勾股定理經(jīng)典題型解析種類一：勾股定理的直接用法1、在Rt△ABC中，∠C=90°(1)已知a=6，c=10，求b，(2)已知a=40，b=9，求c；(3)已知c=25，b=15，求a.思路點(diǎn)撥:寫解的過程中，必然要先寫上在哪個(gè)直角三角形中，注意勾股定理的變形使用。解析：(1)在△ABC中，∠C=90°，a=6，c=10,b=在△ABC中，∠C=90°，a=40，b=9,c=在△ABC中，∠C=90°，c=25，b=15,a=貫穿交融【變式】:如圖∠B=∠ACD=90°,AD=13,CD=12,BC=3,則AB的長(zhǎng)是多少?【答案】∵∠ACD=90°AD=13,CD=12222∴AC=AD－CD=132－122=25AC=5又∵∠ABC=90°且BC=3∴由勾股定理可得222AB=AC－BC=52－32=16AB=4AB的長(zhǎng)是4.種類二：勾股定理的構(gòu)造應(yīng)用、如圖，已知：在中，，，.求：BC的長(zhǎng).思路點(diǎn)撥：由條件，想到構(gòu)造含角的直角三角形，為此作于D，則有，，再由勾股定理計(jì)算出AD、DC的長(zhǎng)，進(jìn)而求出BC的長(zhǎng).解析：作于D，則因，∴（的兩個(gè)銳角互余）∴（在中，若是一個(gè)銳角等于，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半）.依照勾股定理，在中，.依照勾股定理，在中，..貫穿交融【變式1】如圖，已知：，，于P.求證：.解析：連接BM，依照勾股定理，在中，.而在中，則依照勾股定理有.∴又∵（已知），.在中，依照勾股定理有，.【變式2】已知：如圖，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。求：四邊形ABCD的面積。解析：如何構(gòu)造直角三角形是解此題的要點(diǎn)，能夠連接AC，或延長(zhǎng)AB、DC交于F，或延長(zhǎng)AD、BC交于點(diǎn)E，依照此題給定的角應(yīng)選后兩種，進(jìn)一步依照此題給定的邊選第三種較為簡(jiǎn)單。解析：延長(zhǎng)AD、BC交于E。∵∠A=∠60°，∠B=90°，∴∠E=30°。AE=2AB=8，CE=2CD=4，22222BE=AE-AB=8-4=48，BE==?！逥E2=CE2-CD2=42-22=12，∴DE==。S四邊形ABCD=S△ABE-S△CDE=AB·BE-CD·DE=種類三：勾股定理的實(shí)質(zhì)應(yīng)用（一）用勾股定理求兩點(diǎn)之間的距離問題3、以下列圖，在一次夏令營(yíng)活動(dòng)中，小明從陣營(yíng)A點(diǎn)出發(fā)，沿北偏東60°方向走了到達(dá)B點(diǎn)，爾后再沿北偏西30°方向走了500m到達(dá)目的地C點(diǎn)。1）求A、C兩點(diǎn)之間的距離。2）確定目的地C在陣營(yíng)A的什么方向。解析：（1）過B點(diǎn)作BE米，Ｈ＝０.６＋２.３＝２.９（米）＞２.５（米）．因此高度上有米的余量，因此卡車能經(jīng)過廠門．（二）用勾股定理求最短問題4、國(guó)家電力總公司為了改進(jìn)農(nóng)村用電電費(fèi)過高的現(xiàn)狀，目前正在全國(guó)各地農(nóng)村進(jìn)行電網(wǎng)改造，某地有四個(gè)農(nóng)村A、B、C、D，且正好位于一個(gè)正方形的四個(gè)極點(diǎn)，現(xiàn)計(jì)劃在四個(gè)農(nóng)村聯(lián)合架設(shè)一條線路，他們?cè)O(shè)計(jì)了四種架設(shè)方案，如圖實(shí)線部分．請(qǐng)你幫助計(jì)算一下，哪一種架設(shè)方案最省電線．思路點(diǎn)撥：解答此題的思路是：最省電線就是線路長(zhǎng)最短，經(jīng)過利用勾股定理計(jì)算線路長(zhǎng)，爾后進(jìn)行比較，得出結(jié)論．解析：設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為1，則圖（1）、圖（2）中的總線路長(zhǎng)分別為AB+BC+CD＝3，AB+BC+CD＝3圖（3）中，在Rt△ABC中EA

