優(yōu)選傅里葉變換原理現(xiàn)在是1頁\一共有52頁\編輯于星期三2

積分變換簡介1、何為積分變換？

所謂積分變換，實際上就是通過積分算，把一個函數(shù)變成另一個函數(shù)的一種變換.現(xiàn)在是2頁\一共有52頁\編輯于星期三32、積分變換的產(chǎn)生

數(shù)學中經(jīng)常利用某種運算先把復雜問題變?yōu)楸容^簡單的問題，求解后，再求其逆運算就可得到原問題的解.原問題原問題的解直接求解困難變換較簡單問題變換后問題的解求解逆變換現(xiàn)在是3頁\一共有52頁\編輯于星期三4

如，初等數(shù)學中，曾經(jīng)利用取對數(shù)將數(shù)的積、商運算化為較簡單的和、差運算；

再如，高等數(shù)學中的代數(shù)變換，解析幾何中的坐標變換，復變函數(shù)中的保角變換，其解決問題的思路都屬于這種情況.

基于這種思想，便產(chǎn)生了積分變換.其主要體現(xiàn)在：

數(shù)學上：求解方程的重要工具；能實現(xiàn)卷積與普通乘積之間的互相轉(zhuǎn)化.

工程上：是頻譜分析、信號分析、線性系統(tǒng)分析的重要工具.現(xiàn)在是4頁\一共有52頁\編輯于星期三5第八章傅立葉變換主要內(nèi)容：1、傅立葉積分公式2、傅立葉變換及其性質(zhì)

3、卷積現(xiàn)在是5頁\一共有52頁\編輯于星期三6§1傅立葉級數(shù)與積分1、傅立葉級數(shù)的指數(shù)形式在《高等數(shù)學》中有下列定理：定理1（1）連續(xù)或只有有限個第一類間斷點；（2）只有有限個極值點.

則在連續(xù)點處，有現(xiàn)在是6頁\一共有52頁\編輯于星期三7現(xiàn)在是7頁\一共有52頁\編輯于星期三8注意：于是現(xiàn)在是8頁\一共有52頁\編輯于星期三9則（2）式稱為傅立葉級數(shù)的復指數(shù)形式，具有明顯的物理意義.現(xiàn)在是9頁\一共有52頁\編輯于星期三102、傅立葉積分

任何一個非周期函數(shù)

f(t),都可看成是由某個周期函數(shù)

fT(t)當T→+∞時轉(zhuǎn)化而來的.現(xiàn)在是10頁\一共有52頁\編輯于星期三11{O

w1

w2

w3

wn-1wn{{{w于是現(xiàn)在是11頁\一共有52頁\編輯于星期三12從而按照積分的定義，（4）可以寫為：或者現(xiàn)在是12頁\一共有52頁\編輯于星期三13公式（5）稱為函數(shù)

f(t)的傅氏積分公式.定理2

若

f(t)在(-,+)上滿足條件:

(1)f(t)在任一有限區(qū)間上滿足狄氏條件;

(2)f(t)在無限區(qū)間(-,+)上絕對可積,即則（5）在

f(t)的連續(xù)點成立.上述定理稱為傅氏積分定理.現(xiàn)在是13頁\一共有52頁\編輯于星期三14事實上,根據(jù)歐拉公式,有現(xiàn)在是14頁\一共有52頁\編輯于星期三15所以由(7),得到于是(6)成立.現(xiàn)在是15頁\一共有52頁\編輯于星期三16§2傅立葉變換1、傅立葉變換的概念

上一節(jié)介紹了：當f(t)滿足一定條件（？）時，在f(t)的連續(xù)點處有：現(xiàn)在是16頁\一共有52頁\編輯于星期三17簡稱傅氏變換,記為F簡稱傅氏逆變換,記為F還可以將

f(t)和

F(w)用箭頭連接:

f(t)F(w).現(xiàn)在是17頁\一共有52頁\編輯于星期三18tf(t)o現(xiàn)在是18頁\一共有52頁\編輯于星期三19解:根據(jù)定義,有這就是指數(shù)衰減函數(shù)的傅氏變換.現(xiàn)在是19頁\一共有52頁\編輯于星期三20根據(jù)積分表達式的定義,有注意到化簡整理現(xiàn)在是20頁\一共有52頁\編輯于星期三21---鐘形脈沖函數(shù).解:根據(jù)定義,有現(xiàn)在是21頁\一共有52頁\編輯于星期三22化簡整理如何計算？這里利用了以下結(jié)果：現(xiàn)在是22頁\一共有52頁\編輯于星期三232、傅立葉變換的物理意義

