快樂的寒假學(xué)習(xí)之旅----算法的概念問題思考：兩個(gè)大人和兩名兒童一起渡河，渡口只有一條小船，一次只能渡過一個(gè)大人或兩名兒童，他們四人都會劃船，但都不會游泳。請你幫他們設(shè)計(jì)一個(gè)渡河方案。方案設(shè)計(jì)：第一步：兩個(gè)小孩同船渡過河去；第二步：一個(gè)小孩劃船回來；第三步：一個(gè)大人獨(dú)自劃船渡過河去；第四步：對岸的小孩劃船回來；第五步：兩個(gè)小孩再同船渡過河去；第六步：一個(gè)小孩劃船回來；第七步：余下的一個(gè)大人獨(dú)自劃船渡過河去；第八步：對岸的小孩劃船回來；第九步：兩個(gè)小孩再同船渡過河去。問題透析：這是一個(gè)生活中常見的算法問題。實(shí)際上每一個(gè)問題的解決都對應(yīng)著一個(gè)算法，研究問題的解決方法就是研究算法。對我們高一同學(xué)而言，在初中數(shù)學(xué)中已經(jīng)學(xué)習(xí)了一元二次方程的解法，求三角形面積公式，數(shù)學(xué)1中方程求根的二分法，數(shù)學(xué)2中利用公式計(jì)算的幾何問題進(jìn)行分步求解。數(shù)學(xué)必修3中要對一些數(shù)學(xué)實(shí)例集中分析、設(shè)計(jì)、表述解決問題的過程，體驗(yàn)算法思想，培養(yǎng)有條理地思考及表達(dá)能力，提高邏輯思維能力。因此在算法的學(xué)習(xí)中，首先通過實(shí)例明確了算法的含義，然后結(jié)合具體算法介紹了算法的三種基本結(jié)構(gòu)：順序、條件和循環(huán)，以及基本的算法語句，最后集中介紹了輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)、秦九韶算法、排序、進(jìn)位制等典型的幾個(gè)算法問題，力求表現(xiàn)算法的思想，培養(yǎng)學(xué)生的算法意識。探索研究算法(algorithm)一詞源于算術(shù)(algorism)，即算術(shù)方法，是指一個(gè)由已知推求未知的運(yùn)算過程。后來，人們把它推廣到一般，把進(jìn)行某一工作的方法和步驟稱為算法。1.廣義地說，算法就是做某一件事的步驟或程序。菜譜是做菜肴的算法，洗衣機(jī)的使用說明書是操作洗衣機(jī)的算法，歌譜是一首歌曲的算法。在數(shù)學(xué)中，主要研究計(jì)算機(jī)能實(shí)現(xiàn)的算法，即按照某種機(jī)械程序步驟一定可以得到結(jié)果的解決問題的程序。比如解方程的算法、函數(shù)求值的算法、作圖的算法，等等。2.設(shè)計(jì)算法注意5個(gè)事項(xiàng):（1）認(rèn)真分析,聯(lián)系解決此問題的一般數(shù)學(xué)方法;（2）綜合考慮此類問題中可能涉及的各種情況;（3）借助有關(guān)的變量或參數(shù)對算法加以表達(dá);（4）將解決問題的過程劃分為若干個(gè)步驟;（5）用簡練的語言將各個(gè)步驟表達(dá)出來。3.算法的基本特征有四個(gè):（1）明確性。算法對每一個(gè)步驟來說都有確切的,能有效執(zhí)行且得到確定結(jié)果的,不能模棱兩可。（2）有限性。算法應(yīng)由有限步組成,至少對某些輸入、算法應(yīng)在有限多步內(nèi)結(jié)束,并給出計(jì)算結(jié)果。（3）有序性。算法從初始步驟開始,分為若干明確的步驟,每一步都只能有一個(gè)確定的繼任者,只有執(zhí)行完前一步才能進(jìn)入到后一步,并且每一步都確定無誤后,才能解決問題。（4）不唯一性。求解某一個(gè)問題的解法不一定是唯一的,對于同一個(gè)問題可以有不同的解法。學(xué)以致用例1．給出求1+2+3+4+5的一個(gè)算法．解：算法1按照逐一相加的程序進(jìn)行．