/第二章連續(xù)對稱性與拓?fù)浼ぐl(fā)?第一節(jié)?XＹ模型 ??表示的最近鄰和以前的記號比較? ?表示所有近鄰的鍵,對確定的只求和一次 令 ?? ? 設(shè)?,模型可以較好描述超流系統(tǒng)。?如果我們只對長波行為感興趣，近鄰的之差不大問題：為什么？ ?? ? ? ? 為位置矢量，?的近鄰位置付氏變換 ????Ｎ為格點總數(shù)以一維為例 當(dāng)取分立的格點 ? ??正交歸一性此外， ?? ? 這里與書上有因子的差別,可能是書中改為只對正方向求和?正則分布 ?為溫度 因為沒有相互作用，所以能量均分定理可應(yīng)用?注意,相同，?? ? ? ? 如果R很大，長波的貢獻(xiàn)比較重要? 假設(shè) ??? ?計算方法1:? ?（＊） 左、右兩邊對R求導(dǎo)兩次? ? 這是因為? ? ? 當(dāng)然由于對R求導(dǎo)兩次，被積函數(shù)可以有任意的項 時（＊）左、右兩邊相等? 又因為偶函數(shù)，所以項不應(yīng)存在 ?? ? （習(xí)題)? 計算方法２： ? ? ? 設(shè)????? ?? ?由留數(shù)定理 ?留數(shù)級數(shù)展開中的系數(shù)?在上半平面? ??包圍的極點只有 ?習(xí)題：當(dāng)，如何計算？?計算方法３:?? ?? ?????作回路 ? ??? ?? 不包圍極點 d＝２選方向∴從物理上看，當(dāng)應(yīng)當(dāng)J=0，∴ 關(guān)聯(lián)函數(shù)?? 沒有有限的“臨界”狀態(tài)，但Ｔ=０是類相變點。 ?處于臨界狀態(tài)，但沒有“凝聚",即沒有真正的有序相。當(dāng)然，長波近似只在低溫存在.所以,從高溫到低溫存在相變，是所謂的Ｋosterｌitz－Tｈoulesｓ相變。? ?存在有序相，因而在高溫到低溫存在一級或二級相變。事實上,是二級相變.思考題：對比自由場。第二節(jié)?量子矢量模型 是三分量的矢量算符,而三個分量滿足自旋的算符的對易子,例如,可用Pａuli矩陣表示， ?有用的組合??? 基態(tài)：所有自旋同向思考題：為什么? 例：所有自旋指向方向,記?? ?考慮激發(fā)態(tài) 例如：? 有Ｎ個，但不是H的本征態(tài)????? ?? ?? ? 因為H作用于N個封閉，所以可構(gòu)造本征態(tài)。作用于，象是直接作用于一樣。設(shè)但是，仍為基態(tài) 習(xí)題：?試證明 ???? ?? 從而說明為基態(tài) 事實上，對每作用一次便產(chǎn)生一個新的基態(tài)，共有Ｎ＋１個，這是由于H具有轉(zhuǎn)動對稱性，為轉(zhuǎn)動算符。?令 則為H的激發(fā)態(tài) ?? ? ?? ?第二項對應(yīng)的項第一項不滿足本征態(tài)的形式。但是，我們還要對求和 ?和書中有因子差別，可能是書中改為只對正方向求和. 注意:中沒有對的求和，原因是當(dāng)作用于中含的項才產(chǎn)生對的貢獻(xiàn),當(dāng)作用于其他項時,只產(chǎn)生對基態(tài)能量的貢獻(xiàn)。?可看成動量為，能量為的磁子(mａgnon)狀態(tài)。?在低溫時，磁子數(shù)目不多，可以近似看成理想氣體. 磁子是玻色子，數(shù)目不守恒(化學(xué)勢為零，為什么？)?理想玻色子粒子數(shù)分布為總磁子數(shù)? 總能量 ???Z方向上的總自旋?如果?很小 注意:與無關(guān)。說明： ?? 如果???? ? L是體系的尺寸大小 說明：?? ?因周期邊界,,n＝－Ｎa／2,……－1，0，1，……Nａ/2，當(dāng)? or1,的貢獻(xiàn)為零， ?和書上有因子差別ｄ=2可類似地計算d＝3的積分收斂 討論: 當(dāng)T足夠小，足夠小，?∴ 鐵磁相存在.?? ?無論T多么小,只要L足夠大 ?總會大于，?∴ 鐵磁相不存在于非零溫度。?