本文格式為Word版，下載可任意編輯——復(fù)數(shù)與平面幾何題（潘成華周文化）用復(fù)數(shù)解平面幾何題的嘗試

宿遷市泗洪縣育才試驗(yàn)學(xué)校周文化文武光華數(shù)學(xué)工作室潘成華

用復(fù)數(shù)法解決某些平面幾何題往往顯得簡(jiǎn)單而特別，特別是那些規(guī)則的，簡(jiǎn)單得出較簡(jiǎn)單表達(dá)式的問(wèn)題。本文通過(guò)具體的問(wèn)題談?wù)剬?duì)復(fù)數(shù)解平面幾何題的若干嘗試。關(guān)鍵詞復(fù)數(shù)，共軛復(fù)數(shù)，平面幾何

為使符號(hào)表示簡(jiǎn)明，文中約定使用復(fù)數(shù)時(shí)，①用AB表示“B?A〞，代替尋常的寫(xiě)法AB，②AB表示復(fù)數(shù)AB的共軛復(fù)數(shù)，③引入符號(hào)“?1〞與“?i〞：x?1y表示Re(x)=Re(y),即復(fù)數(shù)x,y的實(shí)部相等；x?iy表示Im(x)=Im(y),即復(fù)數(shù)x,y的虛部部相等.

由此約定不難得出，“p是實(shí)數(shù)〞等價(jià)于“p?i0〞，“p是純虛數(shù)〞等價(jià)于“p?10〞.命題1.設(shè)x?a1?b1i，y?a2?b2i，其中ai，bi?R，i?1,2；(1)x?y?x?y?1x?y?10；(2)x//y?x?y?i?x?y?i0.證明：只證充分性

（1）當(dāng)x?y時(shí)，易知a1a2?b1b2?0；由x?a1?b1i可得x?a1?b1i，故x?y?(a1?b1i)?(a2?b2i)?(a1a2?b1b2)?(a1b2?a2b1)?i，

于是Re(x?y)=a1a2?b1b2=0，即x?y?10，再由共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)可得x?y?10.(2)由(1)可知x?y?(a1a2?b1b2)?(a1b2?a2b1)?i，當(dāng)x//y時(shí)，易知a1b2?a2b1?0，

∴Im(x?y)=a1b2?a2b1=0，即x?y?i0，再由共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)可得?x?y?i0.注：實(shí)際上x(chóng)?y的實(shí)部、虛部分別對(duì)應(yīng)于向量(a1，b1)與(a2，b2)的內(nèi)積、外積.

命題2.△ABC與△ABC順向相像(對(duì)應(yīng)點(diǎn)的排列順序一致)的充分必要條件可以是以下條件中的任一個(gè)：

'''AA'ABACABA'B'?''，②''?''，③AB?A'C'?A'B'?AC，①

ABACACAC④AB?A'C'?A'B'?AC?i0且AB?A'C'?A'B'?AC?10.證明：只證充分性，設(shè)AB?x,A'B'?y,AC?ex,A'C'?ey即證.

B'BCC'注：對(duì)順向相像中任意兩組對(duì)應(yīng)的有向線段a,b,a',b'，都顯然有

aa'ab?,?,a?b'?a'?b，a?b'?a'?b?i0，a?b'?a'?b?10成立.bb'a'b'△ABC與△ABC反向相像(對(duì)應(yīng)點(diǎn)的排列順序相反)的充分必要條件可以是以下條件中的任一個(gè)：

'''ABACABA'B'①?''，②''?''，③AB?A'C'?A'B'?AC，

ACACABAC④AB?A'C'?A'B'?AC?i0且AB?A'C'?A'B'?AC?10.證明：只證充分性，設(shè)AB?x,A'B'?y,AC?ex,A'C'?ey即證.注：對(duì)反向相像中任意兩組對(duì)應(yīng)的有向線段a,b,a',b'，都顯然有

AA'B'BCC'aa'ab?,?,a?b'?a'?b，a?b'?a'?b?i0，a?b'?a'?b?10成立.bb'a'b'命題3.若AB∥CD，Q是直線CD上的任一點(diǎn)，則Im（PQ?AB）=Im（﹣PQ?AB）為定值.證明：只需證Im（PQ?AB）為定值.