同理∴圖（3）中的路線長(zhǎng)為圖（4）中，延長(zhǎng)EF交BC于H，則由∠FBH＝及勾股定理得：＝ED＝FB＝FC＝

FH⊥BC，BH＝CH∴EF＝1－2FH＝1－∴此圖中總線路的長(zhǎng)為

4EA+EF＝3

＞>∴圖（

4）的連接線路最短，即圖（

4）的架設(shè)方案最省電線．貫穿交融【變式】如圖，一圓柱體的底面周長(zhǎng)為

20cm，高ＡＢ為

4cm，ＢＣ是上底面的直徑．一只螞蟻從點(diǎn)

A出發(fā)，沿著圓柱的側(cè)面爬行到點(diǎn)C，試求出爬行的最短行程．解：如圖，在Rt△ＡＢＣ中，ＢＣ＝底面周長(zhǎng)的一半＝１０（提問：勾股定理）∴AC＝＝＝≈１０．７７（cm）（勾股定理）．答：最短行程約為１０．７７cm．

cm，依照勾股定理得種類四：利用勾股定理作長(zhǎng)為的線段5、作長(zhǎng)為、、的線段。思路點(diǎn)撥：由勾股定理得，直角邊為近似地可作。作法：以下列圖

1的等腰直角三角形，斜邊長(zhǎng)就等于，直角邊為和

1的直角三角形斜邊長(zhǎng)就是，（1）作直角邊為1（單位長(zhǎng)）的等腰直角△ACB，使AB為斜邊；（2）以AB為一條直角邊，作另素來角邊為1的直角。斜邊為；（3）按次這樣做下去，最后做到直角三角形，這樣斜邊、、、的長(zhǎng)度就是、、、。貫穿交融【變式】在數(shù)軸上表示的點(diǎn)。解析：能夠把看作是直角三角形的斜邊，，為了有利于畫圖讓其他兩邊的長(zhǎng)為整數(shù)，而10又是9和1這兩個(gè)完好平方數(shù)的和，得其他兩邊分別是3和1。作法：以下列圖在數(shù)軸上找到A點(diǎn)，使OA=3，作AC⊥OA且截取AC=1，以O(shè)C為半徑，以O(shè)為圓心做弧，弧與數(shù)軸的交點(diǎn)B即為。種類五：抗命題與勾股定理逆定理、寫出以下原命題的抗命題并判斷可否正確1．原命題：貓有四只腳．（正確）．原命題：對(duì)頂角相等（正確）3．原命題：線段垂直均分線上的點(diǎn)，到這條線段兩端距離相等．（正確）4．原命題：角均分線上的點(diǎn)，到這個(gè)角的兩邊距離相等．（正確）思路點(diǎn)撥：掌握原命題與抗命題的關(guān)系。解析：1.抗命題：有四只腳的是貓（不正確）抗命題：相等的角是對(duì)頂角（不正確）3.抗命題：到線段兩端距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直均分線上．

?（正確）4.抗命題：到角兩邊距離相等的點(diǎn)，在這個(gè)角的均分線上．

（正確）總結(jié)升華：此題是為了學(xué)習(xí)勾股定理的抗命題做準(zhǔn)備。7、若是

ABC的三邊分別為

a、b、c，且滿足

a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，判斷

ABC的形狀。思路點(diǎn)撥：要判斷

ABC的形狀，需要找到

a、b、c的關(guān)系，而題目中只有條件

a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，故只有從該條件下手，解決問題。解析：由a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，得：a2-6a+9+b2-8b+16+c2-10c+25=0,(a-3)2+(b-4)2+(c-5)2=0?！?a-3)2≥0,(b-4)2≥0,(c-5)2≥0。a=3，b=4，c=5。∵32+42=52,∴a2+b2=c2。由勾股定理的逆定理，得ABC是直角三角形?？偨Y(jié)升華：勾股定理的逆定理是經(jīng)過數(shù)量關(guān)系來研究圖形的地址關(guān)系的

