江蘇省2022屆高三數(shù)學(xué)下學(xué)期模擬試題分類匯編——數(shù)列一、填空題1、（2022江寧高級(jí)中學(xué)3月聯(lián)考）已知等差數(shù)列{an}中，a4=3,a6=9，則該數(shù)列的前9項(xiàng)的和S9=．542、（2022金陵中學(xué)三模）.已知等差數(shù)列滿足：．若將都加上同一個(gè)數(shù)，所得的三個(gè)數(shù)依次成等比數(shù)列，則所加的這個(gè)數(shù)為△．－13、（2022南京一模）已知等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，若，前三項(xiàng)的和為21，則。1684、（2022南通一模）已知數(shù)列{an}中，a1=1，a2=0，對(duì)任意正整數(shù)n，m(n>m)滿足，則a119=▲．－15、（2022蘇、錫、常、鎮(zhèn)四市調(diào)研）已知數(shù)列滿足，且，其中，若，則實(shí)數(shù)的最小值為46、（2022通州第四次調(diào)研）等差數(shù)列中，若，則.40二、解答題1（2022丹陽(yáng)高級(jí)中學(xué)一模）已知數(shù)列中，且點(diǎn)在直線上。(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)若函數(shù)求函數(shù)的最小值；(3)設(shè)表示數(shù)列的前項(xiàng)和。試問(wèn)：是否存在關(guān)于的整式，使得對(duì)于一切不小于2的自然數(shù)恒成立？若存在，寫出的解析式，并加以證明；若不存在，試說(shuō)明理由。解：（1）由點(diǎn)P在直線上，即，-------------------------------2分且，數(shù)列{}是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，同樣滿足，所以---------------4分（2）---------------------6分所以是單調(diào)遞增，故的最小值是-----------------------10分（3），可得，-------12分，……，n≥2------------------14分故存在關(guān)于n的整式g（x）=n,使得對(duì)于一切不小于2的自然數(shù)n恒成立----16分2、（2022淮安3月調(diào)研）已知數(shù)列a,b,c為各項(xiàng)都是正數(shù)的等差數(shù)列，公差為d（d>0)，在a,b之間和b,c之間共插入m個(gè)實(shí)數(shù)后，所得到的m+3個(gè)數(shù)所組成的數(shù)列是等比數(shù)列，其公比為q.若a=1,m=1,求公差d；若在a,b之間和b,c之間所插入數(shù)的個(gè)數(shù)均為奇數(shù)，求所插入的m個(gè)數(shù)的乘積（用a,c,m表示）求證：q是無(wú)理數(shù)。解：（1）由，且等差數(shù)列的公差為，可知，若插入的一個(gè)數(shù)在之間，則，，消去可得，其正根為．………………2分若插入的一個(gè)數(shù)在之間，則，，消去可得，此方程無(wú)正根．故所求公差．………4分（2）設(shè)在之間插入個(gè)數(shù)，在之間插入個(gè)數(shù)，則，在等比數(shù)列中，∵，…，，∴……8分又∵，，都為奇數(shù)，∴可以為正數(shù)，也可以為負(fù)數(shù)．①若為正數(shù)，則…，所插入個(gè)數(shù)的積為；②若為負(fù)數(shù)，…中共有個(gè)負(fù)數(shù)，當(dāng)是奇數(shù)，即N*)時(shí)，所插入個(gè)數(shù)的積為；當(dāng)是偶數(shù)，即N*）時(shí)，所插入個(gè)數(shù)的積為．綜上所述，當(dāng)N*)時(shí)，所插入個(gè)數(shù)的積為；當(dāng)N*）時(shí)，所插入個(gè)數(shù)的積為．…………10分注：可先將…用和表示，然后再利用條件消去進(jìn)行求解．（3）∵在等比數(shù)列，由，可得，同理可得，∴，即，…………12分假設(shè)是有理數(shù)，若為整數(shù)，∵是正數(shù)，且，∴，在中，∵是的倍數(shù)，故1也是的倍數(shù)，矛盾．若不是整數(shù)，可設(shè)（其中為互素的整數(shù)，），則有，即，∵，可得，∴是x的倍數(shù)，即是x的倍數(shù)，矛盾．∴是無(wú)理數(shù)．