中考真題第1頁（共1頁）2021年四川省涼山州中考數(shù)學試卷一、選擇題（共12個小題，每小題4分，共48分）在每小題給出的四個選項中只有一項是正確的，請把正確選項的字母填涂在答題卡上相應的位置。1．（4分）（2021?涼山州）A．2021 B． C． D．2．（4分）（2021?涼山州）下列數(shù)軸表示正確的是A． B． C． D．3．（4分）（2021?涼山州）“天問一號”在經(jīng)歷了7個月的“奔火”之旅和3個月的“環(huán)火”探測，完成了長達5億千米的行程，登陸器“祝融”號火星車于2021年5月15日7時18分從火星發(fā)來“短信”，標志著我國首次火星登陸任務圓滿成功．請將5億這個數(shù)用科學記數(shù)法表示為A． B． C． D．4．（4分）（2021?涼山州）下面四個交通標志圖是軸對稱圖形的是A． B． C． D．5．（4分）（2021?涼山州）的平方根是A．9 B． C．3 D．6．（4分）（2021?涼山州）在平面直角坐標系中，將線段平移后得到線段，點的對應點的坐標為，則點的對應點的坐標為A． B． C． D．7．（4分）（2021?涼山州）某校七年級1班50名同學在“森林草原防滅火”知識競賽中的成績如表所示：成績60708090100人數(shù)3913169則這個班學生成績的眾數(shù)、中位數(shù)分別是A．90，80 B．16，85 C．16，24.5 D．90，858．（4分）（2021?涼山州）下列命題中，假命題是A．直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半 B．等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合 C．若，則點是線段的中點 D．三角形三條邊的垂直中分線的交點叫做這個三角形的外心9．（4分）（2021?涼山州）函數(shù)的圖象如圖所示，則關于的一元二次方程的根的情況是A．沒有實數(shù)根 B．有兩個相等的實數(shù)根 C．有兩個不相等的實數(shù)根 D．無法確定10．（4分）（2021?涼山州）如圖，中，，，，將沿翻折，使點與點重合，則的長為A． B．2 C． D．11．（4分）（2021?涼山州）點是內一點，過點的最長弦的長為，最短弦的長為，則的長為A． B． C． D．12．（4分）（2021?涼山州）二次函數(shù)的圖象如圖所示，則下列結論中不正確的是A． B．函數(shù)的最大值為 C．當時， D．二、填空題（共5個小題，每小題4分，共20分）13．（4分）（2021?涼山州）函數(shù)中，自變量的取值范圍是14．（4分）（2021?涼山州）已知是方程的解，則的值為．15．（4分）（2021?涼山州）菱形中，對角線，．則菱形的高等于．16．（4分）（2021?涼山州）如圖，將繞點順時針旋轉得到△，已知，，則線段掃過的圖形（陰影部分）的面積為．17．（4分）（2021?涼山州）如圖，用火柴棍拼成一個由三角形組成的圖形，拼第一個圖形共需要3根火柴棍；拼第二個圖形共需要5根火柴棍；拼第三個圖形共需要7根火柴棍；照這樣拼圖，則第個圖形需要根火柴棍．三、解答題（共5小題，共32分）18．（5分）（2021?涼山州）解不等式：．19．（5分）（2021?涼山州）已知，，求的值．20．（7分）（2021?涼山州）隨著手機的日益普及，學生使用手機給學校管理和學生發(fā)展帶來諸多不利影響．為了保護學生視力，防止學生沉迷網(wǎng)絡和游戲，讓學生在學校專心學習，促進學生身心健康發(fā)展，教育部辦公廳于2021年1月15日頒發(fā)了《教育部辦公廳關于加強中小學生手機管理工作的通知》．為貫徹《通知》精神，某學校團委組織了“我與手機說再見”為主題的演講比賽，根據(jù)參賽同學的得分情況繪制了如圖所示的兩幅不完整的統(tǒng)計圖（其中表示“一等獎”，表示“二等獎”，表示“三等獎”，表示“優(yōu)秀獎”．