2021屆高三“五?！甭?lián)考理科數(shù)學(xué)試題考試時(shí)間：2020年12月4日考生注意：.本試卷分第I卷（選擇題）和第口卷（非選擇題）兩部分。滿(mǎn)分150分，考試時(shí)間120分鐘。.考生作答時(shí)，請(qǐng)將答案答在答題卡上。第I卷每小題選出答案后，用28鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；第口卷請(qǐng)用直徑0.5毫米的黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答???題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效，在試題卷、草稿紙上作答無(wú)效。?????????????????????????3.本卷命題范圍：集合與常用邏輯用語(yǔ)，函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用（含定積分），三角函數(shù)、解三角形，平面向量，復(fù)數(shù)，數(shù)列。第I卷（選擇題共60分）一、選擇題：本題共一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的. ,1要求的. ,1.設(shè)集合A-(x2<x<4},B-(xx2-4x+3<0},A.<x<4}B.{xA.<x<4}B.{x|2<x<3}C.D.{x1<x<4}.已知復(fù)數(shù)工滿(mǎn)足i.工=1+i，A.-1+i其中i為虛數(shù)單位，-1-i則Z的共軛復(fù)數(shù)為C1+iD.1-i3.設(shè)p3.設(shè)p:Ix+11<1,q:-2<x<2，則p是q的A.充分不必要條件 B.必要不充分條件24.已知點(diǎn)A,B是圓O上兩點(diǎn)，ZAOB=-n,C.充要條件D.既不充分也不必要條件^aob的平分線交圓O于點(diǎn)。，則OC-A1OA+-OB

.2 2A1OA+-OB

.2 2A.3.2mC3.6mD.3.8mB.3.4m圖1B—OA+—OBc2OA+2OBdOA+OB2 2 3 3.筒車(chē)是我國(guó)古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，因其經(jīng)濟(jì)又環(huán)保，至今還在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中得到使用明朝科學(xué)家徐光啟在《農(nóng)政全書(shū)》中用圖畫(huà)描繪了筒車(chē)的工作原理（圖1所示）.假定在水流量穩(wěn)定的情況下，筒車(chē)上的每一個(gè)盛水前口做逆時(shí)針勻速贏運(yùn)動(dòng)"車(chē)轉(zhuǎn)輪的中心。到水面的距副為15m,筒車(chē)的半徑r_ 兀一，為2.5m，筒車(chē)轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度3為五rad/s，如圖2所示，盛水桶M在P0處距水面的距離為3m，則2s后盛水桶M到水面的距離近似為.記Sn是等差數(shù)列｛a｝的前n項(xiàng)和，已知S3=0,a6-8，貝|q。=A.12B.14C.A.12B.14C.16D.18、 1.函數(shù)f(%)二2e的部分圖象可能是10g21%1Ay8.已知a=20.2,b=loga<Ay8.已知a=20.2,b=loga<b<c20.2，Bc=log2b<a<cy則a,b,c的大小關(guān)系為c<b<ab<c<a9.9.已知^ABC是邊長(zhǎng)為口的等邊三角形，則BD=點(diǎn)D為^ABC內(nèi)一點(diǎn)，且/ADC=120。，AD=1,1A.一1A.一2B百B.2C.110.10.已知函數(shù)f(%)=10gJ%—11+%2—2%+1,則不等式f(2%—1)<f(%+1)的解集為2 2A.2 2A.(-,1)(1,2)B.(—2,0)(0,-)

