小專題(一)構造全等三角形的方法技巧類型1連結線段構造全等三角形【例1】如圖，已知AB＝AD，BC＝CD，求證：∠B＝∠D.證明：連結AC，在△ABC和△ADC中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝AD，,BC＝DC，,AC＝AC，))∴△ABC≌△ADC(SSS)．∴∠B＝∠D.【方法歸納】通過連結兩點，構造出三角形，再證明兩個三角形全等，然后利用全等三角形的性質說明角相等或邊相等．1．如圖，已知AB∥CD，AD∥BC，求證：∠A＝∠C.證明：連結BD，∵AB∥CD，∴∠ABD＝∠CDB.∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD.又∵BD＝DB，∴△ABD≌△CDB(ASA)．∴∠A＝∠C.2．如圖，在△ABC中，AB＝AC，點M為BC中點，MD⊥AB于點D，ME⊥AC于點E.求證：MD＝ME.證明：連結AM.在△ABM和△ACM中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝AC，,AM＝AM，,BM＝CM，))∴△ABM≌△ACM(SSS)．∴∠BAM＝∠CAM.∵MD⊥AB，ME⊥AC，∴MD＝ME.類型2利用“截長補短”構造全等三角形【例2】如圖，AD∥BC，點E在線段AB上，∠ADE＝∠CDE，∠DCE＝∠ECB.求證：CD＝AD＋BC.證明：在CD上截取DF＝DA，連結FE.在△ADE和△FDE中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AD＝FD，,∠ADE＝∠FDE，,DE＝DE，))∴△ADE≌△FDE.∴∠A＝∠DFE.又∵AD∥BC，∴∠A＋∠B＝180°.∵∠DFE＋∠EFC＝180°.∴∠B＝∠EFC.在△EFC和△EBC中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠EFC＝∠B，,∠ECF＝∠ECB，,EC＝EC，))∴△EFC≌△EBC.∴FC＝BC.∴CD＝DF＋FC＝AD＋BC.【方法歸納】遇到證明線段的和差倍分問題時，通常利用截長法或補短法，具體的作法是在某條線段上截取一條線段與特定線段相等，或者延長某條線段，使之與特定線段相等，再利用三角形全等的有關性質解決．3．如圖，在△ABC中，∠A＝60°，BD，CE分別平分∠ABC和∠ACB，BD，CE交于點O，試判斷BE，CD，BC的數(shù)量關系，并加以證明．解：BC＝BE＋CD.證明：在BC上截取BF＝BE，連結OF.∵BD平分∠ABC，∴∠EBO＝∠FBO.又∵BO＝BO，∴△EBO≌△FBO.∴∠EOB＝∠FOB.∵∠A＝60°，BD，CE分別平分∠ABC和∠ACB，∴∠BOC＝180°－∠OBC－∠OCB＝180°－eq\f(1,2)∠ABC－eq\f(1,2)∠ACB＝180°－eq\f(1,2)(180°－∠A)＝120°.∴∠EOB＝∠DOC＝60°.∴∠BOF＝60°，∠FOC＝∠DOC＝60°.∵CE平分∠DCB，∴∠DCO＝∠FCO.又∵CO＝CO，∴△DCO≌△FCO.∴CD＝CF.∴BC＝BF＋CF＝BE＋CD.4．(德州中考)問題背景：如圖1，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°.點E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點．且∠EAF＝60°.探究圖中線段BE，EF，F(xiàn)D之間的數(shù)量關系．(1)小王同學探究此問題的方法是：延長FD到點G，使DG＝BE，連結AG.先證明△ABE≌△ADG，再證明△AEF≌△AGF，可得出結論，他的結論應是EF＝BE＋DF；(2)如圖2，若在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°.E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點，且∠EAF＝eq\f(1,2)∠BAD，上述結論是否仍然成立，并說明理由．解：EF＝BE＋DF仍然成立．證明：延長FD到G，使DG＝BE，連結AG，∵∠B＋∠ADC＝180°，∠ADC＋∠ADG＝180°，∴∠B＝∠ADG.在△ABE和△ADG中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(BE＝DG，,∠B＝∠ADG，,AB＝AD，))∴△ABE≌△ADG(SAS)．∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG.∵∠EAF＝eq\f(1,2)∠BAD，∴∠GAF＝∠DAG＋∠DAF＝∠BAE＋∠DAF＝∠BAD－∠EAF＝∠EAF.∴∠EAF＝∠GAF.在△AEF和△AGF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AE＝AG，,∠EAF＝∠GAF，,AF＝AF，))∴△AEF≌△AGF(SAS)．∴EF＝FG.∵FG＝DG＋DF＝BE＋DF，∴EF＝BE＋DF.類型3利用“中線倍長”構造全等三角形【例3】如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，AC>AB，求證：AB＋AC>2AD>AC－AB.證明：延長AD至E，使AD＝DE，并連結CE，∵D是BC上的中點，∴CD＝BD.又∵AD＝DE，∠ADB＝∠CDE，∴△ADB≌△EDC(SAS)．∴AB＝CE.∵AC＋CE>2AD>AC－CE，∴AB＋AC>2AD>AC－AB.【方法歸納】當題目中出現(xiàn)中線時，常常延長中線，使所延長部分與中線的長度相等，然后連結相應的端點，便可以得到全等三角形．5．已知：如圖，AD，AE分別是△ABC和△ABD的中線，且BA＝BD.求證：AE＝eq\f(1,2)AC.證明：延長AE至F，使EF＝AE，連結DF.∵AE是△ABD的中線，∴BE＝DE.又∵∠AEB＝∠FED，∴△ABE≌△FDE.∴∠B＝∠BDF，AB＝DF.∵BA＝BD，∴∠BAD＝∠BDA，BD＝DF.∵∠ADF＝∠BDA＋∠BDF，∠ADC＝∠BAD＋∠B，∴∠ADF＝∠ADC.∵AD是△ABC的中線，∴BD＝CD.∴DF＝CD.又∵AD＝AD，∴△ADF≌△ADC(SAS)．∴AC＝AF＝2AE，即AE＝eq\f(1,2)AC.6．如圖，AB＝AE，AB⊥AE，AD＝AC，AD⊥AC，點M為BC的中點，求證：DE＝2AM.證明：延長AM至點N，使MN＝AM，連結BN，∵M為BC中點，∴BM＝CM.又∵AM＝MN，∠AMC＝∠NMB，∴△AMC≌△NMB(SAS)．∴AC＝BN，∠C＝∠NBM.∴∠ABN＝∠ABC＋∠NBM＝∠ABC＋∠C＝180°－∠BAC＝∠EAD.∵AD＝AC，AC＝BN，∴AD＝BN.又∵AB＝AE，∴△ABN≌△EAD(SAS)．∴DE＝NA.又∵AM＝MN，∴DE＝2AM.