對數(shù)發(fā)散，特殊性。由別的方法知道, 鐵磁相存在,但溫度比低得多。d=２和ｄ＝3的相變都是連續(xù)相變.第三節(jié)?連續(xù)對稱性和軟模一級和二級相變 序參數(shù) ?關(guān)聯(lián)函數(shù) 0??序參數(shù)??關(guān)聯(lián)函數(shù)?? 一級??序參數(shù)不連續(xù)? ?關(guān)聯(lián)函數(shù)行為也不連續(xù)二級 序參數(shù)連續(xù) ?稱臨界指數(shù)對有連續(xù)對稱性的系統(tǒng)，一、二級相變圖象有可能被改變。ＸY或量子矢量模型，具有連續(xù)的轉(zhuǎn)動不變性。在低溫區(qū),基態(tài)簡并，因而對稱性被破壞(稱對稱破缺）。由于連續(xù)的簡并的基態(tài)存在，導(dǎo)致軟模的存在，正是這些軟模的作用，相變圖象可能會被改變.對二維ＸY模型,其相變?yōu)镵ostｅrlｉtｚ-Touless相變。在附近，空間關(guān)聯(lián)長度? 對二級相變ＫＴ相變點附近的發(fā)散比二級相變更快（essentiａlly）???KT相變體系仍處于臨界狀態(tài)（即）???沒有真正的有序態(tài)出現(xiàn)。作為對比，二級相變體系處于有序態(tài)對經(jīng)典XＹ模型 在量子系統(tǒng)中，轉(zhuǎn)動可由轉(zhuǎn)動算符實現(xiàn)。例如，繞ｘ軸的轉(zhuǎn)動算符為?,實現(xiàn)算符的轉(zhuǎn)動.如果無關(guān)，轉(zhuǎn)動后的狀態(tài)仍為基態(tài)，如有關(guān),則為激發(fā)態(tài)。 設(shè) ?則激發(fā)態(tài)能量為? ?例如,對經(jīng)典XY系統(tǒng)， 設(shè)?很小，對?作級數(shù)展開 ?但如果平行,即則線性項的系數(shù)～?結(jié)論,無論經(jīng)典或量子系統(tǒng)，設(shè)，是基態(tài)， 是一種低能激發(fā)態(tài),即軟模。軟?？梢云茐挠行蚪Y(jié)構(gòu),導(dǎo)致KT相變。(不過，也不是一定會破壞有序結(jié)構(gòu),如ｄ＝３。）注意：這里的關(guān)鍵是，如果體系沒有轉(zhuǎn)動對稱性,即便,能量也不一定低.為什么軟模會破壞有序結(jié)構(gòu)呢？因為長波的會緩慢地改變自旋的取向。對Isｉnｇ模型而言，在基態(tài)翻轉(zhuǎn)幾個自旋也是低能態(tài)，但不會改變有序結(jié)構(gòu)。軟?？梢越忉尀槭裁礇]有有序結(jié)構(gòu)，但沒有解釋為什么還會發(fā)生相變。第四節(jié)?缺陷 前面的討論均假設(shè)長波近似,但有時短波行為也很重要. 以經(jīng)典二維ＸY模型為例，看兩個自旋構(gòu)形? ? ? ? ? ? ? 0自旋角 ???空間角?這個態(tài)稱之為渦旋態(tài) 當(dāng)渦旋態(tài)的滿足長波近似，其能量 ???計算:??? ???? 所以，總能量 ??L為渦旋的半徑，為一常數(shù)，因為當(dāng)時，非長波，所以一般不等于. 對渦旋態(tài)這是流體力學(xué)中常見的式子。 單位面積能量 ???所以，渦旋為一低能狀態(tài),除了中心的“缺陷"外，長波近似大體成立。 如果存在兩個反向旋轉(zhuǎn)的渦旋,能量則更低。例如，一個渦旋中心在原點,另一個在處。O 當(dāng),兩個渦旋作用抵消，能量只與有關(guān).這類似于對正負(fù)兩個電荷,在遠(yuǎn)處看象是沒有電荷一樣. 對渦旋對,??為第一個渦旋的貢獻(xiàn)，為第二個渦旋的貢獻(xiàn)。重復(fù)前面分析,但積分只計算到,其能量? 渦旋也稱拓?fù)淙毕莼蚣ぐl(fā),是KT相變主導(dǎo)機(jī)制。KＴ相變因而也稱拓?fù)湎嘧?。?shù)值測量渦旋態(tài)比較困難。