請你根據(jù)統(tǒng)計圖中所提供的信息解答下列問題：（1）獲獎總人數(shù)為人，；（2）請將條形統(tǒng)計圖補充完整；（3）學校將從獲得一等獎的4名同學（其中有一名男生，三名女生）中隨機抽取兩名參加全市的比賽，請利用樹狀圖或列表法求抽取同學中恰有一名男生和一名女生的概率．21．（7分）（2021?涼山州）王剛同學在學習了解直角三角形及其應用的知識后，嘗試利用所學知識測量河對岸大樹的高度，他在點處測得大樹頂端的仰角為，再從點出發(fā)沿斜坡走米到達斜坡上點，在點處測得樹頂端的仰角為，若斜坡的坡比為（點、、在同一水平線上）．（1）求王剛同學從點到點的過程中上升的高度；（2）求大樹的高度（結果保留根號）．22．（8分）（2021?涼山州）如圖，在四邊形中，，過點作于，若．（1）求證：；（2）連接交于點，若，，求的長．四、填空題（共2小題，每小題5分，共10分）23．（5分）（2021?涼山州）若關于的分式方程的解為正數(shù)，則的取值范圍是．24．（5分）（2021?涼山州）如圖，等邊三角形的邊長為4，的半徑為，為邊上一動點，過點作的切線，切點為，則的最小值為．五、解答題（共4小題，共40分）25．（8分）（2021?涼山州）閱讀以下材料：蘇格蘭數(shù)學家納皮爾．，年）是對數(shù)的創(chuàng)始人．他發(fā)明對數(shù)是在指數(shù)書寫方式之前，直到18世紀瑞士數(shù)學家歐拉，年）才發(fā)現(xiàn)指數(shù)與對數(shù)之間的聯(lián)系．對數(shù)的定義：一般地，若且，那么叫做以為底的對數(shù)，記作，比如指數(shù)式可以轉化為對數(shù)式，對數(shù)式可以轉化為指數(shù)式．我們根據(jù)對數(shù)的定義可得到對數(shù)的一個性質：，，，，理由如下：設，，則，，，由對數(shù)的定義得．又，．根據(jù)上述材料，結合你所學的知識，解答下列問題：（1）填空：①，②，③；（2）求證：，，，；（3）拓展運用：計算．26．（10分）（2021?涼山州）如圖，中，，邊在軸上，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過斜邊的中點，與相交于點，，．（1）求的值；（2）求直線的解析式．27．（10分）（2021?涼山州）如圖，在中，，平分交于點，點在上，，是的外接圓，交于點．（1）求證：是的切線；（2）若的半徑為5，，求．28．（12分）（2021?涼山州）如圖，拋物線與軸交于、兩點，與軸交于點，，．（1）求拋物線的解析式；（2）在第二象限內的拋物線上確定一點，使四邊形的面積最大，求出點的坐標；（3）在（2）的結論下，點為軸上一動點，拋物線上是否存在一點，使點、、、為頂點的四邊形是平行四邊形，若存在，請直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由．

2021年四川省涼山州中考數(shù)學試卷參考答案一、選擇題（共12個小題，每小題4分，共48分）在每小題給出的四個選項中只有一項是正確的，請把正確選項的字母填涂在答題卡上相應的位置。1．（4分）（2021?涼山州）A．2021 B． C． D．【考點結題分析】根據(jù)絕對值解答即可．【詳細解答】解：的絕對值是2021，故選：．【分析評價】此題主要考查了絕對值，利用絕對值解答是解題關鍵．2．（4分）（2021?涼山州）下列數(shù)軸表示正確的是A． B． C． D．【考點結題分析】注意數(shù)軸的三要素以及在數(shù)軸上，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大即可做出判斷．【詳細解答】解：選項，應該正數(shù)在右邊，負數(shù)在左邊，故該選項錯誤；選項，負數(shù)的大小順序不對，故該選項錯誤；選項，沒有原點，故該選項錯誤；選項，有原點，正方向，單位長度，故該選項正確；故選：．