解排列組合問題的幾種方法鄭勇山東省濟(jì)寧市微山縣第三中學(xué)272195排列組合問題是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)之一，也是新教材中學(xué)習(xí)概率的基礎(chǔ)，是近年高考必考內(nèi)容。排列組合是研究計(jì)數(shù)問題的策略學(xué)，首先根據(jù)題意弄清是排列還是組合問題以及排列組合混合問題，抓住問題的本質(zhì)特征，準(zhǔn)確合理地利用兩個基本原則。分析計(jì)數(shù)原理滿足兩個條件，①類與類互斥，②總類完備。分步計(jì)數(shù)原理的特征是，分步解決問題，分步必須做到步與步互相獨(dú)立，互不干擾并確保連續(xù)性。這是解決排列組合問題的最基本的方法手段。具體的題中，這兩種原理交叉結(jié)合來解決問題。下面談一些粗淺的認(rèn)識及常用的方法，僅供參考。1、特殊元素?優(yōu)先法對于有要求的特殊元素，特殊位置要優(yōu)先安排，在做題時(shí)，針對實(shí)際問題，有時(shí)“元素優(yōu)先”，有時(shí)“位置優(yōu)先”。合理分配，準(zhǔn)確分步是確保解決問題的前提。例1，0、3、5、6、8這五個數(shù)字，組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中偶數(shù)有幾個？分析：這里百位及個位是特殊位置，0是特殊元素，若以“元素優(yōu)先”考慮，則先對0分兩類。第一類：這三位數(shù)中含有0，再分兩類：①0在個位上分兩步，（首先個位安排0，百位十位從4個元素中任取2個排序有A%）有AiiA24個。②0不在個位上分三步（首先安排0在十位上，再安排好個位，從兩個偶數(shù)中取一個有A12，最后安排百位有A13）有AiiAi2Ai3個；第二類：這三位數(shù)不含有0,此時(shí)只有個位是特殊位置分兩步（先安排個位有A12再安排十位百位有A2）有A1A2。由分類計(jì)數(shù)原理偶數(shù)共有（A1A2+A1A1A1）+AiA2=30個，，若從3231412323“位置優(yōu)先”考慮，可分0再個位和0不再個位兩類：①0在個位有A24，②0不在個位有如如如，由分類計(jì)數(shù)原理得偶數(shù)共有入24+知如知=30個。"2、、間接法4233對含有否定字眼的問題可以從總體中把不符合要求的刪去，此時(shí)注意既不能多減又不能少減。例2,7人按甲不在排頭，乙不在排尾站成一排，有多少種排列方法。分析：甲在排頭有A66種排法，乙在排尾有A66種排法，甲在排已在排尾有A55種方法，則共有A77-A66-A66+A55=3700種方法。3、元素相鄰?捆綁法對于某幾個元素要求相鄰的排列問題，可先將相鄰的元素“捆綁”起來，看作一個大元素和其他元素并列，然后再松綁，對捆綁的元素進(jìn)行排列。例3：4個老師3個學(xué)生排成一列，要求學(xué)生排在一起，共有幾種排法？分析：將題中三個學(xué)生捆綁起來作為一個大元素，與其與4位老師共5個元素進(jìn)行全排列有A55種排法，再給三個學(xué)生松綁，他們之間又有A33種排法，由分步計(jì)數(shù)原理得共有A5A3=7200種排法。534、元素不相鄰插空法對于某幾個元素不相鄰的排列的問題，首先分清“誰插誰”的問題。要先排無限制條件的元素，再插入必須間隔的元素；其次，數(shù)清可插的未知數(shù)；最后還注意，插入時(shí)是以組合形式還是以排列形式插入，要把握準(zhǔn)。例4,5個男生3個女生排成一排，要求女生不相鄰且不可排兩頭，共有幾種排法？分析：先排限制條件的5個男生有A55種，由于女生不相鄰且不可派兩頭，故3個女生只能分別排在5個男生的4個間隙中，有A%種（若允許女生排兩頭，5個男生產(chǎn)生6個空有A36種插法），由分步計(jì)數(shù)原理得共有A55A34種排法。例4':大街上有編號為1、2、3……10的十盞路燈，為了節(jié)約用電又不影響照明，可關(guān)掉其中的三盞燈，但不能同時(shí)關(guān)掉相鄰的兩盞或三盞，也不能關(guān)掉兩端的路燈，那么有多少種關(guān)燈方法？分析：由于問題中的7盞燈亮3盞燈滅，兩端又不準(zhǔn)滅，故可把亮燈作為無限制條件的元素產(chǎn)生6個空隙，在這6個空隙中插入3個熄滅的燈即可，由C36種關(guān)燈方法。思考：從1、2、3……10個數(shù)中任選三個互不相鄰的自然數(shù)，有多少種不同的選法？1.（7個數(shù)看作無限制條件的產(chǎn)生8個空，插入3個數(shù)，插法即選法有C3種選法）85、元素順序固定?