6.1抽樣方法及特征數(shù)（精講）（基礎(chǔ)版）思維導(dǎo)圖思維導(dǎo)圖考點(diǎn)呈現(xiàn)考點(diǎn)呈現(xiàn)例題剖析例題剖析考點(diǎn)一抽樣方法【例1-1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）某工廠利用隨機(jī)數(shù)表對(duì)生產(chǎn)的700個(gè)零件進(jìn)行抽樣測(cè)試，先將700個(gè)零件進(jìn)行編號(hào)001、002、…、699、700.從中抽取70個(gè)樣本，下圖提供隨機(jī)數(shù)表的第4行到第6行，若從表中第5行第6列開始向右讀取數(shù)據(jù)，則得到的第5個(gè)樣本編號(hào)是（

）3321183429

7864560732

5242064438

1223435677

35789056428442125331

3457860736

2530073285

2345788907

23689608043256780843

6789535577

3489948375

2253557832

4577892345A．607 B．328 C．253 D．007【答案】B【解析】從表中第5行第6列開始向右讀取數(shù)據(jù)，得到的數(shù)據(jù)中有兩個(gè)超出范圍，一個(gè)重復(fù)，抽取的5個(gè)樣本編號(hào)分別是：253，313，457，007，328，所以得到的第5個(gè)樣本編號(hào)是328.選：B【例1-2】（2021·陜西高三）某鄉(xiāng)政府對(duì)甲、乙、丙三個(gè)村的扶貧對(duì)象進(jìn)行抽樣調(diào)查，其中甲村30人，乙村25人，丙村40人，用分層抽樣的方法抽取19人，則從甲、丙兩村共抽取的人數(shù)為（）A．8 B．11 C．13 D．14【答案】D【解析】設(shè)甲、丙兩村抽取的人數(shù)分別為、.依題意得，解得，，所以.故選：D.【一隅三反】1．（2022·山東青島·二模）某校高二年級(jí)共有學(xué)生1000人，其中男生480人，按性別進(jìn)行分層，用分層隨機(jī)抽樣的方法從高二全體學(xué)生中抽出一個(gè)容量為100的樣本，若樣本按比例分配，則女生應(yīng)抽取的人數(shù)為___________.【答案】52【解析】由分層抽樣的性質(zhì)得：女生應(yīng)該抽取：．故答案為：52．2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）某學(xué)校志愿者協(xié)會(huì)有高一年級(jí)120人，高二年級(jí)100人，高三年級(jí)20人，現(xiàn)用分層抽樣的方法從中抽取一個(gè)容量為的樣本，若從高二年級(jí)100人中抽取的人數(shù)為10，則___________；【答案】24【解析】由題意，，可得.故答案為：243．（2022·陜西·交大附中模擬預(yù)測(cè)（文））要考查某公司生產(chǎn)的500克袋裝牛奶的質(zhì)量是否達(dá)標(biāo)，現(xiàn)從500袋牛奶中抽取50袋進(jìn)行檢驗(yàn)，將它們編號(hào)為000，001，002，…499，利用隨機(jī)數(shù)表抽取樣本，從第8行第5列的數(shù)開始，按3位數(shù)依次向右讀取，到行末后接著從下一行第一個(gè)數(shù)繼續(xù)．則所抽取樣本中第三袋牛奶的編號(hào)是_________．（下面摘取了某隨機(jī)數(shù)表的第7行至第9行）84421

75331

57245

50688

77047

44767

2176335025

83921

20676

63016

47859

16955

5671998105

07185

12867

35807

44395

23879

33211【答案】169【解析】從第8行第5列的數(shù)開始向右讀，第一個(gè)數(shù)為583，不符合條件，第二個(gè)數(shù)為921，不符合條件，第三個(gè)數(shù)為206，符合條件，以下依次為：766，301，647，859，169，555，其中766，647，859，不符合條件，故第三個(gè)數(shù)為169．考點(diǎn)二特征數(shù)【例2-1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）某學(xué)校舉行詩歌朗誦比賽，10位評(píng)委對(duì)甲、乙兩位同學(xué)的表現(xiàn)打分，滿分為10分，將兩位同學(xué)的得分制成如下莖葉圖，其中莖葉圖莖部分是得分的個(gè)位數(shù)，葉部分是得分的小數(shù)，則下列說法錯(cuò)誤的是（