【分析評價】本題考查了數(shù)軸的畫法，畫數(shù)軸的時候要注意原點，正方向，單位長度要畫全．3．（4分）（2021?涼山州）“天問一號”在經(jīng)歷了7個月的“奔火”之旅和3個月的“環(huán)火”探測，完成了長達5億千米的行程，登陸器“祝融”號火星車于2021年5月15日7時18分從火星發(fā)來“短信”，標志著我國首次火星登陸任務圓滿成功．請將5億這個數(shù)用科學記數(shù)法表示為A． B． C． D．【考點結題分析】用科學記數(shù)法表示較大的數(shù)時，一般形式為，其中，為整數(shù)，且比原來的整數(shù)位數(shù)少1，據(jù)此判斷即可．【詳細解答】解：5億．故選：．【分析評價】此題主要考查了用科學記數(shù)法表示較大的數(shù)，一般形式為，其中，確定與的值是解題的關鍵．4．（4分）（2021?涼山州）下面四個交通標志圖是軸對稱圖形的是A． B． C． D．【考點結題分析】根據(jù)軸對稱圖形的概念對各圖形分析判斷即可得解．【詳細解答】解：．不是軸對稱圖形，故本選項不合題意；．不是軸對稱圖形，故本選項不合題意；．是軸對稱圖形，故本選項符合題意；．不是軸對稱圖形，故本選項不合題意．故選：．【分析評價】本題考查了軸對稱圖形，掌握運用軸對稱圖形的概念：軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分沿對稱軸折疊后可重合．5．（4分）（2021?涼山州）的平方根是A．9 B． C．3 D．【考點結題分析】求出，求出9的平方根即可．【詳細解答】解：，的平方根是，故選：．【分析評價】本題考查了對算術平方根，平方根的定義的應用，主要考查學生的計算能力．6．（4分）（2021?涼山州）在平面直角坐標系中，將線段平移后得到線段，點的對應點的坐標為，則點的對應點的坐標為A． B． C． D．【考點結題分析】根據(jù)點到確定出平移規(guī)律，再根據(jù)平移規(guī)律列式計算即可得到點的坐標．【詳細解答】解：平移后得到點的坐標為，向下平移了4個單位，向左平移了4個單位，的對應點的坐標為，即．故選：．【分析評價】本題考查了坐標與圖形變化平移，平移中點的變化規(guī)律是：橫坐標右移加，左移減；縱坐標上移加，下移減，先確定出平移規(guī)律是解題的關鍵．7．（4分）（2021?涼山州）某校七年級1班50名同學在“森林草原防滅火”知識競賽中的成績如表所示：成績60708090100人數(shù)3913169則這個班學生成績的眾數(shù)、中位數(shù)分別是A．90，80 B．16，85 C．16，24.5 D．90，85【考點結題分析】眾數(shù)是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)，注意眾數(shù)可以不止一個；中位數(shù)要把數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列，位于最中間的一個數(shù)或兩個數(shù)的平均數(shù)為中位數(shù)．【詳細解答】解：90出現(xiàn)的次數(shù)最多，眾數(shù)為90．這組數(shù)據(jù)一共有50個，已經(jīng)按大小順序排列，第25和第26個數(shù)分別是80、90，所以中位數(shù)為．故選：．【分析評價】本題屬于基礎題，考查了確定一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和眾數(shù)的能力，要明確定義，一些學生往往對這個概念掌握運用不清楚，計算方法不明確而誤選其它選項，注意找中位數(shù)的時候一定要先排好順序，然后再根據(jù)奇數(shù)和偶數(shù)個來確定中位數(shù)，如果數(shù)據(jù)有奇數(shù)個，則正中間的數(shù)字即為所求，如果是偶數(shù)個則找中間兩位數(shù)的平均數(shù)．