例析純電阻電路中求等效電阻的幾種方法計(jì)算一個(gè)電路的電阻，通常要分析電路的串并聯(lián)關(guān)系， 運(yùn)用歐姆定律求解。實(shí)際電路中，電阻的連接千變?nèi)f化，需要應(yīng)用相應(yīng)的方法，通過等效變換將復(fù)雜電路轉(zhuǎn)換成簡單直觀的串并聯(lián)電路。本文介紹幾種常用的計(jì)算復(fù)雜電路等效電阻的方法。一、“基本單元”法找出電路中的“基本單元”，再利用電阻的串并聯(lián)關(guān)系求解。1、片狀導(dǎo)體求等效電阻【例1】如圖1所示，ABCD為一塊均勻的半圓形薄電阻合金片，當(dāng) A、B接入電路時(shí)電阻為R,試求當(dāng)C、D接入電路時(shí)電阻為 。1【解析】設(shè)“基本單元”為沿對稱軸 AB切開的丄圓，由于A、B間電阻為R（可視為兩個(gè)并聯(lián)的“基本單元”），所以，“基本單元”的電阻為2R,當(dāng)C、D接入電路時(shí)，相當(dāng)于兩個(gè)“基本單元”串聯(lián)，等效電阻為 4Ro圖圖【例2】如圖2甲所示，一材質(zhì)均勻的正方形薄片導(dǎo)體的阻值為 R,若在其正中挖去1小正方形，挖去的正方形邊長為原邊長的 丄，則剩余部分的電阻為 o【解析】設(shè)挖去的小正方形為“基本單元” ，由于原來的電阻為R（3個(gè)并聯(lián)的“基本單元”，串3個(gè)并聯(lián)的“基本單元”，再串3個(gè)并聯(lián)的“基本單元”）,所以“基本單元”的電阻也為R;挖去后，如圖2乙所示，電路相當(dāng)于3個(gè)并聯(lián)的R、串2個(gè)并聯(lián)的R,再串3個(gè)并聯(lián)的R,等效電阻為-RR=^R.2、一維有限網(wǎng)絡(luò)求等效電阻【例3】如圖3甲所示，已知R1=R2=R3=-=Rn=Rn+1=Rm=Rm+1=R/2，貝UA、B間的電阻Rab= o

【解析】如圖3乙所示，找出“基本單元”（虛線方框內(nèi)電路）進(jìn)行遞歸，發(fā)現(xiàn)“基本單元”重現(xiàn)，容易得到 Rab=R.23、一維無限網(wǎng)絡(luò)求等效電阻（1）單邊形【例4】如圖所示的電路是一個(gè)單邊的線型無限網(wǎng)絡(luò)，每個(gè)電阻的阻值都是之間的等效電阻Rab= 。【解析】因?yàn)槭请娐肥恰盁o限”的，所以增減一個(gè)“基本單元”不影響其等效電阻。圖4乙虛線方框?yàn)橐粋€(gè)個(gè)“基本單元”。R余R余，則:R余r口Rab=2r ,且R余=RabR余+r解得：Rab31）r【例5】如圖5甲所示的電路是一個(gè)單邊的線型無限網(wǎng)絡(luò)，每個(gè)電阻的阻值都是r，則A、B之間的等效電阻Rab= 【解析】圖5乙虛線方框?yàn)橐粋€(gè)個(gè)

單元”（注意與例4不同），設(shè)去掉最左側(cè)那個(gè)

本單元”后剩余電路的電阻為R【解析】圖5乙虛線方框?yàn)橐粋€(gè)個(gè)

單元”（注意與例4不同），設(shè)去掉最左側(cè)那個(gè)