PCAQDBPQ?AB?(PC?CQ)?AB?PC?AB?CQ?AB，

由CQ//AB可得CQ?AB?i0，

∴PQ?AB?iPC?AB,即Im（PQ?AB）為定值.

特別的，當(dāng)Q在直線AB上時(shí)，Im（PQ?AB）=Im（﹣PQ?AB）=Im（PA?AB）=Im（PA?PB）。

命題4.若AB⊥CD，Q是直線CD上的任一點(diǎn)，則Re（PQ?AB）=Re（PQ?AB）為定值.證明：只需證Re（PQ?AB）為定值.

CPQODPQ?AB?(PC?CQ)?AB?PC?AB?CQ?AB，

由CQ?AB可得CQ?AB?10，

∴PQ?AB?1PC?AB,即Re（PQ?AB）為定值.

借助上述命題和復(fù)數(shù)的其他知識(shí)解決一些問(wèn)題時(shí)思路往往顯得很別致直接.

AB問(wèn)題1.已知：△ABC與△ADE反向相像，M、N分別是BD、CE的中點(diǎn)，BE、CD交于點(diǎn)X.

O

求證：（1）AX//MN.（2）若∠ABC=∠ADE=90，則AX⊥BD證明：（1）AX?2MN?AX?(BE?DC)?iAB?AE?AD?AC?i0因此，AX//MN。

（2）2MN?BD?(BC?DE)?(AD?AB)?1BC?AD?DE?AB?10AMD∴MN?BD,進(jìn)而AX?BD.

問(wèn)題2.已知：Ｏ、Ｈ分別是△ABC的外心、垂心，D、E是AB、AC的中點(diǎn)，CF⊥AB于F，BG⊥AC于G，

DE、FG相交于P；求證：AP⊥OH

BXCNE證明：由外心、垂心的性質(zhì)易得OD?AB,OE?AC,AH?BC；

由D、E是AB、AC的中點(diǎn)，CF⊥AB于F，BG⊥AC于G可得△ADE∽△AGF∽△ABC，DE∥BC，于是又有AH⊥DE.

∴AO?FG?AO?AG?AO?AF?1AE?AG?AD?AF?0，可得AO?FG；∴AP?OH?AP?AH?AP?AO?1AE?AH?AF?AO?1AE?AG?AF?AD?0，可得AP?OH.

AFDOBPEGHC問(wèn)題3.（田開(kāi)斌老師題）已知：□ABCD中，CE、DF分別垂直BD、AC于E、F，F(xiàn)E與BA相交于G；求證：OG⊥AD.

G證明：分別過(guò)C、D作CM、DN垂直于OC、OD，且交OD、OC于M、N，

易知CE∥DN，DF∥CM，MN∥EF，Rt△EOC∽R(shí)t△DON,Rt△FOD∽R(shí)t△COM，DNMC??ki，k?R；可得

ODOC∴OG?AD?OG?(OC?OD)?0?OG?(DN?MC)?i0

1而OG?(DN?MC)?OG?(DC?MN)?iOA?DC?OE?MN

?OC?CD?OE?MN?iOC?OD?OE?ON?iOC?OD?OD?OC，A?i0DEM∴OG⊥AD。

O

F

BC

問(wèn)題4.（葉中豪老師題）已知:矩形ABCD內(nèi)接于⊙O，E、F分別是BC、CD上的點(diǎn)，BF、DE相交于P，AP交⊙O于G；求證：EG⊥FG

證明：連接CG，易知CG⊥AG，則

GE?GF?GE?(GC?CF)?GE?GC?GE?CF?1GE?GC?GC?CF?1GE?GC?GC?CF?(GE?CF)?GCN由AP⊥CG可知EG?FG?GE?GF?10?(GE?CF)?GC?10?(GE?CF)?AP?i0；而(GE?CF)?AP?iPE?AP?CF?BP?iPE?AD?CB?BP?iPE?BC?BC?BP?BE?BC?i0，所以原命題得證.