）A．甲同學(xué)的平均分大于乙同學(xué)的平均分B．甲、乙兩位同學(xué)得分的極差分別為2.4和1C．甲、乙兩位同學(xué)得分的中位數(shù)相同D．甲同學(xué)得分的方差更小【答案】D【解析】對(duì)于甲，對(duì)于乙，故正確.甲的極差，乙的極差故正確.甲得分的中位數(shù)，乙得分的中位數(shù)，故正確.對(duì)于甲，對(duì)于乙，故錯(cuò)誤.故選.【例2-2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）某校1000名學(xué)生參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，隨機(jī)抽取了20名學(xué)生的考試成績(jī)（單位：分），成績(jī)的頻率分布直方圖如圖所示，則下列說法正確的是（

）A．頻率分布直方圖中a的值為0.012B．估計(jì)這20名學(xué)生數(shù)學(xué)考試成績(jī)的第60百分位數(shù)為80C．估計(jì)這20名學(xué)生數(shù)學(xué)考試成績(jī)的眾數(shù)為80D．估計(jì)總體中成績(jī)落在內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為110【答案】B【解析】由可得，故A錯(cuò)誤前三個(gè)矩形的面積和為，所以這20名學(xué)生數(shù)學(xué)考試成績(jī)的第60百分位數(shù)為80，故B正確這20名學(xué)生數(shù)學(xué)考試成績(jī)的眾數(shù)為，故C錯(cuò)誤這20名學(xué)生數(shù)學(xué)考試成績(jī)落在內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為，則總體中成績(jī)落在內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為，故D錯(cuò)誤故選：B【例2-3】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)據(jù)，，…，的平均值為，方差為，若數(shù)據(jù)，，…，的平均值為，方差為，則（

）.A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)?，，…，的平均值為，方差為，由?shù)據(jù)，，…，的平均值為，方差為，所以，解得，．故選：A．【一隅三反】1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖是2021年青年歌手大獎(jiǎng)賽中，七位評(píng)委為甲?乙兩名選手打出的分?jǐn)?shù)的莖葉圖（其中均為數(shù)字中的一個(gè)），在去掉一個(gè)最高分和一個(gè)是低分后，則下列說法錯(cuò)誤的是（

）A．甲選手得分的平均數(shù)一定大于乙選手得分的平均數(shù)B．甲選手得分的中位數(shù)一定大于乙選手得分的中位數(shù)C．甲選手得分的眾數(shù)與的值無關(guān)D．甲選手得分的方差與的值無關(guān)【答案】C【解析】由題意，甲選手得分的平均數(shù)，乙選手得分的平均數(shù)，故選項(xiàng)A正確；無論為何值，甲選手得分的中位數(shù)一定是85，乙選手得分的中位數(shù)是84，故選項(xiàng)B正確；當(dāng)時(shí)，甲選手得分的眾數(shù)為81，85，當(dāng)時(shí)，甲選手得分的眾數(shù)為85，故選項(xiàng)C不正確；因?yàn)槭亲罡叻?，被去掉，故甲選手得分的方差與的值無關(guān)，故選項(xiàng)D正確；故選：C.2．（2022·天津?yàn)I海新·模擬預(yù)測(cè)）某品牌家電公司從其全部200名銷售員工中隨機(jī)抽出50名調(diào)查銷售情況，銷售額都在區(qū)間5，25（單位：百萬元）內(nèi)，將其分成5組：5，9，[9，13，13，17，17，21，21，25，并整理得到如下的頻率分布直方圖，下列說法正確的是（

）A．頻率分布直方圖中a的值為0.06B．估計(jì)全部銷售員工銷售額的中位數(shù)為15C．估計(jì)全部銷售員工中銷售額在區(qū)間[9，13內(nèi)有64人D．估計(jì)全部銷售員工銷售額的第75百分位數(shù)為17【答案】C【解析】由頻率分布直方圖可得，解得，故A錯(cuò)誤；估計(jì)其全部銷售員工中銷售額在區(qū)間內(nèi)的人數(shù)為：（人），故C正確；設(shè)中位數(shù)為，則，解得，故B錯(cuò)誤；因?yàn)?，故為第百分位?shù)，故D錯(cuò)誤；故選：C3．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）（多選）某城市地鐵交通建設(shè)項(xiàng)目已經(jīng)基本完成，為了解市民對(duì)該項(xiàng)目的滿意度，分別從不同地鐵站點(diǎn)隨機(jī)抽取1000名市民對(duì)該項(xiàng)目進(jìn)行評(píng)分，統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)評(píng)分均在內(nèi)，把評(píng)分分成，，，，，六組，并繪制成頻率分布直方圖（如圖所示）.則下列判斷正確的是（