……16分3、（2022金陵中學(xué)三模）已知數(shù)列、中，對(duì)任何正整數(shù)都有：．（1）若數(shù)列是首項(xiàng)和公差都是1的等差數(shù)列，求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）若數(shù)列是等比數(shù)列，數(shù)列是否是等差數(shù)列，若是請(qǐng)求出通項(xiàng)公式，若不是請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）若數(shù)列是等差數(shù)列，數(shù)列是等比數(shù)列，求證：．解：（1）依題意數(shù)列的通項(xiàng)公式是，故等式即為，同時(shí)有，兩式相減可得------------------------------3分可得數(shù)列的通項(xiàng)公式是，知數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列。---------------------------4分（2）設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為，則，從而有：，又，故-----------------------------6分，要使是與無(wú)關(guān)的常數(shù)，必需，----------------------------8分即①當(dāng)?shù)缺葦?shù)列的公比時(shí)，數(shù)列是等差數(shù)列，其通項(xiàng)公式是；②當(dāng)?shù)缺葦?shù)列的公比不是2時(shí)，數(shù)列不是等差數(shù)列．------------9分（3）由（2）知，------------------------------------------10分--------------14分----------------------------16分4、（2022通州第四次調(diào)研）數(shù)列、由下列條件確定：①，；②當(dāng)，與滿足如下條件：當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，.（1）如果，，試求，，，；（2）證明：數(shù)列為等比數(shù)列；（3）設(shè)()是滿足…的最大整數(shù)，證明：.解：（1）∵，∴，，∵，∴，.……4分（2）證明：當(dāng)時(shí)，①當(dāng)時(shí)，；②當(dāng)時(shí)，.∴當(dāng)時(shí)，都有，∴數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.……10分（3）證明：由（2）可得，∵，∴()，∴，∴對(duì)于，都有,，∴，∴.若，則，∴，∴，與是滿足()的最大整數(shù)相矛盾，∴是滿足的最小整數(shù).∴，結(jié)論成立.………16分5、（2022揚(yáng)州中學(xué)2月月考）已知為實(shí)數(shù)，數(shù)列滿足，當(dāng)時(shí)，，（Ⅰ）；(5分)（Ⅱ）證明：對(duì)于數(shù)列，一定存在，使；(5分)（Ⅲ）令，當(dāng)時(shí)，求證：(6分)解:（Ⅰ）由題意知數(shù)列的前34項(xiàng)成首項(xiàng)為100,公差為－3的等差數(shù)列,從第35項(xiàng)開始,奇數(shù)項(xiàng)均為3,偶數(shù)項(xiàng)均為1,從而=……(3分)=.…………(5分)（Ⅱ）證明：①若,則題意成立…(6分)②若,此時(shí)數(shù)列的前若干項(xiàng)滿足,即.設(shè),則當(dāng)時(shí),.從而此時(shí)命題成立……(8分)③若,由題意得,則由②的結(jié)論知此時(shí)命題也成立.綜上所述,原命題成立……………(10分)（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，因?yàn)?所以=……………(11分)因?yàn)?gt;0,所以只要證明當(dāng)時(shí)不等式成立即可.而………(13分)①當(dāng)時(shí),……(15分)②當(dāng)時(shí),由于>0,所以<綜上所述,原不等式成立………(16分)6、（2022南京一模）在數(shù)列中，已知，且，若數(shù)列為等差數(shù)列，求的值。求數(shù)列的前項(xiàng)和當(dāng)時(shí)，求證：解：（1）設(shè)數(shù)列的公差為，則，