8．（4分）（2021?涼山州）下列命題中，假命題是A．直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半 B．等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合 C．若，則點是線段的中點 D．三角形三條邊的垂直中分線的交點叫做這個三角形的外心【考點結題分析】根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質對進行判斷；根據(jù)等腰三角形的性質對進行判斷；根據(jù)線段的中點定義對進行判斷；根據(jù)三角形外心的定義對進行判斷．【詳細解答】解：、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，所以選項不符合題意；、等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合，所以選項不符合題意；、若、、在同一直線上，且，則點是線段的中點，所以選項符合題意；、三角形三條邊的垂直中分線的交點叫做這個三角形的外心，所以選項不符合題意．故選：．【分析評價】本題考查了命題與定理：命題的“真”“假”是就命題的內容而言．任何一個命題非真即假．要說明一個命題的正確性，一般需要推理、論證，而判斷一個命題是假命題，只需舉出一個反例即可．9．（4分）（2021?涼山州）函數(shù)的圖象如圖所示，則關于的一元二次方程的根的情況是A．沒有實數(shù)根 B．有兩個相等的實數(shù)根 C．有兩個不相等的實數(shù)根 D．無法確定【考點結題分析】先利用一次函數(shù)的性質得，，再計算判別式的值得到△，于是可判斷△，然后根據(jù)判別式的意義判斷方程根的情況．【詳細解答】解：根據(jù)圖象可得，，所以，，因為△，所以△，所以方程有兩個不相等的實數(shù)根．故選：．【分析評價】本題考查了根的判別式：一元二次方程的根與△有如下關系：當△時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當△時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當△時，方程無實數(shù)根．也考查了一次函數(shù)圖象．10．（4分）（2021?涼山州）如圖，中，，，，將沿翻折，使點與點重合，則的長為A． B．2 C． D．【考點結題分析】在中，由,得到，即可求解．【詳細解答】解：設，則，在中，,即，解得，故選：．【分析評價】本題考查的是翻折變換（折疊問題），明確是本題解題的關鍵．11．（4分）（2021?涼山州）點是內一點，過點的最長弦的長為，最短弦的長為，則的長為A． B． C． D．【考點結題分析】根據(jù)直徑是圓中最長的弦，知該圓的直徑；最短弦即是過點且垂直于過點的直徑的弦；根據(jù)垂徑定理即可求得的長，再進一步根據(jù)勾股定理，可以求得的長．【詳細解答】解：如圖所示，于點．根據(jù)題意，得，．，．根據(jù)勾股定理，得．故選：．【分析評價】此題綜合運用了垂徑定理和勾股定理．正確理解圓中，過一點的最長的弦和最短的弦．12．（4分）（2021?涼山州）二次函數(shù)的圖象如圖所示，則下列結論中不正確的是A． B．函數(shù)的最大值為 C．當時， D．【考點結題分析】利用拋物線開口方向得到，根據(jù)拋物線的對稱性得到，根據(jù)拋物線與軸的交點位置得到，則可對進行判斷；利用二次函數(shù)的最值問題可對進行判斷；利用拋物線與軸的交點與圖像可對進行判斷；利用，可對進行判斷．【詳細解答】解：拋物線開口向下，，拋物線的對稱軸為直線，，拋物線與軸的交點坐標在軸上方，，，所以不符合題意；當時，函數(shù)的最大值為：，故不符合題意；由圖可知，拋物線與軸的另一交點為，所以時，，故不符合題意；當時，，所以，，即，故符合題意，故選：．