3 3n11.已知函數(shù)f(%)=sm(3%+3),(3>0,1⑺V-),乙C.(3,2)D.(-8,-2)(3,+8)Un n%=-二是f(%)的零點(diǎn)，直線%=7是f(%)圖象的對(duì)4 4兀兀稱(chēng)軸，且f(%)在(-，萬(wàn))上單調(diào)，則①的最大值為A.1 B.2 C.3 D.4.若關(guān)于%的不等式e%>a(%2-%1n%)對(duì)任意%e(0,+8)恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為A.(-8,e2] B.(-8,e] C.(-8,1] D.(-8,1]e第II卷(非選擇題共90分)二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分..已知向量a,b為單位向量，其夾角為3，則12a+b1=..函數(shù)f(%)=2%2-3%-1n%的極小值為..已知復(fù)數(shù)q,工2滿(mǎn)足Izj=1,z2=3+4i，其中i為虛數(shù)單位，則Iq-z21的最大值為 ..已知匕是等比數(shù)列｛5｝的前n項(xiàng)和，q為｛an｝的公比且S4=1nS3.若S1>1,則下列命題中所有正確的序號(hào)是 .①-1<q<0:②a4>0:③SjS2>S3；@SjS2<S3.三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.第17題滿(mǎn)分為10分，第18~22題每題滿(mǎn)分為12分..(10分)_i已知函數(shù)f(%)=(%2-ax+1)-2.(1)若函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)若Vxe日,2］，都有f(x)<1成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍..(12分)已知向量a=(cosx,sinx)，b=(cos3x+sinx,cosx-sin3x)，設(shè)函數(shù)f(x)=a-b.(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；(2)若關(guān)于x的方程f(x)-m=0在［0,n］上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍..(12分)設(shè)數(shù)列'a［滿(mǎn)足。］=3，a+1=2a-3++3.(1)計(jì)算a2，a3，猜想｛an｝的通項(xiàng)公式并加以證明;(2)求數(shù)列｛｝｝的前n項(xiàng)和Sn..(12分)sin2AsinC△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別是a,b。.設(shè) =——ab(1)判斷△ABC的形狀；(2)若^ABC的外接圓半徑為1，求^ABC周長(zhǎng)的最大值..(12分)第二屆阜陽(yáng)花博會(huì)2020年9月28日在潁上八里河開(kāi)幕，其主題為“花漾水上，花開(kāi)潁上”據(jù)調(diào)研獲悉，某花卉基地培育有水生與水陸兩生花卉30余種，計(jì)劃在花博會(huì)期間舉行展銷(xiāo)活動(dòng).經(jīng)分析預(yù)算，投入2x+1八展銷(xiāo)費(fèi)x萬(wàn)元時(shí)，銷(xiāo)售量為m萬(wàn)個(gè)單位，且m=--(0<x<a2-a,a為正實(shí)數(shù)).假定銷(xiāo)售量與基x+1地的培育量相等，已知該基地每培育m萬(wàn)個(gè)單位還需要投入成本(2m+1)萬(wàn)元(不含展銷(xiāo)費(fèi))，花卉的銷(xiāo)售…4、價(jià)定為(11+)萬(wàn)元/萬(wàn)個(gè)單位.m(1)寫(xiě)出該花卉基地的銷(xiāo)售利潤(rùn)y萬(wàn)元與展銷(xiāo)費(fèi)x萬(wàn)元的函數(shù)關(guān)系；(2)展銷(xiāo)費(fèi)x為多少萬(wàn)元時(shí)，該花卉基地可以獲得最大利潤(rùn)？

(注：利潤(rùn)=銷(xiāo)售價(jià)X銷(xiāo)售量-投入成本-展銷(xiāo)費(fèi))(12分).、lnx已知函數(shù)f(x)=aex+ ,g(x)=xf(x)+x.x(1)若曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線過(guò)點(diǎn)(2,1)，求實(shí)數(shù)a的值;/、c(2)當(dāng)a=-—時(shí)，證明：g(x)<2.e22021屆高三“五?！甭?lián)考理數(shù)答案2020年12月4日一、選擇題:題號(hào)123456789101112選項(xiàng)BCADDCBDCACB11.【解析】TOC\o"1-5"\h\zn,n 2k+1 2兀由對(duì)稱(chēng)軸和零點(diǎn)可知J-/=丁k*N),T=-，得到"二22+1,keN①n n 兀 兀 T 兀 ，由f(x)在區(qū)間(—，)上單調(diào)可知三—~7—\=—，得至U①—4

4 2 2 4 2 ①由①②可知①可能取3.由①②可知①可能取3.兀當(dāng)①=3時(shí)，可得分=--,fQ)=sin3x—-滿(mǎn)足在上單調(diào)，所以①=3滿(mǎn)足題意，最大值為3.12.【解析】解法一：易知x2-xlnx>0在xe(0,+s)時(shí)恒成立，從而可知a—0滿(mǎn)足題意;1 x2-xlnx、 /、x2-xInx1 ,、當(dāng)a>0時(shí)，原不等式可化為一> .記g(x)= ，則一>g (x).a ex ex amax而g[x)=(x-1)(1nx-x+D,mx-x+1—0,ex因此，xe(0,1)時(shí)g'(x)>0；xe(1,+s)時(shí)g'(x)<0；1 11. 」所以，g (x)—g(1)—,—>—,0<a—e.max eae