小專題(二)等腰三角形中的分類討論類型1對頂角和底角的分類討論對于等腰三角形，只要已知它的一個內(nèi)角的度數(shù)，就能算出其他兩個內(nèi)角的度數(shù)，如果題中沒有確定這個內(nèi)角是頂角還是底角，就要分兩種情況來討論．在分類時要注意：三角形的內(nèi)角和等于180°；等腰三角形中至少有兩個角相等．1．等腰三角形中有一個角為52°，它的一條腰上的高與底邊的夾角為多少度？解：①若已知的這個角為頂角，則底角的度數(shù)為(180°－52°)÷2＝64°，故一腰上的高與底邊的夾角為26°；②若已知的這個角為底角，則一腰上的高與底邊的夾角為38°.故所求的一腰上的高與底邊的夾角為26°或38°.類型2對腰長和底長的分類討論在解答已知等腰三角形邊長的問題時，當題目條件中沒有明確說明哪條邊是“腰”、哪條邊是“底”時，往往要進行分類討論．判定的依據(jù)是：三角形的任意兩邊之和大于第三邊；兩邊之差小于第三邊．2．(1)已知等腰三角形的一邊長等于6cm，一邊長等于7cm，求它的周長；(2)等腰三角形的一邊長等于8cm，周長等于30cm，求其他兩邊的長．解：(1)周長為19cm或20cm.(2)其他兩邊的長為8cm，14cm或11cm，11cm.3．若等腰三角形一腰上的中線分周長為9cm和12cm兩部分，求這個等腰三角形的底和腰的長．解：如圖，由于條件中中線分周長的兩部分，并沒有指明哪一部分是9cm、哪一部分是12cm，因此，應有兩種情形．設這個等腰三角形的腰長為xcm，底邊長為ycm，根據(jù)題意，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)x＝9，,\f(1,2)x＋y＝12))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)x＝12，,\f(1,2)x＋y＝9.))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝6，,y＝9，))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝8，,y＝5.))故腰長是6cm，底邊長是9cm或腰長是8cm，底邊長是5cm.類型3幾何圖形之間的位置關系不明確的分類討論4．已知C、D兩點在線段AB的中垂線上，且∠ACB＝50°，∠ADB＝80°，求∠CAD的度數(shù)．解：①如圖1，當C、D兩點在線段AB的同側時，∵C、D兩點在線段AB的垂直平分線上，∴CA＝CB.∴△CAB是等腰三角形．又∵CE⊥AB，∴CE是∠ACB的平分線．∴∠ACE＝∠BCE.∵∠ACB＝50°，∴∠ACE＝25°.同理可得∠ADE＝40°，∴∠CAD＝∠ADE－∠ACE＝40°－25°＝15°；圖1圖2②如圖2，當C、D兩點在線段AB的兩側時，同①的方法可得∠ACE＝25°，∠ADE＝40°，∴∠CAD＝180°－(∠ADE＋∠ACE)＝180°－(40°＋25°)＝180°－65°＝115°.故∠CAD的度數(shù)為15°或115°.類型4運動過程中等腰三角形中的分類討論5．(下城區(qū)校級期中)在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝8cm，AC＝6cm，在射線BC上一動點D，從點B出發(fā)，以2厘米每秒的速度勻速運動，若點D運動t秒時，以A、D、B為頂點的三角形恰為等腰三角形，則所用時間t為eq\f(25,8)或5或8秒．解析：①當AD＝BD時，在Rt△ACD中，根據(jù)勾股定理，得AD2＝AC2＋CD2，即BD2＝(8－BD)2＋62，解得BD＝eq\f(25,4)cm.則t＝eq\f(\f(25,4),2)＝eq\f(25,8)(秒)；②當AB＝BD時，在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理，得AB＝eq\r(AC2＋BC2)＝eq\r(62＋82)＝10(cm)，則t＝eq\f(10,2)＝5(秒)；③當AD＝AB時，BD＝2BC＝16cm，則t＝eq\f(16,2)＝8(秒)．綜上所述，t的值可以是：eq\f(25,8)，5，8.6．(杭州期中)如圖，已知△ABC中，∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，P、Q是△ABC邊上的兩個動點，其中點P從點A開始沿A→B方向運動，且速度為每秒1cm，點Q從點B開始沿B→C方向運動，且速度為每秒2cm，它們同時出發(fā)，設出發(fā)的時間為t秒．(1)當t＝2秒時，求PQ的長；(2)求出發(fā)時間為幾秒時，△PQB是等腰三角形？(3)若Q沿B→C→A方向運動，則當點Q在邊CA上運動時，求能使△BCQ成為等腰三角形的運動時間．解：(1)BQ＝2×2＝4(cm)，BP＝AB－AP＝8－2×1＝6(cm)，∵∠B＝90°，∴PQ＝eq\r(BQ2＋BP2)＝eq\r(42＋62)＝2eq\r(13)(cm)．(2)根據(jù)題意，得BQ＝BP，即2t＝8－t，解得t＝eq\f(8,3).∴出發(fā)時間為eq\f(8,3)秒時，△PQB是等腰三角形．(3)分三種情況：①當CQ＝BQ時，如圖1所示，則∠C＝∠CBQ，∵∠ABC＝90°，∴∠CBQ＋∠ABQ＝90°，∠A＋∠C＝90°.∴∠A＝∠ABQ.∴BQ＝AQ.∴CQ＝AQ＝5cm.∴BC＋CQ＝11cm.∴t＝11÷2＝5.5(秒)．②當CQ＝BC時，如圖2所示，則BC＋CQ＝12cm.∴t＝12÷2＝6(秒)．③當BC＝BQ時，如圖3所示，過B點作BE⊥AC于點E，則BE＝eq\f(AB·BC,AC)＝eq\f(6×8,10)＝4.8(cm)．∴CE＝eq\r(BC2－BE2)＝3.6cm.∴CQ＝2CE＝7.2cm.∴BC＋CQ＝13.2cm.∴t＝13.2÷2＝6.6(秒)．由上可知，當t為5.5秒或6秒或6.6秒時，△BCQ為等腰三角形．

小專題(三)利用勾股定理解決折疊與展開問題類型1利用勾股定理解決平面圖形的折疊問題1．如圖所示，有一張直角三角形紙片，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，將斜邊AB翻折，使點B落在直角邊AC的延長線上的點E處，折痕為AD，則CE的長為(A)A．1cm B．1.5cmC．2cm D．3cm第1題圖第2題圖2．如圖，長方形ABCD的邊AD沿折痕AE折疊，使點D落在BC上的F處，已知AB＝6，△ABF的面積是24，則FC等于(B)A．1 B．2 C．3 D．43．如圖，有一張直角三角形紙片，兩直角邊AC＝5cm，BC＝10cm，將△ABC折疊，使點B與點A重合，折痕為DE，則CD的長為(D)A.eq\f(25,2)cm B.eq\f(15,2)cmC.eq\f(25,4)cm D.eq\f(15,4)cm第3題圖第4題圖4．(銅仁中考)如圖，在長方形ABCD中，BC＝6，CD＝3，將△BCD沿對角線BD翻折，點C落在點C′處，BC′交AD于點E，則線段DE的長為(B)A．3 B.eq\f(15,4)C．5 D.eq\f(15,2)5．(上城區(qū)期末)在矩形紙片ABCD中，AB＝3，AD＝5，如圖所示，折疊紙片，使點A落在BC邊上的A′處，折痕為PQ，當點A′在BC邊上移動時，折痕的端點P、Q也隨之移動，若限定點P、Q分別在線段AB、AD邊上移動，則點A′在BC邊上可移動的最大距離為(B)A．1 B．2 C．3 D．4解析：如圖1，當點D與點Q重合時，根據(jù)翻折對稱性可得A′D＝AD＝5.在Rt△A′CD中，A′D2＝A′C2＋CD2，即52＝(5－A′B)2＋32，解得A′B＝1.如圖2，當點P與點B重合時，根據(jù)翻折對稱性可得A′B＝AB＝3.∵3－1＝2，∴點A′在BC邊上可移動的最大距離為2.故選B.6．如圖所示，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，AC＝5，將△ABC折疊，使點C與點A重合，折痕為DE，則△ABE的周長為7．第6題圖第7題圖7．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6cm，AC＝8cm，按圖中所示方法將△BCD沿BD折疊，使點C落在AB邊的C′點，那么△ADC′的面積是6_cm2．8．如圖，長方形ABCD中，CD＝6，BC＝8，E為CD邊上一點，將長方形沿直線BE折疊，使點C落在線段BD上C′處，求DE的長．解：∵在長方形ABCD中，∠C＝90°，DC＝6，BC＝8，∴BD＝eq\r(62＋82)＝10.由折疊可得BC′＝BC＝8，EC′＝EC，∠BC′E＝∠C＝90°，∴C′D＝2，∠DC′E＝90°.設DE＝x，則C′E＝CE＝6－x.在Rt△C′DE中，x2＝(6－x)2＋22，解得x＝eq\f(10,3).∴DE的長為eq\f(10,3).類型2利用勾股定理解決立體圖形的最短路徑問題9．如圖是一個封閉的正方體紙盒，E是CD中點，F(xiàn)是CE中點，一只螞蟻從一個頂點A爬到另一個頂點G，那么這只螞蟻爬行的最短路線是(C)A．A?B?C?GB．A?C?GC．A?E?GD．A?F?G10．如圖，在一個長為2m，寬為1m的長方形草地上，放著一根長方體的木塊，它的棱和場地寬AD平行且棱長大于AD，木塊從正面看是邊長為0.2m的正方形，一只螞蟻從點A處到達點C處需要走的最短路程是2.60m.(精確到0.01m)第10題圖第11題圖11．(涼山中考)如圖，圓柱形玻璃杯，高為18cm，底面周長為24cm，在杯內(nèi)離杯底4cm的點C處有一滴蜂蜜，此時一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿2cm與蜂蜜相對的點A處，則螞蟻到達蜂蜜的最短距離為20cm.12．一位同學要用彩帶裝飾一個長方體禮盒．長方體高6cm，底面是邊長為4cm的正方形，從頂點A到頂點C′如何貼彩帶用的彩帶最短？最短長度是多少？解：把長方體的面DCC′D′沿棱CD展開至面ABCD上，如圖．構成矩形ABC′D′，則A到C′的最短距離為AC′的長度，連結AC′交DC于O，易證△AOD≌△C′OC.∴OD＝OC，即O為DC的中點．由勾股定理得AC′2＝AD′2＋D′C′2＝82＋62＝100，∴AC′＝10cm.即從頂點A沿直線到DC中點O(或A′B′中點O′)，再沿直線到頂點C′，貼的彩帶最短，最短長度為10cm.13．如圖，一個長方體形狀的木柜放在墻角處(與墻面和地面均沒有縫隙)，有一只螞蟻從柜角A處沿著木柜表面爬到柜角C1處．(1)請你畫出螞蟻能夠最快到達目的地的可能路徑；(2)當AB＝4，BC＝4，CC1＝5時，求螞蟻爬過的最短路徑的長．解：(1)如圖，木柜的表面展開圖是兩個矩形ABC′1D1和ACC1A1.螞蟻能夠最快到達目的地的可能路徑有如圖所示的AC′1和AC1兩種．(2)螞蟻沿著木柜表面經(jīng)線段A1B1到C′1，爬過的路徑的長l1＝eq\r(42＋（4＋5）2)＝eq\r(97)；螞蟻沿著木柜表面經(jīng)線段BB1到C1，爬過的路徑的長l2＝eq\r(（4＋4）2＋52)＝eq\r(89).∵l1>l2，∴最短路徑的長是eq\r(89).

