三角函數(shù)的性質(zhì)時間：45分鐘分值：100分一、選擇題(每小題5分，共30分)1．(2022·四川高考)已知函數(shù)f(x)＝sin(x－eq\f(π,2))(x∈R)，下面結(jié)論錯誤的是()A．函數(shù)f(x)的最小正周期為2πB．函數(shù)f(x)在區(qū)間上是增函數(shù)C．函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝0對稱D．函數(shù)f(x)是奇函數(shù)解析：∵f(x)＝sin(x－eq\f(π,2))＝－cosx(x∈R)，∴函數(shù)f(x)是最小正周期為2π的偶函數(shù)，故選D.答案：D2．如果|x|≤eq\f(π,4)，f(x)＝cos2x＋sinx的最小值是()\f(\r(2)－1,2) B．－eq\f(1＋\r(2),2)C．－1 \f(1－\r(2),2)解析：∵f(x)＝(1－sin2x)＋sinx＝－(sinx－eq\f(1,2))2＋eq\f(5,4).又∵|x|≤eq\f(π,4)，∴sinx∈，故當sinx＝－eq\f(\r(2),2)時，min＝1－(－eq\f(\r(2),2))2＋(－eq\f(\r(2),2))＝eq\f(1－\r(2),2).答案：D3．(2022·全國卷Ⅰ)如果函數(shù)y＝3cos(2x＋φ)的圖象關(guān)于點(eq\f(4π,3)，0)中心對稱，那么|φ|的最小值為()\f(π,6) \f(π,4)\f(π,3) \f(π,2)解析：依題意得3cos(eq\f(8π,3)＋φ)＝0，eq\f(8π,3)＋φ＝kπ＋eq\f(π,2)，φ＝kπ－eq\f(13π,6)(k∈Z)，因此|φ|的最小值是eq\f(π,6)，選A.答案：A4．(2022·江蘇蘇州模擬)函數(shù)y＝sin4x＋cos2x的最小正周期為()\f(π,4) \f(π,2)C．π D．2π解析：y＝sin4x＋cos2x＝(eq\f(1－cos2x,2))2＋eq\f(1＋cos2x,2)＝eq\f(1－2cos2x＋cos22x,4)＋eq\f(1＋cos2x,2)＝eq\f(1＋cos22x,4)＋eq\f(1,2)＝eq\f(3,4)＋eq\f(1,4)·eq\f(1＋cos4x,2)，∴T＝eq\f(2π,4)＝eq\f(π,2).答案：B5．(2022·南昌二模)函數(shù)f(x)＝sinx在區(qū)間上是增函數(shù)，且f(a)＝－1，f(b)＝1，則coseq\f(a＋b,2)的值為()A．0 \f(\r(2),2)C．1 D．－1解析：由f(a)＝－1，f(b)＝1，得a＝2kπ－eq\f(π,2)，k∈Z，b＝2kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，且a、b中k取同一個值，故coseq\f(a＋b,2)＝cos2kπ＝1，故選C.答案：C6．(2022·江西五校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝2sinωx在區(qū)間上的最小值為－2，則ω的取值范圍是()A．(－∞，－eq\f(9,2)]∪∪[eq\f(3,2)，＋∞)C．(－∞，－2]∪[eq\f(3,2)，＋∞)D．(－∞，－2]∪上能取最小值－1，當ω>0時，只需－eq\f(ωπ,3)≤－eq\f(π,2)或eq\f(ωπ,4)≥eq\f(3π,2)，即ω≥eq\f(3,2)；當ω<0時，只需－eq\f(ωπ,3)≥eq\f(3π,2)或eq\f(ωπ,4)≤－eq\f(π,2)，即ω≤－2.所以ω的取值范圍是(－∞，－2]∪[eq\f(3,2)，＋∞)．故選C.答案：C二、填空題(每小題5分，共20分)7．定義在R上的函數(shù)f(x)＝sinx＋eq\r(3)cosx的最大值是__________．解析：∵f(x)＝2sin(x＋eq\f(π,3))，∴f(x)最大＝2.答案：28．f(x)是以5為周期的奇函數(shù)，f(－3)＝4且cosα＝eq\f(1,2)，則f(4cos2α)＝________.解析：∵4cos2α＝4(2cos2α－1)＝4(2×eq\f(1,4)－1)＝－2，又T＝5，∴f(4cos2α)＝f(－2)＝f(－2＋5)＝f(3)＝－f(－3)＝－4.答案：－49．函數(shù)y＝eq\f(cosx,1－sinx)的單調(diào)遞增區(qū)間是__________．解析：y＝eq\f(cosx,1－sinx)＝eq\f(cos2\f(x,2)－sin2\f(x,2),(cos\f(x,2)－sin\f(x,2))2)＝eq\f(cos\f(x,2)＋sin\f(x,2),cos\f(x,2)－sin\f(x,2))＝eq\f(1＋tan\f(x,2),1－tan\f(x,2))＝tan(eq\f(π,4)＋eq\f(x,2))，當eq\f(π,4)＋eq\f(x,2)∈(kπ－eq\f(π,2)，kπ＋eq\f(π,2))，k∈Z時，函數(shù)為增函數(shù)，此時x∈(2kπ－eq\f(3π,2)，2kπ＋eq\f(π,2))，k∈Z.答案：(2kπ－eq\f(3π,2)，2kπ＋eq\f(π,2))，k∈Z10．