三角函數(shù)基礎(chǔ)知識(同名8879)三角函數(shù)基礎(chǔ)知識整理一．角的概念：1．角的概念的推廣⑴“旋轉(zhuǎn)”形成角一條射線由原來的位置OA，繞著它的端點(diǎn)O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)到另一位置OB，就形成角α．旋轉(zhuǎn)開始時的射線OA叫做角α的始邊，旋轉(zhuǎn)終止的射線OB叫做角α的終邊，射線的端點(diǎn)O叫做角α的頂點(diǎn)．⑵．“正角”與“負(fù)角”“0角”我們把按逆時針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角叫做正角，把按順時針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角叫做負(fù)角的終邊落在第幾象限，我們就說這個角是第幾象限的角（角的終邊落在坐標(biāo)軸上，則此角不屬于任何一個象限）3．終邊相同的角結(jié)論：所有與終邊相同的角連同在內(nèi)可以構(gòu)成一個集合：即：任何一個與角終邊相同的角，都可以表示成角與整數(shù)個周角的和.注意：(1)(2)是任意角；(3)與之間是“+”號，如：-30°，應(yīng)看成+(-30°)；(4)終邊相同的角不一定相等，但相等的角，終邊一定相同，終邊相同的角有無數(shù)多個，它們相差360°的整數(shù)倍．二．弧度制：1．定義：長度等于半徑長的弧所對的圓心角稱為1弧度的角它的單位是rad讀作弧度，這種用“弧度”做單位來度量角的制度叫做弧度制．如下圖，依次是1rad，2rad，3rad，αrad2．弧長公式：由公式：比公式簡單即弧長等于弧所對的圓心角（的弧度數(shù)）的絕對值與半徑的積3．扇形面積公式其中是扇形弧長，是圓的半徑三．三角函數(shù)的定義：1.設(shè)是一個任意角，在的終邊上任取（異于原點(diǎn)的）一點(diǎn)P（x,y）則P與原點(diǎn)的距離2.比值叫做的正弦記作：比值叫做的余弦記作：比值叫做的正切記作：比值叫做的余切記作：比值叫做的正割記作：比值叫做的余割記作：以上六種函數(shù)，統(tǒng)稱為三角函數(shù).3.突出探究的幾個問題：①角是“任意角”，當(dāng)=2k+(kZ)時，與的同名三角函數(shù)值應(yīng)該是相等的，即凡是終邊相同的角的三角函數(shù)值相等②實(shí)際上，如果終邊在坐標(biāo)軸上，上述定義同樣適用③三角函數(shù)是以“比值”為函數(shù)值的函數(shù)④而x,y的正負(fù)是隨象限的變化而不同，故三角函數(shù)的符號應(yīng)由象限確定.⑤定義域：的定義域：R的定義域：R的定義域：注意:(1)以后我們在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)研究角的問題，其頂點(diǎn)都在原點(diǎn)，始邊都與x軸的非負(fù)半軸重合.(2)比值只與角的大小有關(guān).4．三角函數(shù)在各象限內(nèi)的符號規(guī)律：正弦在第一、二象限為正；余弦在第一、四象限為正；正切在第一、三象限為正.四．誘導(dǎo)公式：1．必須熟記的兩組誘導(dǎo)公式：誘導(dǎo)公式一（其中）:用弧度制可寫成誘導(dǎo)公式二：2.誘導(dǎo)公式的變形規(guī)則：奇變偶不變，符號看象限.誘導(dǎo)公式三：用弧度制可表示如下：誘導(dǎo)公式四：用弧度制可表示如下：誘導(dǎo)公式五：用弧度制可表示如下：誘導(dǎo)公式六：用弧度制可表示如下：補(bǔ)充公式七：用弧度制可表示如下：補(bǔ)充公式八：用弧度制可表示如下：補(bǔ)充公式九：用弧度制可表示如下：五．兩角和與差的三角函數(shù)關(guān)系式：1．兩角和與差的三角函數(shù)關(guān)系式2推導(dǎo)公式：因?yàn)?所以sin2θ＋cos2θ＝1(1)若令＝sinθ，則＝cosθ則asinα＋bcosα＝（sinθsinα＋cosθcosα）＝cos（θ－α）（或＝cos（α－θ））(2)若令＝cos，則＝sin.則sinα＋bcosα＝（sinαcos＋cosαsin）＝sin（α＋）六．二倍角公式：1.二倍角公式:；；；注意：（１）二倍角公式的作用在于用單角的三角函數(shù)來表達(dá)二倍角的三角函數(shù)，它適用于二倍角與單角的三角函數(shù)之間的互化問題．（２）二倍角公式為僅限于是的二倍的形式，尤其是“倍角”的意義是相對的（３）二倍角公式是從兩角和的三角函數(shù)公式中，取兩角相等時推導(dǎo)出，記憶時可聯(lián)想相應(yīng)角的公式．（4）公式，，，成立的條件是:公式成立的條件是．其他（5）熟悉“倍角”與“二次”的關(guān)系（升角—降次，降角—升次）（6）特別注意公式的三角表達(dá)形式，且要善于變形：這兩個形式今后常用七．萬能公式：1．萬能公式證明：123八．三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)：1．正弦線、余弦線：設(shè)任意角α的終邊與單位圓相交于點(diǎn)P(x，y)，過P作x軸的垂線，垂足為M，則有，注：有向線段MP叫做角α的正弦線，有向線段OM叫做角α的余弦線．2．用單位圓中的正弦線、余弦線作正弦函數(shù)y=sinx，x∈[0，2π]、余弦函數(shù)y=cosx，x∈[0，2π]的圖象（幾何法）：把y=sinx，x∈[0，2π]和y=cosx，x∈[0，2π]的圖象，沿著x軸向右和向左連續(xù)地平行移動，每次移動的距離為2π，就得到y(tǒng)=sinx，x∈R和y=cosx，x∈R的圖象，分別叫做正弦曲線和余弦曲線．