【分析評價】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系：二次項系數(shù)決定拋物線的開口方向和大小，當時，拋物線向上開口，當時，拋物線向下開口；一次項系數(shù)和二次項系數(shù)共同決定對稱軸的位置：當與同號時，對稱軸在軸左；當與異號時，對稱軸在軸右，常數(shù)項決定拋物線與軸交點：拋物線與軸交于．拋物線與軸交點個數(shù)由判別式確定：△時，拋物線與軸有2個交點；△時，拋物線與軸有1個交點；△時，拋物線與軸沒有交點．二、填空題（共5個小題，每小題4分，共20分）13．（4分）（2021?涼山州）函數(shù)中，自變量的取值范圍是且【考點結題分析】根據(jù)二次根式的性質和分式的意義，被開方數(shù)大于等于0，分母不等于0列不等式組求解．【詳細解答】解：根據(jù)題意得：，解得且．故答案為且．【分析評價】本題考查了函數(shù)自變量的取值范圍．考查的知識點為：分式有意義，分母不為0，二次根式有意義，被開方數(shù)是非負數(shù)．14．（4分）（2021?涼山州）已知是方程的解，則的值為．【考點結題分析】把方程組的解代入方程，得到關于的一元一次方程，解方程即可．【詳細解答】解：把代入到方程中得：，，故答案為：．【分析評價】本題考查了二元一次方程的解，把方程組的解代入方程，得到關于的一元一次方程是解題的關鍵．15．（4分）（2021?涼山州）菱形中，對角線，．則菱形的高等于．【考點結題分析】由題意得，菱形的面積，設菱形的高為，則菱形的面積，即可求解．【詳細解答】解：由題意得，菱形的面積，則，，則，設菱形的高為，則菱形的面積，解得，故答案為．【分析評價】本題考查的是菱形面積的計算方法，利用兩種不同方法求解菱形面積是本題解題的關鍵．16．（4分）（2021?涼山州）如圖，將繞點順時針旋轉得到△，已知，，則線段掃過的圖形（陰影部分）的面積為．【考點結題分析】根據(jù)圖形可以得出掃過的圖形的面積，由旋轉的性質就可以得出就可以得出掃過的圖形的面積求出其值即可．【詳細解答】解：繞點旋轉得到△，△，，．掃過的圖形的面積，掃過的圖形的面積，掃過的圖形的面積．故答案為：．【分析評價】本題考查了旋轉的性質的運用，全等三角形的性質的運用，扇形的面積公式的運用，解答時根據(jù)旋轉的性質求解是關鍵．17．（4分）（2021?涼山州）如圖，用火柴棍拼成一個由三角形組成的圖形，拼第一個圖形共需要3根火柴棍；拼第二個圖形共需要5根火柴棍；拼第三個圖形共需要7根火柴棍；照這樣拼圖，則第個圖形需要根火柴棍．【考點結題分析】根據(jù)數(shù)值的變化找出變化規(guī)律，即可得出結論．【詳細解答】解：設第個圖形需要為正整數(shù)）根火柴棒，觀察發(fā)現(xiàn)規(guī)律：第一個圖形需要火柴棍：，第二個圖形需要火柴棍：；第三個圖形需要火柴棍：，，第個圖形需要火柴棍：．故答案為：．【分析評價】本題考查了規(guī)律型中圖形的變化類，解決該題型題目時，根據(jù)給定圖形中的數(shù)據(jù)找出變化規(guī)律是關鍵．三、解答題（共5小題，共32分）18．（5分）（2021?涼山州）解不等式：．【考點結題分析】根據(jù)解一元一次不等式基本步驟：去分母、去括號、移項、合并同類項，系數(shù)化為1可得．【詳細解答】解：去分母，得：，去括號，得：，移項、合并，得：，系數(shù)化為1得，．【分析評價】本題主要考查解一元一次不等式的基本能力，嚴格遵循解不等式的性質是關鍵，尤其需要注意不等式兩邊都乘以或除以同一個負數(shù)不等號方向要改變．19．（5分）（2021?涼山州）已知，，求的值．【考點結題分析】將變形后得到,再將多項式因式分解后整體代入可得結論．【詳細解答】解：，．,．原式．【分析評價】本題主要考查了因式分解的應用，將要求的代數(shù)式因式分解，并整體代入是解題的關鍵．