有志者自有千計(jì)萬(wàn)計(jì)，無(wú)志者只感千難萬(wàn)難！PAGEPAGE5高中數(shù)學(xué)必修2專題輔導(dǎo)一1．多面體的結(jié)構(gòu)特征(1)棱柱的上下底面平行，側(cè)棱都平行且長(zhǎng)度相等，上底面和下底面是全等的多邊形．(2)棱錐的底面是任意多邊形，側(cè)面是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形．(3)棱臺(tái)可由平行于棱錐底面的平面截棱錐得到，其上下底面的兩個(gè)多邊形相似．2．旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征(1)圓柱可以由矩形繞其一邊所在直線旋轉(zhuǎn)得到．(2)圓錐可以由直角三角形繞其一條直角邊所在直線旋轉(zhuǎn)得到．(3)圓臺(tái)可以由直角梯形繞直角腰所在直線或等腰梯形繞上下底中點(diǎn)的連線旋轉(zhuǎn)得到，也可由平行于圓錐底面的平面截圓錐得到．(4)球可以由半圓或圓繞其直徑旋轉(zhuǎn)得到．3．空間幾何體的三視圖空間幾何體的三視圖是用正投影得到，這種投影下與投影面平行的平面圖形留下的影子與平面圖形的形狀和大小是完全相同的，三視圖包括正視圖、側(cè)視圖、俯視圖．4．空間幾何體的直觀圖畫(huà)空間幾何體的直觀圖常用斜二測(cè)畫(huà)法.5．柱、錐、臺(tái)和球的側(cè)面積和體積面積體積圓柱S側(cè)＝2πrhV＝Sh＝πr2h圓錐S側(cè)＝πrlV＝eq\f(1,3)Sh＝eq\f(1,3)πr2h＝eq\f(1,3)πr2eq\r(l2－r2)圓臺(tái)S側(cè)＝π(r1＋r2)lV＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上S下))h＝eq\f(1,3)π(req\o\al(2,1)＋req\o\al(2,2)＋r1r2)h直棱柱S側(cè)＝ChV＝Sh正棱錐S側(cè)＝eq\f(1,2)Ch′V＝eq\f(1,3)Sh正棱臺(tái)S側(cè)＝eq\f(1,2)(C＋C′)h′V＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上S下))h球S球面＝4πR2V＝eq\f(4,3)πR36.幾何體的表面積(1)棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積就是各面面積之和．(2)圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖分別是矩形、扇形、扇環(huán)形；它們的表面積等于側(cè)面積與底面面積之和．題型一空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征例1設(shè)有以下四個(gè)命題：①底面是平行四邊形的四棱柱是平行六面體；②底面是矩形的平行六面體是長(zhǎng)方體；③直四棱柱是直平行六面體；④棱臺(tái)的相對(duì)側(cè)棱延長(zhǎng)后必交于一點(diǎn)．其中真命題的序號(hào)是________．題型二幾何體的三視圖例2如圖，某幾何體的正視圖與側(cè)視圖都是邊長(zhǎng)為1的正方形，且體積為eq\f(1,2)，則該幾何體的俯視圖可以是 ()題型三空間幾何體的表面積和體積例3一個(gè)空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為 ()A．48 B．32＋8eq\r(17)C．48＋8eq\r(17) D．807.圖中的三個(gè)直角三角形是一個(gè)體積為20cm3的幾何體的三視圖，則h8．(2013·北京)某三棱錐的三視圖如圖所示，該三棱錐的體積是 ________． 9.用半徑為r的半圓形鐵皮卷成一個(gè)圓錐筒，那么這個(gè)圓錐筒的高是________．10．一個(gè)球與一個(gè)正方體的各個(gè)面均相切，正方體的邊長(zhǎng)為a，則球的表面積為_(kāi)_______．三、解答題11．已知正三棱錐V—ABC的正視圖、側(cè)視圖和俯視圖如圖所示．(1)畫(huà)出該三棱錐的直觀圖；(2)求出側(cè)視圖的面積．高中數(shù)學(xué)必修2專題輔導(dǎo)一1．多面體的結(jié)構(gòu)特征(1)棱柱的上下底面平行，側(cè)棱都平行且長(zhǎng)度相等，上底面和下底面是全等的多邊形．(2)棱錐的底面是任意多邊形，側(cè)面是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形．(3)棱臺(tái)可由平行于棱錐底面的平面截棱錐得到，其上下底面的兩個(gè)多邊形相似．