小專題(四)全等三角形的基本模型類型1平移型把△ABC沿著某一條直線l平行移動，所得到△DEF與△ABC稱為平移型全等三角形．圖1，圖2是常見的平移型全等三角形．在證明平移型全等的試題中，常常要碰到移動方向的邊加(減)公共邊．如圖1，若BE＝CF，則BE＋EC＝CF＋CE，即BC＝EF.如圖2，若BE＝CF，則BE－CE＝CF－CE，即BC＝EF.1．如圖，已知EF∥MN，EG∥HN，且FH＝MG，求證：△EFG≌NMH.證明：∵EF∥MN，EG∥HN，∴∠F＝∠M，∠EGF＝∠NHM.∵FH＝MG，∴FH＋HG＝MG＋HG，即GF＝HM.在△EFG和△NMH中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠F＝∠M，,GF＝HM，,∠EGF＝∠NHM，))∴△EFG≌△NMH(ASA)．2．(金華六校10月聯(lián)考)如圖，A、B、C、D四點在同一直線上，請你從下面四項中選出三個選項作為條件，余下一個作為結論，構成一個真命題，并進行證明.①AB＝CD；②∠ACE＝∠D；③∠EAG＝∠FBG；④AE＝BF.你選擇的條件是：①②③，結論是：④．(填寫序號)證明：∵∠EAG＝∠FBG，∴∠EAD＝∠FBD.∵AB＝CD，∴AB＋BC＝BC＋CD，即AC＝BD.在△ACE和△BDF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠ACE＝∠D，,AC＝BD，,∠EAD＝∠FBD，))∴△ACE≌△BDF(ASA)．∴AE＝BF.類型2翻折型將原圖形沿著某一條直線折疊后，直線兩邊的部分能夠完全重合，這兩個三角形稱之為翻折型全等三角形．此類圖形中要注意其隱含條件，即公共邊或公共角相等．3．(下城區(qū)校級期中)如圖，已知Rt△ABC≌Rt△ADE，∠ABC＝∠ADE＝90°，BC與DE相交于點F，連結CD、EB.(1)不添加輔助線，找出圖中其他的全等三角形；(2)求證：CF＝EF.解：(1)圖中其他的全等三角形為：△ACD≌△AEB，△DCF≌△BEF.(2)證明：∵Rt△ABC≌Rt△ADE，∴AC＝AE，AD＝AB，∠CAB＝∠EAD.∴∠CAB－∠DAB＝∠EAD－∠DAB，即∠CAD＝∠EAB.∴△CAD≌△EAB.∴CD＝EB，∠ADC＝∠ABE.又∵∠ADE＝∠ABC，∴∠CDF＝∠EBF.又∵∠DFC＝∠BFE，∴△CDF≌△EBF(AAS)．∴CF＝EF.類型3旋轉型將三角形繞著公共頂點旋轉一定角度后，兩個三角形能夠完全重合，則稱這兩個三角形為旋轉型三角形．識別旋轉型三角形時，如圖1，涉及對頂角相等；如圖2，涉及等角加(減)等角的條件．4．已知：如圖，AB＝AC，AB⊥AC，AD⊥AE，且∠ABD＝∠ACE.求證：AD＝AE.證明：∵AB⊥AC，AD⊥AE，∴∠BAC＝∠DAE＝90°.∴∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠DAC，即∠BAD＝∠CAE.在△ABD和△ACE中，∠BAD＝∠CAE，AB＝AC，∠ABD＝∠ACE，∴△ABD≌△ACE.∴AD＝AE.5．如圖，△ABC，△CDE是等邊三角形，B，C，E三點在同一直線上．(1)求證：AE＝BD；(2)若BD和AC交于點M，AE和CD交于點N，求證：CM＝CN；(3)連結MN，猜想MN與BE的位置關系，并加以證明．解：(1)證明：∵△ABC和△DCE均為等邊三角形，∴AC＝BC，CE＝CD，∠ACB＝∠DCE＝60°.∴∠BCD＝∠ACE＝120°.在△ACE和△BCD中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AC＝BC，,∠ACE＝∠BCD，,CE＝CD，))∴△ACE≌△BCD(SAS)．∴AE＝BD.(2)證明：∵△ACE≌△BCD，∴∠CBD＝∠CAE.∵∠ACN＝180°－∠ACB－∠DCE＝60°，∴∠BCM＝∠ACN.在△BCM和△ACN中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠CBM＝∠CAN，,CB＝CA，,∠BCM＝∠ACN，))∴△BCM≌△ACN(ASA)．∴CM＝CN.(3)MN∥BE.證明：∵CM＝CN，∠MCN＝60°，∴△MCN為等邊三角形．∴∠CMN＝60°.∴∠CMN＝∠ACB.∴MN∥BE.類型4雙垂型基本圖形如圖：此類圖形通常告訴BD⊥DE，AB⊥AC，CE⊥DE，那么一定有∠B＝∠CAE.6．如圖，AD⊥AB于點A，BE⊥AB于點B，點C在AB上，且CD⊥CE，CD＝CE.求證：AD＝CB.證明：∵AD⊥AB，BE⊥AB，∴∠A＝∠B＝90°.∴∠D＋∠ACD＝90°.∵CD⊥CE，∴∠ACD＋∠BCE＝180°－90°＝90°.∴∠D＝∠BCE.在△ACD和△BEC中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠A＝∠B，,∠D＝∠BCE，,CD＝CE，))∴△ACD≌△BEC(AAS)．∴AD＝CB.7．如圖，△ABC為等腰直角三角形，∠ACB＝90°，直線l經(jīng)過點A且繞點A在△ABC所在平面內(nèi)轉動，作BD⊥l，CE⊥l，D、E為垂足．求證：DA＋DB＝2DE.證明：在l上截取FA＝DB，連結CD、CF.∵△ABC為等腰直角三角形，∠ACB＝90°，BD⊥l，∴AC＝BC，∠BDA＝90°.∴∠CBD＋∠CAD＝360°－∠BDA－∠ACB＝360°－90°－90°＝180°.又∵∠CAF＋∠CAD＝180°，∴∠CBD＝∠CAF.在△CBD和△CAF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(CB＝CA，,∠CBD＝∠CAF，,BD＝AF，))∴△CBD≌△CAF(SAS)．∴CD＝CF.∵CE⊥l，∴DE＝EF＝eq\f(1,2)DF＝eq\f(1,2)(DA＋FA)＝eq\f(1,2)(DA＋DB)．∴DA＋DB＝2DE.