除法處理法對于某幾個元素順序一定的排列問題，可先把這幾個元素和其他元素一同進(jìn)行排列，然后用總排列數(shù)除以這幾個元素的全排列數(shù)。例5,由數(shù)字0、1、2、3、4、5組成沒有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)，其中個位數(shù)字小于十位數(shù)字的共有多少個？分析：無條件限制的總排列數(shù)為A1A5個，而十位與個位的全排列數(shù)為A2，符合條件的552只有一種，故滿足條件的六位數(shù)有：A15A55-A22=300個。例5'，7人站成一排，甲、乙、丙順序固定，由多少種不同的排列方法？分析：此題全排列有A77種方法，而甲、乙、丙的排列法有A33種，其中只有一種符合條件的，則符合條件的排法有A77-A33=840種不同方法。3思考：5人參加百米賽跑:若無同時(shí)到達(dá)終點(diǎn)的情況，則甲比乙先到有幾種情況？簡析：按元素定序除法處理法得A-A=60種，或者先排甲、乙有C種，再排其他3人有A種，由分步計(jì)數(shù)原理得C?A=60種。注：對于元素定序問題，除了用除法處理法，還可以先在總位置中選出定序元素的位置而不參加排列，然后對其他元素進(jìn)行排列。6元素分排，直排處理法若n個元素要分m排排列，可把每排首位連成一列，對于每排的特殊要求，只要分段考慮特殊元素，然后對其余元素作統(tǒng)一排列。例6,2個老師，4個女生，12個男生，排成三排照相，要求第一排5人，第二排6人，第三排7人，且老師在第一排，女生在第二排，共有幾種不同的排法？分析：先把18個人看成一排，從左到右分5個位，6個位，7個位三段，先從左邊的5個位中排入2個老師有A25種，再在中段的6個位中排入4個女生有A46種，然后在其余的位置上全排12個男生有A%：種，由乘法原理，共有A25A46A1212種。67、環(huán)狀排列?剪斷直排法…12n人圍成一圈的排列稱為環(huán)狀排列。對于環(huán)狀排列，我們可以想象成這n人手拉手的排列，因此可采用剪斷直排筏。由于n人有n個連接點(diǎn)，故友n種剪斷得方法，故共有An/n種排法。例7,4名學(xué)生和2名老師圍圓桌入座，①有n種入座方法？②如果老師必須相鄰，有幾種入座方法？③如果老師必不相鄰，有幾種入座方法？④如果甲老師與乙老師相鄰，但甲必在乙的左邊有幾種入座方法？分析：①6人全排列有A%種方法，由于6種剪斷直排對應(yīng)同一種圓排，故共有A6/6=120種。②由于老師相鄰，先把兩個老師看作一個人，等價(jià)于5人全排有A55種，又由于老師之間可以交換位置有A22種，所以師生全排有A22A55種，又由于有5種剪斷法:故共有A22A55/5=48種。③只要在所有圓排中減去老師相鄰的種數(shù)即為老師不相鄰的了，共有A6/6頊2折/5=72625種。④因?yàn)閮衫蠋熡泄潭樞蛩詿o須兩位老師再進(jìn)行排列，共有A5/5=24種。58、“小集團(tuán)”問題?先“集團(tuán)”后整體或先整體后“集團(tuán)”法對于某些排列問題中的某些元素要求組成“小集團(tuán)”時(shí)，可先按制約條件“組團(tuán)”，并看作一個大元素和其他元素進(jìn)行排列或先看作一個大元素與其他元素進(jìn)行排列，再進(jìn)行“小集團(tuán)”制約條件的排列。例8,四名男生和兩名女生舉行一場詩歌朗誦，出場順序要求兩名女生之間恰有兩名男生，則出場方案有幾種？分析：由于要求有“女男男女”這樣的“小集團(tuán)”，可先“組團(tuán)”。從4名男生中選2人排入兩女生之間，有A24A22種，（2名女生有A22種排法），把這樣的“小集團(tuán)”看為一個元素和其他兩名男生進(jìn)行排列，有A33種，故共有A24A22A33種，或者先整體后“集團(tuán)”法共有A33A24A22種。3J'9、表格法對于選派問題，還有淘汰賽（參加隊(duì)伍不多）通常使用表格法。例9，9人組成籃球隊(duì)，其中7人善打鋒，3人善打衛(wèi)，現(xiàn)選5人（3鋒2衛(wèi)，鋒分左中右鋒，衛(wèi)分左中右衛(wèi)）組隊(duì)出場。有多少種不同的組隊(duì)方法？分析：共9人，7人善鋒，3人善衛(wèi)，這說明1人即善鋒又善衛(wèi)，只會鋒的6人，只會衛(wèi)的2人，不妨列表使其直觀化。人數(shù)6人只會鋒2人只會衛(wèi)1人既鋒又衛(wèi)結(jié)果不同選法32A3A26_2311（衛(wèi)）A36C12A22221（鋒）C2A3A26~3—2則共有A3A2+A3C1A2+C2A3A2=900種方法。