作者：王幼寧作者：王幼寧--#-dBdtdBdB(bcost,bsint,0)?(—cost,一sint,0)曲率函數(shù)K和撓率函數(shù)T都處處非零的曲線通常稱為撓曲線.單位切向與固定方向交于定角的撓曲線通常稱為一般螺線.T例2試證：一般螺線C的撓率函數(shù)T與曲率函數(shù)K的比值—為非KT零常數(shù)；反之，若曲線C滿足十三c豐0，則C為一般螺線.K證明：設(shè)一般螺線C的單位切向T與固定單位向量I交于定角e，可設(shè)eG[0,n].C既不是直線，也不是平面曲線，故e豐0,f,汽?若有必要則將l反向，可不妨設(shè)eG(0,與)，即有T?l三cose>0?不妨設(shè)C已經(jīng)弧長參數(shù)化，則上式求導(dǎo)即得KN?l三0，由曲率非零即得N?l三0?將單位向量l在Frenet標(biāo)架下分解，則可寫l=Tcose±Bsine?此式再對弧長求導(dǎo)則有0=kNcose±(-tN)sine,T止匕即一三士cote豐0?KT反之，若曲線c滿足十三c豐0，則取定e使cote=c.此時作l=Tcose+Bsine,對弧長求導(dǎo)則有l(wèi)'=T'cose+B'sine=kNcose+(-tN)sine三0,此即l為固定的單位向量.此時，曲線C作為撓曲線與l夾固定角e?□

.Frenet公式按照標(biāo)架運動的一般規(guī)律，對于無逗留點的曲線廣，其Frenet標(biāo)架關(guān)于曲線弧長s的運動公式（作微小位移時的變換公式）現(xiàn)在已經(jīng)可以確定(4.4)dr=(4.4)dr=Tds；(0——KdsV0KdS 0、0TdS—TdS0這組公式稱為曲線論基本方程，它包含了曲線幾何的最基本信息：弧長，曲率，撓率．在本章的后續(xù)內(nèi)容中，可以進一步體會出這組公式的重要含義．鑒于其重要地位，這組公式用其發(fā)現(xiàn)者的名字命名以紀念他們的貢獻，稱為Frenet-Serret公式，或簡稱為Frenet公式，并通常寫為業(yè)K0—Tdds—K0—T(4.5)(0(4.5)—KV0在明確了Frenet公式之后Frenet在明確了Frenet公式之后標(biāo)架下的分量就都可以用曲率、撓率以及它們的各階導(dǎo)數(shù)等幾何量具體表示出來.因此，利用Frenet公式和微積分學(xué)的一般知識，就有求解曲線幾何問題的常用一般步驟：將幾何條件表示成解析表達式；分析條件，合理進行求導(dǎo)（或積分等等）運算和代數(shù)運算若干次，尋找所求幾何結(jié)論所對應(yīng)的解析表達式；從解析式表述幾何結(jié)論．在學(xué)習(xí)過程中，特別需要注意培養(yǎng)和提高恰一當(dāng)?shù)厥褂眠@種.步驟的能力.不僅僅局限在曲線幾何上，從更為一般的角度講，上述步驟實際上是“翻譯”和“推演”這兩類過程在進行適當(dāng)?shù)慕Y(jié)合和互相提示；這種思維方式是重要的，適用于一般場合下利用已知知識參與解決問題的過程，特別適用于理性的數(shù)量關(guān)系問題的求解過程，當(dāng)然包括適用于對曲面幾何問題的勺討論.具體的例子，讀者可以回頭總結(jié)前面的相關(guān)例題、定理和公式的證明過程，直至理論框架．典型的使用過程，也可以參閱第七章§6中球面曲線的局部特征定理及其證明．本章§7中也經(jīng)常使用這些步驟．

.試證：撓率在容許參數(shù)變換下不變..求以下曲線的撓率.r=(t,12,13)；r=(etcost,etsint,21)；r=(cos3t,sin3t,cos2t)；r=(t,t2,et)．.求曲線｛：+y2+:2=9的在點(2,1,2)處的撓率.X2-y2=3.證明對正則曲線r(t)的弧長參數(shù)s有華，案,黑)=*16日,黑,表)?.設(shè)弧長s參數(shù)化撓曲線C:r(s)的撓率t>0；作曲線C*:r*(s)=JB(s)ds,并加星號表示相應(yīng)各量.試證：k*=t,t*=k..沿弧長s參數(shù)化無逗留點曲線r(s),試求向量場p(s)使以下三式同時成立：=pxT=pxTdN

ds=pxN=pxB．.設(shè)兩條弧長參數(shù)撓曲線r(s)和r*(s*)之間存在連續(xù)可微的對應(yīng)關(guān)系s*=s*(s)，使得兩條曲線的從法線總在對應(yīng)點重合.試證：兩條曲線重合，且s*=s+const...弧長s參數(shù)化曲線C:r(s)的單位切向、主法向量、從法向量作為位置向量分別定義了單位球面上的曲線(分別稱之為C的切線標(biāo)線、主法線標(biāo)線、從法線標(biāo)線)，分別記為g:r1G)=T(s),C2:r2(s)=N(s),C3:r3(s)=B(s).試證：對Ci的弧長si,i=1,2,3，有|K|_K 但—陽一ds=K，ds='K2+T2，ds=|T|-C1蛻化為一點的充要條件為C是直線．C1以s為正則參數(shù)并且落在單位球面大圓周上的充要條件為C是無逗留點的平面曲線．C1以s為正則參數(shù)并且落在小圓周(即單位球面上的半徑小于一的