）A．圖中a的值為0.025 B．該次滿意度評(píng)分的平均分為85C．該次滿意度評(píng)分的眾數(shù)為85 D．大約有34%的市民滿意度評(píng)分在內(nèi)【答案】ACD【解析】由頻率分布直方圖知，由得，故A正確；因?yàn)?，所以滿意度的平均分為80.7，故B錯(cuò)誤；由頻率分布圖可知眾數(shù)估計(jì)為85，故C正確；，由樣本估計(jì)總體可以認(rèn)為約有34%的市民評(píng)分在內(nèi)，故D正確.故答案為：ACD.4．（2023·河北·高三階段練習(xí)）（多選）有6個(gè)相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6，現(xiàn)從中有放回的取出5個(gè)球并記錄取球結(jié)果，則下列統(tǒng)計(jì)結(jié)果中可能取出6號(hào)球的是（

）A．平均數(shù)為3，中位數(shù)為2 B．中位數(shù)為3，眾數(shù)為2C．平均數(shù)為2，方差為2.4 D．中位數(shù)為3，極差為2【答案】AB【解析】對(duì)于A：若取出的5個(gè)球?yàn)?、1、2、5、6時(shí)，滿足平均數(shù)為3，中位數(shù)為2，可以出現(xiàn)6號(hào)球，故A正確；對(duì)于B：若取出的5個(gè)球?yàn)?、2、3、4、6時(shí)，滿足中位數(shù)為3，眾數(shù)為2，可以出現(xiàn)6號(hào)球，故B正確；對(duì)于C：若平均數(shù)為2，方差為2.4，則方差，所以不能出現(xiàn)6號(hào)球，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：若中位數(shù)為3，極差為2，則取出的最大號(hào)為5，不能出現(xiàn)6號(hào)球，故D錯(cuò)誤；故選：AB.5．（2022·四川成都·高三期末（理））若數(shù)據(jù)9，m，6，n，5的平均數(shù)為7，方差為2，則數(shù)據(jù)11，9，，17，的平均數(shù)和方差分別為（

）A．13，4 B．14，4 C．13，8 D．14，8【答案】C【解析】數(shù)據(jù)9，m，6，n，5的平均數(shù)為，方差為，化簡(jiǎn)得，解得或，或，則數(shù)據(jù)11，9，，17，為或，兩組數(shù)據(jù)有相同的平均數(shù)和方差，平均數(shù)為，方差為，故選：C考點(diǎn)三抽樣方法與特征數(shù)綜合【例3】（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）某區(qū)政府組織了以“不忘初心，牢記使命”為主題的教育活動(dòng)，為統(tǒng)計(jì)全區(qū)黨員干部一周參與主題教育活動(dòng)的時(shí)間，從全區(qū)的黨員干部中隨機(jī)抽取n名，獲得了他們一周參與主題教育活動(dòng)時(shí)間（單位：h）的頻率分布直方圖如圖所示，已知參與主題教育活動(dòng)時(shí)間在內(nèi)的人數(shù)為92．(1)求n的值；(2)以每組數(shù)據(jù)所在區(qū)間的中點(diǎn)值作為本組的代表，估算這些黨員干部參與主題教育活動(dòng)時(shí)間的中位數(shù)（中位數(shù)精確到0.01）．(3)如果計(jì)劃對(duì)參與主題教育活動(dòng)時(shí)間在內(nèi)的黨員干部給予獎(jiǎng)勵(lì)，且在，內(nèi)的分別評(píng)為二等獎(jiǎng)和一等獎(jiǎng)，那么按照分層抽樣的方法從獲得一、二等獎(jiǎng)的黨員干部中選取5人參加社區(qū)義務(wù)宣講活動(dòng)，再從這5人中隨機(jī)抽取2人作為主宣講人，求這2人均是二等獎(jiǎng)的概率．【答案】(1)(2)(3)【解析】(1)由已知可得，．則，得．(2)設(shè)中位數(shù)為，則，得．(3)按照分層抽樣的方法從，內(nèi)選取的人數(shù)為，從，內(nèi)選取的人數(shù)為．記二等獎(jiǎng)的4人分別為，，，，一等獎(jiǎng)的1人為，事件為“從這5人中抽取2人作為主宣講人，且這2人均是二等獎(jiǎng)”．從這5人中隨機(jī)抽取2人的基本事件為，，，，，，，，，，共10種，其中2人均是二等獎(jiǎng)的情況有，，，，，，共6種，由古典概型的概率計(jì)算公式得．【一隅三反】1（2022·新疆克拉瑪依·三模（文））第屆北京冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)于年月日至月日在北京和張家口聯(lián)合舉辦.這是中國(guó)歷史上第一次舉辦冬季奧運(yùn)會(huì)，它掀起了中國(guó)人民參與冬季運(yùn)動(dòng)的大熱潮.某市舉辦了中學(xué)生滑雪比賽，從中抽取名學(xué)生的測(cè)試分?jǐn)?shù)繪制成莖葉圖和頻率分布直方圖如下，后來莖葉圖受到了污損，可見部分信息如圖.