小專題(五)一元一次不等式(組)的解法1．解下列不等式(組)：(1)(金華金東區(qū)期末)5x＋3＜3(2＋x)；解：去括號，得5x＋3＜6＋3x.移項，得5x－3x＜6－3.合并同類項，得2x＜3.系數(shù)化為1，得x＜eq\f(3,2).(2)(黃岡中考)eq\f(x＋1,2)≥3(x－1)－4；解：去分母，得x＋1≥6(x－1)－8.去括號，得x＋1≥6x－6－8.移項，得x－6x≥－6－8－1.合并同類項，得－5x≥－15.兩邊都除以－5，得x≤3.(3)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋1≥2，①,3（x＋1）>x＋5；②))解：由①，得x≥1.由②，得x>1.所以，不等式組的解集為x>1.(4)(莆田中考)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－3（x－2）≥4，①,\f(1＋2x,3)>x－1；②))解：由①，得x≤1.由②，得x＜4.所以原不等式組的解集為x≤1.(5)(金華金東區(qū)期末)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(5x－2>3（x＋1），①,\f(1,2)x－1≤7－\f(3,2)x.②))解：解不等式①，得x＞eq\f(5,2).解不等式②，得x≤4.故不等式組的解集為eq\f(5,2)＜x≤4.2．(蘇州中考)解不等式2x－1＞eq\f(3x－1,2)，并把它的解集在數(shù)軸上表示出來．解：去分母，得4x－2＞3x－1.移項，得4x－3x＞2－1.合并同類項，得x＞1.將不等式解集表示在數(shù)軸上如圖：3．(蕭山區(qū)校級月考)解不等式eq\f(x,3)<1－eq\f(x－3,6)，并求出它的非負整數(shù)解．解：去分母，得2x<6－(x－3)．去括號，得2x<6－x＋3.移項，得x＋2x<6＋3.合并同類項，得3x<9.系數(shù)化為1，得x<3.所以，非負整數(shù)解為0，1，2.4．(杭州經(jīng)濟開發(fā)區(qū)期末)解不等式組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－4≥3（x－2），①,\f(x＋11,3)－1>－x.②))并把它的解在數(shù)軸上表示出來．解：解不等式①，得x≤1.解不等式②，得x＞－2.∴原不等式組的解為－2＜x≤1.在數(shù)軸上表示為：5．(十堰中考)x取哪些整數(shù)值時，不等式5x＋2＞3(x－1)與eq\f(1,2)x≤2－eq\f(3,2)x都成立？解：根據(jù)題意解不等式組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(5x＋2>3（x－1），①,\f(1,2)x≤2－\f(3,2)x.②))解不等式①，得x＞－eq\f(5,2).解不等式②，得x≤1.所以－eq\f(5,2)＜x≤1.故滿足條件的整數(shù)有－2、－1、0、1.

小專題(六)一元一次不等式的實際應用1．建設“新絲綢之路經(jīng)濟帶”和“21世紀海上絲綢之路”的戰(zhàn)略構想，強調相關各國要打造互利共贏的“利益共同體”和共同發(fā)展繁榮的“命運共同體”．某國有企業(yè)在“一帶一路”的戰(zhàn)略合作中，向東南亞銷售A、B兩種外貿(mào)產(chǎn)品共6萬噸．已知A種外貿(mào)產(chǎn)品每噸800元，B種外貿(mào)產(chǎn)品每噸400元．若A、B兩種外貿(mào)產(chǎn)品銷售額不低于3200萬元，則至少銷售A產(chǎn)品多少萬噸？解：設銷售A產(chǎn)品x萬噸．根據(jù)題意，得800x＋400(6－x)≥3200.解得x≥2.答：至少銷售A產(chǎn)品2萬噸．2．(來賓中考)已知購買一個足球和一個籃球共需130元，購買2個足球和一個籃球共需180元．(1)求每個足球和每個籃球的售價；(2)如果某校計劃購買這兩種球共54個，總費用不超過4000元，問最多可買多少個籃球？解：(1)設每個足球的售價為x元，每個籃球的售價為y元．根據(jù)題意，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝130，,2x＋y＝180.))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝50，,y＝80.))答：每個足球和每個籃球的售價分別為50元、80元．(2)設可購買z個籃球．根據(jù)題意，得50(54－z)＋80z≤4000.解得z≤eq\f(130,3).∵z取整數(shù)，∴z最大可取43.答：最多可買43個籃球．3．2017年的5月20日是第17個中國學生營養(yǎng)日，我市某校社會實踐小組在這天開展活動，調查快餐營養(yǎng)情況，他們從食品安全監(jiān)督部門獲取了一份快餐的信息(如圖)，若這份快餐中所含的蛋白質與碳水化合物的質量之和不高于這份快餐總質量的70%，這份快餐最多含有多少克的蛋白質？信息1．快餐成分：蛋白質、脂肪、碳水化合物和其他．2．快餐總質量為400克．3．碳水化合物質量是蛋白質質量的4倍．解：設這份快餐含有x克的蛋白質．根據(jù)題意，得x＋4x≤400×70%.解得x≤56.答：這份快餐最多含有56克的蛋白質．4．(玉林中考)蔬菜經(jīng)營戶老王近兩天經(jīng)營的是青菜和西蘭花．(1)昨天的青菜和西蘭花的進價和售價如下表，老王用600元批發(fā)青菜和西蘭花共200市斤，當天售完后老王一共能賺多少錢？青菜西蘭花進價(元/市斤)2.83.2售價(元/市斤)44.5(2)今天因進價不變，老王仍用600元批發(fā)青菜和西蘭花共200市斤，但在運輸中青菜損壞了10%，而西蘭花沒有損壞仍按昨天的售價銷售，要想當天售完后所賺的錢不少于昨天所賺的錢，請你幫老王計算，應怎樣給青菜定售價？(精確到0.1元)解：(1)設老王批發(fā)青菜x市斤，西蘭花y市斤，根據(jù)題意，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝200，,2.8x＋3.2y＝600.))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝100，,y＝100.))(4－2.8)×100＋(4.5－3.2)×100＝250(元)．答：當天售完后老王一共能賺250元錢．(2)設青菜的售價定為a元，根據(jù)題意，得100×(1－10%)a＋4.5×100－600≥250.解得a≥eq\f(40,9)≈4.44.答：青菜售價至少定為4.5元/市斤．

小專題(七)一次函數(shù)的圖象與性質類型1一次函數(shù)的圖象與字母系數(shù)的關系1．在平面直角坐標系中，正比例函數(shù)y＝kx(k<0)的圖象可能是(C)2．(懷化中考)一次函數(shù)y＝kx＋b(k≠0)在平面直角坐標系中的圖象如圖所示，則k和b的取值范圍是(C)A．k＞0，b＞0 B．k＜0，b＜0C．k＜0，b＞0 D．k＞0，b＜0第2題圖第3題圖3．(江山期末)已知一次函數(shù)y＝kx＋b的圖象如圖所示，則下列語句中不正確的是(B)A．函數(shù)值y隨x的增大而增大B．當x＞0時，y＞0C．k＋b＝0D．kb＜04．已知函數(shù)y＝kx＋b的圖象如圖，則y＝2kx＋b的圖象可能是(C)5．已知一次函數(shù)y＝(2k－1)x＋b－1的圖象經(jīng)過第一、二、四象限，則k，b的取值范圍為(B)A．k>eq\f(1,2)，b>1 B．k<eq\f(1,2)，b>1C．k>eq\f(1,2)，b<1 D．k<eq\f(1,2)，b<16．對于一次函數(shù)y＝kx＋b，其中b實際是該函數(shù)的圖象與y軸交點的縱坐標．在畫圖實踐中我們發(fā)現(xiàn)當k>0，b>0時，其圖象經(jīng)過第一、二、三象限．請你隨意畫幾個一次函數(shù)的圖象繼續(xù)探究：(1)當b>0時，圖象與y軸的交點在x軸上方；當b<0時，圖象與y軸的交點在x軸下方；(2)當k、b取何值時，圖象經(jīng)過第一、三、四象限？第一、二、四象限？第二、三、四象限？請寫出你的探究結論和同伴交流．解：當k>0，b<0時，圖象經(jīng)過第一、三、四象限；當k<0，b>0時，圖象經(jīng)過第一、二、四象限；當k<0，b<0時，圖象經(jīng)過第二、三、四象限．7．一次函數(shù)y＝mx＋n的圖象如圖所示．(1)試化簡代數(shù)式：eq\r(m2)－|m－n|；(2)若點(－2，a)，(3，b)在函數(shù)圖象上，比較a，b的大?。猓?1)由圖象可知，m＜0，n＞0，所以m－n<0.所以eq\r(m2)－|m－n|＝－m＋m－n＝－n.(2)因為一次函數(shù)y＝mx＋n的圖象從左往右逐漸下降，所以y隨x的增大而減?。忠驗辄c(－2，a)，(3，b)在函數(shù)圖象上，且－2＜3，所以a＞b.類型2一次函數(shù)圖象上點的坐標特征8．(遂寧中考)直線y＝2x－4與y軸的交點坐標是(D)A．(4，0) B．(0，4)C．(－4，0) D．(0，－4)9．一次函數(shù)y＝5x－2的圖象經(jīng)過點A(1，m)，如果點B與點A關于y軸對稱，那么點B所在的象限是(B)A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限10．已知點(－2，y1)，(－1，y2)，(1，y3)都在直線y＝－3x＋2上，則y1，y2，y3的大小關系是(A)A．y1＞y2＞y3B．y1＞y3＞y2C．y2＞y3＞y1D．y3＞y2＞y111．(欽州中考)一次函數(shù)y＝kx＋b(k≠0)的圖象經(jīng)過A(1，0)和B(0，2)兩點，則它的圖象不經(jīng)過第三象限．12．