第一步：計(jì)算1+2，得到3；第二步：將第一步中的運(yùn)算結(jié)果3與3相加，得到6；第三步：將第二步中的運(yùn)算結(jié)果6與4相加，得到10；第四步：將第三步中的運(yùn)算結(jié)果10與5相加，得到15．算法2運(yùn)用公式直接計(jì)算．第一步：取=5；第二步：計(jì)算；第三步：輸出運(yùn)算結(jié)果．算法3用循環(huán)方法求和．第一步：使，；第二步：使；第三步：使；第四步：使；第五步：如果，則返回第三步，否則輸出．點(diǎn)撥：①一個(gè)問題的算法可能不唯一．是累加變量，是計(jì)數(shù)變量.②若將本例改為“給出求的一個(gè)算法”，則上述算法2和算法3表達(dá)較為方便．例2.給計(jì)算機(jī)編寫一個(gè)算法，輸入一個(gè)自變量的值，求分段函數(shù)的函數(shù)值.解：第一步：輸入的值；第二步：進(jìn)行判斷，如果，則，否則。第三步：輸出的值。2.計(jì)算說明：1.輸入的值就是把自變量的值由鍵盤輸入計(jì)算機(jī)，例如要計(jì)算=2時(shí)的函數(shù)值，就輸入2；2.根據(jù)相應(yīng)的x的值計(jì)算相應(yīng)的函數(shù)值，比如輸入3，則如果輸入-4，則；3.輸出結(jié)果就是把計(jì)算結(jié)果顯示在計(jì)算機(jī)屏幕上；以上算法可以通過輸給計(jì)算機(jī)一系列“命令”來實(shí)現(xiàn)，這些命令叫做計(jì)算機(jī)語言。例3.篩選法求質(zhì)數(shù)：質(zhì)數(shù)亦叫作素?cái)?shù)，是大于1的自然數(shù)，并且除了該數(shù)本身和1以外沒有其它的數(shù)能整除它，如2，3，5，7，11，13，…，質(zhì)數(shù)有無窮多個(gè)，試判斷17是否為質(zhì)數(shù)。解：第一步：17÷2不為整數(shù)；第二步：17÷3不為整數(shù)；第三步：17÷4不為整數(shù)；第四步：17÷5不為整數(shù)；第五步：17÷6不為整數(shù)；第六步：17÷7不為整數(shù)；第七步：17÷8不為整數(shù)；第八步：17÷9不為整數(shù)；第九步：17÷10不為整數(shù)；第十步：17÷11不為整數(shù)；第十一步：17÷12不為整數(shù)；第十二步：17÷13不為整數(shù)；第十三步：17÷14不為整數(shù)；第十四步：17÷15不為整數(shù)；第十五步：17÷16不為整數(shù)；第十六步：結(jié)論：17是質(zhì)數(shù)。歸納總結(jié)：任意給定一個(gè)大于1的整數(shù)n，試設(shè)計(jì)一個(gè)程序或步驟對n是否為質(zhì)數(shù)做出判定。第一步：判斷n是否等于2，若n=2，則n是質(zhì)數(shù)；若n>2，則執(zhí)行第二步。第二步：依次從2至（n-1）檢驗(yàn)是不是n的因數(shù)，即整除n的數(shù)，若有這樣的數(shù)，則n不是質(zhì)數(shù)；若沒有這樣的數(shù)，則n是質(zhì)數(shù)。這是判斷一個(gè)大于1的整數(shù)n是否為質(zhì)數(shù)的最基本算法。例4..用二分法設(shè)計(jì)一個(gè)求方程的近似根的算法.解：設(shè)所求近似根與精確解的差的絕對值不超過，算法：第一步：令.因?yàn)椋栽O(shè)x1=1，x2=2.第二步：令，判斷f（m）是否為0.若是，則m為所求；若否，則繼續(xù)判斷大于0還是小于0.第三步：若，則x1=m；否則，令x2=m.第四步：判斷是否成立？若是，則x1、x2之間的任意值均為滿足條件的近似根；若否，則返回第二步.說明：該算法實(shí)質(zhì)是求的近似值的一個(gè)最基本的方法.知識小結(jié)1、算法概念和算法的基本思想（1）算法與一般意義上具體問題的解法的聯(lián)系與區(qū)別；（2）算法的五個(gè)特征。2、利用算法的思想和方法解決實(shí)際問題，能寫出一此簡單問題的算法3、兩類算法問題（1）數(shù)值性計(jì)算問題，如：解方程（或方程