2．旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征(1)圓柱可以由矩形繞其一邊所在直線旋轉(zhuǎn)得到．(2)圓錐可以由直角三角形繞其一條直角邊所在直線旋轉(zhuǎn)得到．(3)圓臺(tái)可以由直角梯形繞直角腰所在直線或等腰梯形繞上下底中點(diǎn)的連線旋轉(zhuǎn)得到，也可由平行于圓錐底面的平面截圓錐得到．(4)球可以由半圓或圓繞其直徑旋轉(zhuǎn)得到．3．空間幾何體的三視圖空間幾何體的三視圖是用正投影得到，這種投影下與投影面平行的平面圖形留下的影子與平面圖形的形狀和大小是完全相同的，三視圖包括正視圖、側(cè)視圖、俯視圖．4．空間幾何體的直觀圖畫(huà)空間幾何體的直觀圖常用斜二測(cè)畫(huà)法.5．柱、錐、臺(tái)和球的側(cè)面積和體積面積體積圓柱S側(cè)＝2πrhV＝Sh＝πr2h圓錐S側(cè)＝πrlV＝eq\f(1,3)Sh＝eq\f(1,3)πr2h＝eq\f(1,3)πr2eq\r(l2－r2)圓臺(tái)S側(cè)＝π(r1＋r2)lV＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上S下))h＝eq\f(1,3)π(req\o\al(2,1)＋req\o\al(2,2)＋r1r2)h直棱柱S側(cè)＝ChV＝Sh正棱錐S側(cè)＝eq\f(1,2)Ch′V＝eq\f(1,3)Sh正棱臺(tái)S側(cè)＝eq\f(1,2)(C＋C′)h′V＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上S下))h球S球面＝4πR2V＝eq\f(4,3)πR36.幾何體的表面積(1)棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積就是各面面積之和．(2)圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖分別是矩形、扇形、扇環(huán)形；它們的表面積等于側(cè)面積與底面面積之和．題型一空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征例1設(shè)有以下四個(gè)命題：①底面是平行四邊形的四棱柱是平行六面體；②底面是矩形的平行六面體是長(zhǎng)方體；③直四棱柱是直平行六面體；④棱臺(tái)的相對(duì)側(cè)棱延長(zhǎng)后必交于一點(diǎn)．其中真命題的序號(hào)是________．思維啟迪：利用有關(guān)幾何體的概念判斷所給命題的真假．答案①④解析命題①符合平行六面體的定義，故命題①是正確的．底面是矩形的平行六面體的側(cè)棱可能與底面不垂直，故命題②是錯(cuò)誤的．因?yàn)橹彼睦庵牡酌娌灰欢ㄊ瞧叫兴倪呅?，故命題③是錯(cuò)誤的．命題④由棱臺(tái)的定義知是正確的．題型二幾何體的三視圖例2如圖，某幾何體的正視圖與側(cè)視圖都是邊長(zhǎng)為1的正方形，且體積為eq\f(1,2)，則該幾何體的俯視圖可以是 ()思維啟迪：對(duì)于三視圖的有關(guān)問(wèn)題，一定要抓住“投影”這個(gè)關(guān)鍵詞，把握幾何體的形狀．答案C解析若該幾何體的俯視圖是選項(xiàng)A，則該幾何體的體積為1，不滿足題意；若該幾何體的俯視圖是選項(xiàng)B，則該幾何體的體積為eq\f(π,4)，不滿足題意；若該幾何體的俯視圖是選項(xiàng)C，則該幾何體的體積為eq\f(1,2)，滿足題意；若該幾何體的俯視圖是選項(xiàng)D，則該幾何體的體積為eq\f(π,4)，不滿足題意．故選C.題型三空間幾何體的表面積和體積例3一個(gè)空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為 ()A．48 B．32＋8eq\r(17)C．48＋8eq\r(17) D．80思維啟迪：先通過(guò)三視圖確定空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，然后再求表面積．答案C解析由三視圖知該幾何體的直觀圖如圖所示，該幾何體的下底面是邊長(zhǎng)為4的正方形；上底面是長(zhǎng)為4、寬為2的矩形；兩個(gè)梯形側(cè)面垂直于底面，上底長(zhǎng)為2，下底長(zhǎng)為4，高為4；另兩個(gè)側(cè)面是矩形，寬為4，長(zhǎng)為eq\r(42＋12)＝eq\r(17).所以S表＝42＋2×4＋eq\f(1,2)×(2＋4)×4×2＋4×eq\r(17)×2＝48＋8eq\r(17).