有關(guān)正態(tài)分布的解釋第1頁，共27頁，2023年，2月20日，星期五正態(tài)分布的通俗概念：如果把數(shù)值變量資料編制頻數(shù)表后繪制頻數(shù)分布圖（又稱直方圖，它用矩形面積表示數(shù)值變量資料的頻數(shù)分布，每條直條的寬表示組距，直條的面積表示頻數(shù)（或頻率）大小，直條與直條之間不留空隙。），若頻數(shù)分布呈現(xiàn)中間為最多，左右兩側(cè)基本對稱，越靠近中間頻數(shù)越多，離中間越遠(yuǎn)，頻數(shù)越少，形成一個中間頻數(shù)多，兩側(cè)頻數(shù)逐漸減少且基本對稱的分布，那我們一般認(rèn)為該數(shù)值變量服從或近似服從數(shù)學(xué)上的正態(tài)分布。正態(tài)分布的概念第2頁，共27頁，2023年，2月20日，星期五

下面我們以第一節(jié)某地13歲女孩118人的身高(cm)資料，來說明身高變量服從正態(tài)分布。頻數(shù)分布表：第3頁，共27頁，2023年，2月20日，星期五頻數(shù)分布圖一（又稱直方圖）

從頻數(shù)表及頻數(shù)分布圖上可得知：

該數(shù)值變量資料頻數(shù)分布呈現(xiàn)中間頻數(shù)多，左右兩側(cè)基本對稱的分布。所以我們通俗地認(rèn)為該資料服從正態(tài)分布。

第4頁，共27頁，2023年，2月20日，星期五頻數(shù)分布圖二第5頁，共27頁，2023年，2月20日，星期五頻數(shù)分布圖三第6頁，共27頁，2023年，2月20日，星期五正態(tài)分布圖四第7頁，共27頁，2023年，2月20日，星期五正態(tài)分布的數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)概念：

如果隨機(jī)變量（X）的概率密度函數(shù)為：

-∞＜x＜+∞

則該隨機(jī)變量服從正態(tài)分布。式中σ為總體標(biāo)準(zhǔn)差；μ為總體均數(shù)；π為圓周率，即3.14159···；e為自然對數(shù)的底，即2.71828···。第8頁，共27頁，2023年，2月20日，星期五若某一隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)（頻率曲線方程）為上式，則稱該變量X服從參數(shù)為μ和σ的正態(tài)分布，記為：X～N（μ,σ2）。函數(shù)方程中μ為位置參數(shù)，σ為形狀參數(shù)。在σ不變的情況下，函數(shù)曲線形狀不變，若μ變大時，曲線位置向右移；若μ變小時，曲線位置向左移。在μ不變的情況下，函數(shù)曲線位置不變，若σ變大時，曲線形狀變的越來越“胖”和“矮”；若σ變小時，曲線形狀變的越來越“瘦”和“高”。第9頁，共27頁，2023年，2月20日，星期五若某一隨機(jī)變量X，其總體均數(shù)μ=0,總體標(biāo)準(zhǔn)差σ=1，即X～N（0,1）,則稱變量X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。習(xí)慣把服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的變量用字母U或Z表示，此時，我們把U或Z稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量。標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布是正態(tài)分布中的一個典型分布，數(shù)理統(tǒng)計(jì)上證明：對一服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量（X），若進(jìn)行特定的變量變換，可將任何一服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量（X）轉(zhuǎn)變成服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)變量（U或Z），這種變量變換過程稱為變量的標(biāo)準(zhǔn)化，也稱為U或Z變換。式中符號意義如前述。第10頁，共27頁，2023年，2月20日，星期五正態(tài)分布的特征及其面積規(guī)律正態(tài)分布曲線位于橫軸上方，呈鐘形。正態(tài)分布曲線以均數(shù)所在處最高，且以均數(shù)為中心左右對稱。第11頁，共27頁，2023年，2月20日，星期五正態(tài)分布曲線由兩個參數(shù)決定，即總體均數(shù)μ和總體標(biāo)準(zhǔn)差σ。在σ不變的情況下，函數(shù)曲線形狀不變，若μ變大時，曲線位置向右移；若變小時，曲線位置向左移，故稱μ為位置參數(shù)。在μ不變的情況下，函數(shù)曲線位置不變，若σ變大時，曲線形狀變的越來越“胖”和“矮”；若σ變小時，曲線形狀變的越來越“瘦”和“高”，故稱σ為形態(tài)參數(shù)或變異度參數(shù)。N（μ，0.52）、N（μ，12）、N（μ，22）