本單元”后剩余電路的電阻為R余，則：“基本“基（R余2r）r口余 ，且R余二Rab（R余2r）r'余AB解得：Rab（3-1）rrab\AI||||1?||||■V■i||ip!：||（2）雙邊形【例6】一兩端無窮的電路如圖 6甲所示，其中每個(gè)電阻均為 r，則a、b兩點(diǎn)之間的電阻Rab= ?！窘馕觥看穗娐穼儆趦啥藷o窮網(wǎng)絡(luò)，整個(gè)電路可以看作是由三個(gè)部分組成的，等效電路如圖6乙所示，則：Rab=(2Rxr)r(2R【解析】此電路屬于兩端無窮網(wǎng)絡(luò)，整個(gè)電路可以看作是由三個(gè)部分組成的，等效電路如圖6乙所示，則：Rab=(2Rxr)r(2Rxr)r，其中Rx=( 3-1)r.(參照例5）解得：Rab=（6--3）r6圖6甲aRx彳 r__TbRx、“等勢點(diǎn)斷路或短路”法電壓是形成電流的原因,所以等勢點(diǎn)之間的電阻沒有電流通過,在計(jì)算等效電阻時(shí)可以電壓是形成電流的原因,所以等勢點(diǎn)之間的電阻沒有電流通過,在計(jì)算等效電阻時(shí)可以把該電阻去掉，這種方法稱之為“等勢點(diǎn)斷路”法；同樣，等勢點(diǎn)之間也可以用導(dǎo)線連接起來縮成一點(diǎn)，即短路，這種方法稱之為“等勢點(diǎn)短路”法。【例7】如圖7甲所示電路，由12根阻值都為Ro的電阻絲連接而成，則A、D間的電阻Rad= 。【解析】將A、D兩端接入電源，假設(shè)電阻絲BG和CG交于G!（G!與G靠近而不連接），電阻絲FG和EG交于G2（G2與G靠近而不連接）。這樣，電路中 G、G?三點(diǎn)分別處電流流徑的對稱點(diǎn)上（即三條電流路徑的中位） ，所以它們是等勢點(diǎn)?，F(xiàn)將 Gi、G、G2用導(dǎo)線連接時(shí)不會(huì)有電流在這三點(diǎn)之間通過， 將等勢點(diǎn)拆下后，等效電路如圖7乙所示。據(jù)圖容易求得Rad=0.8Ro?！纠?】在圖8甲所示的電路中，R1= 1Q, R2=4Q ,R3= 3Q,R4=12Q,R5= 10Q ,則A、B兩端的等效電阻Rab= ?！窘馕觥繉、B兩端接入電源，假設(shè)沒有電流通過，可將【解析】將A、B兩端接入電源，假設(shè)沒有電流通過，可將R5去掉，等效電路為圖R5不存在，C、D兩點(diǎn)的電勢相等，所以R5中8乙所示。據(jù)圖容易求得15Q4。（事實(shí)上，只要滿足邑=色的關(guān)系，電路即為平衡的橋式電路。）R2R4Ri<_■圖8Ri<_■圖8乙【例9【例9】如圖9所示，正方體每條邊的電阻為r，則A、C間的等效電阻Rac= 【解析】將A、C兩端接入電源，假設(shè)棱BBi和棱DDi【解析】將A、C兩端接入電源，假設(shè)棱BBi和棱DDi斷開,B、Bi,D、Di分別處電流流徑的對稱點(diǎn)上（即四條電流路徑的中位），所以它們是等電勢點(diǎn)，因此原電路中 BBi、DDi上無電流通3r過，根據(jù)“等勢點(diǎn)斷路”法，容易求得 Rac=3-.4圖9【例10】如圖10甲所示，某電路有n個(gè)節(jié)點(diǎn)每兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之間都連有一個(gè)阻值為 r的電阻，則任意兩節(jié)點(diǎn)之間的等效電阻為 【解析】假設(shè)電源加在圖中的1、2兩點(diǎn)，假設(shè)余下的n—2個(gè)節(jié)點(diǎn)（3,4,5…n）間的電阻斷開（圖中虛線所示），這n—2個(gè)節(jié)點(diǎn)分別處電流流徑的對稱點(diǎn)上（即 n—2條電流路徑的中位），所以這些節(jié)點(diǎn)為等勢點(diǎn)， 它們之間的電阻上沒有電流流過。