(2022·江西協(xié)作體聯(lián)考)已知函數(shù)y＝asinx＋bcosx＋c的圖象上有一個最低點(eq\f(7,4)π，1)，如果圖象上每點的縱坐標不變，橫坐標縮短為原來的eq\f(2,π)倍，然后向左平移一個單位，可得到y(tǒng)＝f(x)的圖象，又知f(x)＝3的所有根依次形成公差為2的等差數(shù)列，下列結(jié)論：(1)f(x)的周期為4；(2)f(x)的周期為2；(3)a＝eq\r(2)，b＝－eq\r(2)，c＝3；(4)a＝1，b＝－1，c＝2.其中正確的序號是__________．解析：依題意可知－eq\f(\r(2),2)a＋eq\f(\r(2),2)b＋c＝1，－eq\r(a2＋b2)＋c＝1，a＝－b，y＝asinx＋bcosx＋c＝eq\r(2)asin(x－eq\f(π,4))＋c，a>0，－eq\r(2)a＋c＝1，且f(x)＝eq\r(2)asin[eq\f(π,2)(x＋1)－eq\f(π,4)]＋c＝eq\r(2)asin(eq\f(π,2)x＋eq\f(π,4))＋c，函數(shù)f(x)的周期是eq\f(2π,\f(π,2))＝4，因此(1)是正確的，(2)是錯誤的．由f(x)＝3的所有根依次形成公差為2的等差數(shù)列及f(x)的周期是4得c＝3.又－eq\r(2)a＋c＝1，由此解得a＝eq\r(2)，b＝－eq\r(2)，(3)是正確的．綜上所述，其中正確的命題是(1)(3)．答案：(1)(3)三、解答題(共50分)11．(15分)求函數(shù)f(x)＝eq\f(sin4x＋cos4x＋sin2x·cos2x,2－sin2x)的最小正周期、最大值、最小值及單調(diào)區(qū)間．解：f(x)＝eq\f((sin2x＋cos2x)2－sin2x·cos2x,2－2sinxcosx)＝eq\f((1－sinx·cosx)(1＋sinx·cosx),2(1－sinx·cosx)))＝eq\f(1,2)(1＋sinx·cosx)＝eq\f(1,4)sin2x＋eq\f(1,2)，所以函數(shù)的最小正周期為π，最大值為eq\f(3,4)，最小值為eq\f(1,4).令2kπ－eq\f(π,2)≤2x≤2kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，則kπ－eq\f(π,4)≤x≤kπ＋eq\f(π,4)，k∈Z.令2kπ＋eq\f(π,2)≤2x≤2kπ＋eq\f(3π,2)，k∈Z，則kπ＋eq\f(π,4)≤x≤kπ＋eq\f(3π,4)，k∈Z.所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，k∈Z，單調(diào)減區(qū)間為，k∈Z.12．(15分)設(shè)函數(shù)f(x)＝(2cosx＋asinx)sinx＋cos2x(x∈R)，且f(eq\f(π,2))＝f(eq\f(π,4))．(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的值域；(Ⅱ)設(shè)f(x)圖象上過任意一點P的切線斜率為k，證明：|k|≤2eq\r(2).(文科選做)解：(Ⅰ)f(x)＝2sinxcosx＋asin2x＋1－sin2x＝sin2x＋eq\f(a－1,2)(1－cos2x)＋1.∴f(eq\f(π,2))＝a，f(eq\f(π,4))＝eq\f(a＋3,2).由f(eq\f(π,2))＝f(eq\f(π,4))，有a＝eq\f(a＋3,2)，∴a＝3.∴f(x)＝sin2x－cos2x＋2＝eq\r(2)sin(2x－eq\f(π,4))＋2.∴函數(shù)f(x)的值域為．(Ⅱ)設(shè)P(x，y)是f(x)圖象上任意一點，則k＝f′(x)＝2eq\r(2)cos(2x－eq\f(π,4))．∴|k|＝|f′(x)|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(2\r(2)cos(2x－\f(π,4))))≤|2eq\r(2)|＝2eq\r(2).13．(20分)(2022·陜西高考)已知函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)，x∈R(其中A>0，ω>0,0<φ<eq\f(π,2))的圖象與x軸的交點中，相鄰兩個交點之間的距離為eq\f(π,2)，且圖象上一個最低點為M(eq\f(2π,3)，－2)．(1)求f(x)的解析式；(2)當x∈[eq\f(π,12)，eq\f(π,2)]時，求f(x)的值域．解：(1)由最低點為M(eq\f(2π,3)，－2)得A＝2.在x軸上相鄰兩個交點之間的距離為eq\f(π,2)得eq\f(T,2)＝eq\f(π,2)，即T＝π，∴ω＝eq\f(2π,T)＝eq\f(2π,π)＝2.由點M(eq\f(2π,3)，－2)在函數(shù)圖象上得2sin(2×eq\f(2π,3)＋φ)＝－2，即sin(eq\f(4π,3)＋φ)＝－1，故eq\f(4π,3)＋φ＝2kπ－eq\f(π,2)，k∈Z，∴φ＝2kπ－eq\f(11π,6).又φ∈(0，eq\f(π,2))，∴φ＝eq