(株洲中考)已知直線y＝2x＋(3－a)與x軸的交點在A(2，0)，B(3，0)之間(包括A，B兩點)，則a的取值范圍是7≤a≤9．類型3一次函數(shù)表達式的確定13．(金華金東區(qū)期末)將直線y＝2x向右平移2個單位長度所得的直線的表達式是(C)A．y＝2x＋2 B．y＝2x－2C．y＝2(x－2) D．y＝2(x＋2)14．如圖，A、B兩點在坐標平面上，已知A(－3，0)，B(0，－4)，那么直線AB關于y軸對稱的直線表達式為(B)A．y＝－eq\f(4,3)x－4B．y＝eq\f(4,3)x－4C．y＝eq\f(4,3)x＋4D．y＝－eq\f(4,3)x＋415．(江山期末)一次函數(shù)的圖象經(jīng)過M(3，2)，N(－1，－6)兩點．(1)求函數(shù)表達式；(2)請判定點A(1，－2)是否在該一次函數(shù)圖象上，并說明理由．解：(1)設y＝kx＋b(k≠0)，將點(3，2)(－1，－6)代入，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2＝3k＋b，,－6＝－k＋b，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝2，,b＝－4.))∴y＝2x－4.(2)當x＝1時，y＝2×1－4＝－2，∴點A(1，－2)在一次函數(shù)圖象上．16．(益陽中考)如圖，直線l上有一點P1(2，1)，將點P1先向右平移1個單位長度，再向上平移2個單位長度得到像點P2，點P2恰好在直線l上．(1)寫出點P2的坐標；(2)求直線l所表示的一次函數(shù)的表達式；(3)若將點P2先向右平移3個單位長度，再向上平移6個單位長度得到像點P3.請判斷點P3是否在直線l上，并說明理由．解：(1)P2(3，3)．(2)設直線l所表示的一次函數(shù)的表達式為y＝kx＋b(k≠0)．因為點P1(2，1)，P2(3，3)在直線l上，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2k＋b＝1，,3k＋b＝3，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝2，,b＝－3.))所以直線l所表示的一次函數(shù)的表達式為y＝2x－3.(3)點P3在直線l上．由題意知點P3的坐標為(6，9)．因為2×6－3＝9，所以點P3在直線l上．

小專題(八)一次函數(shù)與方程、不等式的綜合應用類型1一次函數(shù)與一元一次方程的綜合應用1．方程2x＋12＝0的解是直線y＝2x＋12(C)A．與y軸交點的橫坐標B．與y軸交點的縱坐標C．與x軸交點的橫坐標D．與x軸交點的縱坐標2．已知方程kx＋b＝0的解是x＝3，則函數(shù)y＝kx＋b的圖象可能是(C)ABCD3．一次函數(shù)y＝kx＋b(k，b為常數(shù)，且k≠0)的圖象如圖所示，根據(jù)圖象信息可求得關于x的方程kx＋b＝0的解為(A)A．x＝－1 B．x＝2 C．x＝0 D．x＝3第3題圖第4題圖4．如圖，已知直線y＝3x＋b與y＝ax－2的交點的橫坐標為－2，則關于x的方程3x＋b＝ax－2的解為x＝－2．5．已知方程3x＋9＝0的解是x＝－3，則函數(shù)y＝3x＋9與x軸的交點坐標是(－3，0)，與y軸的交點坐標是(0，9)．類型2一次函數(shù)與二元一次方程組的綜合應用6．如圖，已知函數(shù)y＝ax＋b和y＝kx的圖象交于點P，則根據(jù)圖象可得關于x，y的二元一次方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝ax＋b，,y＝kx))的解是(B)A.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－2,y＝－4)) B.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－4,y＝－2))C.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2,y＝－4)) D.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－4,y＝2))第6題圖第7題圖7．如圖，兩條直線l1和l2的交點坐標可以看作下列哪個方程組中的解(B)A.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝2x＋1,y＝x＋2)) B.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝－x＋3,y＝3x－5))C.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝－2x＋1,y＝x－1)) D.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝－2x＋1,y＝x＋1))8．體育課上，20人一組進行足球比賽，每人射點球5次，已知某一組的進球總數(shù)為49個，進球情況記錄如下表，其中進2個球的有x人，進3個球的有y人，若(x，y)恰好是兩條直線的交點坐標，則這兩條直線的表達式是(C)進球數(shù)012345人數(shù)15xy32A.y＝x＋9與y＝eq\f(2,3)x＋eq\f(22,3)B．y＝－x＋9與y＝eq\f(2,3)x＋eq\f(22,3)C．y＝－x＋9與y＝－eq\f(2,3)x＋eq\f(22,3)D．y＝x＋9與y＝－eq\f(2,3)x＋eq\f(22,3)9．利用一次函數(shù)的圖象解二元一次方程組：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝1，,2x－y＝5.))解：根據(jù)圖象可得出方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝－x＋1，,y＝2x－5))的解是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝－1.))10.在平面直角坐標系中，直線l1經(jīng)過點(2，3)和點(－1，－3)，直線l2經(jīng)過原點O，且與直線l1交于點P(－2，a)．(1)求a的值；(2)(－2，a)可看成怎樣的二元一次方程組的解？(3)設直線l1與y軸交于點A，試求出△APO的面積．解：(1)設直線l1的表達式為y＝kx＋b，∵直線l1經(jīng)過(2，3)和(－1，－3)，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2k＋b＝3，,－k＋b＝－3.))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝2，,b＝－1.))∴直線l1的表達式為y＝2x－1.把P(－2，a)代入y＝2x－1，得a＝2×(－2)－1＝－5.(2)設直線l2的表達式為y＝mx，把P(－2，－5)代入，得－5＝－2m，解得m＝eq\f(5,2).∴直線l2的表達式為y＝eq\f(5,2)x.∴(－2，－5)可以看作是二元一次方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝2x－1，,y＝\f(5,2)x))的解．(3)對于y＝2x－1，令x＝0，解得y＝－1，則A點坐標為(0，－1)．∴S△APO＝eq\f(1,2)×2×1＝1.11．(青島中考)甲、乙兩人進行賽跑，甲比乙跑得快，現(xiàn)在甲讓乙先跑10米，甲再起跑．圖中l(wèi)1和l2分別表示甲、乙兩人跑步的路程y(m)與甲跑步的時間x(s)之間的函數(shù)關系，其中l(wèi)1的關系式為y1＝8x，問甲追上乙用了多長時間？解：設l2的關系式為y2＝kx＋b(k≠0)，根據(jù)題意，可得方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(10＝b，,22＝2k＋b.))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝6，,b＝10.))∴y2＝6x＋10.當y1＝y(tǒng)2時，8x＝6x＋10，解得x＝5.答：甲追上乙用了5s.類型3一次函數(shù)與不等式的綜合應用12．一次函數(shù)y＝kx＋b(k≠0)的圖象如圖所示，當kx＋b＜0時，x的取值范圍是(D)A．x＜0 B．x＞0 C．x＜2 D．x＞2第12題圖第14題圖13．對于函數(shù)y＝－x＋4，當x＞－2時，y的取值范圍是(D)A．y＜4 B．y＞4C．y＞6 D．y＜614．如圖，函數(shù)y＝2x－4與x軸、y軸分別交于點(2，0)，(0，－4)，當－4＜y＜0時，x的取值范圍是(C)A．x＜－1 B．－1＜x＜0C．0＜x＜2 D．－1＜x＜215．(杭州開發(fā)區(qū)期末)一次函數(shù)y＝kx＋b(k≠0)的圖象如圖所示，當y＜0時，自變量x的取值范圍是(A)A．x＜－2B．x＞－2C．x＞2D．x＜2第15題圖第16題圖16．(紹興五校聯(lián)考期末)直線l1：y＝k1x＋b與直線l2：y＝k2x＋c在同一平面直角坐標系中的圖象如圖所示，則關于x的不等式k1x＋b<k2x＋c的解集為x<1．17．已知函數(shù)y1＝kx－2和y2＝－3x＋b相交于點A(2，－1)．(1)求k、b的值，在同一坐標系中畫出兩個函數(shù)的圖象；(2)利用圖象求出：當x取何值時有：①y1<y2；②y1≥y2；(3)利用圖象求出：當x取何值時有：①y1<0且y2<0；②y1>0且y2<0.解：(1)k＝eq\f(1,2)，b＝5.圖象略．(2)①當x<2時，y1<y2.②當x≥2時，y1≥y2.(3)①當eq\f(5,3)<x<4時，y1<0且y2<0.②當x>4時，y1>0且y2<0.