(1)求頻率分布直方圖中的值，并根據(jù)直方圖估計(jì)該市全體中學(xué)生的測(cè)試分?jǐn)?shù)的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)以這組數(shù)據(jù)所在區(qū)間中點(diǎn)的值作代表，結(jié)果保留一位小數(shù)）；(2)現(xiàn)要對(duì)測(cè)試成績(jī)?cè)谇?6%的中學(xué)生頒發(fā)“滑雪達(dá)人”證書，并制定出能夠獲得證書的測(cè)試分?jǐn)?shù)線，請(qǐng)你用樣本來估計(jì)總體，給出這個(gè)分?jǐn)?shù)線的估計(jì)值.【答案】(1)，平均數(shù)為(2)【解析】(1)由頻率分布直方圖可知，測(cè)試分?jǐn)?shù)位于的頻率為，則測(cè)試分?jǐn)?shù)位于個(gè)數(shù)為，所以，測(cè)試分?jǐn)?shù)位于的個(gè)數(shù)為，所以.估計(jì)平均數(shù)為.(2)因?yàn)闇y(cè)試分?jǐn)?shù)位于的頻率為，測(cè)試分?jǐn)?shù)位于的頻率為，能夠獲得“滑雪達(dá)人”證書的中學(xué)生測(cè)試分?jǐn)?shù)要在前，故設(shè)能夠獲得證書的測(cè)試分?jǐn)?shù)線為，則，由，可得，所以分?jǐn)?shù)線的估計(jì)值為.2．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）甲?乙兩臺(tái)機(jī)床同時(shí)生產(chǎn)一種零件，在10天中，兩臺(tái)機(jī)床每天生產(chǎn)的次品數(shù)分別為：甲乙(1)分別計(jì)算這兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差；(2)由（1）的計(jì)算結(jié)果，分析哪臺(tái)機(jī)床的性能更好.【答案】(1)甲：，，乙：，(2)乙機(jī)床性能更好【解析】(1)記甲組數(shù)據(jù)的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差分別為，乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差分別為則(2)由（1）知，所以甲機(jī)床生產(chǎn)出的次品數(shù)高于乙機(jī)床生產(chǎn)出的次品數(shù)；又，所以乙機(jī)床的性能比甲機(jī)床的性能更加穩(wěn)定.綜上，乙機(jī)床性能比甲機(jī)床穩(wěn)定，且生產(chǎn)的次品數(shù)更低，所以乙機(jī)床的性能更好.3．（2022·青?！ず|市第一中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（文））新高考取消文理分科，采用選科模式，這賦予了學(xué)生充分的自由選擇權(quán)．新高考地區(qū)某校為了解本校高一年級(jí)將來高考選考?xì)v史的情況，隨機(jī)選取了100名高一學(xué)生的某次歷史測(cè)試成績(jī)（滿分100分），把其中不低于50分的分成五段，，…，后畫出如圖所示的部分頻率分布直方圖．觀察圖形的信息，回答下列問題：(1)求出這100名學(xué)生中歷史成績(jī)低于50分的人數(shù)．(2)根據(jù)調(diào)查，本次歷史測(cè)試成績(jī)不低于70分的學(xué)生，高考將選考?xì)v史科目；