,在證明中也常要用到。貫穿交融【變式1】四邊形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四邊形ABCD的面積?！敬鸢浮浚哼B接AC∵∠B=90°，AB=3，BC=4222∴AC=AB+BC=25（勾股定理）∴AC=5222∵AC+CD=169，AD=169222∴AC+CD=AD∴∠ACD=90°（勾股定理逆定理）【變式2】已知:△ABC的三邊分別為m2－n2,2mn,m2+n2(m,n為正整數(shù),且m＞n),判斷△ABC可否為直角三角形.解析:此題是利用勾股定理的的逆定理，只要證明:a2+b2=c2即可證明：因此△ABC是直角三角形.【變式3】如圖正方形ABCD，E為BC中點(diǎn)，F(xiàn)為AB上一點(diǎn)，且BF=AB。請(qǐng)問FE與DE可否垂直?請(qǐng)說明?！敬鸢浮看穑篋E⊥EF。證明：設(shè)BF=a，則BE=EC=2a,AF=3a，AB=4a,EF2=BF2+BE2=a2+4a2=5a2；DE222222=CE+CD=4a+16a=20a。連接DF（如圖）DF222222=AF+AD=9a+16a=25a。222∴DF=EF+DE,∴FE⊥DE。經(jīng)典例題精析種類一：勾股定理及其逆定理的基本用法1、若直角三角形兩直角邊的比是3：4，斜邊長(zhǎng)是20，求此直角三角形的面積。思路點(diǎn)撥：在直角三角形中知道兩邊的比值和第三邊的長(zhǎng)度，求面積，能夠先經(jīng)過比值設(shè)未知數(shù)，再依照勾股定理列出方程，求出未知數(shù)的值進(jìn)而求面積。解析：設(shè)此直角三角形兩直角邊分別是3x，4x，依照題意得：3x）2+（4x）2＝202化簡(jiǎn)得x2＝16；∴直角三角形的面積＝×3x×4x＝6x2＝96總結(jié)升華：直角三角形邊的有關(guān)計(jì)算中，常常要設(shè)未知數(shù)，爾后用勾股定理列方程（組）求解。貫穿交融【變式1】等邊三角形的邊長(zhǎng)為2，求它的面積?！敬鸢浮咳鐖D，等邊△ABC，作AD⊥BC于D則：BD＝BC（等腰三角形底邊上的高與底邊上的中線互相重合）∵AB＝AC＝BC＝2（等邊三角形各邊都相等）∴BD＝1在直角三角形222222ABD中，AB＝AD+BD，即：AD＝AB－BD＝4－1＝3∴AD＝S△ABC＝BC·AD＝注：等邊三角形面積公式：若等邊三角形邊長(zhǎng)為a，則其面積為a?！咀兪?】直角三角形周長(zhǎng)為12cm，斜邊長(zhǎng)為5cm，求直角三角形的面積?！敬鸢浮吭O(shè)此直角三角形兩直角邊長(zhǎng)分別是x，y，依照題意得：由（1）得：x+y＝7，2x+y）＝49，x+2xy+y＝49(3)－(2)，得：xy＝122∴直角三角形的面積是2xy＝×12＝6（cm）【變式3】若直角三角形的三邊長(zhǎng)分別是n+1，n+2，n+3，求n。思路點(diǎn)撥：第一要確定斜邊（最長(zhǎng)的邊）長(zhǎng)n+3，爾后利用勾股定理列方程求解。解：此直角三角形的斜邊長(zhǎng)為n+3，由勾股定理可得：222（n+1）+（n+2）＝（n+3）2化簡(jiǎn)得：n＝4∴n＝±2，但當(dāng)n＝－2時(shí)，n+1＝－1<0，∴n＝2總結(jié)升華：注意直角三角形中兩“直角邊”的平方和等于“斜邊”的平方，在題目沒有給出哪條是直角邊哪條是斜邊的情況下，第一要先確定斜邊，直角邊?！咀兪?】以以下各組數(shù)為邊長(zhǎng)，能組成直角三角形的是（）A、8，15，17B、4，5，6C、5，8，10D、8，39，40解析：此題可直接用勾股定理的逆定理來進(jìn)行判斷，對(duì)數(shù)據(jù)較大的能夠用c2＝a2+b2的變形：b2＝c2－a2＝（c－a）（c+a）來判斷。比方：關(guān)于選擇D，82≠（40+39）×（40－39），∴以8，39，40為邊長(zhǎng)不能夠組成直角三角形。同理能夠判斷其他選項(xiàng)?！敬鸢浮浚篈【變式5】四邊形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四邊形ABCD的面積。解：連接AC∵∠B=90°，AB=3，BC=4222∴AC=AB+BC=25（勾股定理）∴AC=5222∵AC+CD=169，AD=169222∴AC+CD=AD∴∠ACD=90°（勾股定理逆定理）∴S四邊形=S+S=AB·BC+AC·CD=36ABCD△ABC△ACD種類二：勾股定理的應(yīng)用2、如圖，公路MN和公路PQ在點(diǎn)P處交匯，且∠QPN＝30°，點(diǎn)A處有一所中學(xué)，AP＝160m。假設(shè)拖拉機(jī)行駛時(shí)，周圍100m以內(nèi)會(huì)碰到噪音的影響，那么拖拉機(jī)在公路MN上沿PN方向行駛時(shí)，學(xué)?？煞駮?huì)碰到噪聲影響？請(qǐng)說明原由，若是受影響，已知拖拉機(jī)的速度為18km/h，那么學(xué)校受影響的時(shí)間為多少秒？思路點(diǎn)撥：（1）要判斷拖拉機(jī)的噪音可否影響學(xué)校A，實(shí)質(zhì)上是看A到公路的距離可否小于100m,小于100m則受影響，大于100m則不受影響，故作垂線段AB并計(jì)算其長(zhǎng)度。（2）要求出學(xué)校受影響的時(shí)間，實(shí)質(zhì)是要求拖拉機(jī)對(duì)學(xué)校A的影響所行駛的行程。因此必定找到拖拉機(jī)行至哪一點(diǎn)開始影響學(xué)校，行至哪一點(diǎn)后結(jié)束影響學(xué)校。解析：作AB⊥MN，垂足為B。在RtABP中，∵∠ABP＝90°，∠APB＝30°，AP＝160，AB＝AP＝80。（在直角三角形中，30°所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半）∵點(diǎn)A到直線MN的距離小于100m,∴這所中學(xué)會(huì)碰到噪聲的影響。如圖，假設(shè)拖拉機(jī)在公路MN上沿PN方向行駛到點(diǎn)C處學(xué)校開始碰到影響，那么AC＝100(m)，由勾股定理得：BC2＝1002-802＝3600,∴BC＝60。t