20．（7分）（2021?涼山州）隨著手機的日益普及，學生使用手機給學校管理和學生發(fā)展帶來諸多不利影響．為了保護學生視力，防止學生沉迷網(wǎng)絡和游戲，讓學生在學校專心學習，促進學生身心健康發(fā)展，教育部辦公廳于2021年1月15日頒發(fā)了《教育部辦公廳關于加強中小學生手機管理工作的通知》．為貫徹《通知》精神，某學校團委組織了“我與手機說再見”為主題的演講比賽，根據(jù)參賽同學的得分情況繪制了如圖所示的兩幅不完整的統(tǒng)計圖（其中表示“一等獎”，表示“二等獎”，表示“三等獎”，表示“優(yōu)秀獎”．請你根據(jù)統(tǒng)計圖中所提供的信息解答下列問題：（1）獲獎總人數(shù)為40人，；（2）請將條形統(tǒng)計圖補充完整；（3）學校將從獲得一等獎的4名同學（其中有一名男生，三名女生）中隨機抽取兩名參加全市的比賽，請利用樹狀圖或列表法求抽取同學中恰有一名男生和一名女生的概率．【考點結題分析】（1）用“二等獎”人數(shù)除以它所占的百分比得到獲獎總人數(shù)，然后計算“三等獎”人數(shù)所占的百分比得到的值；（2）利用“三等獎”人數(shù)為12補全條形統(tǒng)計圖；（3）畫樹狀圖展示所有12種等可能的結果，找出抽取同學中恰有一名男生和一名女生的結果數(shù)，然后根據(jù)概率公式求解．【詳細解答】解：（1）獲獎總人數(shù)為（人，，即；故答案為40；30；（2）“三等獎”人數(shù)為（人，條形統(tǒng)計圖補充為：（3）畫樹狀圖為：共有12種等可能的結果，抽取同學中恰有一名男生和一名女生的結果數(shù)為6，所以抽取同學中恰有一名男生和一名女生的概率．【分析評價】本題考查了列表法與樹狀圖法：利用列表法或樹狀圖法展示所有等可能的結果，再從中選出符合事件或的結果數(shù)目，然后利用概率公式計算事件或事件的概率．也考查了統(tǒng)計圖．21．（7分）（2021?涼山州）王剛同學在學習了解直角三角形及其應用的知識后，嘗試利用所學知識測量河對岸大樹的高度，他在點處測得大樹頂端的仰角為，再從點出發(fā)沿斜坡走米到達斜坡上點，在點處測得樹頂端的仰角為，若斜坡的坡比為（點、、在同一水平線上）．（1）求王剛同學從點到點的過程中上升的高度；（2）求大樹的高度（結果保留根號）．【考點結題分析】（1）作于，解，即可求出；（2）過點作于點，設米，用表示出、，根據(jù)列出方程，解方程得到答案．【詳細解答】解過點作于點,由題意知米,斜坡的坡比為,,設(米,(米,,,,(米,(米,答王剛同學從點到點的過程中上升的高度為2米；過點作于點,,四邊形為矩形,米,米,,(米,米,,,,,(米．答大樹的高度是米．【分析評價】本題考查的是解直角三角形的應用仰角俯角問題，掌握運用銳角三角函數(shù)的定義、仰角俯角的概念是解題的關鍵．22．（8分）（2021?涼山州）如圖，在四邊形中，，過點作于，若．（1）求證：；（2）連接交于點，若，，求的長．【考點結題分析】（1）作，交的延長線于點，然后即可得得到四邊形的形狀，再根據(jù)題目中的條件，可以證明和全等，然后即可得到結論成立；（2）根據(jù)正方形的性質、勾股定理和三角形相似，可以得到的長，然后根據(jù)的長，即可得到的長．【詳細解答】（1）證明：作，交的延長線于點，如右圖所示，，，，，四邊形是矩形，又，四邊形是正方形，，，，，，，，在和中，，，；（2），，，，，由（1）知，，四邊形是正方形，，，，，，，，，，，即，解得，，即的長是．【分析評價】本題考查全等三角形的判定與性質、正方形的判定與性質、勾股定理、相似三角形的判定與性質，解答本題的關鍵是證明和全等和求出的長，利用數(shù)形結合的思想解答．四、填空題（共2小題，每小題5分，共10分）23．（5分）（2021?涼山州）若關于的分式方程的解為正數(shù)，則的取值范圍是且．