AOPBEMDFCG問(wèn)題5.（葉中豪老師題）已知：AB=AC，M是BC上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作MD、ME分別交AB、AC于D、E，且使得∠BMD=∠CME，O、P、Q分別是BC、DE、AM的中點(diǎn)；求證：O、P、Q在同一直線上.

A證明：易知△BMD∽△CME，

2OP?2PQ?(BD?CE)?(DA?EM)?iBD?EM?CE?DA?CE?EM?iBD?EM?CE?(DM?ME)?CE?EM?BD?EM?CE?DM?i0，

DQPEC∴O、P、Q在同一直線上.

B

問(wèn)題6.已知：如圖，△ABC∽△ADE，G、H分別是它門(mén)的垂心，直線CD、EB交于點(diǎn)M；求證：AM⊥GH.

證明：由相像三角形及垂心的性質(zhì)易知

OMBCDE??ki，其中k為實(shí)數(shù)，GAAHA因此，AM?GH?AM?GH?10?AM?(BC?DE)?i0；

MC?CD?ME?EB?MA?(BC?DE)?AC?CD?AE?EB

C?iAC?AD?AE?AB?i0.

當(dāng)MCD、MEB共線時(shí)，MC?CD?iME?EB?i0，可得AM?(BC?DE)?i0，原命題得證.另一種表達(dá)方式：

GHEDMBAex；以A為原點(diǎn)，B=1建立復(fù)平面，可設(shè)C、D、E對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為e、x、因此，AM?GH?AM?GH為純虛數(shù)?AM?(BC?DE)為實(shí)數(shù)；

CeGHMC?CD?ME?EB?MA?(BC?DE)?AC?CD?AE?EB?e(x?e)?ex(1?ex)顯然為實(shí)數(shù)，原命題得證。

xDEex

M

以上6個(gè)問(wèn)題的解決基本上是借助命題3或命題4將問(wèn)題歸結(jié)至相像三角形中，再由命題2作出判斷.比較多的依靠于幾何圖形的形式，而更多的時(shí)候我們會(huì)充分借助其“數(shù)〞的特征，用“數(shù)〞來(lái)反映幾何圖形中的關(guān)系,再通過(guò)“數(shù)〞的“運(yùn)算〞達(dá)成目的。

B1

問(wèn)題7.（潘成華老師題）已知正方形ABCD、AEFG，P、Q、R分別是BF、AE、CG的中點(diǎn)，求證：PQ=PR

E且PQ⊥PR

證明：∵i?PQ?i?QBA?FEi?BA?i?FEBC?FG???PR222DAF∴PQ?PR,且PQ?PR.

PC

R

G

問(wèn)題8.（潘成華老師題）已知：M、N分別是正方形ABCD、AEFG的中心，P、Q分別是CG、BF的中點(diǎn)，

BEPQ、MN交于點(diǎn)O,求證：∠POM=45°，且PQ=

2MN.2DMANFO1?iCA?AFCB?GF??PQ，原命題得證.設(shè)e?,則e?MN?e?222BQC

P

G問(wèn)題9..（潘成華老師題）以任意△ABC三邊為邊向外作等邊三角形ABD、BCE、CAF，M、Q、N分別是△ABD△BCE△CAF的外心，U、V、P分別是DF、MN、BC的中點(diǎn)；求證：UV∥PQ且UV=PQ.

證明：取AB、AC中點(diǎn)G、H，設(shè)AB、BC、CA、GD、PE、HF對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為a、b、c、x、y、z，k=?易知x?k?a,y?k?b,z?k?c，a?b?c?0,x?y?z?0；由三角形外心的性質(zhì)可知

3i,2

VU?PQ?MD?NF11?PQ?(GD?PE?HF)?(x?y?z)?0，原命題得證.233注：由以上證明可以看出結(jié)論對(duì)向外作順相像的三角形都成立.

