2023屆山西省太原市高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)（理）試題數(shù)學(xué)試卷（理工類）第Ⅰ卷一、選擇題：本大題共12個(gè)小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，且，則（）A．7B．6C．5D．42.如圖，在復(fù)平面內(nèi)，表示復(fù)數(shù)的點(diǎn)為，則復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是（）A．B．C．D．3.下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又單調(diào)遞增的函數(shù)是（）A．B．C．D．4.若某幾何體的三視圖如圖所示，則此幾何體的體積等于（）A．30B．24C．12D．45.若函數(shù)同時(shí)滿足以下三個(gè)性質(zhì)：①的最小正周期為；②對(duì)任意的，都有；③在上是減函數(shù)，則的解析式可能是（）A．B．C．D．6.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出的結(jié)果為2，則輸入的正整數(shù)的可能取值的集合是（）A．B．C．D．7.設(shè)滿足不等式組，若的最大值為，最小值為，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A．B．C．D．8.已知三棱錐中，底面為邊長(zhǎng)等于的等邊三角形，垂直于底面，，那么三棱錐的外接球的表面積為（）A．B．C．D．9.已知雙曲線與函數(shù)的圖象交于點(diǎn)，若函數(shù)在點(diǎn)處的切線過雙曲線左焦點(diǎn)，則雙曲線的離心率是（）A．B．C．D．10.已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，若和都是等差數(shù)列，且公差相等，則（）A．50B．100C．1500D．250011.已知圓，點(diǎn)是直線上的動(dòng)點(diǎn)，若在圓上總存在兩個(gè)不同的點(diǎn)，使，則的取值范圍是（）A．B．C．D．12.已知函數(shù)，，若成立，則的最小值為（）A．B．C．D．第Ⅱ卷（非選擇題共90分）二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.）13.已知的展開式中含的項(xiàng)的系數(shù)為30，則實(shí)數(shù)____________.14.在區(qū)間上隨機(jī)抽取兩個(gè)數(shù)，則事件“”發(fā)生的概率為_____________.15.在中，角的對(duì)邊分別是，若，則的大小是__________.16.已知關(guān)于的函數(shù)的最大值為，最小值為，若，則實(shí)數(shù)的值為_________.三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.（本小題滿分12分）已知是數(shù)列的前項(xiàng)和，，且，數(shù)列中，，且，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)（），求的前項(xiàng)和.18.（本小題滿分12分）如圖，在斜三棱柱中，，且，，.（1）求證：平面平面；（2）求二面角的正切值的大小.19.（本小題滿分12分）近幾年來，我國(guó)許多地區(qū)經(jīng)常出現(xiàn)霧霾天氣，某學(xué)校為了學(xué)生的健康，對(duì)課間操活動(dòng)做了如下規(guī)定：課間操時(shí)間若有霧霾則停止組織集體活動(dòng)，若無霧霾則組織集體活動(dòng)，預(yù)報(bào)得知，這一地區(qū)在未來一周從周一到周五5天的課間操時(shí)間出現(xiàn)霧霾的概率是：前3天均為50%，后2天均為80%，且每一天出現(xiàn)霧霾與否是相互獨(dú)立的.（1）求未來一周5天至少一天停止組織集體活動(dòng)的概率；（2）求未來一周5天不需要停止組織集體活動(dòng)的天數(shù)的分布列；（3）用表示該校未來一周5天停止組織集體活動(dòng)的天數(shù)，記“函數(shù)在區(qū)間上有且只有一個(gè)零點(diǎn)”為事件，求事件發(fā)生的概率.20.（本小題滿分12分）已知橢圓的離心率為，過焦點(diǎn)且垂直于長(zhǎng)軸的弦長(zhǎng)為.（1）已知點(diǎn)是橢圓上兩點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓的上頂點(diǎn)，的重心恰好是橢圓的右焦點(diǎn)，求所在直線的斜率；（2）過橢圓的右焦點(diǎn)作直線，直線與橢圓分別交于點(diǎn)，直線與橢圓分別交于點(diǎn)，且，求四邊形的面積最小時(shí)直線的方程.21.（本小題滿分12分）已知函數(shù)（，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.（1）若對(duì)于任意，總存在，使得成立，求的最小值；（2）若，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，求的取值范圍.請(qǐng)考生在22、23、24三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分，作答時(shí)請(qǐng)寫清題號(hào).22.