作者：王幼寧作者：王幼寧--#-L=JLds=JLJ[p'(s)]2+[W'(s)]2GdsNJL|p'(s)|ds>JLp'(s)ds=p0.上式右端等于從P點(diǎn)出發(fā)而到達(dá)Q點(diǎn)的測(cè)地射線段的長(zhǎng)度；且當(dāng)?shù)忍?hào)成立時(shí)，p'(s)三1,W'(s)三0,CPQ也只能是測(cè)地射線段. □曲面內(nèi)蘊(yùn)幾何與平面幾何的局部差異，在一點(diǎn)鄰近可以通過(guò)測(cè)地圓周和測(cè)地圓盤(pán)的行為而做出反映，并且可用該點(diǎn)處的Gauss曲率來(lái)刻畫(huà)(參見(jiàn)習(xí)題1)．四．測(cè)地凸域下面進(jìn)一步考慮最短線的局部存在范圍．定義3在曲面S上給定開(kāi)區(qū)域U．若對(duì)U上的任意兩點(diǎn)P、Q，存在以之為端點(diǎn)的唯一一條測(cè)地線段CPQ，使CPQ成為在S上連接兩點(diǎn)P、Q的最短連線段，并且使CPQuU，則稱區(qū)域U為S上的一個(gè)測(cè)地凸域.例3①在歐氏平面上，測(cè)地凸域就是凸域．球面上的測(cè)地凸域，最大者為開(kāi)半球面．在圓柱面上，測(cè)地圓盤(pán)為測(cè)地凸域的充要條件為其測(cè)地半徑小于圓柱面正截圓周周長(zhǎng)的四分之一． □下面在測(cè)地圓盤(pán)中考察測(cè)地凸域的存在性．注意，當(dāng)測(cè)地半徑足夠小時(shí)，Liouville公式(1.2)和測(cè)地極坐標(biāo)性質(zhì)說(shuō)明，正向測(cè)地圓周的測(cè)地曲率恒正；故由此可以直觀感覺(jué)到，測(cè)地半徑的大小，能夠影響與測(cè)地圓周相切的測(cè)地線在切點(diǎn)附近的行為.具體的例子可以考察球面.一般的，有下列結(jié)論.弓1理2設(shè)曲面S上的以P為原點(diǎn)的測(cè)地極坐標(biāo)系(p,V)在測(cè)地閉圓盤(pán)D(P,p1)有意義.則3p0e(0,pp,使對(duì)于V3e(0,p0),當(dāng)測(cè)地線C切于測(cè)地圓周S1(P,3)上的點(diǎn)Q時(shí)，C在切點(diǎn)Q附近除切點(diǎn)以外的部分都嚴(yán)格地落在測(cè)地閉圓盤(pán)D(P,3)之外.

證明在以P為原點(diǎn)的測(cè)地極坐標(biāo)系(p,明下，測(cè)地極坐標(biāo)性質(zhì)說(shuō)明存在poe(0,p1)，使在測(cè)地閉圓盤(pán)D(P,p0)-{P}之內(nèi)恒成立(4G)p>￡0=const.>0.此時(shí)，對(duì)于V3G(0,p0),設(shè)弧長(zhǎng)s參數(shù)化測(cè)地線C:{P=P(S1切于正向測(cè)地圓周V=W(s)Si(P,3)上的一點(diǎn)Q:(p3,必)=(p(0),v(0)). 圖6-3記夾角函數(shù)①=以5)為測(cè)地線C單位切向在dpco即=ds'dpco即=ds'sin①=GgI得(P(s),V(s))ds且可不妨設(shè)其滿足虱0)=V.而此時(shí)由Liouville公式(1.2)得0=需+(后)。瞿?在Q點(diǎn)，GG(Q)帶(0)=1，故3￡1>0使皆在［-￡］,耳］恒正，從而普=-(近)p需<-60,<0，此即說(shuō)明切向角函數(shù)9(s)在［-e1,e1］嚴(yán)格單調(diào)減少.