；i＝2時，x＝2(2x－1)－1＝4x－3；i＝3時，x＝2(4x－3)－1＝8x－7；i＝4時，退出循環(huán)．此時，8x－7＝eq\f(1,3)x，解得x＝eq\f(21,23).故選C.9．我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中有如下問題：“今有人持金出五關(guān)，前關(guān)二而稅一，次關(guān)三而稅一，次關(guān)四而稅一，次關(guān)五而稅一，次關(guān)六而稅一，并五關(guān)所稅，適重一斤．問本持金幾何．”其意思為：今有人持金出五關(guān)，第1關(guān)收稅金為持金的eq\f(1,2)，第2關(guān)收稅金為剩余金的eq\f(1,3)，第3關(guān)收稅金為剩余金的eq\f(1,4)，第4關(guān)收稅金為剩余金的eq\f(1,5)，第5關(guān)收稅金為剩余金的eq\f(1,6)，5關(guān)所收稅金之和，恰好重1斤．問此人總共持金多少．則在此問題中，第5關(guān)收稅金()A.eq\f(1,20)斤B.eq\f(1,25)斤C.eq\f(1,30)斤D.eq\f(1,36)斤答案B解析假設(shè)原來持金為x，則第1關(guān)收稅金eq\f(1,2)x；第2關(guān)收稅金eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))x＝eq\f(1,2×3)x；第3關(guān)收稅金eq\f(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)－\f(1,6)))x＝eq\f(1,3×4)x；第4關(guān)收稅金eq\f(1,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)－\f(1,6)－\f(1,12)))x＝eq\f(1,4×5)x；第5關(guān)收稅金eq\f(1,6)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)－\f(1,6)－\f(1,12)－\f(1,20)))x＝eq\f(1,5×6)x.依題意，得eq\f(1,2)x＋eq\f(1,2×3)x＋eq\f(1,3×4)x＋eq\f(1,4×5)x＋eq\f(1,5×6)x＝1，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,6)))x＝1，eq\f(5,6)x＝1，解得x＝eq\f(6,5)，所以eq\f(1,5×6)x＝eq\f(1,5×6)×eq\f(6,5)＝eq\f(1,25).故選B.10．(2019·陜西省高三第一次模擬)公元263年左右，我國數(shù)學(xué)家劉徽發(fā)現(xiàn)當(dāng)圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)無限增加時，多邊形面積可無限逼近圓的面積，并創(chuàng)立了“割圓術(shù)”，利用“割圓術(shù)”劉徽得到了圓周率精確到小數(shù)點后兩位的近似值3.14，這就是著名的“徽率”．如圖是利用劉徽的“割圓術(shù)”思想設(shè)計的一個程序框圖，則輸出的n的值為()(參考數(shù)據(jù)：sin15°≈0.2588，sin7.5°≈0.1305)A．12B．24C．48D．96答案B解析模擬執(zhí)行程序，可得n＝6，S＝3sin60°＝eq\f(3\r(3),2)，不滿足條件S≥3.10，n＝12，S＝6×sin30°＝3，不滿足條件S≥3.10，n＝24，S＝12×sin15°≈12×0.2588＝3.1056，滿足條件S≥3.10，退出循環(huán)，輸出n的值為24.故選B.11．