（本小題滿分10分）選修4-1：幾何證明選講如圖，與相交于兩點(diǎn)，是的直徑，過點(diǎn)作的切線交于點(diǎn)，并與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，分別與，交于兩點(diǎn).（1）求證：；（2）求證：.23.（本小題滿分10分）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)傾斜角為的直線的方程為，（為參數(shù)），以為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為，直線與曲線相交于不同的兩點(diǎn).（1）若，求線段中點(diǎn)的直角坐標(biāo)；（2）若，其中，求直線的斜率.24.（本小題滿分10分）選修4-5：不等式選講設(shè)函數(shù)，.（1）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；（2）當(dāng)時(shí)，對(duì)于，都有成立，求的取值范圍.太原市2023年高三年級(jí)模試題（二）數(shù)學(xué)試卷（理工類）參考答案一、選擇題：1-5.ABCBB6-10.CADBD11-12.AB二、填空題：13.-514.15.16.1三、解答題：17.解：（1）時(shí)，可得，∴的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分別以4為公差的等差數(shù)列，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)，時(shí)，.∴.（2）∵，，∴，，…，∴，∴，也適合，，∴，再由錯(cuò)位相減得.18.（1）證明：在中，∵，∴，又∵，且是平面內(nèi)的兩條相交直線，∴平面，又平面，∴平面平面.（2）在中，∵，∴，雙∵，且是平面內(nèi)的兩條相交直線，∴面，建立如圖所示的坐標(biāo)系，則，，，，，取平面的一個(gè)法向量，設(shè)平面的一個(gè)法向量，由，得，取，則，∴，設(shè)二面角的大小為，則，∴，二面角的正切值為.19.解：（1）未來一周5天都組織集體活動(dòng)的概率是，則至少有一天停止組織集體活動(dòng)的概率是.（2）的取值是0，1，2，3，4，5，則，，，，，，∴不需要停止組織集體活動(dòng)的天數(shù)分布列是012345（3）因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，且，則，∴，故或，故所求概率為：20.（1）由題意：，，解得，所求橢圓的方程為.設(shè)，∵，∴，根據(jù)題意，，即，.由①，②①②得，∴.（2）設(shè)，，，，則由題意：，即整理得：，即，所以.①若直線中有一條斜率不存在，不妨設(shè)的斜率不存在，則軸，所以，，故四邊形的面積.②若直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為：，則由，得，則，，，同理可求得，，故四邊形的面積：（當(dāng)取“=”），此時(shí)，四邊形面積的最小值為，所以直線方程為：或.21.解：（1）設(shè)，則時(shí)，在上為減函數(shù)，所以只要，所以只要在上有解即可.即在上有解，設(shè)，因?yàn)椋栽谏蠟樵龊瘮?shù)，只要，所以的最小值是.（2），，由，得，∴，∴，又.若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，設(shè)為在區(qū)間內(nèi)的一個(gè)零點(diǎn)，則由可知，在區(qū)間內(nèi)不可能單調(diào)，則在區(qū)間內(nèi)不可能恒為正，也不可能恒為負(fù)，故在區(qū)間內(nèi)存在零點(diǎn)，同理在區(qū)間內(nèi)存在零點(diǎn)，故函數(shù)在區(qū)間內(nèi)至少有三個(gè)單調(diào)區(qū)間，在區(qū)間內(nèi)至少有兩個(gè)零點(diǎn).設(shè)，∴.當(dāng)或時(shí)，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)，不滿足“函數(shù)在區(qū)間內(nèi)至少有三個(gè)單調(diào)區(qū)間”；當(dāng)時(shí)，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，因此，，又，令，則，令，得，列表如下：+-增減依表格知：當(dāng)時(shí)，，∴恒成立，于是，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)至少有三個(gè)單調(diào)區(qū)間滿足，即，解得，綜上所述，的取值范圍為.22.（1）∵分別是的割線，∴，又∵分別是的切線和割線，∴，∴，∴.（2）連結(jié)，∵是的直徑，∴，∴是的切線，由（1）知，∴，∴，,又∵是的切線，∴，∴，∴，（或，∵是的直徑，由垂徑定理得，,∴.）23.解：（1）曲線的普通方程是,當(dāng)時(shí)，設(shè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)為，直線方程為，（為參數(shù)），代入曲線的普通方程，得，設(shè)直線上的點(diǎn)對(duì)應(yīng)參數(shù)分別為，則，所以點(diǎn)的