1第三節(jié)格林公式及其應(yīng)用一、格林公式定理1則有格林(Green)公式其中是的取正向的整個(gè)邊界曲線。設(shè)閉區(qū)域由分段光滑的曲線圍成,函數(shù)在上有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),求平面封閉圖形面積公式復(fù)習(xí)2二、平面上曲線積分與路徑無關(guān)的條件定義恒有給定開區(qū)域若對(duì)于內(nèi)的任意兩點(diǎn)以及內(nèi)從點(diǎn)的任意兩條曲線到點(diǎn)成立，內(nèi)與路徑無關(guān).在則稱曲線積分否則就稱曲線積分與路徑有關(guān)。如果曲線積分與路徑無關(guān)3曲線積分在G內(nèi)與路徑無關(guān)等價(jià)于其中C為G內(nèi)任意閉曲線.結(jié)論定理2在單連通區(qū)域G內(nèi)具有一階連設(shè)函數(shù)在G內(nèi)恒成立。在G內(nèi)與路徑無關(guān)的充要續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則曲線積分條件是說明:

積分與路徑無關(guān)時(shí),曲線積分可記為4解所以在整個(gè)平面區(qū)域內(nèi)曲線積分與路徑無關(guān),例8

計(jì)算其中L為過點(diǎn)三點(diǎn)所決定的圓周上的一段弧,O為起點(diǎn),B為終點(diǎn).因此可取折線OCB作為積分路徑,5對(duì)可微函數(shù)其全微分為問題:定理3分?如何求出這個(gè)函數(shù)如何判斷它是某個(gè)函數(shù)的全微對(duì)

三、二元函數(shù)的全微分求積為某一函數(shù)的全微分偏導(dǎo)數(shù)，則在單連通區(qū)域G內(nèi)有一階連續(xù)設(shè)函數(shù)的充要條件是且

其中為G內(nèi)一定點(diǎn)。6由此，若則以下四個(gè)命題是彼此等價(jià)的：在單連通區(qū)域G內(nèi)有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，為某一函數(shù)的全微分，即⑴曲線積分在G內(nèi)與路徑無關(guān)；⑵其中C是區(qū)域G內(nèi)的任意閉曲線；⑶⑷78解所以,是某個(gè)函數(shù)的全微分。是某個(gè)函數(shù)的例10

驗(yàn)證:在整個(gè)面內(nèi),在整個(gè)面內(nèi)成立。全微分,并求出一個(gè)這樣的函數(shù)。9解

令因此在右半平面內(nèi),是某個(gè)函數(shù)的全微分.在右半平面內(nèi)恒成立.有例11

并求出一個(gè)這樣的函數(shù).在右半平面(x>0)內(nèi)是某個(gè)函數(shù)的全微分,

驗(yàn)證取積分路線如圖所示.10

則稱方程（1）稱為全微分方程。（1）顯然，全微分方程（1）的隱式通解為:（C為任意常數(shù)）定義若給定的一階微分方程可整理成且解法：①若給定的一階微分方程可整理成利用其充要條件：判定是否是全微分方程。即*四、全微分方程11其中是G內(nèi)一適當(dāng)選定的點(diǎn)。②若（1）是全微分方程，求常用方法有：湊全微分法。利用公式：例1

求解∴所給方程是全微分方程。所以方程通解為有取12例12

求解法1湊全微分法。因?yàn)樽笏?，方程的通解為?利用公式法?！嗨o方程是全微分方程。所以，方程的通解為13注此時(shí)若存在一個(gè)適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)使是全微分方程，顯然上方程與方程（1）是同解的。為方程（1）的積分因子。稱常用觀察法求方程（1）的積分因子。時(shí),則（1）當(dāng)條件就