3．用五點(diǎn)法作正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的簡圖（描點(diǎn)法）：正弦函數(shù)y=sinx，x∈[0，2π]的圖象中，五個關(guān)鍵點(diǎn)是：(0,0)(,1)(,0)(,-1)(2,0)（1）y=cosx,xR與函數(shù)y=sin(x+)xR的圖象相同（2）將y=sinx的圖象向左平移即得y=cosx的圖象yxo1-1（3）也同樣可用五點(diǎn)法作圖：y=cosxxyxo1-1(0,1)(,0)(,-1)(,0)(2,1)4．定義域：正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義域都是實(shí)數(shù)集R［或(－∞，＋∞)］，分別記作：y＝sinx，x∈Ry＝cosx，x∈R5．值域正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的值域都是［－1，1］其中正弦函數(shù)y=sinx,x∈R①當(dāng)且僅當(dāng)x＝＋2kπ，k∈Z時，取得最大值1②當(dāng)且僅當(dāng)x＝－＋2kπ，k∈Z時，取得最小值－1而余弦函數(shù)y＝cosx，x∈R①當(dāng)且僅當(dāng)x＝2kπ，k∈Z時，取得最大值1②當(dāng)且僅當(dāng)x＝(2k＋1)π，k∈Z時，取得最小值－16．周期性一般地，對于函數(shù)f(x)，如果存在一個非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個值時，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)T叫做這個函數(shù)的周期對于一個周期函數(shù)f(x)，如果在它所有的周期中存在一個最小的正數(shù)，那么這個最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期注意：1周期函數(shù)x定義域M，則必有x+TM,且若T>0則定義域無上界；T<0則定義域無下界；2“每一個值”只要有一個反例，則f(x)就不為周期函數(shù)（如f(x0+t)f(x0)）3T往往是多值的（如y=sinx2,4,…,-2,-4,…都是周期）周期T中最小的正數(shù)叫做f(x)的最小正周期（有些周期函數(shù)沒有最小正周期）正弦函數(shù)、余弦函數(shù)都是周期函數(shù)，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是2π7．奇偶性y＝sinx為奇函數(shù)，y＝cosx為偶函數(shù)正弦曲線關(guān)于原點(diǎn)O對稱,余弦曲線關(guān)于y軸對稱8．單調(diào)性正弦函數(shù)在每一個閉區(qū)間［－＋2kπ，＋2kπ］(k∈Z)上都是增函數(shù)，其值從－1增大到1；在每一個閉區(qū)間［＋2kπ，＋2kπ］(k∈Z)上都是減函數(shù)，其值從1減小到－1余弦函數(shù)在每一個閉區(qū)間［(2k－1)π，2kπ］(k∈Z)上都是增函數(shù)，其值從－1增加到1；在每一個閉區(qū)間［2kπ，(2k＋1)π］(k∈Z)上都是減函數(shù)，其值從1減小到－1九．函數(shù)的圖象與性質(zhì)：1．振幅變換:y=Asinx，xR(A>0且A1)的圖象可以看作把正數(shù)曲線上的所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(A>1)或縮短(0<A<1)到原來的A倍得到的它的值域[-A,A]最大值是A,最小值是-A．若A<0可先作y=-Asinx的圖象，再以x軸為對稱軸翻折A稱為振幅2．周期變換:函數(shù)y=sinωx,xR(ω>0且ω1)的圖象，可看作把正弦曲線上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短(ω>1)或伸長(0<ω<1)到原來的倍（縱坐標(biāo)不變）．若ω<0則可用誘導(dǎo)公式將符號“提出”再作圖ω決定了函數(shù)的周期3相位變換:函數(shù)y＝sin(x＋)，x∈R(其中≠0)的圖象，可以看作把正弦曲線上所有點(diǎn)向左(當(dāng)＞0時)或向右(當(dāng)＜0時＝平行移動｜｜個單位長度而得到(用平移法注意講清方向：“加左”“減右”)十．正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)：1.正切線：正切函數(shù)，且的圖象，稱“正切曲線”余切函數(shù)y＝cotx，x∈(kπ，kπ+π)，k∈Z的圖象（余切曲線）正切函數(shù)的性質(zhì)：1．定義域：，2．值域：R3．當(dāng)時，當(dāng)時4．周期性：5．奇偶性：奇函數(shù)6．單調(diào)性：在開區(qū)間內(nèi)，函數(shù)單調(diào)遞增十一．正、余弦定理：1正弦定理：在任一個三角形中，各邊和它所對角的正弦比相等，即===2R（R為△ABC外接圓半徑）2正弦定理的應(yīng)用從理論上正弦定理可解決兩類問題：（1）兩角和任意一邊，求其它兩邊和一角；（2）兩邊和其中一邊對角，求另一邊的對角，進(jìn)而可求其它的邊和角（見圖示）已知a,b和A,用正弦定理求B時的各種情況:①若A為銳角時:②若A為直角或鈍角時:3.余弦定理：4．余弦定理可以解決