又a<0也滿(mǎn)足題意，所以a的取值范圍為(-8,e],故選D.e%解法二：原不等式可化為一二e%-in%>a(%-ln%)，令t=%-In%，貝I">1.x從而et>at在te[1,+s)恒成立，由切線法知，a<e.二、填空題：13題.<7 14題.-1 15題.6 16題.①③.【解析】由復(fù)數(shù)的幾何意義可知，復(fù)數(shù)I在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)P在以原點(diǎn)為圓心的單位圓上，Z2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為定點(diǎn)Q(3,4)，則R-工J表示P,Q兩點(diǎn)間距離，由解析幾何知識(shí)得最大值為5百+1=6..【解析】S=inS,:.S>0,S=inS<S-1，進(jìn)而得a<-1.又〃]>1,「.q<0.若q<-1,則q+q2>0,1+q+q2>1,q〉1,「.q(1+q+q2)>1,即S>1,「.S=inS>0,S=a(1+q+q2+q3)>0,1+q+q2+q3>0,「.(1+q)+q2(1+q)>0,「.(1+q)(1+q2)>0,這與q<-1相矛盾.「.一1<q<0,「.a>a，即.S+S>S.TOC\o"1-5"\h\z三、解答題：共701分,3 1 2 3.【解析】(1)由題意可知%2-a%+1>0在R上恒成立，故A<0 2分可得"-解得-2<a<2 4分(2)由題意可得，(%2-a%+1)-2<L,也即V%e［；,2］時(shí)%2-a%+1>4恒成立2 2%2—3可化為a< , 6分%設(shè)g(%)=三二3，只要a<g(%) 即可 8分% ming，(%)=1+1>0，所以式%心二《2)二一9，所以a<-2 10分.【解析】f(%)=cos4%+cos%sin%+sin%cos%-sin4%=(cos2%-sin2%)(cos2%+sin2%)+2sin%cos%=cos2%+sin2%兀、TOC\o"1-5"\h\z=V2sin2%+- 2分V42兀周期T=~^~=兀 3分兀一 兀兀一一4分.5分由——+2k兀<2%+—<—+2k兀,4分.5分2 4 23n 兀解得--+kn<%<—+ kn,keZ8 8一 (3n一n一、一一所以，函數(shù)f(%)的單調(diào)遞增區(qū)間為-b+kn,-+kn,keZ. 6分V8 8 7

(2)由方程f(x)-m=0在0,n上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解乙.一，、.?n 可得m=f(x)在0,-上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解兀..TOC\o"1-5"\h\z即函數(shù)y=m與函數(shù)y=f(x),0<x<-的圖象有兩個(gè)交點(diǎn) 8分-兀兀 5兀令t=2x+-，則:<t<—4 4 4n,n, 5n,,即函數(shù)y=m與函數(shù)g(t)=%-2smt， <t<—的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)4 4g(2g(2&g十:1,g(芝二-1故1<m<<2.19.【解析】(1)a=6,a=9.猜想：a=3n,證明：由已知可得10分 12分 2分 3分an+1an+1-3(n+1)=2(a-3n),an-1a-a-3=2(a-3)(2)⑴得3:1 3n???sn.?」(2)⑴得3:1 3n???sn.?」s3n12 3=—+ ++…332331 2 3\o"CurrentDocument"= ++ +32 33，2。①-②可得彳s33411=—+ +n3323n-1 3nn-1n