【考點結題分析】先利用表示出的值，再由為正數(shù)求出的取值范圍即可．【詳細解答】解：方程兩邊同時乘以得，，解得．為正數(shù)，，解得．，，即．的取值范圍是且．故答案為：且．【分析評價】本題考查的是分式方程的解，熟知求出使分式方程中令等號左右兩邊相等且分母不等于0的未知數(shù)的值，這個值叫方程的解是解答此題的關鍵．24．（5分）（2021?涼山州）如圖，等邊三角形的邊長為4，的半徑為，為邊上一動點，過點作的切線，切點為，則的最小值為3．【考點結題分析】連接、，作于，如圖，根據(jù)等邊三角形的性質得到，，根據(jù)直角三角形的性質得到，，由切線的性質得到，根據(jù)勾股定理得到，推出當點運動到點時，最小，于是得到結論．【詳細解答】解：連接、，作于，如圖，等邊三角形的邊長為4，，，，，為的切線，，在中，，點是邊上一動點，當點運動到點時，最小，即的最小值為，的最小值為，故答案為：3．【分析評價】本題考查了切線的性質：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑．運用切線的性質來進行計算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點，利用垂直構造直角三角形解決有關問題．也考查了等邊三角形的性質．五、解答題（共4小題，共40分）25．（8分）（2021?涼山州）閱讀以下材料：蘇格蘭數(shù)學家納皮爾．，年）是對數(shù)的創(chuàng)始人．他發(fā)明對數(shù)是在指數(shù)書寫方式之前，直到18世紀瑞士數(shù)學家歐拉，年）才發(fā)現(xiàn)指數(shù)與對數(shù)之間的聯(lián)系．對數(shù)的定義：一般地，若且，那么叫做以為底的對數(shù)，記作，比如指數(shù)式可以轉化為對數(shù)式，對數(shù)式可以轉化為指數(shù)式．我們根據(jù)對數(shù)的定義可得到對數(shù)的一個性質：，，，，理由如下：設，，則，，，由對數(shù)的定義得．又，．根據(jù)上述材料，結合你所學的知識，解答下列問題：（1）填空：①5，②，③；（2）求證：，，，；（3）拓展運用：計算．【考點結題分析】（1）直接根據(jù)定義計算即可；（2）先設，，根據(jù)對數(shù)的定義可表示為指數(shù)式為：，，計算的結果，同理由所給材料的證明過程可得結論；（3）根據(jù)公式：和的逆用，將所求式子表示為：，計算可得結論．【詳細解答】解：（1），，；故答案為：5，3，0；（2）設，，則，，，由對數(shù)的定義得，又，，，，；（3）原式．【分析評價】本題考查了有理數(shù)的混合運算，對數(shù)與指數(shù)之間的關系以及相互轉化的關系，解題的關鍵是明確新定義，明白指數(shù)與對數(shù)之間的關系以及相互轉化關系．26．（10分）（2021?涼山州）如圖，中，，邊在軸上，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過斜邊的中點，與相交于點，，．（1）求的值；（2）求直線的解析式．【考點結題分析】（1）設,則,,，由反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過斜邊的中點，得,,根據(jù)得,可得,故；（2）由（1）知：,,設直線解析式為,用待定系數(shù)法即可得到答案．【詳細解答】解：（1）設,則,,,,,為中點，,，而反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過斜邊的中點，,解得：,，，,即,將代入得：,解得,,,；（2）由（1）知：,,設直線解析式為,,解得,直線解析式為．【分析評價】本題考查反比例函數(shù)綜合知識，涉及反比例函數(shù)的圖象及解析式、一次函數(shù)解析式、三角形面積等知識，解題的關鍵是用含未知數(shù)的代數(shù)