62622632思考：某旅游局有5名翻譯人員，4名會英語，2人會日語，今需派2名會英語1名會日語的人員做導(dǎo)游，有多少種派法？（9種）10、單循環(huán)與雙循環(huán)賽事安排法單循環(huán)賽：如有n個隊(duì)參加，不論n是奇數(shù)還是偶數(shù)共有n（n-1）/2場比賽，而雙循環(huán)比賽（如我們平時(shí)說的主客場）的比賽，場數(shù)為n（n-1）場。例10，7個球隊(duì)踢單循環(huán)比賽，共有多少場比賽？分析：結(jié)果很簡單，直接求出有21場比賽，具體賽程可由無向圖表示。11、不同元素進(jìn)盒?先分堆再排列對于不同的元素放入不同的盒內(nèi)，當(dāng)有的盒內(nèi)憂不少于2個元素時(shí)，不可分批進(jìn)入，必須先分堆再排入。例11，5個老師分配到3個班級內(nèi)搞活動，每班至少一人，有幾種不同的分法？分析：先把5位分成3堆，有兩種分法①3、1、1分法②2、2、1分法（其中①分法有C35種，②分法有C25C23/A22種），再排列到3個班級里全排列，由分類、分步計(jì)數(shù)原理，共有（C35+C25C23/A22）A33種。12、相同元素進(jìn)盒?隔板法對于相同元素的分配問題，可設(shè)計(jì)一種情景來解決，就是我們的擋板分隔。例12,從5個班級中選10人組成籃球隊(duì)，每班至少一人，有幾種選法？分析：這里只是人數(shù)而已，與順序無關(guān)，故可把10個相同的小球放入5個不同的盒內(nèi)，每盒至少一球。可先把10球排成一列，再在其中的9個間隙中選4個位置插入4塊“擋板”分成5格（構(gòu)成5格盒子），有C49種方法。例12'，7個相同的球放入4個不同的盒子中，每盒不空有多少種方法？分析：7個球放入4個不同的盒，即把7個球分成4組，不妨將7個球擺放一列，設(shè)法分成4部分（每一種分法對應(yīng)一種放法），要想分成4部分，只需用3個隔板將7個球隔開。其中7個球產(chǎn)生6個空，選3個空放隔板，則有C3=20中方法。613、兩類元素的排列?用組合選位法例13：10級樓梯，要求7步跨完，且每步最多跨2級，問幾種不同夸法?分析：由題意知，有3步跨2級，4步跨1級，因此這是1級與2級兩類不同元素的排列，所以只要在7步中任選3步為2級即可，有C37種跨法。例13'，3面紅旗2面黃旗，全部升上旗桿作為信號，可打出幾種不同的信號？簡析：由題意知，這是3面紅旗和2面黃旗兩種不同元素的排列問題，這要在5個旗桿上選2個旗桿放黃旗即可。共有C2=10種不同的信號5思考：①沿圖中格線從頂點(diǎn)A到頂點(diǎn)B最短的路線有幾條？（C37條）7②從5個班中選10人組成校籃球隊(duì)（無任何要求）有幾種A—"選法？（有C414種）（提示：此題不同于例12,嗟因?yàn)闊o任何要求選隊(duì)員，可以看成10個球與4個班的排列問題，即兩類元素的排列。）③（a+b+c+d）10的展開式有幾項(xiàng)？（有C313項(xiàng)）（提示：同思考②，這仍是10個球與3個擋板的排列問題）注：兩類元素的問題涉及面很廣，解決此問題的關(guān)鍵是把問題等價(jià)轉(zhuǎn)換為兩類元素的排列問題。14、個數(shù)不少于盒子編號數(shù)?用填滿分隔法例14，10個相同的小球放入編號1、2、3的三個盒子內(nèi)，要求每個盒子的球數(shù)不小于它的編號數(shù)，則不同的方法有多少種？分析：由于球是相同的，故先用6個球按編號分入各盒，再把剩下4球放入這3個盒即可。同上面的參考②，可用2個擋板與4個球一起排列（即為兩類元素的排列問題），有C26種。思考：現(xiàn)有40輛新車需分到7個運(yùn)輸隊(duì)（車隊(duì)含有1、2、3、4、5、6、7編號），車隊(duì)得到的新車數(shù)不少于車隊(duì)的編好書，則有多少種不同分法？15、混合問題?先選后排法對于排列組合的混合問題，可采用先選元素后排列的辦法。例15,4個不同的小球放入編號為1、2、3、4的四個盒子里，則恰有一個空盒的放法有多少種？分析：可以分步處理。第一步，從4個盒子中選出1個空盒子有C14種；第二步，從4個球中選出2個球有C%種；第三步，把先取出的2個球?yàn)橐粋€元素與其與2個球組成3個元素，放入剩下的3個盒中，進(jìn)行全排列有A33種；由分步計(jì)數(shù)原理得共有C14C24A33種放法。16、概率法求排列組合3I'我們知道計(jì)算概率的基礎(chǔ)是排列組合數(shù)，反過來可利用某事件的概率可求排列組合的問題。但利用概率思想解排列組合問題的條件，那就是由等可能事件組成的事件，否則會出現(xiàn)錯誤。例16,4名男生和6名女生組成至少有一位男生參加的三