數(shù)學(xué)歸納法證明第1頁(yè)/共23頁(yè)問題

1:如何證明粉筆盒中的粉筆它們都是白色的？

問題

2:…有限步驟考察對(duì)象無限第2頁(yè)/共23頁(yè)多米諾骨牌課件演示

第3頁(yè)/共23頁(yè)第4頁(yè)/共23頁(yè)多米諾骨牌游戲的原理

這個(gè)猜想的證明方法（1）第一塊骨牌倒下。（2）若第k塊倒下時(shí)，則相鄰的第k+1塊也倒下。根據(jù)（1）和（2），可知不論有多少塊骨牌，都能全部倒下。（1）當(dāng)n=1時(shí)猜想成立。（2）若當(dāng)n=k時(shí)猜想成立，即，則當(dāng)n=k+1時(shí)猜想也成立，即。根據(jù)（1）和（2），可知對(duì)任意的正整數(shù)n，猜想都成立。已知數(shù)列第5頁(yè)/共23頁(yè)根據(jù)(1)(2)可知對(duì)任意正整數(shù)n猜想都成立.證明：(2)假設(shè)n=k時(shí)猜想成立即1k=ak第6頁(yè)/共23頁(yè)例:證明凸n邊形內(nèi)角和為中，初始值應(yīng)該從幾??？初始值應(yīng)取3第7頁(yè)/共23頁(yè)例如：用數(shù)學(xué)歸納法證明

1+3+5+…+（2n-1)=證明：假設(shè)n=k時(shí)等式成立，即那么即n=k+1時(shí)等式成立。所以等式對(duì)一切正整數(shù)n均成立。第8頁(yè)/共23頁(yè)例如：用數(shù)學(xué)歸納法證明

1+3+5+…+（2n-1)=證明：假設(shè)n=k時(shí)等式成立，即那么即n=k+1時(shí)等式成立。所以等式對(duì)一切正整數(shù)n均成立。證明：假設(shè)n=k時(shí)等式成立，即n=1時(shí)，左邊=1，右邊=0，左邊=右邊第9頁(yè)/共23頁(yè)當(dāng)n=k+1時(shí),

代入得證明:(1)當(dāng)左邊=1，右邊=12=1，等式成立（2）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)成立，即：所以等式也成立。綜合（1）（2）等式對(duì)一切正整數(shù)n均成立例如：用數(shù)學(xué)歸納法證明

1+3+5+…+（2n-1)=

第10頁(yè)/共23頁(yè)當(dāng)n=k+1時(shí),

代入得證明:(1)當(dāng)左邊=1，右邊=12=1，等式成立（2）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)成立，即：所以等式也成立。綜合（1）（2）等式對(duì)一切正整數(shù)n均成立例如：用數(shù)學(xué)歸納法證明

1+3+5+…+（2n-1)=

1+3+5+……+（2k-1)+(2k+1)=k2+(2k+1)=(k+1)2第11頁(yè)/共23頁(yè)問題情境一練習(xí)：某個(gè)命題當(dāng)n=k(k∈N)時(shí)成立，可證得當(dāng)n=k+1時(shí)也成立?，F(xiàn)在已知當(dāng)n=5時(shí)該命題不成立，那么可推得（）

A.n=6時(shí)該命題不成立

B.n=6時(shí)該命題成立

C.n=4時(shí)該命題不成立

D.n=4時(shí)該命題成立C第12頁(yè)/共23頁(yè)練習(xí)鞏固

1.用數(shù)學(xué)歸納法證明：在驗(yàn)證n=1成立時(shí)，左邊計(jì)算所得的結(jié)果是（

）

A．1 B.C．

D.

C第13頁(yè)/共23頁(yè)例1.用數(shù)學(xué)歸納法證明1×2＋2×3＋3×4＋…＋n(n＋1)＝

第14頁(yè)/共23頁(yè)練習(xí).用數(shù)學(xué)歸納法證明：1×2＋2×3＋3×4＋…＋n(n＋1)＝

從n=k到n=k+1有什么變化湊假設(shè)湊結(jié)論證明:2)假設(shè)n=k時(shí)命題成立,即1×2＋2×3＋3×4＋…＋k(k+1)＝則當(dāng)n=k+1時(shí)，

+＝=∴n=k+1時(shí)命題正確。由(1)和(2)知，當(dāng)，命題正確。

=1)當(dāng)n=1時(shí)，左邊=1×2=2,右邊==2.命題成立第15頁(yè)/共23頁(yè)第16頁(yè)/共23頁(yè)課堂小結(jié)1、數(shù)學(xué)歸納法能夠解決哪一類問題？一般被應(yīng)用于證明某些與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題2、數(shù)學(xué)歸納法證明命題的步驟是什么？?jī)蓚€(gè)步驟和一個(gè)結(jié)論，缺一不可3、數(shù)學(xué)歸納法證明命題的關(guān)鍵在哪里？關(guān)鍵在第二步，即歸納假設(shè)要用到，解題目標(biāo)要明確4、數(shù)學(xué)歸納法體現(xiàn)的核心思想是什么？遞推思想，運(yùn)用“有限”的手段，來解決“無限”的問題注意類比思想的運(yùn)用第17頁(yè)/共23頁(yè)用數(shù)學(xué)歸納法證明：如果{an}是一個(gè)等差數(shù)列，則an=a1+(n-1)d對(duì)于一切n∈N*都成立。

證明:(1)當(dāng)n=1時(shí),左邊=a1,右邊=a1+（1-1）d=a1,∴當(dāng)n=1時(shí)，結(jié)論成立(2)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)結(jié)論成立,即ak=a1+(k-1)d∴當(dāng)n=k+1時(shí)，結(jié)論也成立.由(1)和(2)知,等式對(duì)于任何n∈N*都成立。湊假設(shè)湊結(jié)論第18頁(yè)/共23頁(yè)證:(1)當(dāng)n=2時(shí),左邊=不等式成立.(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k≥2)時(shí)不等式成立,即有:則當(dāng)n=k+1時(shí),我們有:即當(dāng)n=k+1時(shí),不等式也成立.由(1)、(2)原不等式對(duì)一切都成立.例2.用數(shù)學(xué)歸納法證明:第19頁(yè)/共23頁(yè)(4)在證明n=k+1命題成立用到n=k命題成立時(shí),要分析命題的結(jié)構(gòu)特點(diǎn),分析“n=k+1時(shí)”命題是什么，并找出與“n=k”時(shí)命題形式的差別.弄清右端應(yīng)增加的項(xiàng).例如：利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式由k遞推到k+1左邊應(yīng)添加的因式是第20頁(yè)