DADU

xMFNV

PCB

Q

AUMGabcVHNzFBPQyCEE問(wèn)題10.（潘成華老師題）.以任意△ABC兩邊AB、AC為邊向內(nèi)作等邊三角形ABD、CAF，L、M分別是△ABD、△CAF的外心，以?xún)蛇匓C為邊向外作等邊三角形BCE，K是△BCE的外心；求證：ML、AK相互平分.

證明：設(shè)e?cos60?i?sin60，∵AM?KL?OOA?C?FA?B?DB?C?E?A??333F?D?C?A?E?CAD?EC?CFe???(AB?BC?CA)=0,

333∴四邊形AMKL是平行四邊形，ML、AK相互平分.

A

A

FM

FM

L

LBCBCDKDK

EE

問(wèn)題11.（潘成華老師題）.以任意△ABC三邊為邊向外作等邊三角形CAD、BCE、ABF，U、V、X、Y分別是CB、CA、EF、DF的中點(diǎn)，直線UX、VY相交于P；求證：∠P+∠ACB=120°.

證明：設(shè)e?cos60?i?sin60,

OOFYADBUPECCE?BFeeUX???(CB?BA)??CA，

222VY?CD?AFee??(CA?AB)??CB，222∴

CAVYe2???e，∠P+∠ACB=120°.CBUXe問(wèn)題11.（潘成華老師題）以任意△ABC三邊為邊相外作等邊三角形ABD、BCE、CAF，M、N分別是DE、EF的中點(diǎn)；

求證：△AMN是等邊三角形.

證明：設(shè)AB、BC、CA對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為a、b、c，e?cos60?i?sin60,

AD?AB?BE2O

??則e?AM?AN?e??AF?AC?CE2?e?ea?a?eb2?ec?c?eb2?e?12?(a?b?c)?0

于是AN?e?AM，可得∠MAN=60，且AM=AN，△AMN是等邊三角形.

F

ec

-ecCDeacA

a-eabN-eb

BM

ebE

問(wèn)題12.（潘成華老師題）.以任意△ABC三邊為邊向外作等邊三角形ABD、BCE、CAF，G、H、I、J、K、L分別是AD、DB、BE、EC、CF、FA的中點(diǎn)，GJ、HK、IL兩兩相交于DX、Y、Z；求證：△XYZ是等邊三角形.

證明：設(shè)e?cos60?i?sin60,

OOGXDB?BE?ACDA?BC?AF?e?GJ?e???HK,

22AZLHFK??YXZ?60；

同理?ZYX??XZY?60，原命題得證.

OOBYCIJE問(wèn)題13..（潘成華老師題）以任意△ABC兩邊AB、AC為邊向內(nèi)作等邊三角形ABD、CAF，L、M分別是△ABD、△CAF的外心，以?xún)蛇匓C為邊向外作等邊三角形BCE，K是△BCE的外心；求證：△AFB∽△KLM.

證明：設(shè)AB、BC、CA對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為a、b、c，f?3(cos30o?isin30o)、e?cos60o?isin60o,3KLKB?BL?fb?fafcec?????,KMKC?CMfb?fc?faaAF?ecKL??,ABaKMAAFML-ecMa故△AFB∽△KLM.FBCfccDLK-fa

bBC

-fbfbEDK

E

問(wèn)題14.（潘成華老師題）已知：△ABD、△ACE均為等邊三角形，M、N是它們的中心，DN、EM相交于點(diǎn)F，G、H分別是BC、EM的中點(diǎn)；求證：F、G、N、H四點(diǎn)共圓A證明：作等邊△PAE，Q是其外心，設(shè)e?cos60?i?sin60

1GHMEGNDN?21?2(BM?CE)MA?AE(BA?AQ)DA?AN1?21?2e(MA?AE)MA?AE?1212OODMFHNEoe??MHG?60，

BGCe(DA?AN)DA?ANo?oe??DNG?60

P∴?MHG??DNG?60，于是F、G、N、H四點(diǎn)共圓.

QADMFHNEBGC問(wèn)題15.（潘成華老師題）已知：△ABD、△ACE均為等邊三角形，G、H、I分別是AE、BC、AD的中點(diǎn)，X