+ + .3n3n+11n

+ -

3n 3n+1 6分. 7分①② 8分 10分???s=3???s=3-，--A_n44?3n-1 2?3n20.【解析】(1)解法一：12分人 sin2A△ABC中，由 一asinC 2sinAcos人 sin2A△ABC中，由 一asinC 2sinAcosA—及正弦定理得,FksinC

sinB:.2cosAsinB=sinC 2分又sinC=sin(A+B),二.2cosAsinB=sin(A+B)，進(jìn)而sin(A一B)=0,???A=B，從而,即得△ABC為等腰三角形. 5分解法二：△ABC中，由sin2AsinC

b及正弦定理得，2sinAcosAsinC進(jìn)而2acosAc ..，2cosA=— 2分b'.... _b2+c2-a2 c 一 ，由余弦定理，2 =，化間得a2=b2，即a=b.2bc b所以，△ABC為等腰三角形. 5分abc(2)由正弦定理一=——=——=2R(2R為^ABC的外接圓直徑)及題意，sinAsinBsinCa=2sinA,b=2sinB,c=2sinC，TOC\o"1-5"\h\z/.a+b+c=2(sinA+sinB+sinC) 7分由(1)知，A=B且A+BCC=兀，, … .c /八兀、「.a+b+c=4sinA+2sin2A,Ae(0,-2) 9分八、 ，. 八.八 n、令f(A)=4sinA+2sin2A,Ae(0,-),2貝Uf'(A)=4cosA44cos2A=4(2cos2A+cosA-1)=4(2cosA-1)(cosA+1)，，…n、易知，當(dāng)Ae(0,3)時(shí)，f(A)>0,f(A)為遞增的;，兀兀、當(dāng)Ae(-,-)時(shí)，f(A)<0,f(A)為遞減的. 11分J乙一.4n 兀 nc?2n八v所以，當(dāng)A=—時(shí)f(A)有最大值f(3)=4sm—+2sm—=3<3,也即△ABC周長(zhǎng)的最大值為3v；3. 12分-(2m4-(2m41)-x(1)由題意得，y=m114-2分,4分5分，,7分Vm=9m43-x2x41=9 43-xx41=21---x,x419所以y=21-——--x(0<x<a2-a,a為正實(shí)數(shù)).X41… 9 2(2)由(1)得y=21-——--x=22-X41

TOC\o"1-5"\h\z易知0<x<2，函數(shù)遞增，x>2，函數(shù)遞減. 8分又a2—a>0,a為正實(shí)數(shù)，故a>1. 9分所以，當(dāng)a2—a>2，即a>2時(shí)，x+1=3,x=2時(shí)，函數(shù)取得最大值； ……10分當(dāng)a2-a<2，即1<a<2時(shí)，x=a2-a時(shí)，函數(shù)取得最大值. ……11分綜上所述，當(dāng)a>2時(shí)，展銷(xiāo)費(fèi)為2萬(wàn)元時(shí)，該花卉基地可以獲得最大利潤(rùn)；當(dāng)1<a<2時(shí)，展銷(xiāo)費(fèi)為(a2-a)萬(wàn)元時(shí)，該花卉基地可以獲得最大利潤(rùn). ……12分22.【解析】(1)解法一：1-lnx由題意，f(x)=aex+ , 1分x2???f(1)=ae+1,f(1)=ae. 2分從而，曲線f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處切線方程為又該切線過(guò)點(diǎn)(2,1)，則有1-ae=ae+1, 4分解得a=0. 5分解法二：-lnx由題意，f(x)=aex+ , 1分x2「?f(1)=ae+1,f(1)=ae. 2分則有f(1)-1

1-24分5分由曲線f(x)則有f(1)-1

1-24分5分即1一ae=ae+1，解得a=0.(2)解法一：由題意，g(x)=-xex-2+Inx+x,(x>0),TOC\o"1-5"\h\z則g'(x)=-(x+1)ex-2+1+1=(x+1)(!-ex-2). 7分xx易知x+1>0，記h(x)=1-ex-2，則可知h(x)在(0,+s)上遞減，x且h(1)=1-1>0,h(2)=-1<0,e 2???3x0G(1,2).使得h(x0)=0. 9分從而，當(dāng)xG(0,x0)時(shí)h(x)>0，即g'(x)>0；當(dāng)xG(x0,+8)時(shí)h(x)<0，即g'(x)<0.???g(x)在(0,x0)遞增，在(x0,+8)遞減. 10分由h(x)=0可得xex0-2=1及l(fā)nx+x=2,g (x)=g(x)=-xex0-2+lnx+x