同理，拖拉機(jī)行駛到點(diǎn)D處學(xué)校開始走開影響，那么，∴CD＝120(m)。拖拉機(jī)行駛的速度為:18km/h＝5m/s＝120m÷5m/s＝24s。

AD＝100(m)，BD＝60(m),答：拖拉機(jī)在公路MN上沿PN方向行駛時(shí)，學(xué)校會(huì)碰到噪聲影響，學(xué)校受影響的時(shí)間為24秒?？偨Y(jié)升華:勾股定理是求線段的長(zhǎng)度的很重要的方法,若圖形缺少直角條件,則能夠經(jīng)過作輔助垂線的方法,構(gòu)造直角三角形以便利用勾股定理。貫穿交融【變式1】如圖學(xué)校有一塊長(zhǎng)方形花園，有極少許人為了避開拐角而走“捷徑”，在花園內(nèi)走出了一條“路”。他們不過少走了__________步路（假設(shè)2步為1m），卻踩傷了花草。解析：他們?cè)瓉碜叩穆窞?+4＝7(m)設(shè)走“捷徑”的路長(zhǎng)為xm，則故少走的路長(zhǎng)為7－5＝2(m)又因?yàn)?步為1m，因此他們不過少走了4步路。【答案】4【變式2】如圖中的虛線網(wǎng)格我們稱之為正三角形網(wǎng)格，它的每一個(gè)小三角形都是邊長(zhǎng)為

1的正三角形，這樣的三角形稱為單位正三角形。1）直接寫出單位正三角形的高與面積。2）圖中的平行四邊形ABCD含有多少個(gè)單位正三角形？平行四邊形ABCD的面積是多少？3）求出圖中線段AC的長(zhǎng)（可作輔助線）?！敬鸢浮浚?）單位正三角形的高為，面積是。2）如圖可直接得出平行四邊形ABCD含有24個(gè)單位正三角形，因此其面積。3）過A作AK⊥BC于點(diǎn)K（以下列圖），則在Rt△ACK中，，，故種類三：數(shù)學(xué)思想方法（一）轉(zhuǎn)變的思想方法我們?cè)谇笕切蔚倪吇蚪?，或進(jìn)行推理論證時(shí)，常常作垂線，構(gòu)造直角三角形，將問題轉(zhuǎn)變成直角三角形問題來解決．3、以下列圖，△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜邊BC的中點(diǎn)，E、F分別是AB、AC邊上的點(diǎn)，且DE⊥DF，若BE=12，CF=5．求線段EF的長(zhǎng)。思路點(diǎn)撥：現(xiàn)已知BE、CF，要求EF，但這三條線段不在同一三角形中，因此要點(diǎn)是線段的轉(zhuǎn)變，依照直角三角形的特色，三角形的中線有特