進(jìn)一步取弧長(zhǎng)參數(shù)非空區(qū)間［-4,￡2］U9-1((0,兀))c［-￡］,￡j，則在其間滿足「0，-S2<s<0；ds(s)=cos9(s)<=0，s=0；〔>0，0<s<￡2?即：函數(shù)P(s)在弧長(zhǎng)參數(shù)區(qū)間［-￡2,￡2］具有唯一的嚴(yán)格最小值點(diǎn)s=0，對(duì)應(yīng)最小值為p(0)=p(Q)=3?至此既得結(jié)論. 口注記從證明過(guò)程可見(jiàn)，當(dāng)上述測(cè)地線C切于測(cè)地圓周S1(P,3)上的點(diǎn)Q且C在切點(diǎn)Q附近嚴(yán)格地落在測(cè)地閉圓盤(pán)D(P,3)之外時(shí)，點(diǎn)P到C上各點(diǎn)的最短連線的長(zhǎng)度在切點(diǎn)Q附近有嚴(yán)格的極小值，并可實(shí)現(xiàn)為測(cè)地射線段PQ?通過(guò)測(cè)地線微分方程組關(guān)于初值的連續(xù)可微依賴性分析，根據(jù)測(cè)地線的局部最短性以及最短線一定是測(cè)地線，可證下列引理3(習(xí)題2)；并可進(jìn)一步利用引理2,用以得到測(cè)地凸域的局部存在性定理(習(xí)題3)?

引理3對(duì)于曲面S上的任意一點(diǎn)P，存在以P為原點(diǎn)的測(cè)地極坐標(biāo)系(P,W)在D(P,3P0)有意義，并且對(duì)于VQGD(P,p0)，使以Q為原點(diǎn)的測(cè)地極坐標(biāo)系在D(P,2p0)有意義.此時(shí)，對(duì)于VQgD(P,P0)，成立D(P,p0)uD(Q,2p0)uD(P,3p0).定理3定理3(測(cè)地凸域局部存在性)存在測(cè)地凸域包含P點(diǎn)．給定曲面S上的任一點(diǎn)P，在S上1.在曲面S上給定原點(diǎn)P0和測(cè)地半徑r，記測(cè)地圓周S1(P0,r)周長(zhǎng)為L(zhǎng)(r)，記測(cè)地圓盤(pán)D(P0，r)面積為&r).試證：S在點(diǎn)P0處的Gauss曲率K(P0)滿足1.K(P0)=limrf032Tlz—L(r)冗 r3K(P0)=limrf012Tir2—A(r)九 r4測(cè)地線族的正交軌線族(t線)測(cè)地線族的正交軌線族(t線)C(C0線)地坐標(biāo)系)； 圖6-4②族｛Cs｝中任意兩條指定的曲線在測(cè)地線族｛rt｝的任意一條測(cè)地線上所截得的測(cè)地線段長(zhǎng)度相等..證明引理3..設(shè)正則曲面上存在測(cè)地閉圓盤(pán)D(P,3p0),使對(duì)于V6g(0,3p0),當(dāng)測(cè)地線C切于測(cè)地圓周Si(P,6)上的點(diǎn)Q時(shí)，C在切點(diǎn)Q附近除切點(diǎn)以外的部分都嚴(yán)格地落在測(cè)地閉圓盤(pán)D(P,6)之外.證明引理3所確定的測(cè)地圓盤(pán)D(P,p0)是測(cè)地凸域..已知正則曲面S:r(u1,u2)上的正則曲線C:ui(t).作曲線C在S上的單參數(shù)t正交軌線族為弧長(zhǎng)s參數(shù)化測(cè)地線族｛「/ui(s;t)｝;進(jìn)一步作測(cè)地線族｛rt｝的正交軌線族｛Cs｝.試證：①局部存在容許參數(shù)變換，使｛「t｝和｛Cs｝構(gòu)成正交坐標(biāo)