小專題(九)分段函數(shù)1．某蓄水池的橫斷面示意圖如圖所示，分深水區(qū)和淺水區(qū)，如果這個注滿水的蓄水池以固定的流量把水全部放出，下面的圖象能大致表示水的深度h和放水時間t之間的關系的是(A)第1題圖第2題圖2．如圖是某復印店復印收費y(元)與復印面數(shù)(8開紙)x(面)的函數(shù)圖象，那么從圖象中可看出，復印超過100面的部分，每面收費(A)A．0.4元 B．0.45元C．約0.47元 D．0.5元3．如圖是某工程隊在一項修筑公路的工程中，修筑的公路長度y(米)與時間x(天)之間的關系函數(shù)(圖象為折線)．根據(jù)圖象提供的信息，可知到第七天止，該工程隊修筑的公路長度為(D)A．630米 B．504米 C．480米 D．450米第3題圖第4題圖4．(紹興五校聯(lián)考期末)小波、小威從學校出發(fā)到青少年宮參加書法比賽，小波步行一段時間后，小威騎自行車沿相同路線行進，兩人均勻速前行．他們的路程差s(米)與小波出發(fā)時間t(分)之間的函數(shù)關系如圖所示．下列說法：①小威先到達青少年宮；②小威的速度是小波速度的2.5倍；③a＝24；④b＝480.其中正確的是(B)A．①②③ B．①②④C．①③④ D．①②③④5．(江山期末)在全民健身環(huán)城越野賽中，甲、乙兩選手的行程y(千米)隨時間x(小時)變化的圖象(全程)如圖所示．有下列說法：①起跑后1小時內(nèi)，甲在乙的前面；②第1小時兩人都跑了10千米；③甲比乙先到達終點；④兩人都跑了20千米．其中正確的說法的序號是①②④．6．某市政府為了增強城鎮(zhèn)居民抵御大病風險的能力，積極完善城鎮(zhèn)居民醫(yī)療保險制度，納入醫(yī)療保險的居民的大病住院醫(yī)療費用的報銷比例標準如下表：醫(yī)療費用范圍報銷比例標準不超過8000元不予報銷超過8000元且不超過30000元的部分50%超過30000元且不超過50000元的部分60%超過50000元的部分70%設享受醫(yī)保的某居民一年的大病住院醫(yī)療費用為x元，按上述標準報銷的金額為y元．(1)直接寫出x≤50000時，y關于x的函數(shù)關系式，并注明自變量x的取值范圍；(2)若某居民大病住院醫(yī)療費用按標準報銷了20000元，問他的住院醫(yī)療費用是多少元？解：(1)①當x≤8000時，y＝0；②當8000＜x≤30000時，y＝(x－8000)×50%＝0.5x－4000；③當30000＜x≤50000時，y＝(30000－8000)×50%＋(x－30000)×60%＝0.6x－7000.(2)當花費30000元時，報銷錢數(shù)為y＝0.5×30000－4000＝11000(元)，∵20000＞11000，∴他的住院醫(yī)療費用超過30000元．當花費50000元時，報銷錢數(shù)為y＝0.6×50000－7000＝23000(元)，∵20000<23000，∴他的住院醫(yī)療費用小于50000元．故把y＝20000代入y＝0.6x－7000中，得20000＝0.6x－7000，解得x＝45000.答：他的住院醫(yī)療費用是45000元．7．在平面直角坐標系中，一動點P(x，y)從M(1，0)出發(fā)，沿由A(－1，1)，B(－1，－1)，C(1，－1)，D(1，1)四點組成的正方形邊線(如圖1)按一定方向運動．圖2是P點運動的路程s(個單位)與運動時間t(秒)之間的函數(shù)圖象，圖3是P點的縱坐標y與P點運動的路程s之間的函數(shù)圖象的一部分．(1)s與t之間的函數(shù)關系式是s＝eq\f(1,2)t(t≥0)；(2)與圖3相對應的P點的運動路徑是M→D→A→N；P點出發(fā)10秒首次到達點B；(3)寫出當3≤s≤8時，y與s之間的函數(shù)關系式，并在圖3中補全函數(shù)圖象．解：當3≤s＜5，即P從A到B時，y＝4－s；當5≤s＜7，即P從B到C時，y＝－1；當7≤s≤8，即P從C到M時，y＝s－8.補全圖形，如圖．8．為發(fā)展旅游經(jīng)濟，我市某景區(qū)對門票采用靈活的售票方法吸引游客．門票定價為50元/人，非節(jié)假日打a折售票，節(jié)假日按團隊人數(shù)分段定價售票，即m人以下(含m人)的團隊按原價售票；超過m人的團隊，其中m人仍按原價售票，超過m人部分的游客打b折售票．設某旅游團人數(shù)為x人，非節(jié)假日購票款為y1(元)，節(jié)假日購票款為y2(元)．y1，y2與x之間的函數(shù)圖象如圖所示．(1)觀察圖象可知：a＝6；b＝8；m＝10；(2)直接寫出y1，y2與x之間的函數(shù)關系式；(3)某旅行社導游于5月1日帶A團，5月20日(非節(jié)假日)帶B團都到該景區(qū)旅游，共付門票款1900元，A，B兩個團隊合計50人，求A，B兩個團隊各有多少人．解：(2)設y1＝k1x，∵函數(shù)圖象經(jīng)過點(10，300)，∴10k1＝300.∴k1＝30.∴y1＝30x.當0≤x≤10時，設y2＝k2x，∵函數(shù)圖象經(jīng)過點(10，500)，∴10k2＝500.∴k2＝50.∴y2＝50x.當x＞10時，設y2＝kx＋b，∵函數(shù)圖象經(jīng)過點(10，500)和(20，900)，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(10k＋b＝500，,20k＋b＝900.))∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝40，,b＝100.))∴y2＝40x＋100.∴y2＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(50x（0≤x≤10），,40x＋100（x＞10）.))(3)設A團有n人，則B團的人數(shù)為(50－n)，當0≤n≤10時，50n＋30(50－n)＝1900，解得n＝20(不符合題意，舍去)，當n＞10時，40n＋100＋30(50－n)＝1900，解得n＝30，∴50－n＝50－30＝20.答：A團有30人，B團有20人．

期末復習(一)三角形的初步知識01知識結構eq\a\vs4\al(三,角,形,的,初,步,知,識)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(三角形的概念\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(三邊關系,內(nèi)角和定理及其推論,三角形的中線、高線、角平分線)),定義與命題\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(命題的組成,命題的分類)),\a\vs4\al(全等圖形→全等三角形)\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(全等三角形的性質,全等三角形的判定,角平分線的性質定理,線段垂直平分線的性質定理)),尺規(guī)作圖))02重難點突破重難點1三角形的三邊關系【例1】(蕭山區(qū)期中)已知等腰三角形兩條邊的長分別是3和6，則它的周長是(B)A．12 B．15C．12或15 D．15或18【方法歸納】判斷給定的三條線段能否組成三角形，只需判斷兩條較短線段的和是否大于最長線段．在已知等腰三角形的兩邊長求其周長時，需注意：(1)一定要利用分類討論思想列舉出三角形的三邊長；(2)一定要利用三角形的三邊關系檢驗列舉出的三邊長是否能圍成三角形．1．(海寧新倉中學期中)兩根木棒的長分別是5cm和7cm，要選擇第三根木棒，將它們首尾相接釘成一個三角形，則第三根木棒長的取值可以是(B)A．2cm B．4cmC．12cm D．13cm重難點2三角形形內(nèi)角和定理及其推論【例2】如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，E為BC延長線上一點，∠ABC與∠ACE的平分線相交于點D，則∠D等于(A)A．15°B．17.5°C．20°D．22.5°【方法歸納】在計算與三角形有關的角度時，首先應判斷出要求角與所在三角形中已知角之間的關系，再合理選用三角形的內(nèi)角和定理或外角的性質求角度，同時在解題時要注意角平分線的定義、平行線的性質等知識的運用．2．