根據(jù)“等勢點(diǎn)斷路”法，等效電路如圖10乙所示。1111一=—+——+——1111一=—+——+——+…Rr2r2r ——(n—2)個(gè)?丄=丄2r2r2r圖10乙圖10甲【例11】如圖11所示的網(wǎng)狀電路中含有四個(gè)六邊形，已知六邊形每邊的電阻都是 r,則A、H間的等效電阻Rah=圖11甲/iJ―I 1圖11丙【解析】將A、H兩端接入電源，由于電路關(guān)于 ACFH的直線為對稱的，所以各對稱電路段上分布的電流應(yīng)相等（如 AB段和AD圖11甲/iJ―I 1圖11丙【解析】將A、H兩端接入電源，由于電路關(guān)于 ACFH的直線為對稱的，所以各對稱電路段上分布的電流應(yīng)相等（如 AB段和AD段上的電流相等，BC段和DC段上的電流相等……），因此，B、D為等勢點(diǎn)；同理E、G也為等勢點(diǎn)。根據(jù)“等勢點(diǎn)短路”法，等效電路如圖11乙、丙所示。這樣AH間的電阻可以看成BD左側(cè)、EG右側(cè)以及BD和EG之間三個(gè)部分串聯(lián)而成，容易求得R左二R右二r;中間是上、中、下三部分并聯(lián)，可求得F中二號。二Rah=R左 R右 R中二20r三、“電流分布”法根據(jù)電流分流思想和電路中任意兩點(diǎn)間不同路徑等電壓的思想,建立以電流為未知量的方程組，解出各電阻中電流的關(guān)系，然后選擇電流的某一路徑計(jì)算出總電壓 U，再由只二學(xué)，即可求出等效電阻。r，貝UA、C1間的等效電阻【例12】如圖12甲所示，正方體每條邊的電阻為Rac1= 。【解析】如圖12乙所示，設(shè)有一電流I從A流向C1，根據(jù)電路的對稱性可知，從A點(diǎn)流向三條棱上的電流都為-，從3B、D流向后面兩條棱上的電流都為 -，匯聚到C1的6Dzfu』BU1占1 u』BU1占1 —> Bif旳「土加「RaR21 圖13三條棱上電流都為 -。設(shè)ACi間電壓為U，任選一條電流路徑可計(jì)算出3丄+J豈，所以驗(yàn)i=U=5r.6 3 6 I6圖12乙圖圖12乙【例13】如圖13所示，Ri=R2=R3=R4=2Q,Rs=4Q,則電路總電阻為 Q?！窘馕觥考僭O(shè)R3不存在，可判斷其下端點(diǎn)的電勢較高， 所以R3上的電流由下而上流過。設(shè)R1、R2、R3上的電流分別為11、12、13，則：R4的電流為I1+I3；R5上電流為I2_I3U=I2R?+(I2—I3)只5=I2R2+I3R3+(I1+I3)只4=I1R1+(h+I3)R4整理：612—4b=211+212+4丨3 ①612—4怯=411+213 ②解得：h=6I3；I2=5I3丨5=丨2—丨3=4丨3,U U2+U55I^^4I^426選擇電流流過R2、R5這條路徑可求得R=U=U2U5=5'324I34二竺門.I I 11I3 11(注：此電路即為非平衡的橋式電路。 )【例14】每邊的電阻為框架由三個(gè)正方形組成，正方形圖14甲是由均勻電阻絲焊接成的框架電路,r，則框架A【例14】每邊的電阻為框架由三個(gè)正方形組成，正方形圖14甲a/H時(shí)(iSi圖14甲圖14乙【解析】如圖14乙所示，假設(shè)電流I從A點(diǎn)流入，E點(diǎn)流出，設(shè)AH、HG、GF上的電