如圖，已知一個(gè)多面體的平面展開(kāi)圖由一邊長(zhǎng)為1的正方形和4個(gè)邊長(zhǎng)為1的正三角形組成，則該多面體的體積是________．答案eq\f(\r(2),6)解析如圖，四棱錐的高h(yuǎn)＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))2)＝eq\f(\r(2),2)，∴V＝eq\f(1,3)Sh＝eq\f(1,3)×1×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r(2),6).1．(2012·課標(biāo)全國(guó))如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗線畫(huà)出的是某幾何體的三視圖，則此幾何體的體積為 ()A．6 B．9 C．12 D．答案B解析結(jié)合三視圖知識(shí)求解三棱錐的體積．由題意知，此幾何體是三棱錐，其高h(yuǎn)＝3，相應(yīng)底面面積為S＝eq\f(1,2)×6×3＝9，∴V＝eq\f(1,3)Sh＝eq\f(1,3)×9×3＝9.2.已知高為3的直棱柱ABC—A′B′C′的底面是邊長(zhǎng)為1的正三角形(如右圖所示)，則三棱錐B′—ABC的體積為 ()A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,2)C.eq\f(\r(3),6) D.eq\f(\r(3),4)答案D解析VB′—ABC＝eq\f(1,3)×BB′×S△ABC＝eq\f(1,3)×3×eq\f(\r(3),4)×12＝eq\f(\r(3),4).3．正六棱柱的高為6，底面邊長(zhǎng)為4，則它的全面積為 ()A．48(3＋eq\r(3)) B．48(3＋2eq\r(3))C．24(eq\r(6)＋eq\r(2)) D．144答案A解析S底＝6×eq\f(\r(3),4)×42＝24eq\r(3)，S側(cè)＝6×4×6＝144，∴S全＝S側(cè)＋2S底＝144＋48eq\r(3)＝48(3＋eq\r(3))．4．某幾何體的三視圖如圖所示，其中俯視圖是個(gè)半圓，則該幾何體的表面積為 ()A.eq\f(3,2)π B．π＋eq\r(3)C.eq\f(3,2)π＋eq\r(3) D.eq\f(5,2)π＋eq\r(3)答案C解析由三視圖可知該幾何體為一個(gè)半圓錐，底面半徑為1，高為eq\r(3)，∴表面積S＝eq\f(1,2)×2×eq\r(3)＋eq\f(1,2)×π×12＋eq\f(1,2)×π×1×2＝eq\r(3)＋eq\f(3π,2).二、填空題(每小題5分，共15分)5．(2012·山東)如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，E，F(xiàn)分別為線段AA1，B1C上的點(diǎn)，則三棱錐D1－EDF的體積為_(kāi)_______答案eq\f(1,6)解析利用三棱錐的體積公式直接求解．VD1－EDF＝VF－DD1E＝eq\f(1,3)S△D1DE·AB＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×1×1＝eq\f(1,6).6．(2014·天津)一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示(單位：m)，則該幾何體的體積為_(kāi)_______m3.答案4解析此幾何體是兩個(gè)長(zhǎng)方體的組合，故V＝2×1×1＋1×1×2＝4.7.圖中的三個(gè)直角三角形是一個(gè)體積為20cm3的幾何體的三視圖，則h答案4解析如圖是三視圖對(duì)應(yīng)的直觀圖，這是一個(gè)三棱錐，其中SA⊥平面ABC，BA⊥AC.由于V＝eq\f(1,3)S△ABC·h＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×5×6×h＝5h，∴5h＝20，∴h＝4.8．(2013·北京)某三棱錐的三視圖如圖所示，該三棱錐的體積是 ________． 9.用半徑為r的半圓形鐵皮卷成一個(gè)圓錐筒，那么這個(gè)圓錐筒的高是________．答案eq\f(\r(3),2)r解析由題意可知卷成的圓錐的母線長(zhǎng)為r，設(shè)卷成的圓錐的底面半徑為r′，則2πr′＝πr，所以r′＝eq\f(1,2)r，所以圓錐的高h(yuǎn)＝eq\r(r2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)r))2)＝eq\f(\r(3),2)r.10．一個(gè)球與一個(gè)正方體的各個(gè)面均相切，正方體的邊長(zhǎng)為a，則球的表面積為_(kāi)_______．答案πa2解析由題意知，球的半徑R