如圖，AB∥CD，∠B＝68°，∠E＝20°，則∠D的度數(shù)為(C)A．28°B．38°C．48°D．88°重難點3三角形的三條重要線段【例3】如圖，AD是△ABC的中線，點E為AD的中點，點F為BE的中點，S△ABC＝41，則S△BFC＝eq\f(41,4)．【思路點撥】根據(jù)三角形面積公式得S△BFC＝S△EFC，S△AEC＝S△DEC，S△AEB＝S△DEB，S△ABD＝S△ADC，從而S△BFC＝eq\f(1,4)S△ABC.3．在△ABC中，AC＝5cm，AD是△ABC中線，若△ABD的周長比△ADC的周長大2cm，則BA＝7_cm．4．(1)如圖所示，在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝72°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于點D，DF⊥CE于點F，求∠CDF的度數(shù)；(2)在(1)中，若∠A＝α，∠B＝β(α≠β)，其他條件不變，求∠CDF的度數(shù)．(用含α和β的代數(shù)式表示)解：(1)根據(jù)題意，在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝72°，所以∠ACB＝68°.因為CE平分∠ACB，所以∠ACE＝34°.所以∠CED＝∠A＋∠ACE＝74°.因為CD⊥AB，DF⊥CE，且∠ECD為公共角，所以∠CDF＝∠CED＝74°.(2)由(1)可知，∠CDF＝∠CED＝∠A＋∠ACE，∠ACE＝eq\f(180°－α－β,2).所以∠CDF＝eq\f(180°＋α－β,2).重難點4線段垂直平分線與角平分線的性質【例4】如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，交AC于點E，DE垂直平分AB于點D，求證：BE＋DE＝AC.證明：∵∠ACB＝90°，∴AC⊥BC.∵ED⊥AB，BE平分∠ABC，∴CE＝DE，∵DE垂直平分AB，∴AE＝BE.∵AC＝AE＋CE，∴BE＋DE＝AC.【方法歸納】在利用線段垂直平分線的性質求線段長度時，通常是根據(jù)線段垂直平分線的性質得到線段相等，再根據(jù)相等線段之間的轉換，得到所求線段的長．5．如圖，在△ABC中，∠BAC>90°，AB的垂直平分線MP交BC于點P，AC的垂直平分線NQ交BC于點Q，連結AP，AQ，若△APQ的周長為20cm，則BC為20cm.第5題圖第6題圖6．如圖，△ABC的三條角平分線交于O點，已知△ABC的周長為20，OD⊥AB，OD＝5，則△ABC的面積為50．重難點5全等三角形的性質與判定【例5】已知△ABN和△ACM的位置如圖所示，AB＝AC，AD＝AE，∠1＝∠2.(1)求證：BD＝CE；(2)求證：∠M＝∠N.【思路點撥】(1)要證BD＝CE，可通過轉化證△ABD≌△ACE，根據(jù)“SAS”得證；(2)要證∠M＝∠N，可通過轉化證△ACM≌△ABN，由(1)可知∠C＝∠B.因為∠2＝∠1，所以∠CAM＝∠BAN.再結合AB＝AC，即可根據(jù)“ASA”得證．證明：(1)在△ABD和△ACE中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝AC，,∠1＝∠2，,AD＝AE，))∴△ABD≌△ACE(SAS)．∴BD＝CE.(2)∵∠1＝∠2，∴∠1＋∠DAE＝∠2＋∠DAE，即∠BAN＝∠CAM.由(1)，得△ABD≌△ACE，∴∠B＝∠C.在△ACM和△ABN中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠C＝∠B，,AC＝AB，,∠CAM＝∠BAM，))∴△ACM≌△ABN(ASA)．∴∠M＝∠N.【方法歸納】三角形全等的證明思路：eq\a\vs4\al(已知兩邊)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(找夾角→SAS,找另一邊→SSS))eq\a\vs4\al(已知一邊,和一角)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(邊為角的對邊→找任一角→AAS,\a\vs4\al(邊為,角的,鄰邊)\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(找夾角的另一邊→SAS,找夾邊的另一角→ASA,找邊的對角→AAS))))eq\a\vs4\al(已知兩角)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(找夾邊→ASA,找任一角的對邊→AAS))7．(成都中考)如圖，△ABC≌△A′B′C′，其中∠A＝36°，∠C＝24°，則∠B＝120°．第7題圖第8題圖8．(杭州大江東區(qū)期中)如圖，已知AD是△ABC的角平分線，在不添加任何輔助線的前提下，要使△AED≌△AFD，需添加一個條件是：AE＝AF或∠EDA＝∠FDA或∠AED＝∠AFD．03備考集訓一、選擇題(每小題3分，共30分)1．下列長度的三條線段，能組成三角形的是(C)A．1，2，4 B．4，5，9C．4，6，8 D．5，5，112．(嵊州校級期中)下列語句不是命題的是(B)A．兩直線平行，同位角相等B．作直線AB垂直于直線CDC．若|a|＝|b|，則a2＝b2D．同角的補角相等3．如圖，已知△ABE≌△ACD，∠1＝∠2，∠B＝∠C，不正確的等式是(D)A．AB＝AC B．∠BAE＝∠CADC．BE＝DC D．AD＝DE第3題圖第4題圖4．(杭州大江東區(qū)期中)如圖，在△ABC和△DEC中，已知AB＝DE，還需添加兩個條件才能使△ABC≌△DEC，不能添加的一組條件是(C)A．BC＝EC，∠B＝∠EB．BC＝EC，AC＝DCC．BC＝EC，∠A＝∠DD．∠B＝∠E，∠A＝∠D5．如圖，將兩根鋼條AA′、BB′的中點O連在一起，使AA′、BB′可以繞著點O自由轉動，就做成了一個測量工件，由三角形全等得出A′B′的長等于內(nèi)槽寬AB，那么判定△OAB≌△OA′B′的理由是(A)A．邊角邊 B．角邊角C．邊邊邊 D．角角邊第5題圖第6題圖6．如圖，在△ABC中，AB＝AC，DE是AB邊的垂直平分線，分別交AB、AC于點D、E，△BEC的周長是14cm，BC＝5cm，則AB的長是(B)A．14cm B．9cm C．19cm D．12cm7．如圖，AD是△ABC中∠BAC的平分線，DE⊥AB于點E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，則AC長是(A)A．3 B．4 C．6 D．5第7題圖第8題圖8．如圖所示，在△ABC中，∠BAC∶∠ABC∶∠BCA＝3∶4∶5，BD，CE分別是邊AC，AB上的高，BD，CE相交于點H，則∠BHC的度數(shù)為(B)A．120° B．135° C．125° D．130°9．(嵊州期末)如圖，在方格紙中，以AB為一邊作△ABP，使之與△ABC全等，從P1，P2，P3，P4四個點中找出符合條件的點P，則點P有(C)A．1個 B．2個C．3個 D．4個第9題圖第10題圖10．(杭州大江東區(qū)期中)如圖，四邊形ABCD是正方形，直線a，b，c分別通過A、D、C三點，且a∥b∥c.若a與b之間的距離是5，b與c之間的距離是7，則正方形ABCD的面積是(B)A．70 B．74C．144 D．148二、填空題(每小題4分，共24分)11．如圖，在△ABC中，∠A＝58°，∠B＝63°，則外角∠ACD＝121度．第11題圖第12題圖12．如圖，若△ABE≌△ACF，且AB＝5，AE＝2，則EC的長為3．13．如圖，已知△ABC的周長為27cm，AC＝9cm，BC邊上中線AD＝6cm，△ABD周長為19cm，AB＝8_cm．14．(杭州蕭山區(qū)月考)已知三角形的兩條邊長分別是3cm和4cm，一個內(nèi)角為40°，那么滿足這一條件且彼此不全等的三角形共有4個．15．當三角形中一個內(nèi)角是另一個內(nèi)角的3倍時，我們稱此三角形為“夢想三角形”．如果一個“夢想三角形”有一個角為108°，那么這個“夢想三角形”的最小內(nèi)角的度數(shù)為18°或36°．16．如圖，在四邊形ABCD中，給出了下列三個論斷：①對角線AC平分∠BAD；②CD＝BC；③∠D＋∠B＝180°.在上述三個論斷中，若以其中兩個論斷作為條件，另外一個論斷作為結論，則可以得出3個正確的命題．