如果仔細分析周期函數(shù)和非周期函數(shù)的傅氏積分表達式現(xiàn)在是23頁\一共有52頁\編輯于星期三24由此引出以下術(shù)語：

在頻譜分析中,傅氏變換F(w)又稱為f(t)的頻譜函數(shù),而它的模|F(w)|稱為f(t)的振幅頻譜(亦簡稱為頻譜).

由于w是連續(xù)變化的,我們稱之為連續(xù)頻譜,對一個時間函數(shù)作傅氏變換,就是求這個時間函數(shù)的頻譜.顯然，振幅函數(shù)|F(w)|是角頻率w的偶函數(shù),即現(xiàn)在是24頁\一共有52頁\編輯于星期三25顯然

相角頻譜argF(w)是w的奇函數(shù).現(xiàn)在是25頁\一共有52頁\編輯于星期三26例3求單個矩形脈沖函數(shù)的頻譜圖.解：現(xiàn)在是26頁\一共有52頁\編輯于星期三27請畫出其頻譜圖.頻譜為

以上術(shù)語初步揭示了傅氏變換在頻譜分析中的應用，更深入詳細的理論會在有關(guān)專業(yè)課中詳細介紹！現(xiàn)在是27頁\一共有52頁\編輯于星期三28本講小結(jié)：1.掌握傅氏積分定理的條件和結(jié)論；2.掌握傅氏變換和傅氏逆變換的概念；3.了解傅氏變換的物理意義.現(xiàn)在是28頁\一共有52頁\編輯于星期三29§3單位脈沖函數(shù)2、單位脈沖函數(shù)1、單位脈動函數(shù)de(t)1/eeOt

在物理和工程技術(shù)中,有許多物理現(xiàn)象具有脈沖性質(zhì).例如斷電以后的突然來電等;在力學中,機械系統(tǒng)受沖擊力作用后的運動情況等.研究此類問題就會產(chǎn)生我們要介紹的單位脈沖函數(shù).物理學家狄拉克首先引入，此后在物理及工程技術(shù)中被廣泛地采用.現(xiàn)在是29頁\一共有52頁\編輯于星期三30

在原來電流為零的電路中,某一瞬時(設為t=0)進入一單位電量的脈沖,現(xiàn)在要確定電路上的電流i(t).以q(t)表示上述電路中的電荷函數(shù),則由于電流強度是電荷函數(shù)對時間的變化率,即

所以,當t0時,i(t)=0,由于q(t)不連續(xù),從而在普通導數(shù)意義下,q(t)在這一點是不能求導數(shù)的.現(xiàn)在是30頁\一共有52頁\編輯于星期三31如果我們形式地計算這個導數(shù),得

這表明在通常意義下的函數(shù)類中找不到一個函數(shù)能夠表示這樣的電流強度.為此,引進一稱為狄拉克(Dirac)的函數(shù).有了這種函數(shù),對于許多集中于一點或一瞬時的量,例如點電荷，點源,集中于一點的質(zhì)量及脈沖技術(shù)中的非常窄的脈沖等,就能夠象處理連續(xù)分布的量那樣,以統(tǒng)一的方式加以解決.廣義函數(shù)，沒有普通意義下的函數(shù)值.現(xiàn)在是31頁\一共有52頁\編輯于星期三322.1單位脈沖函數(shù)的定義定義對于任何一個無窮次可微的函數(shù)f(t),稱滿足2.2單位脈沖函數(shù)的性質(zhì)(1)積分性質(zhì)證明：現(xiàn)在是32頁\一共有52頁\編輯于星期三33

一些工程書中，δ-函數(shù)常用一個長度等于1的有向線段來表示.tOd(t)1(2)篩選性質(zhì)對于無窮次可微的函數(shù)f(t)，有一般地現(xiàn)在是33頁\一共有52頁\編輯于星期三34

這一性質(zhì)在近代物理和工程技術(shù)中有著較廣泛的應用.例1

求單位脈沖函數(shù)的傅氏變換.解：

可見,單位脈沖函數(shù)d(t)與常數(shù)1構(gòu)成了一傅氏變換對；

同理,

d(t-t0)和亦構(gòu)成了一個傅氏變換對.現(xiàn)在是34頁\一共有52頁\編輯于星期三35

需要指出的是，此處的廣義積分是按(1)式計算的，不是普通意義下的積分值，我們稱這種傅氏變換為廣義的傅氏變換.

