本文格式為Word版，下載可任意編輯——復(fù)變函數(shù)論第四版第三章練習(xí)復(fù)變函數(shù)論第三章練習(xí)題2023-04-14

復(fù)積分是研究解析函數(shù)的一個(gè)重要工具.柯西積分定理及柯西積分公式特別重要，是復(fù)變函數(shù)論的基本定理和基本公式。由柯西定理可導(dǎo)出解析函數(shù)的一系列重要結(jié)果，諸如柯西積分公式、柯西不等式、唯一性定理和最大模原理等。特別地，有解析函數(shù)有連續(xù)導(dǎo)數(shù)以及任意階導(dǎo)數(shù).直到20世紀(jì)中期，這兩個(gè)結(jié)果才分別由R.L.Plunkett(Bull.Amer.Math.Soc.65,1959)及E.H.ConellandP.Porcelli(Bull.Amer.Math.Soc.67,1961)不用柯西定理，而用拓?fù)浞椒ㄗ龀鲎C明。作為柯西積分定理的推廣，則由應(yīng)用廣泛的留數(shù)基本定理，代數(shù)學(xué)基本定理就是留數(shù)定理的一個(gè)簡(jiǎn)單推論，應(yīng)用它還可以計(jì)算一些較繁雜的實(shí)定積分。

一、柯西積分定理的理解

1.設(shè)函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析，那么這個(gè)函數(shù)沿D內(nèi)任意閉路線積分是否都為零？為什么？

2.對(duì)什么樣的周線C,有

?C1dz?0.2z?z?13.設(shè)函數(shù)f(z)在0?|z|?1內(nèi)解析，且沿任何圓周C:|z|?r,0?r?1的積分值為零。問(wèn)

f(z)是否必需在z?0處解析？試舉例說(shuō)明之？

4.設(shè)函數(shù)f(z)在單連通區(qū)域D內(nèi)解析，且在D內(nèi)的閉曲線C上滿足|f(z)?1|?1.證明：

?Cf?(z)dz?0.f(z)二、利用柯西定理、柯西公式、不定積分（原函數(shù)）和路徑無(wú)關(guān)性等計(jì)算積分

1.計(jì)算以下積分：（1）

??Cdz,C:|z|?3；2z(z?1)sinzdz,C:|z?2i|?2；（3）?(|z|?z),C:|z|?1；

Cz2?9（2）(4)

C?C(|z|?ezsinz)dz,C:|z|?a?0;

*（5）

dz?C(z?2)(z?4)(z?6)(z?100),C:|z|?99。

2.沿從1到?1的如下路徑求

?C1dz.（1）上半單位圓周；（2）下半單位圓周，其中z取z沿負(fù)實(shí)軸割開(kāi)平面的主值支。

3.設(shè)函數(shù)f(z)在|z|?1內(nèi)解析，在閉圓|z|?1上連續(xù)，且f(0)?1,求積分

11dz[2?(z?)]f(z)之值.

2?i?|z|?1zz1z?adz1(|a|?R),4.通過(guò)計(jì)算積分求證

2?i?|z|?Rz?az2??2?0R2?|a|2d??1.i?2|Re?a|三、柯西定理、柯西公式、積分估值、柯西不等式等定理在命題證明中的應(yīng)用

1.設(shè)f(z)在周線C所圍的區(qū)域D上解析，在D+C上連續(xù)，則對(duì)任意z?D,有|f(z)|?M,其中M?max|f(z)|，從而求|ez|在|z|?1上的最大值。

z?C2.設(shè)a,b為實(shí)數(shù)，s???it(??0),證明不等式|ebs?eas|?|s||b?a|emax{a,b}?.

3.若函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析，C為D內(nèi)以a,b為端點(diǎn)的直線段。試證：存在數(shù)?,|?|?1,與

??C使得f(a)?f(b)??(b?a)f?(?).

4.假使在|z?|1函數(shù)內(nèi)f(z)解析，且|fz(?)|11?z||

.證：試

1|f(n)(0)|?(n?1)!(1?)n?e(n?1)!,(n?1,2,).

n5.

假使函數(shù)

f(z)在

|z|?1內(nèi)解析，在|z|?1上函數(shù)值

f(ei??)a?co??si?sin?,??0?a?2試求這個(gè)函數(shù),1.,2a?2ac?o?s16*.（含無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的柯西積分公式）設(shè)函數(shù)f(z)在簡(jiǎn)單閉曲線C的外部區(qū)域D解析，在D+C上連續(xù)，且有l(wèi)imf(z)?A.證明：

z????f(z)?A,z?D?E(C),1f(?)dz??A,z?I(C)2?i?C??z?22四、關(guān)于調(diào)和函數(shù)和解析函數(shù)

1.設(shè)w?u?iv是z的解析函數(shù)，且u?(x?y)(x?4xy?y).求v.

px2.設(shè)u(x,y)?esiny,而f(z)?u?iv為一解析函數(shù)，試求p的值與f(z).

3.確定形如u?f()的所有調(diào)和函數(shù)。

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