三、解答題(共46分)17．(10分)如圖，已知：AD是△ABC的角平分線，CE是△ABC的高，∠BAC＝60°，∠BCE＝40°，求∠ADB的度數(shù)．解：∵AD是△ABC的角平分線，∠BAC＝60°，∴∠DAC＝∠BAD＝30°.∵CE是△ABC的高，∠BCE＝40°，∴∠B＝50°，∴∠ADB＝180°－∠B－∠BAD＝180°－50°－30°＝100°.18．(12分)如圖，AD是△ABC的邊BC上的中線，AB＝BC，且AD把△ABC的周長分成3和4的兩部分，求AC邊的長．解：設AB＝BC＝2x，∵AD是△ABC的邊BC上的中線，∴BD＝CD＝x.若△ABD的周長是3＋AD，則2x＋x＝3，解得x＝1.∴AC＝4－1＝3.若△ABD的周長是4＋AD，則2x＋x＝4，解得x＝eq\f(4,3).∴AC＝3－eq\f(4,3)＝eq\f(5,3).綜上，AC邊的長為3或eq\f(5,3).19．(12分)如圖，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，點D為AB延長線上一點，點E在BC邊上，且BE＝BD，連結AE、DE、DC.(1)求證：△ABE≌△CBD；(2)若∠CAE＝30°，求∠BDC的度數(shù)．解：(1)證明：在△ABE和△CBD中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝CB，,∠ABE＝∠CBD＝90°，,BE＝BD，))∴△ABE≌△CBD(SAS)．(2)∵在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，∴∠BAC＝∠ACB＝45°.∵△ABE≌△CBD，∴∠AEB＝∠BDC.∵∠AEB為△AEC的外角，∴∠AEB＝∠ACB＋∠CAE＝45°＋30°＝75°.∴∠BDC＝75°.20．(12分)(杭州青春中學期末)如圖1，AB＝4cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝3cm.點P在線段AB上以1cm/s的速度由點A向點B運動，同時，點Q在線段BD上由點B向點D運動．它們運動的時間為t(s)．(1)若點Q的運動速度與點P的運動速度相等，當t＝1時，△ACP與△BPQ是否全等，請說明理由，并判斷此時線段PC和線段PQ的位置關系；(2)如圖2，將圖1中的“AC⊥AB，BD⊥AB”改為“∠CAB＝∠DBA＝60°”，其他條件不變．設點Q的運動速度為xcm/s，是否存在實數(shù)x，使得△ACP與△BPQ全等？若存在，求出相應的x、t的值；若不存在，請說明理由．解：(1)當t＝1時，AP＝BQ＝1，BP＝AC＝3，在△ACP和△BPQ中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AP＝BQ，,∠A＝∠B＝90°，,AC＝BP，))∴△ACP≌△BPQ(SAS)．∴∠ACP＝∠BPQ.∴∠APC＋∠BPQ＝∠APC＋∠ACP＝90°.∴∠CPQ＝90°，即線段PC與線段PQ垂直．(2)①若△ACP≌△BPQ，則AC＝BP，AP＝BQ，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3＝4－t，,t＝xt，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(t＝1，,x＝1.))②若△ACP≌△BQP，則AC＝BQ，AP＝BP，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3＝xt，,t＝4－t，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(t＝2，,x＝\f(3,2).))綜上所述，存在eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(t＝1，,x＝1))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(t＝2，,x＝\f(3,2)，))使得△ACP與△BPQ全等．

期末復習(二)特殊三角形01知識結構eq\a\vs4\al(特殊三角形)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(圖形的軸對稱\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(軸對稱圖形,軸對稱,軸對稱和軸對稱圖形的性質)),等腰三角形\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(軸對稱性,性質定理,判定定理)),逆命題和逆定理\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(互逆命題,互逆定理,線段垂直平分線定理的逆定理)),直角三角形\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(性質定理,判定定理,勾股定理,勾股定理的逆定理,全等的判定,角平分線的性質定理))))02重難點突破重難點1等腰三角形的性質及判定【例1】(蕭山區(qū)期中)如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC.(1)若AC＝BC，∠B∶∠C＝2∶1，試寫出圖中的所有等腰三角形，并給予證明；(2)若AB＋BD＝AC，求∠B∶∠C的比值．【思路點撥】(1)根據(jù)等腰三角形的定義及“等角對等邊”判定等腰三角形；(2)利用“截長法”或“補短法”添加輔助線，將AC－AB或AB＋BD轉化成一條線段，通過全等得到線段相等，從而得到角相等．解：(1)等腰三角形有3個：△ABC，△ABD，△ADC，證明：∵AC＝BC，∴△ABC是等腰三角形．∴∠B＝∠BAC.∵∠B∶∠C＝2∶1，∠B＋∠BAC＋∠C＝180°，∴∠B＝∠BAC＝72°，∠C＝36°.∵∠BAD＝∠DAC＝eq\f(1,2)∠BAC＝36°，∴∠B＝∠ADB＝72°，∠DAC＝∠C＝36°.∴AB＝AD，DA＝DC.∴△ABD和△ADC是等腰三角形．(2)在AC上截取AE＝AB，連結DE，又∵∠BAD＝∠DAE，AD＝AD，∴△ABD≌△AED.∴∠AED＝∠B，BD＝DE.∵AB＋BD＝AC，AC＝AE＋EC，∴BD＝EC.∴DE＝EC.∴∠EDC＝∠C.∴∠B＝∠AED＝∠EDC＋∠C＝2∠C.∴∠B∶∠C＝2∶1.1．(上城區(qū)期中)如圖，△ABC、△ADE中，C、D兩點分別在AE、AB上，BC與DE相交于點F.若BD＝CD＝CE，∠ADC＋∠ACD＝104°，則∠DFC的度數(shù)為(C)A．104°B．118°C．128°D．136°2．如圖，在△ABC中，AB＝AC，點D、E、F分別在AB、BC、AC邊上，且BE＝CF，BD＝CE.(1)求證：△DEF是等腰三角形；(2)當∠A＝40°時，求∠DEF的度數(shù)．解：(1)證明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.在△BDE和△CEF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(BE＝CF，,∠B＝∠C，,BD＝CE，))∴△BDE≌△CEF(SAS)．∴DE＝EF，即△DEF是等腰三角形．(2)∵∠A＝40°，AB＝AC，∴∠B＝∠C＝70°.由(1)知，△BDE≌△CEF，∴∠BDE＝∠CEF.∴∠DEF＝180°－∠BED－∠CEF＝180°－∠BED－∠BDE＝∠B＝70°.重難點2直角三角形的性質及判定【例2】在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BF平分∠ABC，∠AEF＝∠AFE.(1)求證：AD⊥BC(請用一對互逆命題進行證明)；(2)寫出你所用到的這對互逆命題．【思路點撥】由“直角三角形的兩個銳角互余”得到∠ABF＋∠AFB＝90°，又因為∠ABF＝∠CBF，∠AEF＝∠BED，從而轉化為∠CBF＋∠BED＝90°，從而AD⊥BC得證．解：(1)證明：在Rt△ABC中，∵∠BAC＝90°，∴∠ABF＋∠AFB＝90°.∵BF平分∠ABC，∴∠ABF＝∠CBF