根據(jù)傅氏積分公式，函數(shù)f(t)能取傅立葉積分變換的前提條件是它首先應絕對可積，即

實際上這個條件非常強，它要求f(t)條件較高，因而一些常見的函數(shù)都不滿足這一點.如現(xiàn)在是35頁\一共有52頁\編輯于星期三36

如此以來，較強的條件使得傅立葉變換的應用受到限制.為克服這一缺陷，我們把單位脈沖函數(shù)及其傅氏變換應用到其他函數(shù)的傅氏變換中，得到它們的廣義傅氏變換.實際運算時，我們通常用傅氏逆變換來推證.比較典型的有：

u(t)（單位階躍函數(shù)）,sint,cost.

同樣可以說,象函數(shù)F(w)和象原函數(shù)f(t)亦構(gòu)成一個傅氏變換對.現(xiàn)在是36頁\一共有52頁\編輯于星期三37例2稱為單位躍階函數(shù).

證：首先注意，這里的變換顯然指的是廣義變換.我們用考察逆變換的方法證明.現(xiàn)在是37頁\一共有52頁\編輯于星期三38由于所以當t<0時,有現(xiàn)在是38頁\一共有52頁\編輯于星期三39同理當t>0時，有綜上所述，根據(jù)(*),有證畢.現(xiàn)在是39頁\一共有52頁\編輯于星期三40解：由定義，有例3求的傅氏逆變換.特別地故得到現(xiàn)在是40頁\一共有52頁\編輯于星期三41于是，有例4求正弦函數(shù)

f(t)=sinw0t

的傅氏變換.解：現(xiàn)在是41頁\一共有52頁\編輯于星期三42同理，可得即注：我們介紹δ-函數(shù)，主要是提供一個應用工具，而不去追求數(shù)學上的嚴謹性.現(xiàn)在是42頁\一共有52頁\編輯于星期三43§4傅立葉變換的性質(zhì)

為了能更好的用傅立葉變換這一工具解決各類實際問題，它的一些基本性質(zhì)必須熟練掌握.

為了敘述方便起見,假定在這些性質(zhì)中,凡是需要求傅氏變換的函數(shù)都滿足傅氏積分定理中的條件,在證明這些性質(zhì)時,不再重述這些條件.1、線性性質(zhì)FF則F逆變換也具有類似的性質(zhì)，請寫出相應的性質(zhì).現(xiàn)在是43頁\一共有52頁\編輯于星期三442、位移性質(zhì)證明：根據(jù)定義，得現(xiàn)在是44頁\一共有52頁\編輯于星期三45

顯而易見，位移公式的作用是：知道了一個函數(shù)的變換，便可由此求出其位移函數(shù)的變換！同理可得推論提示：利用歐拉公式和位移性質(zhì)容易證明.現(xiàn)在是45頁\一共有52頁\編輯于星期三463、微分性質(zhì)證明：根據(jù)定義，得

如果f(t)在(-,+)上連續(xù)或只有有限個可去間斷點,且當|t|+時,f(t)0,則

現(xiàn)在是46頁\一共有52頁\編輯于星期三47類似地可推得象函數(shù)的導數(shù)公式：

一般地，如果

在(-,+)上連續(xù)或只有有限個可去間斷點,且當|t|+時,有

則現(xiàn)在是47頁\一共有52頁\編輯于星期三48例如，設思考題：現(xiàn)在是48頁\一共有52頁\編輯于星期三494、積分性質(zhì)證明：現(xiàn)在是49頁\一共有52頁\編輯于星期三50例1求解微分積分方程其中<t<+,a,b,c均為常數(shù).解：設