高中數(shù)學(xué)第一章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用1.5定積分的見(jiàn)解教材習(xí)題點(diǎn)撥新人教A版選修2-2練習(xí)183

點(diǎn)撥：進(jìn)一步熟悉求曲邊梯形面積的方法和步驟，意會(huì)“以直代曲”和逼近的思想．練習(xí)21．解：Si≈Si′＝vit＝－i2＋2·1＝－i2·1＋2，i＝1,2，,，n.nnnnnnnnnini212于是＝S≈′＝vt＝－i·＋SSinnnni＝1i＝1i＝1i＝1121n－121n21＝－n·n－,－n·n－n·n＋21222＝－n3(1＋2＋,＋n)＋2＝－13·nn＋1n＋1＋2n6111＝－31＋n1＋2n＋2.n取極限，得S＝limi′n→∞Si＝1＝lim－11＋11＋1＋2n→∞3n2n5＝.3點(diǎn)撥：進(jìn)一步意會(huì)“以不變代變”和逼近的思想．2．解：s＝22km.3點(diǎn)撥：進(jìn)一步意會(huì)“以不變代變”和逼近的思想，熟悉求變速直線運(yùn)動(dòng)物體行程的方法和步驟．教材問(wèn)題解答(思慮)你能從定積分的幾何意義講解性質(zhì)(3)嗎？答：若是在區(qū)間[a，b]上函數(shù)f(x)連續(xù)且恒有f(x)≥0，如圖，則bc∫a∫af(x)dx＝S，f(x)dxbS＝S＋S，即bf(x)dx＝cf(x)dx∫a1∫c212∫a1b＋∫cf(x)dx.練習(xí)3233解：∫0y＝x與直線x＝0，x＝2，y＝0所圍成的曲xdx＝4，從幾何上看，表示由曲線邊梯形的面積S＝4.習(xí)題1.5A組100i－1121．解：(1)∫1(x－1)dx≈i＝11＋100－1×100＝0.495；500i－11＝0.499；(2)∫12(x－1)dx≈－1×1＋i－112(x－1)dx≈i＝1(3)∫11＋1000－1×1000＝0.4995.點(diǎn)撥：意會(huì)經(jīng)過(guò)切割、近似代替、求和獲得定積分的近似值的方法．2．解：距離的不足近似值為18×1＋12×1＋7×1＋3×1＋0×1＝40m；距離的節(jié)余近似值為27×1＋18×1＋12×1＋7×1＋3×1＝67m.3．證明：令f(x)＝1.用分點(diǎn)a＝x0＜x1＜,＜xi－1＜xi＜,＜xn＝b，將區(qū)間[a，b]均分紅n個(gè)小區(qū)間，在每個(gè)小區(qū)間[xi－1，xi]上任取一點(diǎn)ξi(i＝1，2，,，n)，作和式nnb－abn

b－af(ξi)x＝＝b－a，進(jìn)而∫a1dx＝limi＝1i＝1nn→∞i＝1

n

＝b－a.點(diǎn)撥：進(jìn)一步熟悉定積分的見(jiàn)解．4．解：依照定積分的幾何意義，∫011－x2表示由直線x＝0，＝1，＝0以及曲線dxxy212πy＝1－x所圍成的曲邊梯形的面積，即四分之一單位圓的面積，因此，∫01－xdx＝4.點(diǎn)撥：進(jìn)一步熟悉定積分的幾何意義．1313135．解：(1)∫0上x(chóng)≥0，因此定積分∫0xdx＝4.因?yàn)樵趨^(qū)間[0,1]xdx表示由直線x＝0，2x＝1，y＝0和曲線y＝x3所圍成的曲邊梯形的面積．(2)依照定積分的性質(zhì)，得13031311∫－1xdx＝∫－1xdx＋∫0xdx＝＋(－)＝0.443313因?yàn)樵趨^(qū)間[－1,0]上x(chóng)≤0，在區(qū)間[0,1]上x(chóng)≥0，因此定積分∫－1xdx等于位于x軸上方的曲邊梯形面積減去位于x軸下方的曲邊梯形面積．∫230323115(3)依照定積分的性質(zhì)，得－1xdx＝∫－1xdx＋∫0xdx＝－4＋4＝4.因?yàn)樵趨^(qū)間[－33∫－2131,0]上x(chóng)≤0，在區(qū)間[0,2]上x(chóng)≥0，因此定積分xdx等于位于x軸上方的曲邊梯形面積減去位于x軸下方的曲邊梯形面積．點(diǎn)撥：在(3)中，因?yàn)閤3在區(qū)間[－1,0]上是非正的，在區(qū)間[0,2]上是非負(fù)的，若是直接利用定義把區(qū)間[－1,2]分紅n等份來(lái)求這個(gè)定積分，那么和式中既有正項(xiàng)又有負(fù)項(xiàng)，而且無(wú)法抵消一些項(xiàng)，求和會(huì)特別麻煩．利用性質(zhì)(3)能夠?qū)⒍ǚe分∫2－1x3dx化為∫0－1x3dx＋∫02x3dx，這樣，x3在區(qū)間[－1,0]和區(qū)間[0,2]上的符號(hào)都是不變的，再利用定積分的定義，容易求出∫－01x3dx，∫02x3dx，進(jìn)而獲得定積分∫－21x3dx的值．因此可知，利用定積分的性質(zhì)可以簡(jiǎn)化運(yùn)算．B組1．解：該物體在t＝0到t＝6(單位：s)之間走過(guò)的行程大概為14.5m.點(diǎn)撥：依照定積分的幾何意義，經(jīng)過(guò)估計(jì)曲邊梯形內(nèi)包含單位正方形的個(gè)數(shù)來(lái)估計(jì)物體走過(guò)的行程．2．解：(1)v＝9.18t.8i118×9(2)節(jié)余近似值：9.81××＝9.81××2＝88.29m；i＝12248i－1118×7不足近似值：9.81××＝9.81××2＝68.67m.i＝122444(3)∫09.81tdt；∫09.81tdt＝78.48m.3．解：(1)切割在區(qū)間[0，l]上等間隔地插入n－1個(gè)分點(diǎn)，將它均分紅n個(gè)小區(qū)間：0，l，l，2l，,，n－1l，l，記第i個(gè)區(qū)間為i－1l，il(i＝1,2，,，nnnnnnili－1lln)，其長(zhǎng)度為x＝n－n＝n.ll2ln－1l把細(xì)棒在小段0，n，n，n，,，n，l上質(zhì)量分別記為：3n1，2，,，n，則細(xì)棒的質(zhì)量＝i.mmmmmi＝1(2)近似代替當(dāng)n很大，即x很小時(shí)，在小區(qū)間i－1lilρ(x)＝x2n，n上，能夠以為線密度的值變化很小，近似地等于一個(gè)常數(shù)，不如以為它近似地等于隨意一點(diǎn)ξi∈i－1lil2i－1liln，n處的函數(shù)值ρ(ξi)＝ξi.即在小區(qū)間n，n上，細(xì)棒的質(zhì)量近似2i－1lil于平均散布，其線密度近似地等于ρ(ξi)＝ξi.于是