N（μ1，σ2）、N（μ2，σ2）

第12頁，共27頁，2023年，2月20日，星期五正態(tài)曲線下面積分布有一定的規(guī)律性。對于服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量（X），隨機(jī)變量值出現(xiàn)在某一區(qū)間（x1,x2）的概率與正態(tài)分布概率密度曲線與橫軸在該區(qū)間所圍成的區(qū)域的面積大小相對應(yīng)（相等）。正態(tài)分布概率密度曲線與橫軸圍成的區(qū)域的總面積恒等于1。正態(tài)分布概率密度曲線下橫軸上一定區(qū)間的面積可應(yīng)用數(shù)學(xué)知識求出。在實(shí)際應(yīng)用中，由于所有正態(tài)分布都可以通過變量變換轉(zhuǎn)變?yōu)闃?biāo)準(zhǔn)正態(tài)分，為了省去積分計(jì)算不同正態(tài)分布曲線下橫軸上一定區(qū)間面積的繁瑣過程，所以數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)家專門編制了標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布曲線下橫軸上一定區(qū)間面積分布表，供查表求標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布曲線下一定區(qū)間面積。第13頁，共27頁，2023年，2月20日，星期五標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布曲線下對稱于0的區(qū)間，面積相等，各占50%，即左右各為0.5。標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布曲線的縱坐標(biāo)與面積關(guān)系圖即縱坐標(biāo)從－∞移到u所對應(yīng)區(qū)域的面積為上圖紅色區(qū)域面積的大小，這樣一個區(qū)域的面積我們用Ф(u)表示，可通過查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布曲線面積分布表得到Ф(u)的大小。

u值查表所對應(yīng)的面積是區(qū)間(-∞，u)所對應(yīng)的面積，即Ф(u)。若u=-1.96，那么Ф(-1.96)則表示從－∞移到－1.96所對應(yīng)區(qū)域的面積，通過查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布曲線面積分布表得到Ф(-1.96)=0.025。第14頁，共27頁，2023年，2月20日，星期五uu指單側(cè)U界值，也稱隨機(jī)變量U的上側(cè)α分位數(shù)。其意義為：從到+∞這一側(cè)的面積為α,也即在隨機(jī)變量U的所有取值中，有100α的值比大，有100（1-α）的值比小。

第15頁，共27頁，2023年，2月20日，星期五u/2第16頁，共27頁，2023年，2月20日，星期五第17頁，共27頁，2023年，2月20日，星期五第18頁，共27頁，2023年，2月20日，星期五第19頁，共27頁，2023年，2月20日，星期五當(dāng)有一隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N（μ，σ2），若要求某一區(qū)間（x1,x2）的曲線與橫軸圍成的面積時，無須運(yùn)用積分學(xué)知識求從x1移到x2所對應(yīng)區(qū)域的面積大小來得到這一區(qū)間所對應(yīng)的面積。此時，我們可以通過變量變換，把X轉(zhuǎn)變成u，即把一般的正態(tài)分布變換為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，通過求標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布區(qū)間(u1,u2)所對應(yīng)的面積來間接求得一般正態(tài)分布區(qū)間（x1,x2）所對應(yīng)的面積。當(dāng)隨機(jī)變量的參數(shù)μ和σ未知時，若來自該總體的樣本含量n很大時，可分別用樣本均數(shù)和樣本標(biāo)準(zhǔn)差作為μ和σ的估計(jì)值來計(jì)算u值。第20頁，共27頁，2023年，2月20日，星期五第21頁，共27頁，2023年，2月20日，星期五第22頁，共27頁