流分別為a、卩、6I，則流經(jīng)HC、GD、BC、CD、DE的電流分別為(a—冊、(3-9)I、(1

—a)I、(1—3)1、(1—9)I，根據(jù)電路的對稱性，AH和DE中的電流對應(yīng)相等，HG和CD中

的電流對應(yīng)相等。14a—3=2a^=1, 3=—；又因?yàn)閁4a—3=22Rae513aRae513a-3=-帶-828聯(lián)立上式的解得:UHGUGEIAH:Ir-Ir2Tr15r- I ~~8~四、“電流疊加”法電路中有多個(gè)電源，通過電路中任一支路的電流等于每個(gè)電源單獨(dú)存在時(shí)在該支路上產(chǎn)生電流的代數(shù)和。【例15】圖15甲是一個(gè)無窮方格電阻絲網(wǎng)絡(luò)的一部分，其中每一小段電阻絲的阻值都TOC\o"1-5"\h\z是r，則兩個(gè)結(jié)點(diǎn)A、B之間的等效電阻Rab= ?！窘馕觥咳鐖D15乙所示，假設(shè)電流I從A點(diǎn)流入，向四面八方流到無窮遠(yuǎn)處，根據(jù)對稱性，有-電流由A點(diǎn)流到B點(diǎn)；假設(shè)電流I經(jīng)過無限長時(shí)間穩(wěn)定后再由四面八方匯集到 B4點(diǎn)后流出，同樣有丄電流經(jīng)A點(diǎn)流到B點(diǎn)。這樣，AB段的電流便由兩個(gè)丄疊加而成，為丄.4 4 2IrAB ，IAB■IrAB ，IAB■ 圖15甲圖15乙（上述解答基于這樣的前提：從 A點(diǎn)流入電流的對稱性不會(huì)因 B點(diǎn)有電流流出而破壞，同（上述解答基于這樣的前提：從 A點(diǎn)流入電流的對稱性不會(huì)因 B點(diǎn)有電流流出而破壞，同樣，從B點(diǎn)流出電流的對稱性也不會(huì)因A點(diǎn)有電流流入而破壞。這一結(jié)論可以通過基爾霍夫方程組得到證明。）可以通過簡單的直線無限電阻絲，用相同的思路求 A、B之間的等效電阻來驗(yàn)證。AB【例16】如圖16有一個(gè)無限大NaCI晶格，每一個(gè)鍵電阻為r，求相鄰的Na原子和CI原子間的電阻?！窘馕觥考僭O(shè)電流I從Na原子流入，根據(jù)對稱性，有-電流流向相鄰6的CI原子；假設(shè)電流I從相鄰的CI原子流出，同樣有-電流從相鄰的Na6原子流入。根據(jù)電流疊加原理可知，每一個(gè)鍵電阻上的電流為 丄。3?Na+0C1*NKI晶休結(jié)構(gòu)模型圖16Ir3_I【例17】有一無限平面導(dǎo)體網(wǎng)絡(luò)，它有大小相同的正六邊型網(wǎng)眼組成，如圖16所示。所有正六邊型每邊的電阻均為Ro,Ir3_I【例17】有一無限平面導(dǎo)體網(wǎng)絡(luò)，它有大小相同的正六邊型網(wǎng)眼組成，如圖16所示。所有正六邊型每邊的電阻均為Ro,則間位結(jié)點(diǎn)a、b間的電阻Rab= 【解析】假設(shè)有電流I自a電流入，向四面八方流到無窮遠(yuǎn)處，根據(jù)對稱性，有L電流由a流向c，有丄3 6電流由c流向b;再假設(shè)有電流I由四面八方匯集b點(diǎn)流出，那么必有-電流由c流向b，有1電流由a流向c。3 6根據(jù)電流疊加原理可知，由a流向c的電流IIIIac= .3 6 2由c流向b的電流Icb=---.6 3 2ORab=^IIacR0 IcbR0_I五、不變部分電阻“重復(fù)代用”法【例18】三個(gè)完全相同的金屬環(huán)兩兩正交，并把正交點(diǎn)焊接，成為球形骨架，如圖 18所示。若每個(gè)四分之一圓周金屬絲電阻為 R時(shí)，測得A、B間電阻為Rab。今將A、B間一【解析】設(shè)去掉A、B間那段四分之一圓周的金屬絲后剩余部分電阻為RxRRxRab:RRx【解析】設(shè)去掉A、B間那段四分之一圓周的金屬絲后剩余部分電阻為RxRRxRab:RRxR_Rab更換電阻后,間的電阻R'=-Rx2RRabR Rab【例19】圖19【例19】圖19是一個(gè)無窮方格電阻絲網(wǎng)絡(luò)的一部分，已知電阻電阻絲的阻值都是r，貝UA、B之間的電阻Rab= 。【解析】設(shè)拆除Ro后的剩余部分的電阻為Rab=Ro//R余，根據(jù)例15的結(jié)論，可求得R余=r3rr3r…rab= .3r+r4LJHnnrRo=3r，其余每一小段第8頁共9頁段金屬絲改換成另一個(gè)阻值為RR的一段四分之一圓周的金屬絲，則 A、B間的電阻R'=2O六、“再造電路對稱”法【例20】如圖20所示，正方體每條邊的電阻為r，則A、B之間的等效電阻【解析】將距AB最遠(yuǎn)端的電阻六、“再造電路對稱”法【例20】如圖20所示，正方體每條邊的電阻為r，則A、B之間的等效電阻【解析】將距AB最遠(yuǎn)端的電阻GH等效成兩個(gè)2r的并聯(lián)，G、G?和比、H2分別處電流流徑的對稱點(diǎn)上， 它們是等電勢點(diǎn)。根據(jù)“等勢點(diǎn)斷路”法，把它們拆下，分別并入兩邊的電路，其等效電路如圖 20乙所示。據(jù)圖容易求出Rab=^.12Rab= 圖20甲圖20乙七、“等勢點(diǎn)斷路+基本單元”法【例21】在圖21甲所示的三維無限網(wǎng)絡(luò)中，每兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之間的導(dǎo)體電阻均為 R,試求A、B兩點(diǎn)